TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1) I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TRONG KHÔNG GIAN . x’Ox: trục hoành . y’Oy: trục tung . z’Oz: trục cao . O : gốc tọa độ . 1 2 3 , , e e e  : véc tơ đơn vị 1 2 3 / ( ; ; ) đ n M x y z OM xe xe xe         1 / 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) đ n a a a a a a e a e a e           II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VÉC TƠ * Định lý 1: Nếu 1 2 3 ( ; ; ) a a a a   và 1 2 3 ( ; ; ) b b b b   , ( ) k   1, 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b             2, 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b        3, 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b        4, 1 2 3 . ( ; ; ) k a ka ka ka   5, 2 2 2 1 2 3 a a a a     6, a  cùng phương b  !k     sao cho . a k b    1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3 : : : : a kb a kb a a a b b b a kb            Nếu 0 a    thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: +) k > 0 khi a  cùng hướng b  +) k < 0 khi a  ngược hướng b  a k b    * Định lý 2: Cho ( ; ; ) A A A A x y z , ( ; ; ) B B B B x y z , ( ; ; ) C C C C x y z 1, ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z      2, 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB AB x x y y z z         3, Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( 1) k  nếu như: . MA k MB    Nếu A (x A , y A , z A ), B (x B , y B , z B ) và . MA k MB    ( 1) k  thì . . . ; ; 1 1 1 A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k          Đặc biệt: M là trung điểm của AB ; ; 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x y z        4, A, B, C thẳng hàng khi AB  cùng phương AC  * Định lý 3: Tích vô hướng của 2 véc tơ 1 2 3 ( ; ; ) a a a a   , 1 2 3 ( ; ; ) b b b b   là: 1, 1 1 2 2 3 3 . a b a b a b a b      2, . . .cos( , ) ab a b a b        +) . 0 a b a b        +) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos( , ) . . a b a b a b a b a b a b a a a b b b               TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1) * Định lý 4: Tích có hướng của 2 véc tơ: 1 2 3 ( ; ; ) a a a a   , 1 2 3 ( ; ; ) b b b b   là: 3 32 1 1 2 3 3 2 1 1 2 ; ; ; a a a a a a ab b b b b b b               +) Nếu a  cùng phương b  ; 0 a b          +) , sin( , ) . a b a b a b            * Định lý 5: Các ứng dụng: 1, 1 ; 2 ABC S AB AC         2, ; hbhABCD S AB AD        3, 1 ; . 6 ABCD V AB AC AD         4, ' ' ' ' ; . ' ABCDA B C D V AB AD AA         5, , , a b c    đồng phẳng ; . 0 a b c          6, a  cùng phương , . 0 b a b c           7, ; a b a b c a c                    III. PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG, MẶT TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trình mặt cầu a. Phương trình tổng quát: x 2 +y 2 +z 2 +2Ax+2By+2Cz+D=0 điều kiện A 2 +B 2 +C 2 -D>0 Tâm I(-A, -B, -C), Bán kính R= DCBA  222 b. Phương trình chính tắc: (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z-z 0 ) 2 = R 2 Tâm I(x 0 ;y 0 ;z 0 ), bán kính R 2. Phương trình mặt phẳng a. Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 +B 2 +C 2  0) Véc tơ pháp tuyến (véc tơ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) ký hiệu n  (A;B;C) b. Phương trình tham số:         sctczz sbtbyy sataxx 210 210 210 với s, t là tham số Có 2 véc tơ chỉ phương (nằm trên mặt phẳng hoặc nằm trên đường thẳng // với mặt phẳng, chúng không cộng tuyến nhau) ký hiệu );;();;;( 22221111 cbaucbau   3. Phương trình đường thẳng a. Phương trình tổng quát:      0 0 2112 1111 DzCyBxA DzCyBxA Véc tơ chỉ phương   21 ,nnu     với   1111 ;; CBAn  ,   2221 ;; CBAn  TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1) b. Phương trình tham số         ctzz bt yy atxx 0 0 0 Véc tơ chỉ phương   cbau ;;  và điểm   000 ;; zyxM thuộc đường thẳng, t là tham số c. Phương trình chính tắc: c zz b yy a xx 000      Véc tơ chỉ phương   cbau ;;  và điểm   000 ;; zyxM thuộc đường thẳng IV. BÀI TẬP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. Các đường thẳng đặc biệt 1. Đường thẳng đi qua 2 điểm A, B: AB A AB A AB A zz zz yy yy xx xx         2. ĐT đi qua gốc toạ độ:         ctz bty atx 3. Trục Ox:         0 0 z y tx 4. Đường thẳng //Oz: 0 0 x x y y z t         B. CÁC BÀI TẬP 1. Lập  qua M(2;3;-5) // với d         tz ty tx 1 1 2 2. ĐH khối B năm 2004: Lập  qua A(-4;-2;4) vuông góc với d         tz ty tx 41 1 23 và cắt d 3. ĐH khối D năm 2006: Lập  qua A(1;2;3), vuông góc với d 1 1 3 1 2 2 2       zyx và cắt d 2 : 1 1 2 1 1 1       zyx 4. ĐH khối D năm 2011: Lập  qua A(1;2;3) vuông với d 2 3 1 2 1     zyx , và cắt Ox 5. Lập  qua A(0;1;1) vuông góc d 1 : 1 1 2 8 1 zyx     và d 2 : 5 3 2 1 3 1       zyx 6. Cho 2 đường thẳng : d 1 : 2 4 1 2 1       zyx , d 2 : 1 10 1 6 2 8       zyx Viết đường thẳng d song song với Ox và cắt d 1 tại M, cắt d 2 tại N. Tìm tọa độ M, N. 7. Lập d qua gốc toạ độ cắt cả d 1 : 2 3 2 2 3 1       zyx và d 2 :         3 1 z ty tx 8. ĐH khối D năm 2009: Cho đường thẳng d: 1 1 2 1 2      zyx và mặt phẳng TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1) (P): x+2y-3z+4=0. Viết đường thẳng  nằm trong (P), vuông và cắt d 9. Cho đường thẳng d: 3 2 1 2 1     zyx và mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0. Viết đường thẳng  nằm trong (P), qua giao của d, (P) 10. Cho mặt phẳng (P): x-4y-2z=0 và 2 đường thẳng d 1 : 2 1 1 2 3 1      zyx và d 2 :.         tz ty tx 24 2 32 Chứng minh rằng 2 đường thẳng d 1 và d 2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P), cắt d 1 và vuông góc với d 2 11. Cho (d)         tz ty tx 3 22 31 D:         tz ty sx 31 22 3 lập phương trình đường vuông góc chung 12. Cho A(4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;1). Lập phương trình đường vuông góc chung AB và OC 13. (P): x+2y+3z+4=0, D: 1 1 4 2 3 2      zyx . Tìm hình chiếu vuông góc (D) của lên (P) 14. (d 1 ): 3 1 2 1 7 3       zyx , (d 2 ): 1 9 2 3 1 7       zyx . Lập d đối xứng d 2 qua d 1 15.  : 3 2 1 1 2 1      zyx , (P): x-y-z-1=0, A(1;1;-2). Lập d qua A vuông góc với  và//(P) 16. D:         tz ty tx 1 2 , d: 15 3 2 1 1 1       zyx , (P): x+y+z-1=0. Viết D ’ //(P) cắt D và d 17. d 1 : 1 1 2 8 1 zyx     , d 2 :      01 02 x zyx và A(0;1;1). Lập d qua A và vuông với d 1 , d 2 18. Viết d qua A(3;-2;-4), // với (P): 3x - 2y - 3z – 7 = 0, cắt đường thẳng 2 1 2 4 3 2      zyx 19. Cho d: 3 2 1 1 2 1      zyx , (P): x – y – z – 1 = 0, A(1;1;-2). Lập  qua A  với d và//(P) 20. ĐH khối A năm 2007: Cho d 1 : 1 2 1 1 2      zyx , (P): 7x+y-4z=0, d 2         3 1 21 z ty tx CMR d 1 và d 2 chéo nhau. Lập d vuông với (P): cắt d 1 , d 2 21. ĐH khối A, A 1 năm 2012: Cho d: 1 2 1 2 1    zyx , mặt phẳng (P): x + y – 2 z + 5 = 0 và điểm A(1;-1;2). Viết  cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn MN. . tích trong không gian (Bài 1) I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TRONG KHÔNG GIAN . x’Ox: trục hoành . y’Oy: trục tung . z’Oz: trục cao . O : gốc tọa độ a a a a a e a e a e           II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VÉC TƠ * Định lý 1: Nếu 1 2 3 ( ; ; ) a a a a   và 1 2 3 (