1 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho dãy số {x n } xác định như sau: 1 0 0, ( 1) , 1. 2004 n n n x x x n        Tính 2 lim . n n x  Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+ ). Chứng minh rằng hàm số 0 0 () () () x x tf t dt Fx f t dt    đồng biến trên [0,+ ). Câu 3. Cho 0 . ab Tính tích phân     1 0 1 0 ) ( ) (1 ) . ) lim ( ) . a I bx a x dx bI           Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 2004 ( ) ( ) , . ( ) ( ) ( ) ( ), , . x i f x e x ii f x y f x f y x y        ¡ ¡ Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện ( ) ( ) 0P a P b với a < b. Đặt ( ) . a x b M max P x    Chứng minh rằng 3 ) ( )( )( ) 2 ( ) , 1 ) ( ) ( ) . 12 bb aa b a a P x x a x b dx P x dx b P x dx M b a        Hết 2 ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Câu 1. Cho dãy số {x n } xác định như sau: 1 0 0, ( 1) , 1. 2004 n n n x x x n        Tính 2 lim . n n x  Giải. Ta chứng minh công thức 1 ( 1) (2004) 1 . (2004) .2005 nn n n x    Thật vậy, đặt () , (2004) n n hn x  ta thu được 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) (2004) 2004 (2004) n nn h n h n      . Suy ra ( ) ( 1) ( 1) (2004) nn h n h n    và   11 ( ) (0) ( ) ( 1) ( 1) (2004) . nn ii ii h n h h i h i         Do 0 (0) 0xh nên 1 1 1 ( 1) (2004) 1 ( 1) (2004) . (2004) (2004) .2005 nn n ii n nn i x        Suy ra 2 2 2004 lim . 2005 n n x      Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+ ). Chứng minh rằng hàm số 0 0 () () () x x tf t dt Fx f t dt    đồng biến trên [0,+ ). Giải. Ta có 00 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . () xx x xf x f t dt f x tf t dt Fx f t dt         Vì 2 () 0 () x x fx f t dt      3 và 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x x x x f t dt tf t dt x t f t dt       với ( ) 0,f t x t nên ( ) 0Fx   khi x > 0. Do vậy F(x) là một hàm đồng biến trong   0, . Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân     1 0 1 0 ) ( ) (1 ) . ) lim ( ) . a I bx a x dx bI           Giải. a) Đặt (1 ) ,bx a x t   ta có   1 0 11 1 (1 ) 1 1 1 . 11 b a b a t bx a x dx dt ba ba t b a b a                    b) Từ a) suy ra   1 11 1 1 1 ( ) . ( 1) ba I ba               Suy ra   1 1 1 0 lim ( ) . b ba a b Ie a           Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 2004 ( ) ( ) , . ( ) ( ) ( ) ( ), , . x i f x e x ii f x y f x f y x y        ¡ ¡ Giải. Đặt 2004 ( ) ( ). x f x e g x Theo giả thiết (i) thì ( ) 1gx với mọi .x¡ Thế vào điều kiện (ii), ta thu được 200( ) 2004 2004 ( ) ( ) ( ), x y x y e g x y e g x e g y   hay ( ) ( ) ( ), , .g x y g x g y x y   ¡ Với x= y= 0 ta thu được   2 (0) (0) (0) 1. (0) 1 gg g g         Suy ra 1 (0) ( ( )) ( ) ( ) 1, .g g x x g x g x x        ¡ Do đó ( ) 1gx và 2004 ( ) . x f x e Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện ( ) ( ) 0P a P b , với a < b. Đặt ( ) . a x b M max P x    Chứng minh rằng 4 3 ) ( )( )( ) 2 ( ) , 1 ) ( ) ( ) . 12 bb aa b a a P x x a x b dx P x dx b P x dx M b a        Giải. a) Ta chứng minh ( )( )( ) 2 ( ) (1) bb aa P x x a b x dx P x dx       Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được       ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) . bb aa b b b a a a P x x a b x dx P x x a b x dx P x b x x a dx P x b x x a dx P x dx                            b) Từ (1) ta thu được 1 ( ) ( )( )( ) . 2 bb aa P x dx P x x a b x dx       Suy ra 1 ( ) ( ) ( )( ) . 2 bb aa P x dx P x x a b x dx      Vì a x b nên ( )( ) ( )( )x a b x x a b x     và 3 ( ) ( )( ) ( ) . 2 12 bb aa MM P x dx x a b x dx b a      o0o 5 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. Cho dãy số {x n } ( 1,2,3, )n  được xác định bởi công thức truy hồi sau: 2 11 2, 5. nn x x x     Tìm giới hạn 2 1 12 lim( ) . n n n x x x x   Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều kiện ( ) 0. b a f x dx   Chứng minh rằng tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) 2005 ( ) . c a f c f x dx  Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho ()f x a   với mọi .x¡ Biết rằng 2 0 0 ( )sin .f x xdx a    Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0, 2     , phương trình ( ) 0fx có duy nhất nghiệm. Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện   1 2 1 ( ) , 0,1 . 2 x x f t dt x      Hãy chứng minh   11 2 00 ( ) ( ) .f x dx xf x dx  Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ và thoả mãn điều kiện (0) (1) .f f a Chứng minh rằng     x 0,1 max ( ) 8( )f x a b    , với     0,1 min ( ) . x b f x   Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn   ,.  ¡ Hết 6 ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn: Giải tích Câu1. Cho dãy số {x n } ( 1,2,3, )n  được xác định bởi công thức truy hồi sau: 2 11 2, 5. nn x x x     Tìm giới hạn 2 1 12 lim( ) . n n n x x x x   Giải. Theo giả thiết ta có 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 ( 2) 4 4 ( 4) ( 4) ( 4) 21( ) . n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x                    Suy ra 2 1 2 1 2 1 2 4 21 . ( ) n nn x x x x x x x      Dễ dàng chứng minh được (vi dụ: bằng qui nạp!) 2, 1. k xk   Do vậy 2 1 12 lim 21. n n n x x x x       Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều kiện ( ) 0. b a f x dx   Chứng minh rằng tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) 2005 ( ) . c a f c f x dx  Giải. Xét hàm số 2005 ( ) ( ) . t t a F t e f x dx    Khi đó ( ) ( ) 0F a F b và 2005 2005 ( ) 2005 ( ) ( ). t tt a F t e f x dx e f t       Theo Định lý Rolle, tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) 0,Fc   nghĩa là 2005 2005 2005 ( ) ( ) 0. c cc a e f x dx e f c      Hay từ đây suy ra điều phải chứng minh: ( ) 2005 ( ) . c a f c f x dx  Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho ()f x a   với mọi .x¡ Biết rằng 7 2 0 0 ( )sin .f x xdx a    Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0, 2     , phương trình ( ) 0fx có duy nhất nghiệm. Giải. Ta có 2 2 2 2 0 0 0 0 22 00 ( )sin ( ) cos cos ( ) ( )cos (0) ( )cos (0) cos (0) . f x xdx f x d x xf x f x xdx f f x xdx f a xdx f a                       Suy ra 2 0 (0) ( )sin 0.f f x xdx a      Giả sử ( 2) 0.f   Từ giả thiết ( ) 0f x a   suy ra ()fx đồng biến trên đoạn   0, 2 .  Khi đó   ( ) 0 0, 2 .f x x     Do vậy   ( )sin 0 0, 2 ,f x x x     hay 2 0 ( )sin 0.f x xdx    Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy, ( 2) 0.f   Kết hợp với điều kiện ()fx trên đoạn   0, 2  suy ra điều phải chứng minh. Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện   1 2 1 ( ) , 0,1 . 2 x x f t dt x      Hãy chứng minh   11 2 00 ( ) ( ) .f x dx xf x dx  Giải. Ta có       1 1 1 1 22 2 0 0 0 0 11 2 00 0 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) . 3 f x x dx f x dx xf x dx x dx f x dx xf x dx               Suy ra   11 2 00 1 ( ) 2 ( ) . (1) 3 f x dx xf x dx  Đặt 11 0 ( ) . x A f t dt dx      8 Ta có 1 1 1 2 00 11 ( ) . 23 x x A f t dt dx dx           Mặt khác 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . xx A f t dt dx x f t dt xf x dx xf x dx             Do đó 1 0 1 ( ) . 3 xf x dx   (2) Thay (2) vào (1) suy ra điều phải chứng minh. Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ và thoả mãn điều kiện (0) (1) .f f a Chứng minh rằng     x 0,1 max ( ) 8( )f x a b    , với     0,1 min ( ) . x b f x   Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn   ,.  ¡ Giải. Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý Rolle, tồn tại (0,1)c sao cho ( ) 0fc   . Xét khai triển Taylor của hàm ()fx tại điểm c: 2 ( ( )) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 fx f x f c f c x c x c         . Thay lần lượt giá trị x = 0 và x = 1 vào đẳng thức trên ta thu được 2 2 ( (0) . 2 ( (1) (1 ) . 2 f a b c f a b c         Hay 2 2 2( ) ( (0)) 0. 2( ) ( (1)) 0. (1 ) ab f c ab f c          Nhân vế với vế hai bất đẳng thức sau cùng ta thu được 2 2 22 4( ) ( (0)) ( (1)) 64( ) . (1 ) ab f f a b cc         (sử dụng bất đẳng thức 22 1 (1 ) 16 cc với [0,1])c . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Mở rộng đối với đoạn   ,  :   2 x, 8( ) max {f (x)} () ab        . Ghi chú: Nếu thí sinh đưa ra đư phản ví dụ khi a=b thì có thể xét thưởng điểm. Hết . HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn. ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Câu 1. Cho dãy số {x n } xác định như sau: 1 0 0, ( 1) , 1. 2004 n n n x x x