Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word 123doc chuyen de bien doi luong giac va phuong trinh luong giac doc Chuyên đề Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác GV Đào Mỹ Hạnh Tổ Toán Tin Trường THPT Xuân Hoà 1 CHUYÊN Đ. Chuyên đề biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác Chuyên đề biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác Chuyên đề biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác Chuyên đề biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác
Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi MỞ ĐẦU Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác nội dung quan trọng học tập lượng giác nội dung cấu trúc đề thi THPTQG Thành thạo phép biến đổi lượng giác giúp em học sinh thêm tự tin kì thi THPTQG Với mục đích cung cấp cho học sinh THPT Đặc biệt học sinh lớp 10, 11.Các phương pháp biến đổi lượng giác phương trình lượng giác góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh học tập Chuyên đề gồm: Hệ thống ngắn gọn kiến thức biến đổi lượng giác cách giải phương trình lượng giác Cung cấp tập phong phú số lượng, đa dạng dạng toán biến đổi lượng giác phương trình lượng giác Hệ thống tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ biến đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác PHẦN I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A Lí thuyết B Bài tập phương pháp giải toán Dạng Bài tập hệ thức lượng giác I Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác Cho hàm số lượng giác Tính giá trị hàm số lượng giác cịn lại Biết hàm số lượng giác hay phương trình lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác Cho biểu thức lượng giác Tính giá trị lượng giác Tính giá biểu thức lượng giác Tổ: Tốn - Tin Trường THPT Xn Hồ Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh Bài tập tính giá trị biểu thức lượng giác qua đề thi thử THPTQG năm 2015 II Chứng minh đẳng thức lượng giác III Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số IV Rút gọn biểu thức lượng giác Dạng 2: Bài tập cơng thức quy gọn góc (Cơng thức biểu diễn góc (cung) có liên quan đặc biệt) Dạng 3: Bài tập công thức lượng giác (Công thức cộng Công thức nhân Công thức biến đổi) I Chứng minh đẳng thức lượng giác II Rút gọn biểu thức lượng giác III Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến IV Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Phương trình lượng giác Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp I Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc với hàm số lượng giác II Phương trình bậc sinx cosx III Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc sinx cosx IV Phương trình đối xứng nửa đối xứng sinx cosx Dạng Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa phương trình tích phương trình lượng giác thường gặp I Phương trình đưa phương trình bậc sinx cosx II Phương trình đưa phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác III Phương trình đưa phương trình đối xứng nửa đối xứng sinx cosx IV Phương trình đưa phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc sinx cosx Dạng Phương trình lượng giác khơng mẫu mực với phương pháp khác I Phương pháp tổng bình phương II Phương pháp đánh giá hai vế Tổ: Toán - Tin Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh PHẦN I BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Số tiết dạy:18 tiết = buổi A.Mục tiêu dạy 1.Mục tiêu dạy - Học sinh nhớ hệ thức lượng giác -Hiểu cơng thức thu gọn góc -Hiểu nhớ công thức cộng, công thức nhân công thức biến đổi Kỹ -Dùng công thức lượng giác để: +Tính giá trị lượng giác +Rút gọn biểu thức lượng giác Chứng minh đẳng thức lượng giác B LÝ THUYẾT CƠ BẢN I ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG: Độ: Góc 10 = góc bẹt 180 x Radian: (rad) 180 = π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung) thơng dụng: Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Radian π π π π 5π 2π 3π π 2π II GÓC LƯỢNG GIÁC & CUNG LƯỢNG GIÁC: y Định nghĩa: y (tia ngọn) (điểm ngọn) + B α + α t α O x O (tia gốc) x A (điểm gốc) AB = α + k 2π (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) Tổ: Toán - Tin t M Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh III ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: y Đường trịn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục cơsin (trục hồnh ) −1 (trục tung ) C x' • t'At : trục tang u B u' • y'Oy : trục sin t • u'Bu : trục cotang + A R =1 O − −1 y' Định nghĩa hàm số lượng giác: x t' a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q hình chiếu vng góc M x'Ox y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghĩa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q t O + T α α x' u P sin α = OQ x A − Trục cosin −1 y' cos α = OP tgα = AT cot gα = BU Trục tang t' b Các tính chất: Với α ta có: −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ • tanα xác định ∀α ≠ π + kπ với k ∈ ℤ • cotα xác định ∀α ≠ kπ k ∈ ℤ Tổ: Toán - Tin Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh c Tính tuần hồn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cosα = tan α tan(α + kπ ) (k ∈ Z ) cot(α + kπ ) = cot α IV GIÁ TRỊ CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' 2π/3 3π/4 π π/2 /3 u π/3 /2 π/4 /2 5π/6 x' B π/6 /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 -1 /2 /2 x A (Điểm gốc) O -1/2 -π/6 - /2 - /3 -π/4 - /2 -1 -π/3 -1 π/2 -π y' Góc Hslg sin α cos α tan α cot α 00 300 450 600 π π t' - 900 1200 1350 1500 π π 2π 3π 5π π 2π 2 3 2 2 0 2 2 0 3 kxđ kxđ 3 Tổ: Toán - Tin − − 2 3600 − -1 3 0 kxđ kxđ − -1 − 3 -1 − − 1800 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh V HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GĨC) CĨ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT: Đó cung: Cung đối : α vaø -α Cung bù : α vaø π -α Cung phụ : α vaø π : α vaø π Cung π 2 (tổng 0) (tổng π ) − α (tổng +α Cung π : α vaø π + α Cung đối nhau: = − sin α tan(−α ) = − tan α Cos đối π = cosα Phụ chéo = cot α π ) (Vd: (Vd: π (Vd: π 6 & & & & ,…) 5π ,…) π ,…) 2π ,…) 7π ,…) = sin α = − tan α cot(π − α ) = − cot α Cung π π Hơn π cos( + α ) = − sin α π sin( + α ) = cos α sin cos cos trừ sin π tan( + α ) = −cot α π π cot( + α ) = − tan α cot( − α ) = tan α Tổ: Toán - Tin tan(π − α ) π cos( − α ) = sin α tan( − α ) π (Vd: sin(π − α ) Sin bù Cung phụ nhau: sin( − α ) 2 π cos(π − α ) = − cosα cot(−α ) = − cot α π π &− Cung bù nhau: cos(−α ) = cosα sin(−α ) π (Vd: Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh Cung π : cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tan(π + α ) = tan α Hơn π tan , cot cot(π + α ) = cot α VI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: Các hệ thức bản: + tan 2α = cos α + sin α = sinα π (α ≠ +kπ ) cosα cosα cotα = (α ≠ kπ ) sinα + cot 2α = tanα = cos2α sin α (α ≠ π +kπ ) (α ≠ kπ ) tanα cotα = (α ≠ kπ ) 2 Công thức cộng: cos(α + β ) = cosα cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cosα cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cosα sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cosα tanα +tanβ − tan α tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = + tan α tan β tan(α +β ) = Công thức nhân đôi: cos2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − 2sin2 α = cos4 α − sin α sin 2α = 2sin α cosα tan α π π kπ π tan 2α = ( ≠ ± +k , ≠ + , ≠ +kπ ) α π α α 4 2 − tan2 α Công thức nhân ba: cos3α = 4cos α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α Công thức hạ bậc: cos α = Tổ: Toán - Tin + cos 2α − cos 2α ; sin α = ; 2 tg 2α = cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α − cos 2α + cos 2α Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác Cơng thức tính sin α ,cos α , tan α theo t = tan sin α = 2t ; 1+ t2 cos α = 1− t ; 1+ t2 tan α = GV: Đào Mỹ Hạnh α 2t + t2 Cơng thức biến đổi tích thành tổng: [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cos β = Cơng thức biến đổi tổng thành tích: cos α + cos β = cos α +β cos α − cos β = −2sin sin α + sin β = sin cos α +β α +β α −β sin cos α −β α −β 2 α +β α −β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β tan α + tan β = Các công thức thường dùng khác: π π cos α + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π π cos α − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 + cos 4α + cos 4α cos α + sin α = cos α + sin α = Tổ: Toán - Tin Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh C BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG CƠ BẢN I TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Cho hàm số lượng giác Tính giá trị hàm số lượng giác cịn lại * Các bước thực hiện: Bước 1: Kiểm tra dấu hàm số lượng giác cần tính Bước 2: Dùng hệ thức lượng giác để tính Bước 3: Kết luận * Ví dụ 1: a) Cho sinα = π < α < π Tính cosα, tanα, cotα Giải: + Vì: π < α < π => cosα < 0, tanα < 0, cotα < + Áp dụng hệ thức lượng giác bản, ta có: cos2α = – sin2α = tanα = sin α =− cosα cotα = − b) Cho cosα = + Vì π < α < 16 = ⇒ cosα = − 25 25 3π với π < α < Tính sinα, tanα, cotα 3π => sinα < 0, tanα > 0, cotα > + Áp dụng hệ thức lượng giác bản, ta có: sin2α = – cos2α = Tổ: Toán - Tin 15 − 15 ⇒ sin α = 16 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác tanα = 15 ;cot α = GV: Đào Mỹ Hạnh 15 15 * Ví dụ 2: a) Cho tanα = - π < α < π Tính sinα, cosα, cotα; b) Cho cotα = π < α < 3π Tính sinα, cosα, tanα 2 Biết hàm số lượng giác hay phương trình lượng giác Tính giá trị biểu thức lượng giác * Phương pháp: Cách 1: Rút gọn biểu thức lượng giác cho hàm số lượng giác biết Cách 2: + Tính hàm số có biểu thức + Thay kết tìm vào biểu thức Cách 3: Giải phương trình để tính giá trị đơn * Áp dụng: Ví dụ 1: Cho tanα = - Tính giá trị biểu thức A= sin α + 2cos α sin α − 2cos α Giải: Vì tanα = - 2(gt) => cosα ≠ Chia tử mẫu A cho cosα ≠ thay tanα = - 2, được: A= tan α + −2 + = =0 tan α − −2 − Ví dụ 2: Cho cotα = Tính giá trị biểu thức sau: A= cos 2α − sin α cosα + sin α Giải: Chia tử mẫu B cho sin2α ≠ thay cotaα = 3, được: + cot α 10 A= = cot α − cot α + Ví dụ 3: Tổ: Tốn - Tin 10 Trường THPT Xn Hồ Chun đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh Giải x x a sin + cos + cos x = 2 2 ⇔ 1+sin x + cos x = ⇔ sin x + cos x = 2 π π π x + = + k 2π x = − + k 2π π π 6 ⇔ sin x + = sin ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) π π π 3 x + = x = + k 2π + k 2π Ý b, c, d tương tự II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình sau: a sin x + cos3x +sin3x = + cos2x + sin x b cos x.cos2x − cos x = π π c cos x + sin x + cos x − sin x − − = 4 d 4.sin x cos x + 3sin x = sin x Giải: cos3x +sin3x a sin x + = + cos2x Điều kiện: sin x ≠ − (*) + sin x Phương trình (a) trở thành: sin x+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x ⇔ 5 = + cos2x + 2sin x sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x ⇔ 5 = + cos2x + 2sin x sin x + cos x +sin3x = + cos x + sin x ( sin x+sin3x ) + cos x = + cos x ⇔ + sin x sin x.cos x + cos x ⇔ = + cos x + 2sin x cos x (1+2sin2x ) ⇔ = + cos x + sin x ⇔ Tổ: Toán - Tin 44 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh ⇔ cos x = + cos x ⇔ cos x − cos x + = cos x = ⇔ cos x = 2(PTVN) π x = + k 2π Vậy cos x = ⇒ x = − π + k 2π π Kết hợp với điều kiện nghiệm x = Vậy phương trình có nghiệm: x = π 3 + k 2π + k 2π Ý b, c, d tương tự III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX, COSX Bài Giải phương trình sau: a sin x +sin x + cos3 x = b sin x + cos3 x − = sin x c d ( cot x − cosx ) − ( tan x − sin x ) = 2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x Giải: a s inx+sin x + cos3 x = ⇔ sin x +sin x + cos3 x = ⇔ sin x (1 + sin x ) + cosx (1 − sin x ) = ⇔ (1 + sin x ) ( sin x + cos x (1-sin x ) ) = sin x =1 ⇔ sin x + cos x − sin x.cos x = π x = + k 2π ⇔ 2 t + 2t − = 0(1) t = −1 − < − ( l ) (1) ⇔ t = − π π −1 ⇒ sin x + = − ⇔ sin x + = = sin α 4 4 Tổ: Toán - Tin 45 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh π x = α − + k 2π Do đó: (k ∈ Z ) x = 3π − α + k 2π ⇔ sin x + cos3 x − = sin x b (1) ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x.cos x ) − = 3sin x.cos x Đặt t = sin x + cos x, t ≤ t2 −1 t2 −1 ⇔ t − = + () − t + ( t − 1) ⇔ t = ⇔ t + 3t − 3t − = ⇔ ( t + 1) ( t + 4t + 1) = t = −1 ⇔ t = −2 − < − ( l ) t = −2 + Do phương trình: π π sin x + = sin x + = ⇔ π 3−2 π = sin α sin x + = sin x + = − 4 4 x = k 2π x = π + k 2π ⇔ π x = α − + k 2π 3π − α + k 2π x = c sin x ≠ π ( sin x + cos x ) = tan x + cot x Điều kiện: ⇒ x ≠ k ( *) cos x ≠ Khi phương trình (c) trở thành: sin x cos x + cos x sin x ⇔ ( sin x + cos x ) sin x cos x =1 ⇔ ( sin x + cos x ) = Tổ: Toán - Tin 46 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh t = sin x + cos x, t ≤ Đặt t2 −1 sin x.cos x = Thay vào phương trình ta được: t −1 3 ⇔ 2t = ⇔ 2t − 2t − = ⇔ t − t − = ⇔ t − t + 2t + = ( )( ) π π π ⇒ t = ⇔ sin x + = ⇔ sin x + = ⇒ x = + k 2π ( k ∈ Z ) 4 4 Thỏa mãn điều kiện Bài Giải phương trình: a cos x + = ( − cos x )( sin x- cos x ) b cos3 x + sin x = cos2x c tan x + tan x + cot x + 3cot x + = d tan x + cot x + tan x + cot x + tan x + cot x = Bài Giải phương trình sau: a sin x − cos3 x = sin x- cos x π b sin x + sin x − = c sin2 x -12(sin x - cos x )+12=0 d sin x + cos x =1 sin x + Bài Giải phương trình sau: a − cos2x − cos3 x = + cos2x − sin x b ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos3x =2 ( + sin x ) c sin x cos x − cos2x + sin x = cos x sin x + cos x d 4sin x − = 3sin x − 3cos3x IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI BẬC BA ĐỐI VỚI SINX, COSX Bài Giải phương trình sau: a sin x − 3cos3 x = sin x.cos x − sin x cos x b sin x ( tan x +1) = 3sin x ( cos x-sin x ) + Giải: a sin x − 3cos3 x = sin x.cos x − sin x.cos x Có cách giải: Tổ: Toán - Tin 47 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh Cách Chia vế phương trình cho cos3 x ≠ , ta có phương trình: ⇔ sin x sin x sin x − = − cos3 x cos x cos x ⇔ tan x + t an x- tan x- = ( ) ⇔ tan x + ( tan x − 1) = tan x = − ⇔ tan x = ± π x = − + kπ ⇔ (k ∈ ℤ) x = ± π + kπ Cách ⇔ sin x − s inxcos x + sin x cos x − 3cos3 x = ⇔ sin x ( sin x − cos x ) + cos x ( sin x − cos x ) = ( ) ⇔ ( sin x − cos x ) sin x + cos x = π π kπ x = + kπ x = + sin x − cos x = −cos2x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) x = − π + kπ x = − π + kπ tan x = − sin x + 3cosx = 3 ⇔ tan x + tan x − tan x-1=0 ⇔ ( tan x +1) ( tan x − 1) = π tan x =-1 x = − + kπ ⇔ ⇔ tan x = ± x = ± π + kπ DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC I PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp - Xét phương trình f(x) = f1 (x) = f (x) = 2 - Nếu f(x) = f1 (x) + f (x) + + f n (x) thi f (x) = ⇔ f n (x) = Tổ: Toán - Tin 48 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh Bài tập áp dụng: Bài Giải phương trình sau: a 4sin x − tan x +3tan x − 4sin x + = b tan x + tan 2 x + cot x = c cos x + tan x − cos x +2 tan x +4=0 d sin x + sin y + sin ( x + y ) = Giải: a 4sin x − tan x +3tan x − 4sin x + = ⇔ ( 2sin x − 1) + ( ) tan x +1 = π x = + k 2π sin x = 2sin x − = 5π ⇔ ⇔ ⇔ x = + k 2π tan x +1=0 tan x =- π x = − + kπ Kết hợp với điều kiện có nghiệm x = 5π + k 2π thỏa mãn b tan x + tan 2 x + cot 3x = Do: cot x = cot ( x + x ) = − tan x.tan2x ⇒ tan x.cot3x + tan2x.cot3x + tan x.tan2x =1 tan x + tan2x Cho nên phương trình có dạng: 2 ( tan x - tan2x ) + ( tan x − cot 3x ) + ( cot 3x − tan x ) =0 ⇔ tan x = tan2x = cot3x ⇒ x ∈ ∅ Phương trình vơ nghiệm ( c 4cos x + 3tan x − 3cosx+2 tan x +4=0 ⇔ 2cos x- ) +( ) tan x +1 = π x = + k 2π cos x = π ⇔ ⇔ x = − + k 2π tan x = - π x = − + lπ Khi biểu diễn nghiệm vòng tròn đơn vị ta thấy nghiệm chung là: x=− π + k 2π (k ∈ Z ) d sin x + sin y + sin ( x + y ) = Tổ: Toán - Tin − cos2x − cos2y − cos2 ( x +y ) ⇔ + + = 2 49 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh ⇔ cos2x +cos2y+cos2 ( x +y ) + = ⇔ 2.2 cos ( x + y ) cos ( x-y ) +2 2cos ( x + y ) − 1 + = ⇔ cos ( x + y ) + 2.2 cos ( x + y ) cos ( x-y ) + = sin ( x − y = ) (1) ⇔ cos ( x + y ) + cos ( x − y ) + sin ( x − y ) = ⇔ cos ( x +y ) = − cos ( x-y )( ) 2 - Xét: x − y = kπ ⇔ y = x − kπ , thay vào (2) cos2x = - ⇒ k = 2n ⇔ cos ( x − kπ ) = − cos kπ ⇔ cos2x = ⇒ k = 2n + π x = + nπ Giải ta tìm được: ( n, k ∈ Z ) y = π + ( m − k )π π x = − + nπ ( m, k ∈ Z ) y = − π + (m − k )π Bài Giải phương trình sau: a sin x + sin x = s inx.sin x b 3cot x + cos x − cot x − cos x + = c 8cos x.cos 2 x + − cos3x + = d sin x + sin x ( cos3x.sin x + sin 3x.cos3 x ) = sin x.sin 3x 3sin x Giải: a ⇔ sin x + sin x = sin x.sin x 1 1 ⇔ sin x − sin x.sin x + sin 3x + sin x − sin x = 4 ⇔ sin x- sin x + sin x (1 − sin x ) = ⇔ sin x- sin x + sin x.cos x = Tổ: Toán - Tin 50 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh x = kπ x = kπ s inx=0 x = π + l 2π x = kπ π x=k sin3x=0 π s inx= sin x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = + l 2π 5π ⇔ x = + l 2π s inx= sin x.cos x = s inx= π x = + l 2π cos3x=0 π π sin 3x=1 x = + k b 3cot x + cos x − cot x − cos x + = (1) ĐK: x ≠ kπ (1) ⇔ ( ) 2 cot x − + ( cos x − 1) = cot x = ⇔ cosx= π x = + kπ π ⇔ ⇒ x = + m2π ( m ∈ Z ) x = ± π + l 2π c 8cos x.cos 2 x + − cos3x + = ⇔ cos x (1 + cos4x ) + − cos3x + = π kπ x=± + c os4 x =2π ⇔ ( 2cos4x +1) + − cos3x = ⇔ ⇒x= + m 2π ( m ∈ Z ) 2⇔ l π cos3x =1 x = d sin x + sin x cos3xsin x + sin x cos3 x ) = sin xsin x ( 3sin x sin x ( cos3xsin x + sin 3x cos3 x ) 3sin x sin x = sin x ( 4cos3 x − 3cos x ) + cos3 x ( 3sin x-4sin x ) = 3sin x sin x 2 = sin x sin x.cos2x ⇔ 3sin x cos x cos x − sin x ( ) 3sin x 3sin x sin x 1 = sin x = sin x sin x 4 ⇔ Cho nên phương trình d phương trình a mà ta giải Tổ: Toán - Tin 51 Trường THPT Xuân Hồ Chun đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh II PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ Phương pháp - Xét phương trình: f(x) = g(x) , với ∀x ∈ D - Nếu tồn số thực k cho: f (x) ≤ k ≤ g(x), ∀x ∈ D f (x) = k thi f (x) = g(x) ⇔ g(x) ≤ k ≤ f (x) g(x) = k Kiến thức sử dụng: - Tính chất hàm số lượng giác - Các bất đẳng thức bản: cauchy, Bunhiacopski Bài tập áp dụng Bài Giải phương trình sau: a cos3x + − cos x = (1 + sin 2 x ) b sin x + cos3 x = − sin x c − cos x − cos x + = d tan x + cot x = 2sin x + π 4 Giải: a cos3x + − cos x = (1 + sin 2 x ) ( Ta có: VT = 1.cos3x +1 − cos x ) ≤ (1 + 1) ( cos x + − cos x ) = ⇒ VT ≤ VP = (1 + sin 2 x ) ≥ ⇒ Cho nên phương trình có nghiệm hai vế xảy dấu đẳng thức: = cos x = cos6x =1 cos3x = − cos x ⇔ cos3x ⇔ ⇔ − cos x ⇔ sin2x =0 sin x = sin x = sin x = kπ x = 6 x = k 2π ⇔ ⇔ 2 x = lπ x = lπ Nếu phương trình có nghiệm tồn k, l thuộc Z cho hai nghiệm: kπ lπ = ⇔ k = l ⇒ chọn: l = 2n 2 Khi phương trình có nghiệm là: x = nπ (n ∈ Z ) b sin x + cos3 x = − sin x VT = sin x + cos3 x ≤ sin x + cos x = Tổ: Tốn - Tin 52 Trường THPT Xn Hồ Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh VP = − sin x ≥ − = (Do ≤ sin x ≤ ) Do phương trình xảy khi: sin x (1 − sin x ) = sin x = sin x sin x = π ⇔ cos3 x = cos x ⇔ cos x (1 − cos x ) = ⇔ ⇒ x = + k 2π cos x = sin x = sin x = Bài Giải phương trình sau: a cos13 x + sin14 x = b cos x − cos x − x sin x + x + = Giải a cos13 x + sin14 x = cosx ≤ cos13 x ≤ cos x ⇔ 14 ⇒ cos13 x + sin14 x ≤ cos x + sin x = Do: sin x ≤ sin x s inx ≤ Vậy: π x = + kπ cos x =0 12 π 13 cos x ( cos11 x − 1) = x = + kπ cos x = cos x sin x =1 x = π + kπ ⇒ 14 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 12 cos x =1 sin x = sin x sin x ( sin x − 1) = x = l 2π x =k2π sin x =0 x =kπ 2 b − cos x − x sin x + x = ⇔ ( cos x-1) + ( x − sin x ) = x = k 2π cos x − 1=0 cos x = x = k 2π ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ ⇒x=0 2 x -sin x = x = sin x cos x + sin x = x + x = Bài tập tương tự: Bài Giải phương trình sau: a sin x + cosx = ( − sin x ) b tan x +tan2 x = -sin3 x cos2 x c sin4 x cos16 x = π d 2sin x + = t anx +cotx Bài Giải phương trình sau: a cos x + 2 + sin x + = 12 + sin y cos x sin x 2 3x 3x 81 b sin + + cos + = cos x 2 x x sin cos 2 2 Tổ: Toán - Tin 53 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh Bài Giải phương trình sau: =0 s inx.cos2x.cos3x a cos x − cos x − cos4x =1 b tan x + tan 3x + c cos x cos x − cos x = d ( cos4x-cos2x ) = + sin 3x MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Giải phương trình sau: 1) (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Ngày 28/12/2014) π π cos x cos( x + )cos( − x) = sin x 3 2) (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 1/2015) cos x − cos x = 2sin x + sin x + 3) (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 3/2014) sin x − cos x = cos x − 2sin x − 4) (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 4/2015) cos x − sin x = (cos x − sin x)(2 cos x − 2sin x + 1) 5) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 1) (1 + sin x)(cos x − sin x) = − 2sin x 6) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 2) 4 π sin x + cos ( + x ) = 7) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 3) π π cos x − sin 2 x = sin( x + ) sin( x − ) cos x 6 8) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 4) sin x = sin x + cos x(cos x − 1) 9) (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 2- ngày 05/10/2014) sin x + sin x + sin x + tan x = cos x + cos 3x + cos x 10) (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 23/11/2014) cos x − cos x − cos x = 11) (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 21/12/2014) sin x = tan x Tổ: Toán - Tin 54 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh 12) (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 25/01/2015) log 5− x2 ( 3sin x − 2sin x ) = log 22 5− x sin x cos x 13) (Sở GD-ĐT Hà Nội- Trường THPT Thăng Long-lần 1) sin x + cos x = sin x − 14).(Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ-lần 1) 2cox x + cos x + cos x = 15) (Trường THPT Lương Thế Vinh Hà Nội- lần 1) 3cos x + s inx-1= cos x + sin x − sin x 16) (Trường THPT chuyên Đại học Vinh- lần 1) cos x + cos x = cos x sin x 17) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Đào Duy Từ - lần 1) sin x − sin x + sin x = 18) (Trường THPT chuyên Hà Tĩnh- lần 1) cos x + 2sin x − cos x = 19) (Trường THPT chuyên Lam Sơn- ngày thi 31/1/2015) cos x.cos x + sin x = cos8 x 20) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Đơng Sơn 1) cos x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = 21) (Sở GD_ĐT Nghệ An- Trường THPT Quỳnh Lưu 1) sin x − cos x = sin x + 2cox − 22) (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Hàn Thuyên- lần 2) π cos x + cos x = + 2(2 x + ) 23) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 2-lần 1) sin x + sin x + = cos x ( x ∈ ℝ) 24) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 2-lần 2) sin x + cos x − sin x − = 25) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 4) cos x − cos x + sin x = 26) (Sở GD_ĐT Hải Dương- Trường THPT Hồng Quang- lần 1) 2sin x + sin x − = 27) (Trung tâm dạy thêm văn hóa Lê Hồng Phong- lần 1) 3s in x + cos2 x = 28) (Sở GD_ĐT Bắc Giang-Trường THPT Lục Ngạn số 1- lần 2) s in x − 2sin4 x + 3cos2 x = + sin x Tổ: Toán - Tin 55 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh 29) (Sở GD_ĐT Hải Phòng- Trường THPT Trần Nguyên Hãn) π sin x + cos x − sin( x − ) − = 30) (Sở GD_ĐT Hải Dương- Trường THPT Chí Linh- lần 1) s in x = s inx − cos3 x + cos x cos x π π tan( − x) tan( + x) 4 31) (Trường THPT Chuyên Bắc Yên Thành- lần 1) cos x = − sin x + sin x 32) (Trường THPT Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai-lần 1) sin x − 2sin x − cos x + = 33) (Sở GD_ĐT Tỉnh Nam Định) 4sin x + sin x = − cos x 34) (Trường THPT Nghi Sơn- Thanh Hóa) cos x + cos x(2 tan x − 1) = 35) (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Ngô Gia Tự) sin x − 2(sin x + cox) = 36) (Trường THPT Nguyễn Trung Thiên- lần 1) sin x − sin x = − cos x 37) (Trường THPT Quảng Xương I) sin x + sin x + cos x = 38) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thiệu Hóa- lần 1) sin x + cos x = 39) (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc- lần 2) 3x π x (tan x cot x − 1) sin x = sin( x + ) + cos sin 2 40) (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc- lần 3) cos x − cos x − 3cos2 x = sin x + 41) (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc) sin x + = cos x + sin x + cos x 42) (Sở GD_ĐT Vĩnh Phúc-Trường THPT Yên Lạc- lần 1) 3π sin x(1 + 8cos x) = cos(3 x − ) 43) (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Yên Phong số 2) sin x − cos x = Tổ: Toán - Tin 56 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh 44) (Sở GD_ĐT Thái Nguyên -Trường THPT Gang Thép) cos x + sin x − sin x − cos x = 45) (Trường THPT Triệu Sơn 5- lần 2) sin x − cos x = 2sin x − 46) (Sở GD_ĐT Hà Tĩnh-Trường THPT Cù Huy Cận) π sin x − cos x − 3cos( − x) − cos x + = 47) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Trần Phú) sin x = cos x + 48) (Sở GD_ĐT Vĩnh Phúc) sin x + 3sin x − = 49) (Trường THPT Lam Kinh- lần 1) π cos x + cos 3x = + sin(2 x + ) 50) (Sở GD_ĐT Hải Phòng- Trường THPT Lê Quý Đôn) cos10 x = cos x sin x − cos x 51) (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Lý Thái Tổ) cos x + cos x sin x − sin x + sin x = cos x 52) (Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi- lần 1) cos x( cos x + cos x − 1) = 53) (Sở GD_ĐT Nghệ An- Trường THPT Nam Yên Thành – lần 1) sin x + cos x = + sin x cos x 54).(Sở GD_ĐT Hà Nội- Trường THPT Yên Lãng) sin x + cos3 x = cos x (2 cos x − sin x) 55) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Như Xuân) (sin x + cos x) = + cos x 56) (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thường Xuân 3) 3cos x − = −3(1 − cos x) cot x 57).(Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thường Xuân 3- lần 2) π cos(2 x + ) + 4sin x sin x − = 58).( Vietel study- lần 1) sin x + cos x = cos x 59).( Vietel study- lần 2) Tổ: Toán - Tin 57 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh cos3 x + cos x sin x + sin x cos x =0 tan x + 60).( Vietel study- lần 3) sin x sin x + sin x = cos x sin x + cos x + 61).( Vietel study- lần 4) sin x − cos x + cos x + sin x + = 62)( Vietel study- lần 6) (cos x − 1) cos x = 2(1 + sin x) sin x + cos x HIỆU TRƯỞNG Xuân Hòa, ngày 15 tháng 11 năm 2015 Người viết Đào Mỹ Hạnh Tổ: Toán - Tin 58 Trường THPT Xuân Hoà ... II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Phương trình lượng giác Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp I Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc với hàm số lượng giác II Phương trình bậc sinx cosx III Phương. .. - Tin 29 Trường THPT Xuân Hoà Chuyên đề: Biến đổi lượng giác phương trình lượng giác GV: Đào Mỹ Hạnh B.C ác dạng phương trình lượng giác DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I LÝ THUYẾT CƠ BẢN... DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp : Dùng cơng thức lượng giác lượng giác phù hợp, kết hợp với phép biến đổi tương đương Biến đổi phương trình cho phương trình