Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 1 I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x 2 – 3x + x 1 ĐS. F(x) = Cx xx  ln 2 3 3 23 2. f(x) = 2 4 32 x x  ĐS. F(x) = C x x  3 3 2 3 . f(x) = 2 1 x x  ĐS. F(x) = lnx + x 1 + C 4. f(x) = 2 22 )1( x x  ĐS. F(x) = C x x x  1 2 3 3 5. f(x) = 43 xxx  ĐS. F(x) = C xxx  5 4 4 3 3 2 4 5 3 4 2 3 6. f(x) = 3 21 xx  ĐS. F(x) = Cxx  3 2 32 7. f(x) = x x 2 )1(  ĐS. F(x) = Cxxx  ln4 8. f(x) = 3 1 x x  ĐS. F(x) = Cxx  3 2 3 5 9. f(x) = 2 sin2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan 2 x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos 2 x ĐS. F(x) = Cxx  2sin 4 1 2 1 12. f(x) = (tanx – cotx) 2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13. f(x) = x x 22 cos . sin 1 ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 14. f(x) = x x x 22 cos . sin 2cos ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = Cx  3cos 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx  cos5cos 5 1 17. f(x) = e x (e x – 1) ĐS. F(x) = Cee xx  2 2 1 18. f(x) = e x (2 + ) cos 2 x e x ĐS. F(x) = 2e x + tanx + C 19. f(x) = 2a x + 3 x ĐS. F(x) = C a a xx  3 ln 3 ln 2 20. f(x) = e 3x+1 ĐS. F(x) = Ce x  13 3 1 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x 2 + x + 3 Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 2 2. f’(x) = 2 – x 2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 1 3 2 3  x x 3. f’(x) = 4 xx  và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 3 40 2 3 8 2  xxx 4. f’(x) = x - 2 1 2  x và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 2 3 2 1 2 2  x x x 5. f’(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x 4 – x 3 + 2x + 3 6. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(', 2  fff x b ĐS. f(x) = 2 51 2 2  x x II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I =  dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) dxxudt )('    I =    dttfdxxuxuf )()(')].([ BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1.   dxx )15( 2.   5 )23( x dx 3. dxx   25 4.  12x dx 5.   xdxx 72 )12( 6.   dxxx 243 )5( 7. xdxx .1 2   8.   dx x x 5 2 9.   dx x x 3 2 25 3 10.   2 )1( xx dx 11. dx x x  3 ln 12.   dxex x 1 2 . 13.  xdxxcossin 4 14.  dx x x 5 cos sin 15.  gxdxcot 16.  x tgxdx 2 cos 17.  x dx sin 18.  x dx cos 19.  tgxdx 20.  dx x e x 21.   3 x x e dxe 22.  dx x e tgx 2 cos 23.   dxx .1 2 24.   2 4 x dx 25.   dxxx .1 22 26.   2 1 x dx 27.   2 2 1 x dxx 28.    1 2 x x dx 29.  xdxx 23 sincos 30. dxxx .1   31.   1 x e dx 32. dxxx .1 23   2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I    dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay    vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1.  xdxx sin. 2.  xdxxcos 3.   xdxx sin)5( 2 4   xdxxx cos)32( 2 Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 3 5.  xdxx 2sin 6.  xdxx 2cos 7.  dxex x . 8.  xdxln 9.  xdxxln 10. dxx  2 ln 11.  x xdxln 12.  dxe x 13.  dx x x 2 cos 14.  xdxxtg 2 15.  dxxsin 16.   dxx )1ln( 2 17.  xdxe x cos. 18.  dxex x 2 3 19.   dxxx )1ln( 2 20.  xdx x 2 21.  xdxxlg 22.   dxxx )1ln(2 23.   dx x x 2 )1ln( 24.  xdxx 2cos 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1. 1 3 0 ( 1) x x dx    2. 2 2 1 1 1 ( ) e x x dx x x     2. 3 1 2 x dx   3. 2 1 1 x dx   4. 2 3 (2sin 3 ) x cosx x dx      5. 1 0 ( ) x e x dx   6. 1 3 0 ( ) x x x dx   7. 2 1 ( 1)( 1) x x x dx     8. 2 3 1 (3sin 2 ) x cosx dx x      9. 1 2 0 ( 1) x e x dx    10. 2 2 3 1 ( ) x x x x dx    11. 2 1 ( 1)( 1) x x x dx     12. 3 3 1 x 1 dx ( ).    13. 2 2 2 -1 x.dx x   14. 2 e 1 7x 2 x 5 dx x    15. x 2 5 2 dx x 2     16. 2 2 1 x 1 dx x x x ( ). ln    17. 2 3 3 6 x dx x cos . sin    18. 4 2 0 tgx dx x . cos   19. 1 x x x x 0 e e e e dx      20. 1 x x x 0 e dx e e .    21. 2 2 1 dx 4x 8x   Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 4 22. 3 x x 0 dx e e ln .    22. 2 0 dx 1 x sin    24.    1 1 2 )12( dxxx 25.   2 0 3 ) 3 2 2( dxxx 26.    2 2 )3( dxxx 27.    4 3 2 )4( dxx 28. dx xx         2 1 32 11 29.   2 1 3 2 2 dx x xx 30.  e e x dx 1 1 31.  16 1 .dxx 32. dx x xx e   2 1 752 33. dx x x           8 1 3 2 3 1 4 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1. 2 3 2 3 sin xcos xdx    2. 2 2 3 3 sin xcos xdx    3. 2 0 sin 1 3 x dx cosx    3. 4 0 tan xdx   4. 4 6 cot gxdx    5. 6 0 1 4sin xcosxdx    6. 1 2 0 1 x x dx   7. 1 2 0 1 x x dx   8. 1 3 2 0 1 x x dx   9. 1 2 3 0 1 x dx x   10. 1 3 2 0 1 x x dx   11. 2 3 1 1 1 dx x x   12. 1 2 0 1 1 dx x  13. 1 2 1 1 2 2 dx x x     14. 1 2 0 1 1 dx x   15. 1 2 2 0 1 (1 3 ) dx x  16. 2 sin 4 x e cosxdx    17. 2 4 sin cosx e xdx    Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 5 18. 2 1 2 0 x e xdx   19. 2 3 2 3 sin xcos xdx    20. 2 sin 4 x e cosxdx    21. 2 4 sin cosx e xdx    22. 2 1 2 0 x e xdx   23. 2 3 2 3 sin xcos xdx    24. 2 2 3 3 sin xcos xdx    25. 2 0 sin 1 3 x dx cosx    26. 4 0 tgxdx   27. 4 6 cot gxdx    28. 6 0 1 4sin xcosxdx    29. 1 2 0 1 x x dx   30. 1 2 0 1 x x dx   31. 1 3 2 0 1 x x dx   32. 1 2 3 0 1 x dx x   33. 1 3 2 0 1 x x dx   34. 2 3 1 1 1 dx x x   35. 1 1 ln e x dx x   36. 1 sin(ln ) e x dx x  37. 1 1 3ln ln e x x dx x   38. 2ln 1 1 e x e dx x   39. 2 2 1 ln ln e e x dx x x   40. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x  41. 2 1 1 1 x dx x   42. 1 0 2 1 x dx x   43. 1 0 1 x x dx   44. 1 0 1 1 dx x x    45. 1 0 1 1 dx x x    46. 3 1 1 x dx x   46. 1 1 ln e x dx x   47. 1 sin(ln ) e x dx x  48. 1 1 3ln ln e x x dx x   Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 6 49. 2ln 1 1 e x e dx x   50. 2 2 1 ln ln e e x dx x x   51. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x  52. 1 2 3 0 5   x x dx 53.   2 4 0 sin 1 cos  x xdx  54. 4 2 0 4 x dx   55. 4 2 0 4 x dx   56. 1 2 0 1 dx x   57. dxe x    0 1 32 58.   1 0 dxe x 59. 1 3 0 x dx (2x 1)   60. 1 0 x dx 2x 1   61. 1 0 x 1 xdx   62. 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6     63. 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4     64. 3 3 2 0 x dx x 2x 1    65. 6 6 6 0 (sin x cos x)dx    66. 3 2 0 4sin x dx 1 cosx    67. 4 2 0 1 sin2x dx cos x    68. 2 4 0 cos 2xdx   69. 2 6 1 sin2x cos2x dx sinx cosx       70. 1 x 0 1 dx e 1   . 71. dxxx )sin(cos 4 0 44    72.   4 0 2sin21 2cos  dx x x 73.   2 0 13cos2 3sin  dx x x 74.   2 0 sin25 cos  dx x x 75.     0 2 2 32 22 dx xx x 76.     1 1 2 5 2 x x dx 77. 2 3 2 0 cos xsin xdx   78. 2 5 0 cos xdx   Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 7 79. 4 2 0 sin4x dx 1 cos x    80. 1 3 2 0 x 1 x dx   81. 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx    82. 4 4 0 1 dx cos x   83. e 1 1 lnx dx x   84. 4 0 1 dx cosx   85. e 2 1 1 ln x dx x   86. 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx   87. 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x     88. 3 4 0 tg x dx cos2x  89. 4 0 cos sin 3 sin2 x x dx x     90.   2 0 22 sin4cos 2sin  dx xx x 91.    5ln 3ln 32 xx ee dx 92.   2 0 2 )sin2( 2sin  dx x x 93.  3 4 2sin )ln(   dx x tgx 94.   4 0 8 )1(  dxxtg 95.    2 4 2sin1 cossin   dx x xx 96.    2 0 cos31 sin2sin  dx x xx 97.   2 0 cos1 cos2sin  dx x xx 98.   2 0 sin cos)cos(  xdxxe x 99.   2 1 11 dx x x 100.   e dx x xx 1 lnln31 101.    4 0 2 2sin1 sin21  dx x x 102. 1 2 0 1 x dx   103. 1 2 0 1 dx 1 x  104. 1 2 0 1 dx 4 x  105. 1 2 0 1 dx x x 1    106. 1 4 2 0 x dx x x 1    107. 2 0 1 1 cos sin dx x x     108. 2 22 2 0 x dx 1 x  109. 2 2 2 1 x 4 x dx   110. 2 3 2 2 1 dx x x 1   Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 8 101. 3 2 2 1 9 3x dx x   112. 1 5 0 1 (1 ) x dx x    113. 2 2 2 3 1 1 dx x x   114. 2 0 cos 7 cos2 x dx x    115. 1 4 6 0 1 1 x dx x    116. 2 0 cos 1 cos x dx x    117.     0 1 2 2 2 x x dx 118.   1 0 311 x dx 119.    2 1 5 1 dx x xx 120. 8 2 3 1 1 dx x x   121. 7 3 3 2 0 1 x dx x  122. 3 5 2 0 1 x x dx   123. ln2 x 0 1 dx e 2   124. 7 3 3 0 1 3 1 x dx x    125. 2 2 3 0 1 x x dx   126.   32 5 2 4xx dx II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a x d u x v x v x u x dx     Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv @ Dạng 1 sin ( ) ax ax f x cosax dx e              ( ) '( ) sin sin cos ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e                                         @ Dạng 2: ( )ln( ) f x ax dx    Đặt ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x dv f x dx v f x dx               @ Dạng 3: sin .        ax ax e dx cosax   Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 9 Ví dụ 1: tính các tích phân sau a/ 1 2 2 0 ( 1) x x e dx x   đặt 2 2 ( 1) x u x e dx dv x         b/ 3 8 4 3 2 ( 1) x dx x   đặt 5 3 4 3 ( 1) u x x dx dv x         c/ 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) dx x x dx x dx dx I I x x x x                Tính I 1 1 2 0 1 dx x    bằng phương pháp đổi biến số Tính I 2 = 1 2 2 2 0 (1 ) x dx x   bằng phương pháp từng phần : đặt 2 2 (1 ) u x x dv dx x         Bài tập 1. 3 3 1 ln e x dx x  2. 1 ln e x xdx  3. 1 2 0 ln( 1) x x dx   4. 2 1 ln e x xdx  5. 3 3 1 ln e x dx x  6. 1 ln e x xdx  7. 1 2 0 ln( 1) x x dx   8. 2 1 ln e x xdx  9. 2 0 ( osx)sinx x c dx    10. 1 1 ( )ln e x xdx x   11. 2 2 1 ln( ) x x dx   12. 3 2 4 tan x xdx    13. 2 5 1 ln x dx x  14. 2 0 cos x xdx   15. 1 0 x xe dx  16. 2 0 cos x e xdx   Tính các tích phân sau 1)  1 0 3 . dxex x 2)   2 0 cos)1(  xdxx 3)   6 0 3sin)2(  xdxx 4)  2 0 2sin.  xdxx Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt www.Maths.edu.vn 10 5)  e xdxx 1 ln 6)   e dxxx 1 2 .ln).1( 7)  3 1 .ln.4 dxxx 8)   1 0 2 ).3ln(. dxxx 9)   2 1 2 .).1( dxex x 10)   0 .cos. dxxx 11)  2 0 2 .cos.  dxxx 12)   2 0 2 .sin).2(  dxxxx 13) 2 5 1 lnx dx x  14) 2 2 0 x cos xdx   15) 1 x 0 e sinxdx  16) 2 0 sin xdx   17) e 2 1 x ln xdx  18) 3 2 0 x sinx dx cos x    19) 2 0 xsinx cos xdx   20) 4 2 0 x(2cos x 1)dx    21) 2 2 1 ln(1 x) dx x   22) 1 2 2x 0 (x 1) e dx   23) e 2 1 (x lnx) dx  24) 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx    25) 2 1 ln ( 1) e e x dx x   26) 1 2 0 xtg xdx  27)   1 0 2 )2( dxex x 28)   1 0 2 )1ln( dxxx 29)  e dx x x 1 ln 30)   2 0 3 sin)cos(  xdxxx 31)   2 0 )1ln()72( dxxx 32)   3 2 2 )ln( dxxx III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1.    5 3 2 23 12 dx xx x 2.   b a dx bxax ))(( 1 3.    1 0 3 1 1 dx x xx 4. dx x xx    1 0 2 3 1 1 5.   1 0 3 2 )13( dx x x 6.   1 0 22 )3()2( 1 dx xx 7.    2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x 8.     0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx 9.   3 2 22 4 )1( dx x x 10.    1 0 2 32 )1( dx x x n n 11.    2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x 12.   2 1 4 )1( 1 dx xx 13.   2 0 2 4 1 dx x 14.   1 0 4 1 dx x x 15. dx xx   2 0 2 22 1 16.   1 0 32 )1( dx x x 17.   4 2 23 2 1 dx xxx 18.    3 2 3 2 23 333 dx xx xx 19.    2 1 4 2 1 1 dx x x 20.   1 0 3 1 1 dx x [...]... = 2 Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đường thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dưới 0x bằng nhau x x 3 Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y o x 1 y 0 Có hai phần diện tích bằng nhau Bài 4:... bởi y o x 1 y 0 Có hai phần diện tích bằng nhau Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần x 2 2ax 3a 2 y 1 a4 Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Tìm a để diện tích 2 y a ax 1 a4 lớn nhất Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau: x2 y 4 4 1) (H1): 2 y x 4 2 y x 2 4) (H4): x y y x 2 4x 3 2) (H2) :... a Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: a a f ( x) dx [ f ( x) f ( x)]dx 0 3 3 Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- ; ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 2 2 2 cos 2 x , 3 2 Tính: f ( x)dx 3 2 1 x 4 sin x dx 2 1 1 x +) Tính a Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: f ( x)dx = 0 a 2 1 Ví dụ: Tính: ln( x 1 x 2 )dx 1 cos x ln( x 1 x 2 )dx 2 a Bài. .. cos x dx 4 sin 2 x a Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: a f ( x) a1 b x dx f ( x)dx 0 (1 b>0, a) 2 3 x2 1 Ví dụ: Tính: dx x 3 1 2 sin x sin 3 x cos 5 x dx 1 ex 2 Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; ], thì 2 2 2 f (sin x) f (cos x)dx 0 0 2 Ví dụ: Tính 2 sin 2009 x sin 2009 x cos 2009 x dx 0 0 sin x sin x cos x Bài toán 5: Cho f(x) xác... xác định trên [-1; 1], khi đó: xf (sin x)dx 0 Ví dụ: Tính b Bài toán 6: a x 1 sin x dx 0 f (a b x)dx f ( x) dx a f (sin x) dx 2 0 x sin x 2 cos x dx 0 b b 0 b f (b x) dx f ( x) dx www.Maths.edu.vn 16 0 dx Nguyn c Chc Trung tõm LT & BDVH Star 47 BTX Lt Ví dụ: Tính 4 x sin x 1 cos 0 2 x sin 4 x ln(1 tgx)dx dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T... sin 4 x ln(1 tgx)dx dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: a T a T nT f ( x)dx f ( x) dx 0 0 T f ( x) dx n f ( x) dx 2008 Ví dụ: Tính 1 cos 2 x dx 0 Các bài tập áp dụng: 1 1 1 1 3 (1 e 1 x cos 2 x ln( 1 2 2 7 2 2 1 x )dx 1 x sin 5 x 1 cos x dx )(1 x 2 ) 1 2 5 4 1 x2 dx 1 2x 4 2 4 x 7 x 5 x3 x 1 dx cos 4 x x cos x dx 2 x 4 sin 2 2 6... 41) y sin 2 x x 42) 2 43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp 2 27 y 8( x 1) 0 x tuyến đi qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đường thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất y x3 2x 2 4x 3 45) y 0 TNH TH TCH VT TH TRềN XOAY Cụng thc: O y xa a x b (C ) : y f ( x) y0 x b y b x0 a y b (C ) : x f ( y) ya x O www.Maths.edu.vn . PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a x d u x v x v x u x dx     Tích phân. diện tích bằng nhau Bài 4: (p): y 2 =2x chia hình phẳng giới bởi x 2 +y 2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích