Mục lục - Phương Pháp tính MỤC LỤC Lời nói ñaàu i Chương Các Nguyên nhân Sai số phương pháp tính 1.1 Mở đầu Khái niệm sai số 1.2 Sai số làm tròn số 1.3 Sai số chặt cuït 12 1.4 Bài tập 14 Chương Phương pháp tính đại số Ma trận 15 2.1 Đại số Ma trận 15 2.2 Hệ Phương trình tuyến tính 19 2.2.1 Phướng pháp GAUSS 19 2.2.2 Phương pháp GAUSS-JORDAN 21 2.2.3 Phương pháp Phân tích L.U 24 2.3 Aùp duïng để tính Nghịch đảo ma trận 24 2.4 p dụng để lập Bảng cân đối liên ngành 25 2.5 Bài tập 29 Chương Phương pháp Giải Phương trình Phi tuyến 32 3.1 Mở đầu 32 3.2 Phương pháp chia đôi khoảng 32 3.3 Phương pháp dây cung 34 3.4 Phương pháp Newton 38 3.5 Bài tập 40 Chương Phương pháp Nội suy ngoại suy 41 4.1 Nội suy tuyến tính 42 4.2 Noäi suy Lagrange 42 4.3 Noäi suy Newton tieán 44 4.4 Newton Newton luøi 46 4.5 Bài tập 48 Chương Phương pháp tích phân soá 49 5.1 Phương pháp hình thang 49 5.2 Phương pháp Simpson 54 5.3 Bài tập 62 Chương Một số phương pháp thống kê Phương pháp Bình phương tối thiểu 63 6.1 Mở đầu 63 6.2 Phương pháp bình phương tối thiểu 65 6.3 Ứng dụng phương pháp BPTT dự báo theo hồi qui tuyến tính 66 6.4 Bài tập 69 Tài liệu Tham khảo 71 Trương Mỹ Dung www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn http://www.ebook.edu.vn Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG ĐẠI SỐ MA TRẬN 2.1 Đại số Ma trận 2.1.1 VÉCTƠ CỘT &VECTƠ HÀNG Ta gọi véc tơ cột dãy hữu hạn có thứ tự số xếp từ xuống Thí dụ u = Là véc tơ cột có thành phần Ta gọi véc tơ hàng dãy hữu hạn có thứ tự số xếp theo hàng ngang nối tiếp Thí dụ v = [8, -4, 0, 2] véc tơ hàng có thành phần Hai véc tơ hàng (hoặc véc tơ cột) chúng có thành phần vị trí CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ Cộng véc tơ, u= u1 u2 u3 v1 v2 v3 v= Thì u+v= Tương tự, u = [u1, u2, u3] v = [v1, v2, v3] : u+v = [u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3] u1 + v2 u2 + v2 u3 + v3 Ta coù u+v=v+u Nhân véc tơ cho số Nếu a số khác u = [u1, u2, u3] au = [au1, au2, au3] Véc tơ không véc tơ mà thành phần Nếu véc tơ có thành phần, ta viết 0= Và 0= [ 0, 0, ] Trương Myõ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 0 Nếu véc tơ cột Nếu véc tơ hàng 15 http://www.ebook.edu.vn Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận Tích vô hướng ( nhân véc tơ hàng với véc tơ cột ) Nếu Thì u = [u1,, u3] vaø v = vaø uv = u1v1 + u2v2 + u3v3 v1 v2 v3 Thí dụ Một người mua hộp bánh, hộp kẹo lọ mứt Giá hộp bánh 5000 đ, hộp kẹo 4200 đ, giá lọ mứt 8000 đ, Các số liệu biểu diễn véc tơ u = [ (bánh), (kẹo), (mứt)] số lượng hàng mua v= 5000 4200 8000 Chỉ đơn giá mặt hàng Số tiền phải trả tích u v uv = [3, 2, 4] 5000 4200 8000 = 3x5000 + 2x4000 +4x8000 = 57400 2.1.2 MA TRẬN Định nghóa Một ma trận tập hợp xếp theo hàng theo cột Một ma trận cấp mxn bảng số gồm mxn phần tử xếp theo m hàng n coät V= a11 a12 a1n a21 a22 a2n … am1 am2 amn A I j phần tử