ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHUYÊN ĐỀ BIẾN PHỨC ĐỊNH LÝ VÀ ÁP DỤNG Nguyễn Văn Mậu ( chủ biên) Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ============================= Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh BIẾN PHỨC ĐỊNH LÝ VÀ ÁP DỤNG HÀ NỘI 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ============================= Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh BIẾN PHỨC ĐỊNH LÝ VÀ ÁP DỤNG HÀ NỘI 2009 Mục lục Lời nói đầu 8 1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn 11 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Các dạng biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Biểu diễn số phức nhờ ma trận . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức . . . . . . . . . 25 1.2.6 Biểu diễn các số phức trên mặt cầu Riemann . . . . . . . 27 1.2.7 Khoảng cách trên C 30 1.3 Bàitập 33 2 Số phức và biến phức trong lượng giác 36 2.1 Tính toán và biểu diễn một số biểu thức . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Tính giá trị của một số biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . 43 2.3 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Tổng và tích sinh bởi các đa thức lượng giác . . . . . . . . . . . 54 2.4.1 Chứng minh công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.2 Tổng và tích các phân thức của biểu thức lượng giác . . 64 4 MỤC LỤC 5 2.5 Bất đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6 Đặc trưng hàm của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 76 2.7 Bàitập 83 3 Một số ứng dụng của số phức trong đại số 88 3.1 Phương trình và hệ phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.1 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.2 Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.3 Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.1.4 Phương trình bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.5 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số . . 109 3.2 Các bài toán về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.1 Phương trình hàm trong đa thức . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . 120 3.2.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức . . . . . . . . . . . . 135 3.2.4 Quy tắc dấu Descartes trong ứng dụng . . . . . . . . . . 136 3.3 Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . . . 144 3.3.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính . . . . . . . . 145 3.3.2 Đẳng cấu phân tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.3.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính . . . . 160 3.4 Bàitập 163 4 Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp 166 4.1 Giải phương trình Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.2 Rút gọn một số tổng tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.3 Các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.4 Số phức nguyên và ứng dụng trong lí thuyết số . . . . . . . . . . 172 4.4.1 Tính chất chia hết trong tập các số phức nguyên . . . . 174 6 MỤC LỤC 4.4.2 Số nguyên tố Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.4.3 Một số áp dụng số phức nguyên . . . . . . . . . . . . . . 185 4.5 Bàitập 189 5 Một số ứng dụng của số phức trong hình học 192 5.1 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức193 5.1.1 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.2 Tích vô hướng của hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.3 Tích ngoài của hai số phức. Diện tích tam giác . . . . . . 195 5.1.4 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.1.5 Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức 196 5.1.6 Điều kiện đồng quy, thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm trên một đường tròn (đồng viên) . . . . . . . . . . . . . 198 5.2 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3 Chứng minh bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.4 Các bài toán hình học chứng minh và tính toán . . . . . . . . . 214 5.4.1 Số phức và đa giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.4.2 Đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . 222 5.5 Bảng các công thức cơ bản ứng dụng số phức vào giải toán hìnhhọc 223 5.6 Bàitập 227 6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân 231 6.1 Một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân . . . . . . . 231 6.2 Tính tổng bằng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . 239 6.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . 257 6.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 271 6.5 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . 279 MỤC LỤC 7 6.6 Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm . . . . . . 291 7 Khảo sát các phương trình đại số 376 7.1 Nhắc lại các kiến thức cơ bản về số phức và hàm phức . . . . . 375 7.2 Số nghiệm của phương trình đa thức trên một khoảng . . . . . . 409 7.3 Đánh giá khoảng nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.4 Giải gần đúng phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 481 Phụ lục A. Hàm sinh và áp dụng 517 P-1 Vídụminhhọa 517 P-2 Khái niệm về hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 P-3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Phụ lục B. Hệ hồi quy và hệ tuần hoàn 538 Q-1 Ma trận lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 Q-2 Ma trận tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 Tài liệu tham khảo 551 Lời nói đầu Chuyên đề "Biến phức, định lý và áp dụng" đóng vai trò như là một công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán của hình học, giải tích, đại số, số học và toán tổ hợp. Ngoài ra, các tính chất cơ bản của số phức và hàm biến phức còn được sử dụng nhiều trong toán hiện đại, các mô hình toán ứng dụng, Trong các kỳ thi Olympic toán sinh viên quốc tế và quốc gia, thì các bài toán liên quan đến biến phức thường được đề cập dưới nhiều dạng phong phú thông qua các đặc trưng và các biến đổi khác nhau của phương pháp giải, vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang tính đặc thù sâu sắc. Chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông của hầu hết các nước đều có phần kiến thức số phức. Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách, nội dung số phức cuối cùng cũng đã được đưa vào chương trình Giải tích 12, tuy nhiên còn rất đơn giản. Vì nhiều lý do khác nhau, rất nhiều học sinh, thậm chí là học sinh khá, giỏi sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách rất đơn sơ: sử dụng số phức, có thể giải được mọi phương trình bậc hai, tính một vài tổng đặc biệt, Việc sử dụng số phức và biến phức trong nghiên cứu, khảo sát hình học (phẳng và không gian) tỏ ra có nhiều ưu việt, nhất là trong việc xem xét các vấn đề liên quan đến các phép biến hình, quỹ tích và các dạng miền bảo giác. Nhìn chung, hiện nay, chuyên đề số phức và biến phức (cho bậc trung học phổ thông và đại học) đã được trình bày ở dạng giáo trình, trình bày lý thuyết 8 Lời nói đầu 9 cơ bản và có đề cập đến các áp dụng trực tiếp theo cách phân loại phương pháp và theo đặc thù cụ thể của các dạng ví dụ minh họa. Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại họ c cho đội ngũ giáo viên, các học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích, Phương trình vi phân và tích phân, Phương pháp toán sơ cấp và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề số phức, biến phức và áp dụng, chúng tôi viết cuốn chuyên đề nhỏ này nhằm trình bày đầy đủ các kiến thức tổng quan, các kỹ thuật cơ bản về phương pháp sử dụng số phức và biến phức để tiếp cận các dạng toán khác nhau của hình học, số học, toán rời rạc và các lĩnh vực liên quan. Đây là chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học mà các tác giả đã giảng dạy cho các lớp cao học, cho đội tuyển thi olympíc toán sinh viên quốc gia và quốc tế và là nội dung bồi dưỡng giáo viên các trường đại học, cao đẳng và trường chuyên trong cả nước từ nhiều năm nay. Trong tài liệu này, chúng tôi đã sử dụng một số nội dung về lý thuyết cũng như bài tập mang tính hệ thống đã đượ c các Thạc sĩ và học viên cao học thực hiện theo một hệ thống lôgíc nhất định dưới dạng các chuyên đề nghiệp vụ bậc sau đại học. Những dạng bài tập khác là một số đề thi của các kì thi học sinh giỏi và các bài toán trong các tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Kvant, Mathematica, các sách giáo khoa, chuyên đề và chuyên khảo, hiện hành ở trong nước. Cuốn sách được chia thành 5 chương. Chương 1. Số phức và biến phức, lịch sử và các dạng biểu diễn Chương 2. Tính toán trên số phức và biến phức Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số Chương 4. Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp [...]... Như vậy C = C ∪ {∞} và C không phải là một trường Từ định lí 1.1 suy rằng phép chiếu nổi π xác lập sự tương ứng đơn trị một-một giữa các điểm của C và các điểm của S \ {P } Hiển nhiên khi |z| → ∞ thì điểm A(z) sẽ dần đến điểm P (0; 0; 1) Thật vậy, từ tính đồng dạng của hai tam giác zOP và AP O suy rằng AP = 1 1 + |z|2 30 Chương 1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn và do đó AP → 0 khi... = 40 √ √ Cardano đã tìm được nghiệm 5 + −5 và 5 + −5 và ông đã gọi nghiệm này là "âm thuần tuý" và thậm chí còn gọi là "nghiệm âm nguỵ biện" Có lẽ tên gọi "ảo" là di sản vĩnh cửu của "một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học" 14 Chương 1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo... nghĩa 1.1 Một cặp số thực có thứ tự (a; b), a ∈ R, b ∈ R, được gọi 18 Chương 1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây: a=c b = d Chú ý rằng đối với hai số phức bằng nhau (a; b) và (c; d) ta có thể viết i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: (a; b) = (c; d)... là dịch từ tiếng Pháp "imaginaire" do R.Descates đề xuất năm 1637 11 12 Chương 1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình (x − a)2 + b2 = 0 Về sau biểu thức dạng √ a + b −1, b = 0 xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai và bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng "ảo" và sau đó được Gauss gọi là số phức2 và thường được kí hiệu... chứa trong hình tròn cố định nào đó {|z| R, R < ∞}) hai mêtric Euclide và mêtric - cầu là tương đương với nhau Thật vậy, nếu M ⊂ {|z| |z1 − z1 | 1 + R2 R} thì từ (1.13) ta có dC (z1 ; z2) |z1 − z2 |, ∀ z1 , z2 ∈ M Do đó mêtric cầu thường được áp dụng khi xét các tập hợp không bị chặn Và nói chung, khi tiến hành các lập luận trên C ta sử dụng mêtric Euclide dC , còn trên C thì sử dụng mêtric - cầu dC ... vậy tiên đề iv) tương thích với các tiên đề i), ii) và iii) Ta cũng lưu ý các công thức sau đây được suy trực tiếp từ iii) và iv): λ(a; b) = (λa; λb), λ ∈ R Thật vậy, từ iv) và iii) ta có: λ(a; b) = (λ; 0)(a; b) = (λa − 0 · b; λb + 0 · a) = (λa; λb) Nếu λ = m ∈ N thì theo ii) ta có (a; b) + (a; b) = (2a; 2b); 20 Chương 1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn (2a; 2b) + (a; b) = (3a; 3b),... là hàm thực đa trị của biến phức z = 0 và đối với z đã cho, các giá trị của hàm sai khác nhau một bội nguyên của 2π Hàm acgumen không xác định tại z = 0 Thông thường người ta sử dụng giá trị chính của acgumen ϕ = arg z xác định với điều kiện bổ sung −π < arg z ≤ π hoặc 0 ≤ arg z < 2π Để đơn giản cách viết các số phức ta đặt cos ϕ ± i sin ϕ = e±iϕ dạng lượng giác (1.4) được biến đổi thành dạng mũ z... khi xác định các phép tính số học cơ bản trên các số phức ta cần đòi hỏi rằng khi áp dụng cho các số thực các phép toán đó đưa lại kết quả như kết quả thu được trong số học các số thực Mặt khác, nếu ta mong muốn các số phức có những ứng dụng trong các vấn đề của giải tích thì ta cần đòi hỏi rằng các phép toán cơ bản được đưa vào đó phải thoả mãn các tiên đề thông thường của số học các số thực Định nghĩa... thực và các phép toán trên chúng Trong định nghĩa này ba tiên đề đầu thực chất là định nghĩa khái niệm bằng nhau, khái niệm tổng và khái niệm tích của các số phức Do đó việc đối chiếu các tiên đề đó với nhau sẽ không dẫn đến bất cứ mâu thuẫn nào Điều duy nhất có thể gây ra đôi chút lo ngại là tiên đề iv) Vấn đề là ở chỗ vốn dĩ các khái niệm bằng nhau, tổng và tích các số thực có ý nghĩa hoàn toàn xác định. .. học Italy R Bombelli Trong cuốn "Đại số" (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số "ảo" Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss4 (năm 1831) Vào thế kỷ XVII - XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng Chẳng hạn L.Euler mở rộng khái niệm logarit . Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh BIẾN PHỨC ĐỊNH LÝ VÀ ÁP DỤNG HÀ NỘI 2009 Mục lục Lời nói đầu 8 1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn 11 1.1 Lịch. tích, Phương trình vi phân và tích phân, Phương pháp toán sơ cấp và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề số phức, biến phức và áp dụng, chúng tôi viết cuốn