Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂNPHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾTTRƯỜNGTóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH II (lưu hành nội bộ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội- 2009 MỤC Mục lục LỤC Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng 1.1 Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong điểm 1.2 Độ cong đường cong 1.3 Hình bao họ đường cong phụ thuôc tham số Các ứng dụng phép tính vi phân hình học khơng gian 10 2.1 Hàm véctơ 10 2.2 Phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong cho dạng tham số 10 2.3 Phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong 11 2.4 Phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong cho dạng giao hai m Chương Tích phân bội 15 Tích phân kép 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính tích phân kép hệ toạ độ Descartes 1.3 Phép đổi biến số tích phân kép Tích phân bội ba 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 Tính tích phân bội ba hệ toạ độ Descartes 2.3 Phương pháp đổi biến số tích phân bội ba Các ứng dụng tích phân bội 3.1 Tính diện tích hình phẳng 3.2 Tính thể tích vật thể 3.3 Tính diện tích mặt cong Chương Tích phân phụ thuộc tham số 15 15 16 24 35 35 35 38 50 50 55 62 63 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.1 Giới thiệu 63 63 MỤC LỤC 1.2 Các tính chất tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.3 Các tính chất tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.1 Các tính chất tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.2 Bài tập Tích phân Euler 3.1 Hàm Gamma 3.2 Hàm Beta 3.3 Bài tập Chương Tích phân đường 63 66 67 67 68 75 75 75 76 79 Tích phân đường loại I 1.1 Định nghĩa 1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I 1.3 Bài tập Tích phân đường loại II 2.1 Định nghĩa 2.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại II 2.3 Công thức Green 2.4 Ứng dụng tích phân đường loại II 2.5 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân Chương Tích phân mặt Tích phân mặt loại I 1.1 Định nghĩa 1.2 Các cơng thức tính tích phân mặt loại I 1.3 Bài tập Tích phân mặt loại II 2.1 Định hướng mặt cong 2.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 2.3 Các cơng thức tính tích phân mặt loại II 2.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes 2.5 Cơng thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II Chương Lý thuyết trường Trường vô hướng 1.1 Định nghĩa 1.2 Đạo hàm theo hướng 1.3 Gradient 1.4 Bài tập 79 79 80 80 82 82 82 85 91 92 95 95 95 95 95 98 98 98 98 102 105 107 107 107 107 108 109 MỤC LỤC Trường véctơ 2.1 Định nghĩa 2.2 Thông lượng, dive, trường ống 2.3 Hồn lưu, véctơ xốy 2.4 Trường - hàm vị 2.5 Bài tập 111 111 111 111 112 112 MỤC LỤC CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC §1 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 1.1 Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong điểm Điểm quy • Cho đường cong ( L) xác định phương trình f ( x, y) = Điểm M ( x0 , y0 ) gọi điểm quy đường cong ( L) tồn đạo hàm riêng f x ( M) , f y ( M) không đồng thời x = x ( t) • Cho đường cong ( L) xác định phương trình tham số Điểm y = y (t) M ( x (t0 ) , y (t0 )) gọi điểm quy đường cong ( L) tồn đạo hàm x (t0 ) , y (t0 ) khơng đồng thời • Một điểm khơng phải điểm quy gọi điểm kì dị Các cơng thức • Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong xác định phương trình điểm quy: Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học – Tiếp tuyến (d) : f x ( M) ( x − x0 ) + f y ( M) (y − y0 ) = – Pháp tuyến d : x − x0 y − y0 = f x ( M) f y ( M) Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho phương trình y = f ( x ) phương trình tiếp tuyến đường cong điểm M( x0 , y0 ) quy y − y0 = f ( x0 )( x − x0 ) Đây công thức mà học sinh biết chương trình phổ thơng • Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong ( L) xác định phương x = x ( t) điểm M ( x (t0 ) , y (t0 )) quy: trình tham số y = y ( t) – Tiếp tuyến (d) : y − y ( t0 ) x − x ( t0 ) = x ( t0 ) y ( t0 ) – Pháp tuyến d : x (t0 ) ( x − x (t0 )) + y (t0 ) (y − y (t0 )) = 1.2 Độ cong đường cong Định nghĩa Các cơng thức tính độ cong đường cong điểm • Nếu đường cong cho phương trình y = f ( x ) thì: C ( M) = |y | (1 + y ) 3/2 x = x ( t) • Nếu đường cong cho phương trình tham số y = y ( t) C ( M) = x x thì: y y (x + y ) 3/2 • Nếu đường cong cho phương trình toạ độ cực r = r (φ) thì: C ( M) = r2 + 2r − rr (r + r ) 3/2 Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng 1.3 Hình bao họ đường cong phụ thc tham số Định nghĩa: Cho họ đường cong ( L) phụ thuộc vào hay nhiều tham số Nếu đường cong họ ( L) tiếp xúc với đường cong (E) điểm E ngược lại, điểm thuộc (E) tồn đường cong họ ( L) tiếp xúc với (E) điểm (E) gọi hình bao họ đường cong ( L) Quy tắc tìm hình bao họ đường cong phụ thuộc tham số Định lý 1.1 Cho họ đường cong F ( x, y, c) = phụ thuộc tham số c Nếu họ đường cong điểm kì dị hình bao xác định cách khử c từ hệ phương trình F ( x, y, c) = (1 ) F ( x, y, c) = c Nếu họ đường cong cho có điểm kì dị hệ phương trình (1) bao gồm hình bao (E) quỹ tích điểm kì dị thuộc họ đường cong cho Bài tập 1.1 Viết phương trình tiếp tuyến pháp tuyến với đường cong: a) y = x3 + 2x2 − 4x − (−2, 5) Phương trình tiếp tuyến y = Lời giải Phương trình pháp tuyến x = −2 b) y = e1− x giao điểm đường cong với đường thằng y = Phương trình tiếp tuyến 2x − y + = Lời giải – Tại M1 (−1, 1), Phương trình pháp tuyến x + 2y − = Phương trình tiếp tuyến 2x + y − = – Tại M2 (−1, 1), Phương trình pháp tuyến x − 2y + = c x= y= 1+ t t3 + 2t 2t3 Lời giải A(2, 2) – Phương trình tiếp tuyến y = x – Phương trình pháp tuyến x + y − = Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học d x + y = a M(8, 1) 2 Lời giải – Phương trình tiếp tuyến x + 2y − 10 = – Phương trình pháp tuyến 2x − y − 15 = Bài tập 1.2 Tính độ cong của: a y = − x3 điểm có hồnh độ x = Lời giải C ( M) = |y | (1 + y )3/2 = = 192 125 x = a (t − sin t) (a > 0) điểm y = a (t − cos t) b Lời giải C ( M) = x x y y (x + y 2) 3/2 = = 1 √ √ 2a − cos x c x + y = a điểm (a > 0) 2 x = a cos3 t , nên y = a sin3 t Lời giải Phương trình tham số: C ( M) = x x y y (x + y ) 3/2 = = 3a |sin t cos t| d r = aebφ , (a, b > 0) Lời giải C ( M) = r2 + 2r − rr (r + r )3/2 Bài tập 1.3 Tìm hình bao họ đường cong sau: a y = x c + c2 = aebφ √ + b2 Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng b cx2 + c2 y = c y = c2 ( x − c)2 Lời giải a Đặt F ( x, y, c) := y − x − c2 = c Điều kiện: c = Fx ( x, y, c) = Fx ( x, y, c) = , hệ phương trình vơ ⇔ Xét hệ phương trình: Fy ( x, y, c) = 1=0 nghiệm nên họ đường cong khơng có điểm kì dị Ta có F ( x, y, c) = ⇔ Fc ( x, y, c) = y − x − c2 = c ⇔ −2c + cx2 = x = 2c3 y = 3c2 y − = Do điều kiện c = nên x, y = Vậy ta có hình bao họ y đường cong đường x − = trừ điểm O (0, 0) nên x 2 b Đặt F ( x, y, c) := cx2 + c2 y − = Nếu c = khơng thoả mãn phương trình điều kiện: c = Fx ( x, y, c) = 2cx = ⇔ x = c = 0, điểm kì ⇔ Xét hệ phương trình: Fy ( x, y, c) = c2 = dị không thuộc họ đường cong họ đường cong cho khơng có điểm kì dị Ta có x=2 cx2 + c2 y = F ( x, y, c) = c ⇔ ⇔ x2 + 2cx = Fc ( x, y, c) = y = −21 c Do x, y = ta có hình bao họ đường cong đường y = − x trừ điểm O(0, 0) 4 c Đặt F ( x, y, c) := c2 ( x − c)2 − y = Fx ( x, y, c) = Fx = , hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ Xét hệ phương trình: Fy ( x, y, c) = −1 = nên họ đường cong cho khơng có điểm kì dị Ta có c2 ( x − c ) − y = ( 1) F ( x, y, c) = ⇔ Fc ( x, y, c) = 2c ( x − c) − 2c2 ( x − c) = (2) c=0 x4 (2) ⇔ c = x , vào (1) ta y = 0, y = 16 x c= Vậy hình bao họ đường cong y = 0, y = x4 16 100 Chương Tích phân mặt Bài tập 5.4 Tính 0, y 0, z ydxdz + z2 dxdy S phía mặt x2 + y2 S z − ( x, y, z) → n y O Hình 5.4 x Lời giải Tính I1 = ydxdz S √ • Mặt S : y = − x2 − z2 • Hình chiếu S lên Oxz hình trịn, D1 : x2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, z ≥ → • β = (− , Oy góc nhọn n nên: I= D1 − x2 − z2 dxdz x = r cos ϕ đặt z = r sin ϕ π = π ,0 ≤ r ≤ dϕ π = Tính I2 = ⇒0 ≤ ϕ ≤ − r2 rdr z2 dxdy S • Mặt S : z2 = − x2 − y2 • Hình chiếu S lên Oxz elip, D2 : x2 + → • γ = (− , Oz góc nhọn n 100 y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ + z2 = 1, x Tích phân mặt loại II 101 nên: I= D2 − x2 − y2 dxdy x = r cos ϕ đặt y = 2r sin ϕ π = π = Vậy I = π , ≤ r ≤ 1, J = −2r dϕ ⇒0 ≤ ϕ ≤ (1 − r2 )2rdr 7π 12 Bài tập 5.5 Tính R , z ≤ x2 y2 zdxdy S mặt nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = S z y O x Hình 5.5 Lời giải Ta có: • Mặt S : z = − R2 − x − y • Hình chiếu S lên Oxy hình trịn, D : x2 + y2 ≤ R2 → • β = (− , Oz) góc nhọn n 101 102 Chương Tích phân mặt nên: x y2 I=− R2 − x2 − y2 dxdy D x = r cos ϕ đặt y = r sin ϕ R 2π I= sin2 ϕ cos2 ϕ dϕ =− ⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ R, J = −r R2 − r2 r5 dr 2R7 105 2.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes Giả sử P, Q, R hàm khả vi, liên tục miền bị chặn, đo V ⊂ R3 V giới hạn mặt cong kín S trơn hay trơn mảnh, đó: Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = V S ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz tích phân vế trái lấy theo hướng pháp tuyến Chú ý: • Nếu tích phân vế trái lấy theo hướng pháp tuyến S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = − V ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz • Nếu mặt cong S khơng kín, bổ sung thành mặt cong S kín để áp dụng công thức Ostrogradsky, trừ phần bổ sung Bài tập 5.6 Tính y2 + z2 = a2 xdydz + ydzdx + zdxdy S phía ngồi mặt cầu x2 + S 102 Tích phân mặt loại II 103 z − ( x, y, z) → n y O Hình 5.6 x Lời giải Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có 3dxdydz = 3V = 4πa2 xdydz + ydzdx + zdxdy = V S Bài tập 5.7 Tính x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy S phía ngồi mặt cầu x2 + S y + z = R2 Lời giải Xem hình vẽ 5.6, áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có: x2 + y2 + z2 dxdydz I= V x = r sin θ cos ϕ đặt y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ I=3 r4 sin θdr dθ dϕ 0 = R π 2π 0 ≤ ϕ ≤ 2π ⇒ 0≤θ≤π 0 ≤ r ≤ R 12πR5 103 , J = −r2 sin θ 104 Chương Tích phân mặt Bài tập 5.8 Tính S y2 zdxdy + xzdydz + x2 ydxdz S phía ngồi miền x ≤ 0, y ≤ 0, x2 + y2 ≤ 1, z ≤ x2 + y2 z y O x Hình 5.8 Lời giải Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có: y2 + z + x2 dxdydz I= V x = r cos ϕ đặt y = r sin ϕ z = z π = dϕ π = Bài tập 5.9 Tính x2 + y2 , a S z r2 , J = −r r2 + z rdr dr 0 ≤ ϕ ≤ π ⇒ 0≤r≤1 0 ≤ z ≤ r xdydz + ydzdx + zdxdy S phía ngồi miền (z − 1)2 1, a > 104 Tích phân mặt loại II 105 z − → n a y a−1 O 1−a x Hình 5.9 Lời giải Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có: I= V 3dxdydz = 3V = Bh = π (1 − a)3 2.5 Công thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II [ P( x, y, z) cos α + Q( x, y, z) cos β + R( x, y, z) cos γ] dS (5.1) S = P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy S cos α, cos β, cos γ cosin phương véctơ pháp tuyến đơn vị mặt S Bài tập 5.10 Gọi S phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = nằm mặt trụ x2 + x + z2 = 0, y ≥ 0, hướng S phía ngồi Chứng minh S ( x − y)dxdy + (y − z)dydz + (z − x )dxdz = 105 106 Chương Tích phân mặt z y O −1 x Hình 5.10 → − x2 − y2 nên véctơ pháp tuyến S − = ±(−y x , 1, −yz ) Vì n Lời giải Ta có y = → (− , Oy) < π nên n − = (−y , 1, −y ) = → n x z → Do |− | = n x2 1− x − z2 + + 1− xz2 −z2 = √ √ x − x − z2 1− x − z2 , 1, √ z − x − z2 Vậy → cos α = cos(− , Ox ) = n → cos β = cos(− , Oy) = n → cos γ = cos(− , Oz) = n n1 −|=x → |n n2 −| =y → |n n3 −| =z |→ n Áp dụng công thức liên hệ tích phân mặt loại I II 5.1 ta có I= S = S [( x − y) cos γ + (y − z) cos β + (z − x ) cos α] dS ( x − y)z + (y − z) x + (z − x )ydS =0 106 CHƯƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG §1 T RƯỜNG VƠ HƯỚNG 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.3 Cho Ω tập mở R3 (hoặc R2 ) Một hàm số u:Ω→R ( x, y, z) → u = u( x, y, z) gọi trường vô hướng xác định Ω Cho c ∈ R, mặt S = {( x, y, z) ∈ Ω|u( x, y, z) = c} gọi mặt mức ứng với giá trị c (đẳng trị) 1.2 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa 6.4 Cho u = u( x, y, z) trường vô hướng xác định Ω M0 ∈ Ω − → − → Với l véctơ khác khơng M( x, y, z) cho M0 M phương với l , đặt − → − → −− ( x − x )2 + ( y − y )2 + ( z − z )2 M0 M ↑↑ l 0 ρ= (6.1) → −− − ( x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 − 0→ ↑↓ − M M l − → u gọi đạo hàm theo hướng l M0 trường ρ →0 ρ ∂u vơ hướng u kí hiệu − ( M0 ) → ∂ l Giới hạn (nếu có) tỉ số lim Chú ý: 107 108 Chương Lý thuyết trường • Giới hạn cơng thức 6.1 thay u( x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − u( x0 , y0 , z0 ) , t →0 t − → cos α, cos β, cosγ cosin phương l lim − → • Nếu l ↑↑ Ox ∂u − ( M0 ) → ∂ l = ∂u ∂x ( M0 ) − → • Đạo hàm theo hướng l điểm M0 trường vô hướng u thể tốc độ biến − → thiên trường vô hướng u M0 theo hướng l Định lý 6.16 Nếu u = u( x, y, z) khả vi M( x0 , y0 , z0 ) có đạo hàm theo hướng − → l = M0 ∂u ∂u ∂u ∂u − ( M0 ) = ∂x ( M0 ) cos α + ∂y ( M0 ) cos β + ∂z ( M0 ) cos γ, → ∂ l − → cos α, cos β, cosγ cosin phương l (6.2) 1.3 Gradient Định nghĩa 6.5 Cho u( x, y, z) trường vơ hướng có đạo hàm riêng M0 ( x0 , y0 , z0 ) Người ta gọi gradient u M0 véctơ ∂u ∂u ∂u ( M0 ), ( M0 ), ( M0 ) ∂x ∂y ∂z −→ − kí hiệu gradu( M0 ) Định lý 6.17 Nếu trường vô hướng u( x, y, z) khả vi M0 ta có ∂u ∂l Chú ý: ∂u ∂l −→ − ( M0 ) = gradu.l ( M0 ) thể tốc độ biến thiên trường vô hướng u M0 theo hướng l −→ − −→ − −→ − ∂u ∂u Từ công thức ( M0 ) = gradu.l = gradu l cos gradu, l ta có ( M0 ) đạt giá trị lớn ∂l ∂l −→ − − → −− gradu l l có phương với grad u Cụ thể • Theo hướng l, trường vơ hướng u tăng nhanh M0 l có phương, − → −− hướng với grad u • Theo hướng l, trường vô hướng u giảm nhanh M0 l có phương, − → −− ngược hướng với grad u 108 Trường vô hướng 109 1.4 Bài tập − → − → Bài tập 6.1 Tính đạo hàm theo hướng l u = x3 + 2y3 − 3z3 A(2, 0, 1), l = − → AB, B(1, 2, −1) − → Lời giải Ta có AB = (−1, 2, −2) nên −1 −1 , cos α = − = → | AB | 2 cos β = − = , → | AB | −2 −2 cos γ = − = , → | AB | ∂u ∂u = 3x2 ⇒ ( A) = 12 ∂x ∂x ∂u ∂u = 6y2 ⇒ ( A) = ∂y ∂x ∂u ∂u = −9z2 ⇒ ( A ) = −9 ∂z ∂x Áp dụng cơng thức 6.2 ta có ∂u −1 −2 − ( A) = 12 + + (−9) = → ∂ l −→ − Bài tập 6.2 Tính mơnđun gradu với u = x3 + y3 + z3 − 3xyz A(2, 1, 1) Khi −→ − −→ − gradu⊥Oz, gradu = Lời giải Ta có −→ − gradu = ∂u ∂u ∂u , , ∂x ∂y ∂z = (3x2 = 3yz, 3y2 − 3zx, 3z2 − 3xy) √ √ −→ − −→ − nên gradu = (9, −3, −3) gradu = 92 + 32 + 32 = 11 −→ − −→ − − → • gradu⊥Oz ⇔ gradu, k = ⇔ x2 = yz −→ − • gradu = ⇔ y2 = zx z = xy ∂u ∂x = ⇔ z2 = xy ⇔x=y=z −→ − Bài tập 6.3 Tính gradu với u = r2 + + ln r r = r x + y + z2 Bài tập 6.4 Theo hướng biến thiên hàm số u = x sin z − y cos z từ gốc toạ độ O(0, 0) lớn nhất? 109 110 Chương Lý thuyết trường −→ − −→ − −→ − ∂u ∂u Lời giải Từ công thức (O) = gradu.l = gradu l cos gradu, l ta có (O) đạt giá ∂l ∂l −→ − −→ − trị lớn gradu l l có phương với gradu(O) = (0, −1, 0) −→ − Bài tập 6.5 Tính góc hai véctơ gradz hàm z = M(3, 4) x2 + y2 , z = x − 3y + Lời giải Ta có −→ − • gradz1 = −→ − • gradz2 = √ x x + y2 1+ √ ,√ y x + y2 −→ − nên gradz1 ( M) = √ 3y 3x √ , −3 + √ y x 5, −→ − nên gradz2 ( M) = 2, − Vậy −→ −→ − − gradz1 , gradz2 −12 = √ cos α = − → − −→ − 145 gradz1 gradz2 110 3xy Trường véctơ 111 §2 T RƯỜNG VÉCTƠ 2.1 Định nghĩa Cho Ω miền mở R3 Một hàm véctơ − → F : Ω → R3 − → − → M → F = F ( M ), − → − → − → − → F = Fx ( M) i + Fy ( M) j + Fz ( M) k 2.2 Thông lượng, dive, trường ống − → a Thông lượng: Cho S mặt định hướng F trường véctơ Đại lượng φ= Fx dydz + Fy dzdx + Fz dxdy (6.3) S − → gọi thông lượng F qua mặt cong S − → b Dive: Cho F trường véctơ có thành phần Fx , Fy , Fz hàm số có đạo hàm − → ∂F riêng cấp tổng ∂Fx + ∂yy + ∂Fz gọi dive trường véctơ F kí hiệu ∂x ∂z − → div F − → − → c Trường véctơ F xác định Ω gọi trường ống div F ( M) = với M ∈ Ω − → Tính chất: Nếu F trường ống thơng lượng vào thơng lượng 2.3 Hồn lưu, véctơ xốy a Hồn lưu: Cho C đường cong (có thể kín khơng kín) khơng gian Đại lượng Fx dx + Fy dy + Fz dz C − → gọi hoàn lưu F dọc theo đường cong C b Véctơ xoáy: Véctơ − − − → → → i j k − − →→ ∂ ∂ ∂ rot F := ∂x ∂y ∂z Fx 111 Fy Fz (6.4) 112 Chương Lý thuyết trường − → gọi véctơ xoáy (hay véctơ rota) trường véctơ F 2.4 Trường - hàm vị − → Trường véctơ F gọi trường (trên Ω) tồn trường vô hướng u cho −→ − − → gradu = F (trên Ω) Khi hàm u gọi hàm vị − → − → Định lý 6.18 Điều kiện cần đủ để trường véctơ F = F ( M) trường (trên − − →→ Ω) rot F ( M) = với M ∈ Ω − → Chú ý: Nếu F trường hàm vị u tính theo cơng thức y x Fx ( x, y0 , z0 )dx + u= x0 z Fz ( x, y, z)dz + C Fy ( x, y, z0 )dy + (6.5) z0 y0 2.5 Bài tập Bài tập 6.6 Trong trường sau, trường trường thế? − → − − → → → a − = 5( x2 − 4xy) i + (3x2 − 2y) j + k a − → − → − → → b − = yz i + xz j + xy k a − → − → − → → c − = ( x + y) i + ( x + z) j + (z + x ) k a Lời giải a Ta có − → → rot− = a ∂ ∂y ∂ ∂z Q R , ∂ ∂z ∂ ∂x R P , ∂ ∂x ∂ ∂y P Q = (0, 0, 6x − 20y) = nên trường cho trường − → → b Ngồi cách tính rot− , sinh viên dễ dàng nhận thấy tồn hàm vị u = xyz a − trường → nên a c Ta có − → → rot− = a ∂ ∂y ∂ ∂z Q R , ∂ ∂z ∂ ∂x R P 112 , ∂ ∂x ∂ ∂y P Q = (0, 0, 0) Trường véctơ 113 → nên − trường Hàm vị tính theo cơng thức 6.5: a y x Fx (t, y0 , z0 )dt + u= x0 = x2 z0 y0 tdt + z ( x + 0)dt + + xy + Fz ( x, y, t)dt + C Fy ( x, t, z0 )dt + y x = z (t + y)dt + C z2 + yz + C − → − → − → − → − → Bài tập 6.7 Cho F = xz2 i + j + zy2 k Tính thơng lượng F qua mặt cầu S : x2 + y2 + z2 = hướng ngồi Lời giải Theo cơng thức tính thơng lượng 6.3 ta có xz2 dydz + yx2 dxdz + zy2 dxdy φ= S Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có ( x2 + y2 + z2 )dxdydz φ= V Thực phép đổi biến toạ độ cầu ta có π 2π φ= y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ r2 r2 sin θdr = dθ dϕ x = r sin θ cos ϕ 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0≤θ≤π 0 ≤ r ≤ , J = −r2 sin θ 4π − → − → − → − → Bài tập 6.8 Cho F = x (y + z) i + y(z + x ) j + z( x + y) k L giao tuyến mặt − → trụ x2 + y2 + y = nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2, z ≥ Chứng minh lưu số F dọc theo L Lời giải Theo cơng thức tính lưu số 6.4 x (y + z)dx + y(z + x )dy + z( x + y)dz I= L 113 114 Chương Lý thuyết trường Áp dụng cơng thức Stokes ta có ∂ ∂y I= S = S ∂ ∂z Q R dydz + ∂ ∂z ∂ ∂x R P dzdx + ∂ ∂x ∂ ∂y P Q dxdy (z − y)dydz + ( x − z)dzdx + (y − x )dxdy = (theo tập 5.10) 114 ... tích phân kép hàm số f ( x, y) miền D, kí hiệu f ( x, y) dS D Khi ta nói hàm số f ( x, y) khả tích miền D Do tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D thành mảnh nhỏ nên ta chia D thành... tích phân tốn tích phân kép có ý nghĩa nào? Hãy xét toán sau đây: Bài tập 2.2 Tính I = xey dy dx x2 y O x Hình 2.2 Lời giải Chúng ta biết hàm số f ( x, y) = xey liên tục miền D nên chắn khả tích. .. hạn gọi tích phân bội ba hàm số f ( x, y, z) miền V , f ( x, y, z) dV kí hiệu V Khi ta nói hàm số f ( x, y, z) khả tích miền V Do tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miền V thành miền