hàng I, cột j Khi m=n ta gọi ma trận vuông cấp n Ma trận đơn vị, ký hiệu I ma trận vuông mà phần tử đường chéo 1, phần tử khác Ma trận chéo, ma trận vuông mà phần tử khác đường chéo 0 Thí dụ: A= 0 -1 Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 16 http://www.ebook.edu.vn Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận Ma trận chuyển vị Cho ma trận A, ma trận chuyển vị A, ký hiệu AT ma trận suy từ A, đổi hàng thành cột, đổi cột thành hàng Nếu A ma trận mxn AT ma trận nxm Thí dụ Nếu -4 A= Thì AT = -4 Ma trận vuông A có tính đối xứng AT = A CÁC PHÉP TÍNH TRÊN MA TRẬN Cộng ma trận Phép cộng hai ma trận có nghóa hai ma trận có cấp Thí dụ A= -4 B= 3 Thì A+B = Nhân ma trận với số k khác Nếu A = (ai j) kA = (kai j) Nhân véc tơ hàng với ma trận Điều kiện: số hàng ma trận = số phần tử véc tơ hàng Thí dụ [3, 2, 1] -1 2 = [ 6, 19 ] Nhaân ma trận với véc tơ cột Điều kiện: Số cột ma trận = số thành phần véc tơ cột Thí dụ Nhân ma trận A × B × -2 = 21 Điều kiện : số cột A = số hàng B 7 12 58 = × 0 32 -2 -2 -3 -14 Tổng quát A có cấp mxn, B có cấp nxp AB có cấp mxp Thí dụ B= Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 17 -2 http://www.ebook.edu.vn Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận Chú ý Có thể nhân AB nhân BA (nếu hai ma trận không vuông cấp) Nếu A B ma trận vuông cấp Ta nhân AB BA AB khác BA Nếu nhân ma trận A, B, C (AB)C = A(BC) A ma trận vuông cấp n, I ma trận đơn vị cấp n, AI = IA = A MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định nghóa Cho A ma trận vuông cấp n, nghịch đảo A (nếu có), ký hiệu A –1 ma trận vuông caáp n cho A –1A = AA –1 = I ĐỊNH THỨC CỦA MỘT MA TRẬN Với ma trận vuông ta tính số thực gọi định thức ma trận, ký hiệu det A Định thức ma trận cấp A= a11 a21 a12 a22 Thì det A = a 1 a 2 - a a Caáp A= a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 Ta coù: det A= a11 det a22 a23 a32 a33 a21 a23 a31 a33 - a12 det + a12 det a21 a22 a31 a32 det A = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33+a12a31a23-a13a21a32- a13a21a32 Định lý A có nghịch đảo det A khác Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 18 http://www.ebook.edu.vn 2.2 Hệ Phương trình tuyến tính Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận Một hệ gồm m phương trình tuyến tính với n biến x1, , xn tập hợp m phương trình tuyến tính viết dạng: a11 x1 + + a1n ×n = b1 = bm … am x1 + + amn ×n hay Ax = b A = ( aij ), ma trận mxn b m–véc tơ Một nghiệm hệ véc tơ n–véc tơ thỏa mãn hệ Hệ gọi quán có nghiệm Hệ gọi b1 = b2 = = bm = hệ có nghiệm: x = = x n = gọ i nghiệ m tầ m thườ n g Thí dụ Giải hệ x1 + 2x2 + 3x3 = 2x1 + 3x2 + x3 = ⇔ Ta coù: [A,b] = 3x1 + x2 + 2x3 = 6 6 2.2.1 Phương pháp GAUSS Gồm hai Giai đọan: Quá trình thuận: Đưa ma trận A dạng ma trận nửa tam giác Quá trình ngược: Tính nghiệm x n , … x1 phương pháp “Thế ngược.” Quá trình thuận: Đưa ma trận A dạng ma trận nửa tam giác ∀ i: n (dòng thứ i, ta biến đổi cho phần tử thứ i+1 cột i không) Phép biến đổi sau: Doøng j = Doøng j – a j i / a i i Dòng i , với j=i+1 n Trương Myõ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 19 http://www.ebook.edu.vn Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận Với thí dụ ta có: i=1: Dòng = Dòng – Doøng Doøng = Doøng – Dòng Với thí dụ ta coù: [A,b] = 3 6 -1 -5 -5 -7 ⇒ -6 -12 i=2: Doøng = Doøng – Doøng [A,b] = -1 -5 -5 -7 -6 -12 ⇒ -1 -5 0 18 -6 18 Giai đọan 2: Giải ngược: Tính nghiệm x n , … x1 phương pháp “Thế ngược”: …… Với thí dụ Lời giải là: Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; x3 = 1; x2 = - 5(1) =1; x1 = - - = 20 http://www.ebook.edu.vn Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận 2.2.2 Phương pháp GAUSS-JORDAN Thí dụ Xét hệ phương trình: x2 – 8x3 =17 x1 + x3 =10 x1 - x2 Ax = b với A = 1 =0 Xét mx(n+1) - ma trận [A,b] = 1 -8 -1 b= -17 10 -8 -17 10 -1 0 Phương pháp Gauss - Jordan nhằm biến đổi cho phần tử đường chéo = 1, phần tử khác A = phép tính sơ cấp sau đây: Bước Biến đổi cho hệ số biến x1 = cách đổi dòng thành dòng , [A,b] trở thành [A,b] = 0 1 -1 10 -8 -17 0 Bước Thay dòng (3) - dòng (1), [A,b] trở thành [A,b] = 0 10 -8 -17 -1 -1 -10 Bước Thay dòng → dòng + dòng 2, [A,b] trở thành [A,b] = 0 1 10 -8 -17 -9 -27 Bước Biến đổi a33 = cách nhân dòng cho -1/9 [A,b] = 0 1 10 -8 -17 Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 21 http://www.ebook.edu.vn Bước Biến đổi dòng → dòng – dòng3 [A,b] = 0 Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận -8 -17 Bước Thay dòng → dòng + × dòng 0 [A,b] = 0 7 Như vậy, nghiệm phương trình x1 = 7, x2 = 7, x3 =3 Nhận xét Khi áp dụng phương pháp Gauss - Jordan, ta lập lại nhiều lần ba thao tác sau : Thao tác Hoán đổi dòng ma trận [A,b] Thao tác Thay dòng dòng cộng với dòng khác nhân với số khác (1/aii) Thaotác Thay dòng dòng cộng với dòng khác nhân với hệ số khác Ba thao tác mô tả thủ tục sau : THỦ TỤC H_DOI (Var A: ma_tran; i,j: integer); {Đặc tả hoán đổi dòng i j ma traän A} Var k: integer ; t: real ; Begin Lặp lại với k = đến n t ← a[i,k]; a[i,k] ← a[j,k]; a[j,k] ← t Heát ; End; THỦ TỤC NHAN (Var A: ma_tran; i: integer; t: real); {Đặc tả dòng i, dòng j (i ≠ j) , t ≠ ⇒ dong i ← t * dong i} Var k: integer; Begin Lặp lại với k = đến n a[i,k] ← a[i,k]* t ; End; Trương Myõ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 22 http://www.ebook.edu.vn Ch2 Phương Pháp tính Đại số Ma trận THỦ TỤC XOA (Var A: ma_tran ; i,j : integer ; t : real) ; {Đặc tả dòng i, dòng j (i ≠ j) , t ≠ ⇒ dong i ← dong i - t * doøng j} Var k: integer ; Begin Lặp lại với k = đến n a[i,k] ← a[i,k]*t ; End; Phương pháp Gauss - Jordan mô tả giải thuật sau: GIẢI THUẬT GAUSS_JORDAN; Bắt đầu Đọc ma trận [A,b] {gọi ma trận A} j ← {xét cột thứ nhất} Lặp lại Nếu a[i,j]= NHAN (A, j, i/a[j,j]) Ngược lại Bắt đầu i ← Lặp lại Nếu a[i,j] = i ← i+1 Cho đến (a[i,j] = 0) (i = m+1); Nếu i = n+1 Bắt đầu Viết ("Phương trình vo nghiem") ; j ← n+1 Hết Ngược lại Bắt đầu H_DOI (A, i, j) ; NHAN (A, j, 1/a[j,j]); Hết ; Hết; Lặp với i=1 đến j - ; XOA(a, i, j, a[i,j]) ; Lặp với i=j+1 đến m ; XOA(a, i, j, a[i,j]) ; j ← j+1 Cho đến j = n + ; Hết Nhận xét phương pháp Gauss- Jordan: Ích lợi mặt lý thuyết Không thích hợp với hệ lớn Thí dụ Với hệ 1000 phương trình với 1000 biến, số phép tính số học (+, -, nhân, chia) phải làm vào khoảng (10003 =) tỷ phép tính Cải tiến phương pháp khử GAUSS Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 23 http://www.ebook.edu.vn Ch5 Phương pháp Tích phân sô” ( ) b h y + 4y + y R = ∫ f ( x )dx ≈ a Để xác định sai số, giả thiết hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp liên tục [a,b] Cố định điểm x1và xem R hàm số h (h ≥ 0) : x1 + h R = R(h) = ∫ f ( x)dx ≈ x1 − h ( h f ( x − h) + f ( x ) + f ( x + h) 1 ) Đạo hàm ba lần theo h đẳng thức trên, ta có : R ′′′(h) = − ( h f ′′′( x + h) − f ′( x − h) 1 ) p dụng công thức Larange f ′′′(x) ,ta có : R ′′′(h) = − 2h (4) (c ), c ∈ ( x − h, x + h) f 3 1 Ngoaøi ra: R(0)=0;R’(0)=0; R ′′(0) = Từ đó, áp dụng định lý trung bình thứ hai hai tích phân xác định, ta nhận được: h (4) R ′′(h) = R ′′(0) + ∫ R ′′′(t )dt = − h f (c )dt , c ∈ ( x − h, x + h) 2 1 h R ′(h) = R ′(0) + ∫ R ′′(t )dt = − h R(h) = R(0) + ∫ R ′(t )dt = − (4) h f (c )dt , c ∈ ( x − h, x + h) 1 1 18 (4) h f (c)dt , c ∈ ( x − h, x + h) 1 90 Tóm lại: Với giả thiết hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp bốn liên tục [a, b], ta có công thức SimpSon1/3 sau: b  (4) h a+b (c)dt  + f (b) − h f ∫ f ( x)dx =  f (a) + f  3    90 a với h= b−a , c ∈ ( a, b) Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 56 (5.9) http://www.ebook.edu.vn Ch5 Phương pháp Tích phân sô” TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT n b Để tính gần ∫ f ( x)dx , ta chia [a, b] thành n=2m đoạn (nghóa n a số nguyên, dương, chẳn ): [x0,x1], [x1,x2], …, [x2m-2,x2m-1], [x2m-1,x2m], có độ dài h = b−a b−a điểm chia : x0=a, x1=a+ih (i = 1,2m − ), xn=x2m=b = n 2m Ký hiệu: yi=f(xi), i= 0, n , đó, ta có: b x2 x4 x2 m a x0 x2 x2 m − ∫ f ( x)dx ≈ ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + + ∫ f ( x ) dx (5.10) Đối với tích phân xác định vế phải (5.10), ta tính gần công thức SimpSon1/3 (5.8) Ta nhận được: b h ∫ f ( x ) dx ≈ ( y + y + y 23 ) + a + b ∫ f ( x ) dx ≈ a h ( y + y + y ) + + h ( y m − + y m −1 + y m ) h [( y + y m ) + ( y + y + + y m −1 ) + + + ( y + y + + y m − )] hay b ∫ a f ( x ) dx ≈ h [( y + y m ) + ∂ + ∂ ] : ∂ = y1 + y + + y m −1 ; ∂ = y + y + + y m − Công thức (5.11) gọi công thức SimpSon1/3 tổng quát Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 57 (5.11) http://www.ebook.edu.vn Ch5 Phương pháp Tích phân sô” Nếu hàm y= f(x) có đạo hàm cấp bốn liên tục [a,b] (1.9), sai số công thức SimpSon1/3 tổng quát : R = x2 m ∫ f ( x ) dx − x0 h5 = − 90 m ∑ h f k −1 m ∑ (y k −1 (4) 2k −2 + y k −1 + y k ) (5.12) (c k ) với ck ∈(x2k-2,x2k) Lập luận tương tự trường hợp công thức hình thang tổng quát, f(4)(x), theo giả thiết, liên tục [a,b], nên tìm điểm c∈[a,b] cho : m ∑1 f ( ) ( c k ) m k= Thay vào (1.12), nhận : (4) f (c ) = mh R = − f 90 (4) (b − a ) h (c ) = − f 180 (4) ( c ), c ∈ [ a , b ] (1.13) Tóm lại, với giả thiết hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp bốn liên tục [a,b] chia đoạn lấy tích phân [a,b] thành n=2m đoạn nhau, có độ dài h= b ∫ a b−a b−a = ta có công thức SimpSon1/3 tổng quaùt sau : n 2m h (b − a ) h f ( x ) dx ≈ [( y + y m ) + ∂ + ∂ ] − f 180 (4) ( c ) (1.14) c ∈[a,b] : ∂ = y1 + y + + y m −1 ; ∂ = y + y + + y m − Thuật toán SimpSon1/3 mô tả sau: Trương Myõ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 58 http://www.ebook.edu.vn Ch5 Phương pháp Tích phân sô” Nhập hàm số f(x) Nhập a,b Nhập n S n % 2=0 Đ h=(b-a)/n S=( f(a)+f(b) ) /2 i=1 xi= a+i*h i % 2=0 S S=S+4*f(x) Đ S=S+2*f(x) i=i+1 S i=n-1 Đ Kết : S=S*h/3 Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 59 Kết thúc http://www.ebook.edu.vn Ch5 Phương pháp Tích phân sô” Nhận xét Từ (5.7) (5.14), cho thấy công thức SimpSon1/3 tổng quát có độ xác cao công thức hình thang tổng quát có bước h Trước tính tích phân xác định, ta kiểm tra hàm số y=f(x) có liên tục [a,b] không, hàm số y=f(x) không liên tục [a,b] mà bị chặn điểm khoảng [a,b] ta không tính tích phân xác định hàm y=f(x) [a,b] Tính sai số công thức SimpSon1/3 tổng quát (5.14) đòi hỏi phải biết f(4)(x), nghóa phải tính đạo hàm cấp bốn hàm số f(x) Nếu tính ta có thêm sai số tính đạo hàm Do đó, thực hành người ta thường xác định gần sai số công thức SimpSon1/3 tổng quát sau : Giả sử [a, b], đạo hàm f(4) biến đổi, (5.14), nhận biểu thức gần sai số phải tìm là: R=Mh4, M xem số b Gọi In I2n giá trị gần I= ∫ f ( x)dx nhận từ công thức a SimpSon1/3 tổng quát với bứơc h h ,ta có: I=In + Mh4 h I=I2n + M   2 Từ : I2n – In = 15 I 2n − I n Mh vaø I − I 2n = 15 16 Lập luận hoàn toàn tương tụ công thức hình thang tổng quát, với giả thiết đạo hàm f ″ (x) biến đổi [a, b], ta có công thức thực hành tính sai soá: I − I 2n = b I 2n − I n Trong In I2n giá trị gần I= ∫ f ( x)dx nhận a từ công thức hình thang tổng quát với bứơc h Trương Mỹ Dung, www.fit.hcmuns.edu.vn/~tmdung; Mail= tmdung@fit.hcmuns.edu.vn; C/c tmdung@az.com.vn; 60 h http://www.ebook.edu.vn Ch5 Phương pháp Tích phân sô” Như vậy, thực hành sai số công thức hình thang tính bằng: ∆≈ I 2n − I n Vaø sai số công thức SimpSon1/3 tính : ∆≈ I 2n − I n 15 Khi tính tích phân gần với sai số cho trước, ta tính tích phân theo công thức chọn trước với bứơc h đó, sau tính lại theo công thức với bước h/2 (tức tăng n gấp đôi ) Ký hiệu In I2n kết tương ứng Nếu I n − I 2n