2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại c ực tiểu hàm số bậc 3: 3 2 axy bx cx d    * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt * ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là 1 2 , x x khi đó 1 2 , x x l à 2 n g h i ệm của phương trì n h y ’ = 0 * ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại c ực tiểu tại 1 2 , x x t hì 1 2 ' ( ) ' ( ) 0f x f x  + Phân tích ' ( ). ( ) ( )y f x p x h x  . Từ đ ó ta suy ra tại 1 2 , x x t hì 1 1 2 2 ( ); ( ) ( )y h x y h x y h x    l à đường thẳng đi qua đi ểm c ực đại c ực tiểu + Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm c ực đại cực tiểu * ) Các câu hỏi t h ường gặp liên quan đến đi ểm c ực đại c ực tiểu hàm số bậc 3 là: 1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hà m s ố song song vớ i đường thẳng y=ax+b + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải đi ều kiện k = a 2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải đi ều kiện k = 1 a  Ví dụ 1) Tìm m để   3 2 7 3f x x m x x    có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x-7. Giải: h à m s ố có cực đại, cực tiểu  2 ' ( ) 3 2 7 0f x x mx    có 2 nghiệm phân biệt 2 21 021m m         . Thực hiện phép chia f(x) cho f ’ (x) ta có:     2 1 1 2 7 . 21 3 3 9 9 9 m f x x m f x m x                 . Với 21m  t hì f ’ (x)=0 có 2 nghiệm x 1, x 2 phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị t ại x 1 ,x 2 . Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 3 Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên     2 1 1 2 2 2 2 7 (21 ) 3 9 9 2 7 (21 ) 3 9 9 m f x m x m f x m x                . Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình     2 2 7 : 21 3 9 9 m y m x     Ta có     2 2 2 21 21 21 3 7 2 3 45 21 .3 1 21 9 2 2 m m m y x m m m                                3 10 2 m   3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc  + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải đi ều kiện tank   Ví dụ 1) Cho hàm số 23 23  mxxxy (1) với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Giải: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ' 9 3 0 3m m        3 2 1 2 3 2 ( 1 ) . ' ( 2) 2 3 3 3 m m y x x mx x y x           Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trì n h 3 2)2 3 2 ( m x m y  Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai                  3 6 ;0,0; )3(2 6 m B m m A Tam giác OAB cân khi và chỉ k h i OA OB 6 6 2( 3 ) 3 9 3 6 ; ; 2 2 m m m m m m            Với m = 6 thì OBA  so với điều kiện ta nhận 2 3 m Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là 9 ( ) 2 2 tan45 1 2 1 3 3 ( ) 2 m L m k m TM                     Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 4 4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b một góc  + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực ti ểu + Giải đi ều kiện tan 1 k a ka     Ví dụ ) Tìm m để   3 2 2 3 ( 1 ) (2 3 2) ( 1 )f x x m x m m x m m        có đường thẳng đi qua CĐ, CT tạo với 1 5 4 y x    một góc 45 0 . Giải: G ọi h ệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ đi ê u k i ện bài toán suy ra: 0 1 1 5 3 1 1 4 4 4 4 4 45 1 1 1 1 3 5 4 4 1 . 1 4 4 4 4 4 k k k k k tg k k k k k                                             3 5 5 3 k k           Hàm số có CĐ, CT 2 2 ( ) 3 6( 1 ) (2 3 2) 0f x x m x m m          có 2 nghiệm p h â n b i ệt 2 3 5 3 5 3 ( 3 1 ) 0 2 2 m m m m                              (*) Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có       2 1 2 ( ) ( 1 ) . ( ) 3 1 ( 1 ) 3 3 f x x m f x m m x m          v ới m t h o ả mãn đi ều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và hàm số đạt ccực trị t ại x 1, x 2 . Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên           2 1 1 2 2 2 2 ( 3 1 ) 1 3 2 3 1 1 3 f x m m x m f x m m x m                           Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình       2 2 : 3 1 1 3 y m m x m            Ta có    tạ o với 1 5 4 y x    góc 45 0   2 2 3 1 1 3 m   m    kết hợp với đi ều kiện (*) ta có 3 15 2 m   5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích cho trước + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Tìm các giao đi ểm với c á c t r ục toạ đ ộ : Với t r ục Ox:Giải y=0 tìm x.Với t r ục Oy giải x=0 tìm y. + / 1 . 2 MAB M AB S d AB Từ đ ó tính toạ đ ộ A, B sau đ ó giải đi ều kiện theo giả thiết Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 5 Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2y x mx   cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât. Giải: C ó : 2 ' 3 3y x m  có 2 nghiệm phân biệt khi 0m  . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị h àm số là     ;22 , ;22M m m x N m m x   - Phương trì n h đường thẳng MN là: 2 2 0mx y   - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có ˆ 2. . .sin 1 IAB S IAI B AIB  , dấu bằng xảy ra khi 0 ˆ 90A I B  , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng 1 2 Do vậy ta có pt:   2 2 1 1 1 3 3 , 1 ; 1 2 2 2 2 4 1 m d I MN m m m           Ví dụ 2 ) Cho hàm số 3 3 2y x mx   Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 18 , trong đó   1 ; 1I Lời giải: Ta có   2 2 ' 3 3 3y x m x m    . Để hàm số có CĐ và CT 0m  Gọi A, B là 2 cực trị thì     ;22 ; ;22A m m m B m m m   PT đường thẳng đi qua AB là:     4 2 2 2 2 2 m m y m m x m y mx m         Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là   2 2 1 ; 4 1 m d I AB m    độ dài đoạn 3 4 16AB m m  Mà diện tích tam giác IAB là 3 2 2 1 1 18 4 16 18 2 4 1 m S m m m                   2 2 3 2 3 2 2 4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18 4 4 18 0 2 4 4 9 0 2 m m m m m m m m m m m m m                     6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước: + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại cực tiểu là A, B thì đi ều kiện l à M A = M B 7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại cực tiểu là A, B thì đi ều kiện l à : Đường thẳng đi qua đi ểm c ực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung đi ểm c ủa AB thuộc đường thẳng y=ax+b Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 6 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 2 ( ) 3f x x x m x m    có CĐ và CT đối xứng nhau qua   1 5 : 2 2 y x  . Giải: Hàm số có CĐ, CT   3 2 6 0f x x x m       có 2 nghiệm p h â n b i ệt 2 2 9 3 0 3 3m m m           . thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:     2 2 1 2 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 m f x x f x m x m        v ới 3m  t hì f’ (x) =0 có 2 nghiệm p h â n b i ệt x 1 , x 2 và hàm số f (x) đạt cực trị t ại x 1 , x 2 . Do     1 2 0 0 f x f x          nên         2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 m y f x m x m m y f x m x m                  . Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình     2 2 2 : 3 3 3 m d y m x m    Các đi ểm c ực trị     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y đ ố i x ứng nhau qua    1 5 : 2 2 y x d      và trung đi ểm I của AB phải t h u ộc (d)     2 2 2 2 3 2 ; 1 0 3 0 ( 1 ) 0 2 1 5 3 .1 .1 3 3 2 2 I m x m m m m m m m                           Ví dụ 2 ) Cho hàm số   3 2 3 2 m y x x mx C    Tìm m để hàm số(C m ) có cực đại và c ực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng : 1 0d x y   Giải: Ta có 2 2 ' 3 6 ; ' 0 3 6 0y x x m y x x m        (1) Hàm số (C m ) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 3m  Giả sử     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số (C m ), ( 1 2 , x x là 2 nghiệm của (1)). Vì 1 '. 2 1 2 3 3 3 3 x m m y y x                   và     1 2 ' ' 0y x y x  nên phương trì n h đường thẳng đi qua A,B là   2 1 2 ' 3 3 m m y x d           . Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2 trường hợp sau: TH1: (d’) cùng phương với (d) 9 2 1 1 3 2 m  m           (không thỏa mãn) TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 7 1 2 1 2 1 2 2 x x x y y y m             . Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 1 0 0m m     (thỏa mãn). Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng. 8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và k h o ảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, min + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại c ực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phươn g p h á p đạo hàm để tìm max, min Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 1 ( ) 1 3 f x x mx x m     có khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là nhỏ nhất. Giải: D o   2 2 1 0f x x mx      có 2 1 0m      nên f’ (x) =0 có 2 nghiệm phân b i ệt x 1 , x 2 và h à m s ố đạt cực trị t ại x 1 , x 2 với c á c đi ểm c ực trị là .     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:     2 1 2 2 ( ) . ( ) 1 1 3 3 3 f x x m f x m x m              Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên     2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 3 3 2 2 ( ) 1 1 3 3 y f x m x m y f x m x m                                Ta có           2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 9 AB x x y y x x m x x               2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 4 1 1 9 4 4 2 13 4 4 1 1 4 1 9 9 3 x x x x m m m AB                                        Min AB= 2 13 3 xảy r a  m =0 9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mã n m ột hệ thức cho trước + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( 1 2 , x x là hai nghiệm c ủa phương trình y’=0 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 1 ( ) 1 3 f x x mx mx    đạt cực trị tại x 1 , x 2 thoả mãn 1 2 8x x  Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 8 Giải: Hàm số có CĐ, CT 2 ( ) 2 0f x x mx m       có 2 nghiệm phân biệt     2 0 0 1m m m m          v ới điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 và hàm số đạt cực trị t ại x 1 , x 2 với x 1 +x 2 =2m và x 1 x 2 =m. Ta có BPT: 2 1 2 1 2 8 64x x x x       2 2 2 1 2 1 2 4 4 4 64 16 0 1 65 1 65 2 2 x x x x m m m m m m                                 thoả mãn đi ều kiện     0 1m m  Ví dụ 2) Cho hàm số 13 23  mxxxy Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và k h o ảng cách từ điểm ) 4 11 ; 2 1 (I đến đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất Giải: Ta có mxxy  63' 2 . Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 30'  m (0,25 điểm) - Chia đa thức y cho y’ ta có 1 3 )2 3 2 () 3 1 3 ('  m x mx yy . Lập luận suy ra đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu là  1 3 )2 3 2 (  m x m y . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là )2; 2 1 (A (0,25 điểm) - Hệ số góc của đường thẳng IA là 4 3 k . Hạ IH vuông góc với  ta có 4 5 /   IAdIH I Đẳng thức xảy ra khi IA (0,25 điểm) - Suy ra 3 41 2 3 2  k m 1 m (0,25 điểm) Ví dụ 3) Cho hàm số 3 2 2 3 3 3 ( 1 ) 4 1y x mx m x m m       (C) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt: 2 2 1 ' 3 6 3 ( 1 ) ' 9 0 1 x m y x mx m x m                 (0,25 điểm) Ta có 1 1 ' ( ) 2 3 1 3 3 y y x m x m     Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì ( 1 ; 3 ) ; ( 1 ; 1 )A m m B m m    (0,25 điểm) Suy ra 2 1 ( 1 ; 3 ) ; ( 1 ; 1 ) 2 2 4 0 2 m OA m m OB m m m m m                    (0, 25 điểm) K ết luận: Có hai giá trị của m cần tìm là m=-1 hoặc m=2 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 9 Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số   3 2 2 1 1 . 3 3 y x m x m x 2     có cự c đ ạ i 1 x , cực tiểu 2 x đồng thời 1 2 ; x x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 2 . Giải: Cách 1: Miền xác định: D R có 2 2 2 2 ' 3 ; ' 0 3 0y x mx m y x mx m          Hàm số có cực đại 1 x , cực tiểu 2 x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi PT ' 0y  có 2 n g h i ệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó. 2 2 0 4 0 2 2 0 0 0 3 2 0 3 3 3 0 m m S m m m P m m m                                       (*) Theo Viet ta có: 1 2 2 1 2 3 x x m x x m          . Mà     2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 14 2 4 5 2 4 3 5 2 2 x x x x x x m m m             Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị 14 2 m  t hỏa yêu cầu bài toán. B) Cực đại c ực tiểu hàm số bậc b ốn: 4 2 axy bx c   . *) Đi ều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt + Ta thấy h à m s ố bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt sau khi tính đạo hàm ta cần t ì m đi ều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm p h â n b i ệt khác không. VD: 4 2 2 2 2y x mx   thì 3 2 ' 4 4 ' 0 0y x mx y x x m          đi ều kiện là m<0 *) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), 1 1 2 1 ( ; ); ( ; )B x y C x y thì đi ều đặc biệt là tam giác ABC luôn cân tại A( Học sinh cần n ắm c h ắc đi ều này để vận d ụng trong giải t o á n ) *) Các câu hỏi t h ườn g g ặp trong phần này là: 1) Tìm đi ều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều + Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt + Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A . T í n h các véc tơ: , ,      AB AC BC + Tam giác ABC vuông cân . 0 AB AC          + Tam giác ABC đều AB BC 2) Tìm đi ều kiện để hàm số có 3 đi ểm c ực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước + Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt + Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A . Tính các véc tơ: , ,AB AC BC      Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 10 + Kẻ đường cao AH. + 1 . 2 AB C S AH BC   + Giải đi ều kiện Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= 4 2 4 2 2 x mx m m    có CĐ, CT lập thành tam giác đều Giải: f ’ ( x ) =   2 2 4 0 0 x x m x x m       Hàm số có CĐ, CT  f’(x)=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt  m >0 Với m>0 thì f’(x)=0       4 2 1 4 2 4 2 3 ; 2 0 0 ; 2 ; 2 x m B m m m m x A m m x m C m m m m                      Suy ra BBT của hàm số y=f(x)  A B C đều 2 2 2 2 0 0 m m AB AC AB AC AB BC A B BC                     4 4 3 3 4 0 0 3 3 0 4 m m m m m m m m m m m m                       Ví dụ 2) Cho hàm số 4 2 2 2 2 4y x mx m    , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. Giải: Mxđ: D R . Có 3 ' 4 4y x mx  3 2 ' 0 4 4 0 0y x mx x x m        . Hàm số có 3 cực trị 0m  (*) Gọi       2 2 2 0 ; 2 4 , ; 4 , ; 4A m B m m C m m    là 3 điểm cực trị Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A K ẻ AH BC có 2 1 . 2 2 2 2 . 1 2 A B C B A B S AH BC y y x m m m          . Đối chiếu v ới điều kiện (*) có 1m  là giá trị cần tì m. Ví dụ 3) Cho hàm số   4 2 2 2 1 1.y x m x m     Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. Giải:   3 2 2 2 ' 4 4 1 0 0, 1y x x m x x m        h à m s ố có 3 cực trị 1 1m    . Khi đó tọa độ điểm cực đại là   0 ; 1A m , tọa độ hai điểm cực tiểu là     2 2 2 2 1 ; 1 , 1 ; 1B m m C m m     diện tích tam giác ABC là     2 2 1 ; . 1 1 2 ABC S d A BC BC m    . Dấu “=” xày ra khi 0m  ĐS: 0m  Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 11 Ví dụ 4) Cho hàm số 4 2 2 2y x mx   có đồ thị (C m ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua 5 5 3 9 ;D       Giải: C ó   3 ' 4 4 0 0 ; 0y x mx x x m m        . Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) n g o ại tiếp các điểm cực trị là       2 2 3 9 0 ; 2 , ; 2 , ; 2 , ; 5 5 A B m m C m m D            . Gọi   ;I x y là tâm đường tròn (P)       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 0 2 2 0 ; 1 ; 0( ), 1 2 2 x y IA ID IB IC x y x m x y m L m IB IA x m y m x y                                    Vậy 1m  là giá trị cần tì m. Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận *) Xét hàm số ( )y f x .Giả sử 0 0 ( ; )M x y là tiếp đi ểm k h i đó tiếp tuyến t ại M có dạng 0 0 0 ' ( )( )y f x x x y   (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn 0 y theo dạng 0 ( )f x ) Ví dụ: Xét đi ểm M b ất kỳ t h u ộc đ ồ thị hàm số 2 1 1 x y x    khi đ ó đi ểm M c ó t o ạ đ ộ là 0 0 0 2 1 ( ; ) 1 x M x x   *) Ta gọi h ệ số góc của tiếp tuyến t ại t i ếp đi ểm M là 0 ' ( )k f x *) Đường thẳng  bất kỳ có hệ số góc k đi qua 0 0 ( ; )M x y có dạ n g 0 0 ( )y k x x y   . Đi ều kiện để  là tiếp tuyến c ủa hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm 0 0 ( ) ( ) ' ( ) k x x y f x k f x        Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ đi ểm M đến đồ thị hàm số y=f(x) *) Mọi bài toán viết phương trì n h t i ếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp đi ểm sau đó viết phương trình theo (1) *) Các dạng câu hỏi t h ường gặp trong phần này là 1) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0 ( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 0 0 0 ' ( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0 ' ( )k f x + Tiếp tuy ến song song với đường thẳng y=ax+b nên 0 ' ( )k f x a  . Giải phương trình tìm 0 x sau đó viết phương trì n h t i ếp tuyến theo (1) Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom [...]... tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn: 5 ˆ cos BAI  26 Giải: Xét điểm M  x0 ; y0  , x0  1   C  là tiếp điểm của tiếp tuyến d 3x0  2 5   x  x0  x0  1  x0  1 2 Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B và IAB có 5 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ cos BAI  nên tan 2 BAI  1   tan BAI   tan ABI  5 2 ˆ 25 5 26 cos BAI PTTT tại d có dạng: y  ˆ Lại có tan ABI là hệ số... 4 Nếu tiếp tuyến song song với AB hoặc trùng với AB thì tiếp tuyến có hệ số góc là k  x0  0 2  (4) 1 1 1  2 4  (2)  x0  1  x0  2 Với x0  0 ta có PTTT là y  x  1 ; với x0  2 ta có PTTT là y  x  5 1 5 x  ; y  x  1; y  x  5 4 4 x 1 Ví dụ 2) Cho hàm số y  x2 Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm A và B sao cho AB  8 , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B song song với nhau Vậy... 4   8    (3m  1) x  m 2  m Ví dụ 3) Cho hàm số y  (Cm) xm Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Ox song song với đường thẳng (d): y  x  1 Giải : 4m 2 Ta có y '  ( x  m) 2 m2  m Giao điểm của (Cm) và trục Ox là A( ; 0) Tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với 3m  1  m  1 2  m2  m   3m  1   y  x 1  y ' 1  1   1  m  2m   3m  1  5  Khi m=1 Phương... trị của m sao cho tồn tại đường thẳng qua A cắt đồ thị Cm tại hai điểm phân biệt M,N mà các tiếp tuyến tại M,N của đồ thị song song với nhau Giải: 3 Ta có: y '  Giả sử M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2   Cm  x1  x2  Tiếp tuyến tại M và N song 2  x  m  1 Ví dụ 6) Cho hàm số y  song  3 2  3 2  x1  m  1   x2  m  1  x1  x2  2m  2 (1)  x1  m  1  x2  m  1 Ta thu được  x1  1... tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là   x A  xB 2x  1 Ví dụ 1) Cho hàm số y  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến x 1 cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2) Giải : Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0  1) , PTTT là y  1 2  x0  1  x  x0   2 x0  1 x0  1 Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với AB hoặc... luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom trình g ( x )  x 2  6 x  3k  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0  '  0 9  3k  0  k  3     g (0)  3k  0  g (0)  3k  0 k  0 Tại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox do đó để 3 tiếp tuyến cắt nhau tạo thành một tam giác vuông thì điều kiện là g ( x )  x 2  6 x  3k  0 có 2 nghiệm x1; x2 sao cho f '( x1 ) f '( x2 )  1     x12  4 x1 x2...  x  2 3 x  3  9   Ví dụ 5) Cho hàm số y  x 3   m  1 x 2   m  1 x  1 (1) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox ở 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho các tiếp tuyến tại B,C song song nhau Giải: Xét phương trình y  0   x  1 x 2  mx  1  0( gt )  pt : x 2  mx  1  0 có 2 nghiệm phân   m  0 biệt khác 1   Gọi xB , xC là nghiệm đó  xB  xC và xB  xC  m   m2... thị hàm số (1) cắt mx  1  d  : y  2 x  2m tại 2 điểm phân biệt A,B thuộc 1 đường (Hipebol) cố định Đường thẳng Ví dụ 2) Cho hàm số y  (d) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M,N Tìm m để SOAB  3SOMN Giải: Phương trình hoành độ của giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng (d): 2x  m 1   2 x  2m  2mx 2  2m 2 x  m  0,  x    (2) mx  1 m  1  Do m  0 nên (2)  f  x  ... xB  2  Có AB   x A  xB  2 2 2 2   y A  y B   5  x A  xB   5  x A  xB   20 x A xB  AB  5m 2  10 Vì M,N là giao điểm của d với Ox, Oy nên M  m;0  , N  0; 2m  Theo giả thiết SOAB  3SOMN  OH AB  3OM ON   2m 5 2m 5 5m 2  10  3 xM y N 5m 2  10  3 m 2m  m2  2  3 m  m 2  2  9m2  m   1 2 1 là các giá trị cần tìm 2 x 1 Ví dụ 3) Tìm trên (H): y  các điểm A,B... tiếp xúc với đồ thị y=g(x) là hệ phương trình sau có nghiệm  f ( x)  g ( x )   f '( x)  g '( x ) + Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với trục Ox là hệ sau có nghiệm  f ( x)  0   f '( x)  0 26 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom 3) Điều kiện tương giao của hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d * Khi giải các bài tập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị hàm số . 1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hà m s ố song song vớ i đường thẳng y=ax+b + Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt. gặp trong phần này là 1) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0 ( ; )M x y là