Ma trận TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM ĐT: 0989 969 057 Email: phungngoc.nguyen@gmail.com Website: http://nguyenngocphung.wordpress.com 10-10-2010 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Nội dung môn học Đại số tuyến tính Chương I: Ma trận 1 Ma trận và các phép toán trên ma trận. 2 Đònh thức. 3 Hạng của ma trận. 4 Ma trận nghòch đảo. Chương II: Hệ phương trình tuyến tính 1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát. 2 Hệ Cramer. 3 Phương pháp Gauss. 4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Chương III: Không gian vectơ nhiều chiều 1 Vectơ n-chiều, không gian vectơ n-chiều, không gian Euclide. 2 Sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính. 3 Hạng của hệ vectơ. 4 Không gian con: cơ sở và số chiều. 5 Tọa độ trong không gian R n . Chương IV: Dạng toàn phương 1 Phép biến đổi tuyến tính. 2 Trò riêng, vectơ riêng. Chéo hóa ma trận. 3 Dạng toàn phương. Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận 1 Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Phép chuyển vò Phép cộng ma trận với ma trận Phép nhân ma trận với một số Phép nhân ma trận với ma trận Các tính chất Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm Đònh nghóa Ma trận cấp m × n là một bảng số bao gồm m dòng và n cột . Ma trận A cấp m × n, kí hiệu A = (a ij ) m×n với i = 1, m, j = 1, n A =         a 11 a 1j a 1n . . . . . . . . . a i1 a ij a in . . . . . . . . . a m1 a mj a mn         m×n ← dòng thứ i ↑ cột thứ j Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm Ví dụ: A =   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11   A là ma trận có 3 dòng và 4 cột A là ma trận thực cấp 3 × 4 Các phần tử của ma trận A là: a 11 = 0, a 12 = 1, a 13 = 2, a 14 = 3 a 21 = 4, a 22 = 5, a 23 = 6, a 24 = 7 a 31 = 8, a 32 = 9, a 33 = 10, a 34 = 11 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm Đònh nghóa Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng không, (a ij = 0, ∀i, j), kí hiệu là 0 m×n . Đònh nghóa Cho A = (a ij ) m×n . Khi m=1 ta được ma trận dòng A = (a 11 a 12 · · · a 1n ) Khi n=1 ta được ma trận cột A =      a 11 a 21 . . . a m1      Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm Đònh nghóa Ma trận vuông cấp n là ma trận có n dòng và n cột. Các phần tử a ii lập thành đường chéo chính. Các phần tử a ij với i + j = n + 1 lập thành đường chéo phụï. Ví dụ : A =     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15     4×4 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm Đònh nghóa Ma trận vuông A = (a ij ) nxn được gọi là ma trận tam giác trên ⇔ Các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0 ⇔ a ij = 0, ∀i > j. Ví dụ : A =   2 1 −3 0 0 0 0 0 1   Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm Đònh nghóa Ma trận vuông A = (a ij ) nxn được gọi là ma trận tam giác dưới ⇔ Các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0⇔ a ij = 0, ∀i < j. Ví dụ : A =   2 0 0 −1 0 0 3 0 3   Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH [...]... X= TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 1 1 3 Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các tính chất Tính chất A+B=B+A A+0=A A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM k.(lA) = (kl).A k(A + B) = kA + kB (k + l)A = kA + lA TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các tính chất Tính. ..  1 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm  1  0  A= 0 0  0 2 2 −1   −1 1  0 1 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm  1  0  A= 0 0  0 2 2 −1 ... Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm  1  0  A= 0 0 0 2 0 6 2 −1 1 0  3 −1 1 0   0 3  1 1 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm  1 0  0 2  A= 0 0 0... Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm Đònh nghóa Ma trận đối xứng là ma trận vuông thỏa aij = aji , ∀i, j = 1, n Ví dụ :  −1 1 A= 1 2 0 5 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM  0 5  0 TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Ma trận Các khái... Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Tích ma trận với một số Đònh nghóa (Tích của ma trận với một số) Cho A = (aij )m×n , k ∈ R C = k.A = (cij )m×n ⇔ cij = k.aij , ∀i, j Ví dụ:  2 0 A =  −2 1 1 0  −1 0  −1 3×3 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM  4 0 ⇒ 2A =  − 4 2 2 0 TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  −2 0... Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm  1  0  A= 0 0 0 2 0 0 2 −1 0 1  3 1   0  1 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm  1 0  0 2  A= 0 0 0 0 2... Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Đa thức của ma trận Bài toán : Cho ma trận A = (aij )nxn Xác đònh f(A), biết f(x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 Ta có f(A) = an An + an−1 An−1 + + a1 A + a0 In Ví dụ : Xác đònh f(A), biết A= −1 1 0 −2 Giải Ta có: f(A) = A2 − 2A + 3I2 −1 0 × Tính được A2 = 1 −2 3 2 0 và... = AB ± AC (B ± C)A = BA ± CA (A + B)T = AT + BT (A.B)T = BT AT Im Am×n = Am×n = Am×n In (kA)T = kAT Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các tính chất Chú ý : AB tồn tại không thể suy ra BA tồn tại AB và BA cùng tồn tại không thể suy ra AB = BA A.B = 0 không thể suy ra A = 0 hoặc B = 0 AB =... và aii = 1, ∀i Ma trận đơn vò cấp n được kí hiệu là In   1 0 0 1 0 I3 =  0 1 0  Ví dụ: I2 = 0 1 0 0 1 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Các khái niệm Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện 1 Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng 2 Phần tử khác không đầu tiên của... 2   1 c12 = 2 1 4 ×  0  = 2.1 + 1.0 + 4.4 = 18 4   2 c13 = 2 1 4 ×  1  = 2.2 + 1.1 + 4.3 = 17 3 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  2 1  3 3x3 Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Ma trận Phép nhân ma trận với ma trận Tương tự ta có c21 = 7, c22 = 4, c23 = 9 13 18 17 Vậy C = A.B = 7 4 9 Ví dụ : Tìm ma trận X thỏa AX = B, biết . Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Nội dung môn học Đại số tuyến tính Chương I: Ma trận 1 Ma trận và các phép toán trên ma trận. 2 Đònh. trận Các tính chất Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính