Chương 3 Trạng thái ứng suất- Các thuyết bền 3.1. Tóm tắt lý thuyết 3.1.1 Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm - Nội lực: phân bố trên mặt cắt thuộc vật thể chịu lực. - Ứng lực: Hợp lực của nội lực trên mặt cắt ngang. - Ứng suất: tại một điểm trên một mặt cắt - Trạng thái ứng suất: tại một điểm - Định nghĩa trạng thái ứng suất tại một điểm: là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt đi qua điểm đó. - Nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm: tách phân tố lập phương vô cùng bé chứa điểm đang xét, biểu diễn các thành phần ứng suất trên tất cả các mặt vuông góc với ba trục toạ độ x, y, z. Trên mỗi mặt ứng suất toàn phần có phương, chiều bất kỳ được phân tích thành ba thành phần: 1 thành phần ứng suất pháp vuông góc với mặt cắt và 2 thành phần ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt. Ký hiệu ứng suất: chỉ số 1 – phương pháp tuyến; chỉ số 2 – phương của ứng suất x y z σ x τ xy τ xz σ y τ yx τ yz σ z τ zx τ zy Chín thành phần ứng suất tác dụng trên 3 cặp mặt vuông góc với ba trục tạo thành một ten-xơ hạng hai gọi là ten-xơ ứng suất Tóm tát lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng x xy xz yx y yz zx zy z T σ σ ττ τ στ τ τσ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.1) Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: trạng thái ứng suất tại một điểm hoàn toàn xác định nếu biết được ten-xơ ứng suất T σ tại điểm đó. .1.2. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính 3 a) Mặt chính: Là mặt không có tác dụng của ứng suất tiếp. b) Phương chính: là phương pháp tuyến của mặt chính. c) Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác dụng trên mặt chính. d) Qui ước gọi tên các ứng suất chính: Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: tại 1 điểm luôn tồn tại ba mặt chính vuông góc với nhau với ba ứng suất chính tương ứng ký hiệu là 1 σ , 2 σ , 3 σ . Theo qui ước: 123 σ σσ ≥≥ 3 .1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị bằng nhau, có chiều cùng hướng vào cạnh chung hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung. Tóm tát lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng x yyx τ τ = ; x zzx τ = ; (3.2) τ yz zy τ τ = .1.4. Trạng thái ứng suất phẳng 3 • Các thành phần ứng suất trên mặt cắt song song với trục z (z là phương chính) và có pháp tuyến u hợp với trục x một góc α Qui ước dấu (như hình vẽ dưới đây): α σ u τ uv x y σ x τ xy σ y σ y σ x τ xy τ yx τ yx u - Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân tố - Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vòng quanh phân tố theo chiều kim đồng hồ - Góc α dương khi quay từ trục x đến trục u theo chiều ngược chiều kim đồng hồ sin 2 22 xy xy ux cos2 - y σ σσσ σ ατ α +− =+ 2 2 xy uv xy sin2 cos σ σ τ ατ α − =+ (3.3) • Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính 2 2 1,2(3) 22 xy xy xy max, min σσ σσ σ σ +− ⎛⎞ == ± + ⎜⎟ ⎝⎠ τ (3.4) • Các phương chính: Hai phương chính vuông góc với nhau 2 2 xy x y tg τ α σ σ =− − => trong đó 0 1,2 0 0 90 α α α ⎧ = ⎨ + ⎩ 0 2 1 2 xy x y arctg τ α σ σ ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ (3.5) • Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 45 0 2 2 2 xy xy max,min σσ τ τ − ⎛⎞ =± + ⎜⎟ ⎝⎠ (3.6) • Bất biến của trạng thái ứng suất phẳng: tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi xyuv const σ σσσ +=+= (3.7) Chú ý: Ngoài các công thức giải tích đã kể trên, người ta còn dùng đồ thị để biểu diễn trạng thái ứng suất (vòng tròn Mohr ứng suất). .1.5. Quan hệ ứng suất - biến dạng -Định luật Hooke 3 a. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng dài () 1 xxy E εσμσσ ⎡⎤ =−+ ⎣⎦ z ( 1 yyx E εσμσσ ⎡ =−+ ⎣ ) z ⎤ ⎦ (3.8) () 1 zzx E εσμσσ ⎡⎤ =−+ ⎣⎦ y b. Quan hệ ứng suất tiếp – biến dạng góc x y xy G τ γ = ; x z xz G τ γ = ; yz yz G τ γ = (3.9) với E, μ, G là mô đun đàn hồi kéo (nén), hệ số Poisson, mô đun đàn hồi trượt, liên hệ với nhau bởi công thức: Tóm tát lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng () 21 E G μ = + (3.10) c. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng thể tích () ( 12 ) x yz x y z E μ θ εεε σσσ − =++= + + (3.11) .1.6. Các điều kiện bền theo các thuyết bền 3 + Thuyết bền 1 (thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất) [ ] 1 k σ σ ≤ [ ] 3 n σ σ ≤ (3.12) + Thuyết bền 2 (thuyết bền biến dạng dài lớn nhất) ( ) [ ] 21 23t k σ σμσσ σ =− + ≤ (3.13) + Thuyết bền 3 (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất) [ ] 313t k σ σσ σ =−≤ (3.14) + Thuyết bền 4 (thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng) [] 222 4123121323t k σ σσσσσσσσσ σ =++−−− ≤ (3.15) + Thuyết bền 5 (Thuyết bền Mohr) [ ] [] [] 51 3 k t k n σ σ σσ σ =− ≤ σ (3.16) Phạm vi sử dụng các thuyết bền: Hiện chỉ sử dụng các thuyết bền 3, 4, 5 - Thuyết bền 5 chỉ thích hợp với vật liệu giòn - Thuyết bền 3, 4 chỉ thích hợp với vật liệu dẻo. 3.2. Đề bài tập tự giải Bài 3.1: Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng p=3kN/cm 2 có phương tạo thành một góc với mặt cắt. Trên mặt vuông góc với mặt này chỉ có ứng suất tiếp. Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp với mặt m-n góc 45 0 60 α = 0 . Tính ứng suất pháp cực trị. τ p m n 60 45 0 0 Tóm tát lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng Túm tỏt lý thuyt v bi tp Trn Minh Tỳ - i hc Xõy dng Bi 3.2: Trờn hai mt to vi nhau gúc 60 0 i qua mt im trng thỏi ng sut phng cú cỏc thnh phn ng sut nh trờn hỡnh v. Hóy tớnh ng sut chớnh ti im ú, ng sut phỏp v bin dng tng i theo phng u. 60 0 u 5 kN/cm 3 kN/cm 6 kN/cm 2 2 2 Bi 3.3: Mt phõn t hỡnh hp xiờn tỏch ra t mt vt th chu lc trnh thỏi ng sut phng cú cỏc thnh phn ng sut tỏc ng trờn cỏc mt nh hỡnh v. Tỡm cỏc ng sut chớnh v phng chớnh ca trng thỏi ng sut ti im ny (=60 0 ) Bi 3.4: Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng ngời ta đo đợc các biến dạng dài tơng đối theo các phơng m, n, và u .Tính các giá trị ứng suất chính và các phơng chính tại điểm này . Biết vật liệu có E=2 ì 10 4 kN/cm 2 ; =0,3 ; m =2,81 ì 10 -4 ; n =-2.81 ì 10 -4 ; u =1,625 ì 10 -4 . n m 45 0 0 45 n 60 0 0 60 m (a) (b) Bi 3.5: Trờn cỏc mt ct i qua mt im ca vt th trng thỏi ng sut phng cú cỏc thnh phn ng sut nh trờn hỡnh v. Xỏc nh cỏc ng sut chớnh v cỏc phng chớnh ti im ny. 45 6kN/cm A 2kN/cm 2 2 C 2 5kN/cm 3 0 Bi 3.6: Trên các mặt cắt đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng có các thành phần ứng suất nh hình vẽ . 1.Xác định các ứng suất chính và các phơng chính tại điểm này 2.Tính biến dạng dài tơng đối theo các phơng chính. Biết E=2x10 4 kN/cm 2 ; =0,3 . =60 0 . 8kN/cm 2kN/cm 2 2 B A 6kN/cm 2 Bi 3.7: Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng ngời ta đo đợc các biến dạng dài tơng đối theo các phơng u, v, và t .Tính các giá trị ứng suất chính và các phơng chính tại điểm này . Biết vật liệu có E=2x10 4 kN/cm 2 ; =0,25 ; u =2x10 -4 ; v =2x10 -4 ; t =10 -4 ; =30 0 . Túm tỏt lý thuyt v bi tp Trn Minh Tỳ - i hc Xõy dng v u t Bi 3.8: Một thanh thép BC có mặt cắt hình vuông đợc ngàm chặt tại hai đầu và chịu áp lực trên các mặt bên trên một đoạn có chiều dài b nh hình vẽ. 1. Xác định phản lực ngàm theo phơng trục thanh . 2. Xác định chuyển vị của tiết diện 1-1 theo phơng trục thanh . Biết L=1 m ; E=10 4 kN/cm 2 ; =0,3; p=10 kN/cm 2 ; diện tích tiết diện thanh là a ì a=4 ì 4 cm 2 . L 2L L 2p p 2p BC 1 1 0,5L 2p 2p p Bi 3.9: Mt tm hỡnh ch nht b dy t sỏt gia hai vỏch thng ng song song khụng bin dng nh hỡnh v. Tm chu lc kộo F v lc nộn Q. Cho h s Poisson ; chiu di a, b. Hóy xỏc nh ỏp lc nộn ca tm vo vỏch (b qua lc ma sỏt) F F F F QQ b a Bi 3.10: Mt thanh thộp mt ct ngang hỡnh vuụng gm hai on, on AB cú cnh l 4cm, on BC cú cnh l 2cm. Thanh ngm hai u v chu ỏp lc p phõn b u nh trờn hỡnh v. Xỏc nh giỏ tr cho phộp ca [p] sao cho ng sut phỏp dc trc ln nht ca thanh khụng vt quỏ 10kN/cm 2 . Bit=0,3; E=2ì10 4 kN/cm 2 Túm tỏt lý thuyt v bi tp Trn Minh Tỳ - i hc Xõy dng p p p p p p p p B D p p p L L C 4cm 2cm Bài 3.11: Một khối trụ tròn A được nhét khít vào một lỗ khoét của một vật cứng tuyệt đối B và chịu lực nén P=50 kN. Xác định áp lực nén vào vách lỗ khoét, các biến dạng Δh và ΔV của khối đồng. Biết d=4cm; μ=0,31; E=1,1×10 4 kN/cm 2 . h d P B A Bài 3.12: Một khối thép hình lập phương cạnh a=5cm đặt khít trong rãnh của một khối thép lớn (coi như tuyệt đối cứng). Khối thép chịu áp lực p= 120 MN/m 2 . Xác định áp lực nén vào vách rãnh và độ biến dạng thể tích tuyệt đối. Kiểm tra độ bền của khối thép theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại và thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng biết [σ]=140 MN/m 2 . μ=0.3; Bỏ qua lực ma sát giữa các mặt tiếp xúc của hai khối. E=2×10 4 kN/cm 2 p x y z a Tóm tát lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng . ngang. - Ứng suất: tại một điểm trên một mặt cắt - Trạng thái ứng suất: tại một điểm - Định nghĩa trạng thái ứng suất tại một điểm: là tập hợp tất cả. để biểu diễn trạng thái ứng suất (vòng tròn Mohr ứng suất) . .1.5. Quan hệ ứng suất - biến dạng -Định luật Hooke 3 a. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng