HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 13 MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG QUAN TRỌNG CỦA TRƯỜNG XUYÊN TÂM HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử Phần cuối bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản nhất: Nguyên tử hydrogen. Phần cuối bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản nhất: Nguyên tử hydrogen. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của điện tích khác. 2. Các số lượng tử và hàm trạng thái 3. Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ 4. Nguyên tử hydrogen HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của điện tích khác. Như đã thấy, nếu hàm riêng của toán tử năng lượng trong trường xuyên tâm U(r) là ),()( ϕθψ lm YrR = thì chỉ có R(r) mới phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của U(r). Vì vậy, phương trình chuyển động trong trường xuyên tâm cụ thể thực chất quy về phương trình cho R(r). Xét trường hợp đặc biệt: Chuyển động của electron (với điện tích –e) trong trường Coulomb của điện tích hạt nhân (với điện tích +Ze) đặt cố định tại gốc tọa độ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Hàm thế năng trong trường hợp này là: (13.1) r Ze rU 2 )( −= và phương trình cho ρ = rR sẽ là: (13.2) 0 )1(22 22 2 22 2 =         + −++ ρ µµρ r ll r ZeE dr d  Ở đây ta chỉ quan tâm đến trường hợp E < 0 Đặt ε µ . 2 4  e E −= ; khi đó ε > 0. Tiếp theo, đặt r e 2 2  µ ξ = , ta có: 2 2 4 42 2 2 ξ ρµρ d de dr d  = [ ] 0)( 2)1(1 232 2 =−+ + − ρ µ ρ ρ rUE rr ll dr d r  HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam và (13.2) trở thành (13.3) 0 )1(2 2 22 2 =         + −+−+ ρ ξξ ε ξ ρ llZ d d Xuất phát từ việc ρ có dạng tiệm cận 11 ~~ ++ ll r ξρ khi ξ nhỏ và εξ ρ 2 2 ~ − −− = ee mE r  Khi ξ nhỏ ta tìm nghiệm của (13.3) dưới dạng ( ) (13.4) ∑ ∞ = ++−−+ =+++= 0 122 210 21 n ln n l aeaaae ξξξξρ εξεξ (13.2) 0 )1(22 22 2 22 2 =         + −++ ρ µµρ r ll r ZeE dr d  HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó: ( ) +++−= ∑∑ ∞ = +− ∞ = ++− 0 2 0 12 2 2 1222 n ln n n ln n alneae d d ξεξε ξ ρ εξεξ ( )( ) ∑ ∞ = −+− ++++ 0 12 1 n ln n alnlne ξ εξ 2ε ρ Do đó, thay 2 2 ξ ρ d d vào (13.3) và chia 2 vế cho εξ 2 − e , ta được: ( ) ( )( ) +++++++− ∑∑ ∞ = −+ ∞ = + 0 1 0 1122 n ln n n ln n alnlnaln ξξε 0)1(2 0 1 0 =+−+ ∑∑ ∞ = −+ ∞ = + n ln n n ln n allaZ ξξ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cho tổng các hệ số của các số hạng cùng bậc bằng 0, ta được ( ) ( )( ) 0)1(21122 11 =+−+++++++− ++ nnnn allZaalnlnaln ε ( ) [ ] ( )( ) (13.5) nn a lllnln Zln a )1(21 212 1 +−++++ −++ = + ε Bây giờ ta sẽ dùng công thức (13.5) để chứng minh rằng ε phải nhận một trong các giá trị: (13.6) 2 2 )1(2 ++ = ln Z nl ε Thật vậy, giả sử ε không có dạng (13.6). HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam )(13.6' nn a n a ε 22 1 = + Khi đó mọi a n đều khác 0, và n đủ lớn thì (13.5) có dạng gần đúng là: do đó, các hệ số a n cùng dấu, giảm dần về giá trị tuyệt đối giống như ! 1 n Vì vậy, ta có thể coi ∑ ∞ = 0n n n a ξ biến thiên giống như ξε 22 e do đó ρ biến thiên giống như ξε ξ 21 e l + tức là ρ → + ∞ khi ξ → + ∞ Điều này rõ ràng là phi lý về mặt vật lý Từ đó suy ra rằng ε phải có dạng (13.6) [...]... )Ylm (θ , ϕ ) (13. 12) Theo thông lệ, các số n, l, nr và m được gọi là các số lượng tử, trong đó n là số lượng tử chính, l là số lượng tử phương vị, nr là số lượng tử bán kính và m là số lượng tử từ, (chú ý phân biệt số lượng tử (quantum number) với số lượng các lượng tử (number of quanta)) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trạng thái ứng với các số lượng tử n, l,... En = − 2 2 2 n (13. 16) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Mỗi lần electron chuyển từ trạng thái với năng lượng En sang trạng thái với năng lượng En’, biến thiên năng lượng của nguyên tử sẽ bằng En’ - En Việc này kèm theo sự hấp thụ lượng tử năng lượng điện từ µe 4  ω = En' − En = 2 2 1   1  2 − 2 n'  n nếu n' > n hoặc phát xạ lượng tử năng lượng µe 4 ω =... l thực chất chỉ phụ thuộc n = nr+l+1 nên (13. 7’) trở thành: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam E nr l Z 2 µe 4 =− 2 2 2 n (13. 10) và tương ứng (13. 8’) trở thành Rnl = ξ l e −ξ 2 ε n trong đó, Rnl thay cho nr ak ξ k ∑ (13. 11) k =0 R nr l với n = nr+l+1 (thực chất đáng lẽ phải ký hiệu là Rn-l-1;l) Chú ý rằng mỗi mức năng lượng En không phải chỉ ứng với một trạng thái... hoa, Viet nam 2 Các số lượng tử và hàm trạng thái Để cho tiện, ta sẽ thay đổi cách ký hiệu các số trong (13. 7) như sau: Trước hết, n được thay đổi bởi nr để nhẫn mạnh vào mối liên quan của nó với phương trình dành cho hàm bán kính Như vậy, (13. 7) trở thành: E nr l Z 2 µe 4 =− 2 2 2 ( nr + l + 1) (13. 7' ) Tương ứng, (13. 8) trở thành l −ξ 2ε nr l R = Rnr l = ξ e nr ak ξ k ∑ k =0 (13. 8' ) Tiếp theo, vì... ( n + l + 1) 2 (13. 7) 2 nên phổ năng lượng là rời rạc Tương ứng, từ (13. 5) ta có, a n +1 = a n + 2 = = 0 (nếu E = Enl) Như vậy: Hay: l +1 −ξ 2ε nl ρ = ρ nl = ξ e R = Rnl = ξ l e −ξ 2ε nl n n ak ξ k ∑ n =0 ak ξ k ∑ (13. 8) k =0 Ngoài điều kiện (13. 5), các hệ số ak được lựa chọn (mà suy cho cùng là chỉ cần chọn a0) sao cho R thoã mãn điều kiện chuẩn hoá sau +∞ Rnl (r )r 2 dr = 1 ∫ 0 (13. 9) HONG DUC UNIVERSITY... rằng đại lượng µe 4 R= = 3,27.1015 s −1 4π 3 được gọi là hằng số Rydberg – Ritz Như vậy các mức năng lượng của nguyên tử hydrogen sẽ là 2π R En = − 2 n Sơ đồ phổ của nguyên tử hydrogen cho ở hình vẽ dưới đây HONG DUC UNIVERSITY Các 307 Le Lai Str ngangHoacác mức năng lượng đường nằm Thanh là City, Thanh hoa, Viet nam Volt n I 12 2 10,15 10 Hα Hβ Hγ Hδ Hε Hξ Hη Hυ Hι Dãy Balmer 9 8 7 Dãy Ritz-Paschen... r ) Pl ( cos θ ) r 2 sin θ drdϕdθ 4π V 2 Từ đó suy ra: a Mật độ xác suất tìm thấy hạt ở khoảng cách r kể từ gốc toạ độ bằng: Pnl ( r ) = Rnl ( r ) r 2 2 (13. 14) b Mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vĩ độ θ là: 2 1 ~m qnl (θ ) = Pl ( cos θ ) sin θ (13. 15) 2 c Kinh độ ϕ phân bố đều, tức là mật độ xác suất ở kinh độ bằng ϕ không phụ thuộc vào ϕ (và luôn bằng 1 ) 2π HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh... Các 307 Le Lai Str ngangHoacác mức năng lượng đường nằm Thanh là City, Thanh hoa, Viet nam Volt n I 12 2 10,15 10 Hα Hβ Hγ Hδ Hε Hξ Hη Hυ Hι Dãy Balmer 9 8 7 Dãy Ritz-Paschen 11 Dãy Pfund II 13 0 6 5 4 3 Dãy Brecket 13, 53 20000 40000 Các đường thẳng đứng là các “bước nhảy” chuyển mức 6 Dãy Lyman 60000 5 4 80000 3 Những con số ghi trên các đường thẳng đứng là các bước sóng (thu 2 hoặc phát); các bước sóng... UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trạng thái ứng với các số lượng tử n, l, m, thường ký hiệu ngắn gọn là nlm Như vậy, trong biểu diễn toạ độ thì: nlm = Rnl ( r )Ylm (θ , ϕ ) (10 .13) Còn một cách khác để ký hiệu trạng thái (của điện tích –e): dùng một chữ số và một chữ cái; chữ số là giá trị của n, chữ cái là s, p, d, f, hoặc g ứng với l = 0,1, 2, 3, 4 Như vậy 2s là trạng thái... nêu đồ thị ham mật độ xác suất của electron cho một vài trạng thái Ở đây, khoảng cách từ các điểm cực đạI đến gốc tọa độ tương ứng với bán kính quỹ đạo trong mô hình của N Bohr Đặc biệt, với n = 1 (năng lượng tối thiểu) thì khoảng cách đó bằng: 2 r0 = 2 = 5,29.10 −19 cm µe tức là hoàn toàn trùng với bán kính quỹ đạo thứ nhất của N Bohr! HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet . nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải. Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 13 MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG