Đang tải... (xem toàn văn)
Tỏng hợp cong thức toán cần nhớ cấp 3
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 CĂN BẬC HAI A A A B A B (B 0) A B A B 10) A B (B>0) B C A B A B AB A B (A0, B0 ) A B B A B (A0, B0) A B (A 0, B>0) A B A B (A0: x A x A A A = vaø B : vô nghiệm A = B < : vô số nghiệm (x R) NHỚ : ax by c 1/ Dạng : / / / a x b y c 2/ Cách giải : D a b / ab / HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI AÅN SOÁ ab / a / b ; Dx x D : hệ có nghiệm y c b / cb / Dx D Dy D cb / c / b ; D y a c / ac / ac / a / c Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 D = Dx Hệ vô nghiệm D = vaø Dy D = Dx = Dy = : Hệ vô số nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/ >0 NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN ax + bx + c = ( a 0) = b – 4ac b b , x2 2a 2a b =0 Nghiệm kép x1 x 2a b / / b / / , x2 x1 a a / =0 b/ Nghiệm kép x1 x a / < Vô nghiệm c c Chú ý: a + b + c = : Nghieäm x1 = 1, x2 = a – b + c = : Nghieäm x1 = –1, x2 = a a x1 Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) có b2 4ac f(x) = có hai nghiệm ;f(x) = có nghiệm kép ; f(x) = vô nghiệm a f(x) = có hai nghiệm trái dấu P a f(x) = có hai nghiệm âm S P a f(x) = có hai nghiệm dấu P a f(x) = có hai nghiệm dương S P a a f(x) > x f(x) x a a f(x) < x f(x) x a f(x) > vô nghiệm f(x) 0x a f(x) < vô nghiệm f(x) 0x a f(x) vô nghiệm f(x) 0x a f(x) vô nghiệm f(x) 0x Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 NHỚ : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a 0) b x – + a f(x) Trái dấu a dấu a NHỚ : DẤU TAM THỨC f(x) = ax + bx + c ( a 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) Thì f(x) > 0, x Neáu a a a f(x) < 0, x f(x) > 0, >0 b 2a f(x) < 0, a x x b 2a x – x1 x2 f(x) dấu a trái dấu a + dấu a Hoặc : 0 f(x) = ax bx c (a 0) a.f(x) > 0, x R b a.f(x) > 0, x R \ 2a a.f(x) > 0, x (–∞ ; x1) (x2; +∞ ) a.f(x) < 0, x (x1; x2) NHỚ : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) , hai số thực( ) 1/ x1 < < x2 af(x) < 2/ x2 > x1 > af ( ) 3/ x1 < x2 < S 2 af ( ) af ( ) 4/ x1< < < x2 5/ x1< < x2 P 3/ x1 < x2 < P S S NHỚ : 1/ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN B 2/ AB 2K A B g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) 2K NHỚ : 1/ 2K 2K A B A 2K B A 0(hayB 0) f ( x ) (hoaëc g( x ) 0) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A A B B 2/ 2K A B 2K B A AB 3/ B A B K PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A B A B B 1/ A B 2/ A B Chú ý: A B A B B NHỚ 10 : B A B 1/ A B B A B A B K 1 g( x ) f ( x ) f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x )2 f ( x) f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x )2 NHỚ : K 1 f ( x) g ( x) x f ( x ) g ( x) f ( x) g ( x) x BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ÑOÁI B A B 2/ A B B A B B A neáu A A ; A A , A A neáu A 3/ A B A B Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/ ĐỊNH NGHĨA : Daïng : A > B, A B , A < B, A B 2/ TÍNH CHẤT : a b ac bc, c a) a b b a ; b) a c ; c) a b a c b c ;d) a b b c ac bc, c 1 a b ab ab0 e) a c b d ;f) ac bd ;g) a b c d c d 1 a b ; ab ; ab 3/ BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an a a a a n n a a a a n n n a a a a n Hay a1a a .a n n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = a3 = = an Cô si cho số không âm: a, b : a b ab Dấu “=” xảy a b Tính chất: Cho số không âm a, b Nếu a b số a.b đạt giá trị lớn a b Nếu a.b số (a b) đạt giá trị nhỏ a b 4/ BÑT Bunhia Coâp ski : Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn số tực ñoù: 2 2 2 ( a1b1 a b2 a n bn ) ( a1 a a n )(b1 b2 bn ) Dấu đẳng thức xảy = k.bi , i = , , 3, , n 5/ BÑT BecnuLi : a Cho : a > –1, n N.Ta coù : (1 + a)n + na Đẳng thức xảy n 6/ BĐT tam giác : A B A B Đẳng thức xảy AB NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) sinx cosx 1/ sin x cos x 2/ tanx 3/ cotx cosx sinx 1 4/ tanx.cotx 5/ tan x 6/ cot x cos x sin x Điều kiện tồn : tanx laø(x / + k , k Z) cotx laø (x k , k Z) sinx laø – Sinx cosx – Cosx Chú ý : a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) B CÔNG THỨC CỘNG ( công thức ): Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 7/ cos(a b) cos a.cosb sin a.sinb 8/ cos (a b) cos a.cosb sin a.sinb 9/ sin(a b) sin a.cosb cos a.sinb 10/ sin(a b) sin a.cosb cosa.sinb tana tanb tana tanb 11/ tan ( a b) 12/ tan ( a b) tan a.tanb tana.tanb cot a.cotb cot acotb 13/ cot ( a b) 14/ cot ( a b) cota cotb cota cotb C CÔNG THỨC NHÂN: I NHÂN ĐÔI : ( công thức) 15/ sin 2a sin a.cosa 16/ cos 2a 2cos a sin a cos a sin 2a 2tana 17/ tan 2a tan a II NHAÂN BA : ( công thức) 18/ Cos3a 4Cos a 3Cosa 19/ Sin3a 3Sina Sin a 20/ Tan3a 3Tana Tan a 3Tan a III HẠ BẬC : ( công thức) Cos 2a 21/ Sin a Cos 2a Sin a Cos 2a 22/ Cos a Cos 2a 2Cos a 3Sina Sin3a 3Cosa Cos3a 23/ Sin a 24/ Cos a 4 x IV GÓC CHIA ĐÔI : ( công thức) với t Tan 2 2t 1 t 2t 25/ Sinx 26/ Cosx , 27/ Tanx 2 1 t 1 t 1 t2 D TỔNG THÀNH TÍCH : ( công thức) ab a b ab ab 28/ Cosa Cosb 2Cos Cos 29/ Cosa Cosb 2 Sin Sin 2 2 ab ab ab ab 30/ Sina Sinb Sin Cos 31/ Sina Sinb 2Cos Sin 2 2 Sin( a b) Sin( a b ) 32/ Tana Tanb 33/ Tana Tanb CosaCosb CosaCosb Sin(a b) Sin(a b ) 34/ Cota Cotb 35/ Cota Cotb SinaSinb SinaSinb E TÍCH THÀNH TỔNG : ( công thức) 1 36/ CosaCosb Cosa b Cos (a b) 37/ SinaSinb Cos (a b) Cos ( a b) 2 38/ SinaCosb Sin( a b ) Sin( a b) Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 CHÚ Ý: x x x x cos ) ;1 sin x sin cos 2 2 x x cos x 2sin x;1 cos x cos x;1 cos x cos ;1 cos x 2sin 2 sin x cos x sin x cos x ;sin x cos x sin x ; cos x sin x cos x 4 4 4 4 sin x cos x cos x 2sin x ; sin x cos x 2sin x cos x 6 3 6 3 sin x sin x cos x ;1 sin x (sin x cos x) ;1 sin x (sin F CUNG LIÊN KẾT : Góc đối Góc bù cos( ) cos sin( ) sin sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan tan( ) tan cot( ) cot cot( ) cot Góc Góc phụ sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 Góc sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 G Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt: 2 3 3 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 2 3 2 –1 cos 2 2 –1 tan 3 3 3 cot NHỚ 13 : 2 –1 3 –1 0 PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A CƠ BẢN : u v k 2 kZ u v k 2 Cosu = Cosv u v k 2 Tanu = Tanv u v k Cotu = Cotv u v k Sinu = u k Sinu = u / k 2 Sinu = –1 u / k 2 Cosu = u / k Cosu = u k 2 Cosu = – u k 2 B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin Cos Dạng: aSinx + bCosx = c (1) ( a2 + b2 ) Phương pháp : a b Cách 1: Chia hai vế cho a b Đặt : Cos ; Sin 2 a b a b2 Sinu = Sinv (1) Sin( x ) c a b (*) (*) Có nghiệm : (*) Vô nghiệm c 2 1 a b2 c2 a b a2 b2 c2 Cách 2: Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải nghiệm phương trình hay không? Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 2t 1 t2 x Xét x (2k + 1) Đặt : t Tan Theá Sinx ; Cosx 1 t2 1 t Vào phương trình (1) t ? x ? C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/ Đối với hàm số lượng giác: Giả sử a aSin x bSinx c ( đặt t Sinx , t ) aCos x bCosx c (đặt t Cosx , t ) k ) aCot x bCotx c ( đặt t Cotx , x k ) aTan x bTanx c ( đặt t Tanx , x 2/ Phương trình đẳng cấp Sinx, Cosx Daïng: aSin x bSinxCosx cCos x (1) aSin x bSin xCosx cSinxCos x dCos x (2) Phương pháp : Cách 1: Kiểm x = / + k có phải nghiệm phương trình ? Chia hai vế cho Cos2x ( daïng 1), chia Cos3x ( daïng 2) để đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai, bậc ba Tanx Cách 2: Sin 2x Dạng (1) sử dụng công thức hạ bậc SinxCosx vào 3/ Phương trình đối xứng Sinx, Cosx: Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = (*) Phương pháp: Ñaët : t Sinx Cosx Sin( x ), t t 1 (*) at b c t ( có) x Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = (*) giaûi tương tự : Đặt : t Sinx Cosx Sin( x ), t 1 t2 (*) at b c0 t ? ( có) x ? D PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 1/ Tổng bình phương : A2 + B2 + + Z2 = A = B = = Z = A 0, B 0, , Z Ta coù : A + B + + Z = A = B = .= Z = 2/ Đối lập : A K A K Giả sử giải phương trình A = B(*) Nếu ta chứng minh (*) B K B K A l 3/ B k A B l k A l B k A A 1 AB hay B B 1 NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIAC 4/ A 1, B Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 1.TAM GIAÙC THƯỜNG ( định lý) a b c 2bcCosA Hàm số Cosin b2 c2 a2 CosA 2bc a b c 2R SinA SinB SinC Haøm soá Sin a a RSinA, SinA 2R A B Tan ab Hàm số Tan A B ab Tan a bCosC cCosB Các chiếu 2(b c ) a A 2bc.Cos bc 1 aha bhb chc 2 1 bcSinA acSinB abSinC 2 pr abc 4R p ( p a )( p b )( p c) Trung tuyeán ma Phân giác la S S S S S Diện tích Chú yù: S A B C ( p a)Tan ( p b)Tan ( p c)Tan p 2 abc a b c R 4S SinA SinB SinC a, b, c : cạnh tam giác A, B, C: góc tam giác ha: Đường cao tương ứng với cạnh a ma: Đường trung tuyến vẽ từ A R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác abc p Nữa chu vi tam giác 2.HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUOÂNG: AH BH CH A AH BC AB AC 1 B C 2 H AH AB AC AB BH BC AC CH CB BC AB AC r 10 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 – Một VTPT () là: n a , b Dạng 10: () qua đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng ( ): – Xác định VTCP u (d) VTPT n ( ) – Một VTPT () là: n u , n – Lấy điểm M thuộc d M () Dạng 11: () qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( ), (): – Xác định VTPT n , n ( ) () – Một VTPT () là: n u , n Dạng 12: () qua đường thẳng (d) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: – Giả sử () có phương trình: Ax By Cz+D A2 B C – Lấy điểm A, B (d) A, B () (ta hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( )) k , ta phương trình (3) – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 13: () tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I bán kính R – Một VTPT () là: n IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xác định mặt phẳng học lớp 11 PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1.Phương trình ttham số đường thẳng : x x a 1t y y a t (t R) z z a t x x y y0 z z a1 a2 a3 Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a1;a ;a ) vectơ phương đường thẳng 2.Phương trình tắc đuờng thẳng : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1/ HAI ĐƯỜNG THẲNG : Cho đường thẳng: d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương ' ' ' d ' qua N ( x0 , y0 , z0 ) có Vectơ phương Nếu: u.v : u (u1 , u2 , u3 ) v (v1 , v2 , v3 ) Thay tọa độ điểm M vào đường thẳng d/,không thỏa d d / Thay tọa độ điểm M vào đường thẳng d/,thỏa d d / Nếu: u.v : u.v MN Thì d,d/ nằm mặt phẳng u.v MN Thì d,d/ chéo 29 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 2/ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương u (u1 , u , u3 ) mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyến n ( A, B, C ) a u M d // ( ) d caét ( ) u n u n M a1 : a2 : a3 A : B : C d d 3.MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU: Cho mặt phẳng ( ) Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R Nếu d I , R Thì mặt phẳng không cắt mặt cầu Nếu d I , R Thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm M Mặt phẳng ( ) gọi mặt phẳng tiếp diện.(Cách tìm M: viết phương trình đường thẳng qua I vuông góc , M ) Nếu d I , R Thì mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM H VA BÁN KÍNH r CỦA ĐƯỜNG TRÒN (C) Lập phương trình đường thẳng (d) qua I H d r R IH Ø VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2) I1I R1 R2 (S1), (S2) I1I R1 R2 (S1), (S2) tiếp xúc I1I R1 R2 (S1), (S2) I1I R1 R2 (S1), (S2) tiếp xúc R1 R2 I1I R1 R2 (S1), (S2) cắt theo đường trịn 5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG: (): A1 x B1y C1z D1 Cho hai mặt phẳng (), ( ) có phương trình: ( ): A2 x B2 y C2 z D2 (), () cắt A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 () // () A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 () () D2 () () A1 A2 B1B2 C1C2 30 A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 KHOẢNG CÁCH : 1/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng :Ax + By + Cz + D = d M , Ax0 By0 Cz0 D A2 B C 2/ Khoảng cách từ điểm M(x0 , y0, z0) đến đường thẳng d Điểm N d có véc tơ phương u 3/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ : u.MN d M , d u u , v MN d d ,d / u , v Với M d , N d / u , v véctơ phương d,d/ Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng GÓC 1.GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: : A1 x B1 y C1 z D1 VTPT n1 A1 , B1 , C1 Cho mặt phẳng: : A2 x B2 y C2 z D2 VTPT n1 A2 , B2 , C2 n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1C2 Gọi góc mặt phẳng: cos 2 2 n1 n2 A1 B12 C12 A2 B2 C2 2.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: Cho hai đường thẳng: d1 có vtcp u1 a1 , b1 , c1 d2 coù vtcp u2 a2 , b2 , c2 u1 u2 a1a2 b1b2 c1c2 Gọi góc đường thẳng: cos 2 2 u1 u2 a1 b12 c12 a2 b2 c2 3.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: Cho đường thẳng d có VTCP u a, b, c Cho mặt phẳng (P) có VTPT n A, B, C u.n aA bB cC Gọi góc đường mặt: sin u n a b c A2 B C 31 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 Các dạng toán thường gặp: DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG GẶP Chứng minh điểm A;B;C thẳng hàng hay không thẳng hàng PHƯƠNG HƯỚNG GIÀI Lập véc tơ AB, AC Nếu hai vecto phương điểm thẳng hàng Nếu hai vecto khơng phương điểm khơng thẳng hàng hay lập thành tam giác Vẽ hình, kí hiệu xác Gọi D(x; y; z) Tìm D để tứ giác ABCD hình bình hành Tìm điểm cịn lại hình hộp Tìm C Ox để ABC tam giác cân C ABCD hbh AD BC Vẽ hình kí hiệu điểm xác Dùng vecto để tìm Gọi C x; 0;0 Ox ABC Tìm C Oxy để ABC cân C CA= CB CA CB CA AB Gọi C ( x; y;0) Oxy Tìm C Ox để ABC tam giác vuông C Gọi C x; 0;0 Ox Tìm chân đường cao A’ hạ từ A ABC Gọi A’(x;y;z) Tìm trực tâm H ABC Viết ptmp (ABC) Gọi H(x;y;z) ABC vuông C CA.CB AA/ BC Giải hệ: BA/ BC H ABC Giải hệ AH BC BH AC 10 Tìm M trục Ox cách A B Tìm M trục Oy cách A B Tìm M trục Oz cách A B Tìm M mpOxy cách điểm A, B, C Tìm M mpOxz cách điểm A, B, C Tìm M mpOyz cách điểm A, B, C Gọi M(x,0,0) giải MA = MB Gọi M(0,y,0) giải MA = MB Gọi M(0,0,z) giải MA = MB Gọi C x; y;0 xy Giải hệ MA=MB=MC Gọi C x; 0; z xz Giải hệ MA = MB = MC Gọi C 0; y; z Oyz Giải hệ MA=MB=MC 11 Tìm M mp(P) cách điểm A; B; C M P Gọi M(x;y;z) Giải hệ MA MB MA MC Phương trình mặt phẳng dạng tốn thường gặp Để viết pt măt phẳng có cách : Xác định điểm VTPT Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D Vậy sử dụng cách , sử dụng cách em phân biệt dạng đề sau: Dạng 1: Viết PT mp qua A(x0; y0 ;z0) có VTPT n =(A;B;C) 32 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 A( x - x0 ) + B(y - y0) + C(z - z0) = Ax + By + Cz + D = Dạng 2:Viết pt mặt phẳng qua A(x 0; y0 ;z0) // mp (Q) - Từ ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C) - Vì (P) // (Q) VTPT n P = n Q = (A;B;C) - PT mp (P) qua A có VTPT n P Dạng 3: Viết pt mp qua A(x0; y0 ;z0) vng góc với đường thẳng d - Từ (d) VTCP u d = (A;B;C) - Vì (P) vng góc với (d) Chọn VTPT n P= u d =(A;B;C) Viết ptmp (P) qua A có vtpt n P Dạng 4: Viết ptmp qua A (Q) , (R) - Từ pt mp (Q) (R) VTPT n Q ; VTPT n R - Vì (P) (Q) (R) VTPT n P nQ n P n R Chọn n P = [ n Q; n R] - Vậy pt mp (P) qua A có VTPT n P = [ n Q; n R] Dạng 5: Viết Pt mp (P) qua điểm A,B,C không thẳng hàng - PT mp (P) qua A có VTPT n P= a = [ AB , AC ] - Tính AB , AC a = [ AB , AC ] Dạng 6: Viết ptmp (P) qua A,B (Q) - Tính AB , vtpt n Q tính [ AB , n Q] - Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] - Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) qua A ; (Q) // với dt (d) - Tính VTPT n Q mp (Q); VTCP u d đường thẳng (d) - Tính [ u d, n Q] - Vì (P) (Q) // (d) nên VTPT n P = [ u d, n Q] - Từ viết PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) trung trực AB - Tình trung điểm I ABvà AB - Mp (P) qua I nhận AB làm VTPT Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) qua A - Tính VTCP u d đường thẳng (d) tìm điểm M (d) - Tính AM [ u d, AM ] - Ptmp (P) qua A có VTPT n P =[ u d, AM ] Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) // ( ) - Từ (d) VTCP u d điểm M (d) 33 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 - PT mp (P) qua M có VTPT n = [ u d, u ] - Từ ( ) VTCP u tính [ u d, u ] Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) (Q) - Từ (Q) VTPT n Q tính [ u d, n Q] - PT mp (P) qua M có VTPT n =[ u d, n Q] - Từ (d) VTCP u d điểm M (d) Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt mp (Q) , D DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) d(A,(P))=h - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0 - Từ (d) VTCP u d điểm M (d) - Vì (d) nằm (P) u d n P=0 (1) - PT mp (p) qua M: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) hợp với mp (Q) góc 900 - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0 - Vì d (P) u d n P=0 (1) - Từ (d) VTCP u d điểm M (d) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) 900 - Gọi VTPT mp (P) n P = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0 - Từ (d) VTCP u d điểm M (d) - Vì d (P) u d n P=0 (1) - Tính sin ((P),( )) (2) Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) hợp với đt( )một góc - Hệ (1) (2) tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 16: Cho A (d) , viết PT mp (P) chứa (d) cho d(A,(P)) lớn - Gọi H hình chiếu A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A(P)) max AK = AH K H - Viết PT mp (P) qua H nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt mp (Q) , D' DQ) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm D' 34 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 - Từ ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r diện tích S = r tính r - d(I,(P)) = R r (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt mp (Q) , D' DQ) - Suy d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm D' viết pt (P) Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Gọi VTPT mp (P) n P = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0 - Từ (d) VTCP u d điểm M (d) - d (P) u d n P=0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C PT mp(P) Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r ( diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) r tính r - Vì d (P) u d n P=0 (1) - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0, - Adct : Chu vi đường trịn C = 2 r diện tích S = chọn M đường thẳng d =>PT mp (P) qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C PT mp(P) Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính nhỏ (áp dụng trường hợp d cắt (S) điểm) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) R d ( I ,( p )) để r d(I,(P)) max - Gọi H hình chiếu I lên (d) ; K hình chiếu I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đường vng góc đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max AK = AH K H - Bán kính r = - PT mp(P) qua H nhận IH làm VTPT Phương trình đường thẳng dạng tốn thường gặp Có loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố PT ChínhTắc Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) có VTCP u =(a,b,c) 35 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 x x0 at PP: phương trình tham số đường thẳng d là: (d): y y0 bt với t R z z ct x x0 y y0 z z0 * Chú ý : Nếu a, b, c (d) có PT tắc a b c * Chú ý: Đây toán Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) cần phải biết yếu tố tọa độ điểm thuộc d toạ độ VTCP d Dạng 2: Viết pt dt(d) qua điểm A,B - Tính AB - Viết PT đường thăng qua A, nhận AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) qua A //với đường thẳng ( ) - Từ pt( ) VTCP u - Viết Pt dt(d) qua A nhận u làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) qua A (P) - Tìm VTPT mp(P) n P - Pt dt(d) qua A Có VTCP u d = n P Dạng 5: Viết Pt dt(d) qua A vng góc với dt (d 1),(d2) - Từ (d1),(d 2) VTCPd1, d 2là u1và u => tính [ u1 , u2 ] - Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ u1 , u2 ] - Pt dt(d) qua A có VTCP u d= [ u1 , u2 ] Dạng 6: Viết PT dt (d) giao tuyến mp: (P):Ax + By + Cz + D = (Q):A'x + B' y + C'z + D' = - Từ (P) (Q) n P , n Q - Tính [ n P , n Q] Ax + By + Cz +D =0 - Xét hệ ' ' ' ' A x B y C z D Chọn nghiệm (x0; y0 ;z0) từ M d - Pt dt(d) qua M có VTCP u d =[ n P , n Q] Dạng 7: Viết PT hình chiếu d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d vng góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P) (Q) Cách 2: + Tìm A = d ( P ) ( áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d xác định hình chiếu H M lên (P) + Viết phương trình d' qua M, H Dạng 8: Viết pt đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng d1, d2: Cách : * Viết pt mặt phẳng ( ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 36 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 * Tìm B = ( ) d * Đường thẳng cần tìm qua A, B Cách : - Viết pt mặt phẳng ( ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng ( ) qua điểm B chứa đường thẳng d2 - Đường thẳng cần tìm d = Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 cắt d2 , d Cách 1: - Viết phương trình mp (P) song song d chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( P) (Q) Cách 2: Chuyển d2,d3 dạng tham số Gọi M d1 d , N d1 d M d , N d theo tham số t2,t3 Tính MN MN ud1 t2 , t3 Dạng 10 : Viết ptđt d qua A vuông góc đường thẳng d cắt d2 Cách : - Viết pt mp ( ) qua A vng góc d1 - Tìm giao điểm B = ( ) d - Đường thẳng cần tìm qua A, B Cách : * Viết pt mp ( ) qua A vng góc d1 * Viết pt mp ( ) qua A chứa d * Đường thẳng cần tìm d = Dạng 11 : Viết ptđt d qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d' Cách : - Viết ptmp(P) qua A song song với ( ) - Viết ptmp(Q) qua A chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( P ) (Q ) Cách : * Viết ptmp(P) qua A song song với ( ) * Tìm B = ( P) d ' * Đường thẳng cần tìm qua điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm mp(P) cắt đường thẳng d 1, d2 cho trước - Tìm giao điểm A=d1 ( P ) B=d2 ( P ) - Đường thẳng d qua điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm mp(P) vng góc với đường thẳng d' giao điểm I (P) d' * Tìm giao điểm I' = d' ( P ) * Viết ptđt d qua I có VTCP v * Tìm VTCP u d' VTPT n (P) tính v [u,n] Dạng 14 : Viết ptđt vng góc chung d dường thẳng chéo d1, d2 : - Gọi M ( x0 at , y0 bt , z0 ct ) d1 , ' ' ' N ( x0 a ' t ', y0 b ' t ', z0 c ' t ') d chân đường vng góc chung d1, d2 37 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 MN u1 MN d1 - Ta có hệ t,t ' MN d MN u - Thay t, t' tìm M, N Viết ptđt qua M,N ( Với cách em tính thêm khoảng cách MN, độ dài đường vng góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vng góc với mp(P) cắt đường thẳng d 1,d * Viết ptmp(Q) chứa d1 vng góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 vng góc với mp(P) * Đường thẳng d = (Q ) ( R ) Dạng 16 : Viết ptđt d qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d1 - Viết pt mp ( ) qua A vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = ( ) d1 - Đường thẳng cần tìm qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d qua A ,vng góc với d 1,tạo với d2 góc 2 (00 ;900 ) (= 300, 450, 600) * Gọi VTCP d u (a; b; c), dk : a b c * Vì d d1 u.u1 =>phương trình (1) u.u Vì cos => phương trình (2) u u2 Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d u.u P 0 ( ý : thay giả thiết d tạo với mp(P) góc (0 ;90 ) có sin ) u uP Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc 2 (00 ;900 ) - Gọi VTCP d u ( a; b; c ), dk : a b c - Vì d//(P) nên u.n p => phương trình (1) u.u1 - Vì cos (d , d1 ) cos nên có phương trình (2) u u1 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp u ( a; b; c ) Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm mp(P) , tạo với d1 góc 2 (00 ;900 ) - Gọi VTCP d u ( a; b; c ), dk : a b c - Vì d (P) nên u.n p => phương trình (1) u.u1 - Vì cos (d , d1 ) cos nên có phương trình (2) u u1 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp u ( a; b; c ) 38 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vng góc d1 khoảng cách từ M đến d h 2 * Gọi VTCP d u ( a; b; c ), dk : a b c * Vì d d1 nên u.n => phương trình (1) [u , AM ] * Vì d ( M , d ) h h => phương trình (2) u *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp u ( a; b; c ) NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TT HÌNH VẼ d a b d a d a a b KIẾN THỨC d d // // a // b d a a d b b a// coù a’ , a’//a d a // d a a // d a // d a // a // Nếu chứa a b cắt nhau, a// , b// // P a b P a P b a // b // 39 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 Neáu P // Q // R chúng chắn tr6n hai cát a b tuyến a, b đoạn thẳng tỉ lệ A' A P AB A' B ' B' B Q BC B 'C ' C' C R a PQ d RP a a // b // d RQ b d // R Nếu a a b , b a a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt Nếu a//b a b Nếu a b a//b R d b P Q 10 11 a b 12 // a a Nếu a a // a 13 b a a b 14 O H A' 15 b a b' 16 a d A B Nếu a chéo b * Có mộ tvà đường vuông góc chung * Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường * Có hai mặt phẳng song song mặt chứa đường ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN * Đoạn vuông góc chung OH đoạn ngắn * Hai đoạn xiên dài bằn g có hình chiếu dài ngược lại OA = OA’ HA = HA’ *Hai đoạn xiên có độ dài khác đoạn xiên dài có hình chiếu dài ngược lại OB > OA HB > HA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC a đường xiên b có hình chiếu vuông góc b’ , ta có : a b ' a b a a Nếu d với a mà a d a 40 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 d d P d P P P 17 S : Diện tích hình phẳng H S’: Diện tích hình chiếu vuông góc H H’ : Góc mặt phẳng chứa H mặt phẳng chứa H’ S ' S Cos 18 A HÌNH LĂNG TRỤ C 1/ Định nghóa : Hình lăng trụ hình đa B diện có hai mặt nằm hai mặt song song A' C' gọi hai đáy cạnh không thuộc hai đáy song song B' 2/ Các loại : * Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy * Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Ngoài có lăng trụ xiên 3/ Sxq, STP, V : * Sxq tổng diện tích mặt bên * Sxq chu vi thiết diện thẳng nhân với độ dài cạnh bên * Sxq lăng trụ đứng hay chu vi đáy nhân độ dài cạnh bên * STP = Sxq + 2Sđáy * V = B.h B : diên tích đáy h : chiều cao S 19 HÌNH CHÓP 1/ Định nghóa : Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt lại D A tam giác có chung đỉnh * Hình chóp hình chóp có đáy đa B C giác cạnh bên * Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy 2/ Sxq, STP, V : Sxq hình chóp hình chóp cụt tổng diện tích tất mặt bên hình Hình chóp : STP = S xq + Sđáy Hình chóp cụt : STP = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ 41 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 Hình chóp : S xq chu vi đáy x trung đoạn Hình chóp cụt : S xq ( CV đáy lớn + CV đáy bé) x trung đọan Thể tích hình chóp : V B.h B : diện tích đáy h : chiều cao Thể tích hình chóp cụt : V h B B ' B.B ' B, B’ : diện tích hai đáy h : chiều cao HÌNH TRỤ TRÒN XOAY 1/ Định nghóa : * Hình chữ nhật OO’A’A quay quanh cạnh OO’ tạo nên hình gọi hình trụ tròn xoay( hay hình trụ) _ Hai cạnh OA O’A’ vạch thành hai hình tròn gọi hai đáy _ Cạnh AA’ vạch thành mặt tròn xoay gọi mặt xung quanh hình trụ _ OO’ gọi trục hay đường cao hình trụ 2/ Sxq, STP, V : S xq 2 Rh 20 STP 2 R ( h R ) V R2h R : bán kính h : đường cao 42 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 43 ... 17/ tan 2a tan a II NHAÂN BA : ( công thức) 18/ Cos3a 4Cos a 3Cosa 19/ Sin3a 3Sina Sin a 20/ Tan3a 3Tana Tan a 3Tan a III HẠ BẬC : ( công thức) Cos 2a 21/ Sin a Cos 2a... Cosx Chú ý : a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab a3 + b3 = ( a + b )3 – 3ab( a + b) B CÔNG THỨC CỘNG ( công thức ): Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909. 230 .970 ... + na Đẳng thức xảy n 6/ BĐT tam giác : A B A B Đẳng thức xảy AB NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) sinx cosx 1/ sin x cos x 2/ tanx 3/ cotx cosx