Chủ đề 8: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A- BÀI TẬP MẪU: 1. Tính tích phân ( ) 2 0 1 sin2xdxI x π = + ∫ . Đặt x 1 1 sin 2xdx os2x 2 du d u x dv v c =  = +   ⇒   = =    I = ( ) /2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 os2x os2xdx 1 sin 2x 1 2 2 4 4 4 x c c π π π π π − + + = + + = + ∫ . 2. Tính tích phân I = 2 2 6 1 sin sin 2 x x dx π π × + ∫ Giải Ta có: I = 2 2 6 1 sin sin 2 π π × + ∫ x x dx = 2 2 6 3 sin cos 2 x x dx π π − − × ∫ . Đặt 3 cos cos 2 x t = × Đổi cận: Khi 2 x cos 6 2 4 t t π π = ⇒ = ⇒ = ; khi x cos 0 2 2 t t π π = ⇒ = ⇒ = . Do vậy: 2 2 4 3 sin 2 I tdt π π = × ∫ = ( ) 3 2 16 π + . 3. Tính tích phân 3 2 2 1 2 1 dx A x x = − ∫ Giải: Đặt 2 2 2 2 1 1 2 2 dx tdt t x t x tdt xdx x x = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − 2 2 1 1 dx tdt tdt x t t ⇒ = − = − − + Đổi cận: 1 3 2 2 3 1 2 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 1 3 3 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 1 1 7 4 3 ln ln 1 1 2 1 2 3 | dt dt t A t t t   + + = = = =  ÷  ÷ − − −   ∫ ∫ 4. Tính tích phân A = 2 ln .ln ex e e dx x x ∫ Giaûi: 2 2 (ln ) ln (1 ln ) ln (1 ln ) e e e e dx d x A x x x x x = = + + ∫ ∫ = 2 1 1 (ln ) ln 1 ln e e d x x x   −  ÷ +   ∫ = 2 2 ln(ln ) ln(1 ln ) e e x x e e − + = 2ln2 – ln3 5. Tính tích phân ∫ + + = 5 1 2 13 1 dx xx x I . Giaûi: §Æt 3 2 132 3 13 tdt dx x dx dtxt =⇒ + =⇒+= . Khi 1=x th× t = 2, vµ khi x = 5 th× t = 4. Suy ra ∫ − +         − = 4 2 2 2 2 3 2 . . 3 1 1 3 1 tdt t t t I ∫∫ − +−= 4 2 2 4 2 2 1 2)1( 9 2 t dt dtt . 5 9 ln 27 100 2 4 1 1 ln 2 4 3 1 9 2 3 += + − +       −= t t tt 6. Tính tích phân: I = 2 4 0 ( sin 2 )cos2x x xdx π + ∫ . Giaûi I = 4 4 4 2 2 1 2 0 0 0 ( sin 2 ) 2 2 sin 2 2x x cos xdx xcos xdx xcos xdx I I π π π + = + = + ∫ ∫ ∫ TÝnh I 1 ®Æt 4 1 0 1 sin 2 sin 2 4 1 2 2 2 sin 2 0 2 du dx u x x I x xdx v cos xdx v x π π =  =    ⇒ ⇒ = −   = =     ∫ ∫ 1 1 2 4 8 4 8 4 0 cos x π π π = + = − TÝnh I 2 VËy I= 1 1 1 8 4 6 8 12 π π − + = − 7. Tính ( ) 4 2 3x 4 dx I cos x 1 e π − π − = + ∫ Giaûi: ( ) ( ) 2 1 1 1 2 4 2 2 2 2 0 0 0 3 1 2 2 2 2 1 0 2 2 d x xdx 1 1 dt I x x 1 2 2 t t 1 x x 1 1 dt 1 du 2 2 1 3 3 t u 2 2 2 = = = + + + + + + = =       + + +  ÷  ÷  ÷       ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt 2 3 3 dy u tan y, y ; du 2 2 2 2 cos y π π   = ∈ − ⇒ = ×  ÷   ( ) 3 3 2 2 6 6 1 3 u y ;u y 2 6 2 3 3 dy 1 1 2 I dy 3 2 3 6 3 cos y 1 tan y 4 π π π π π π = ⇒ = = ⇒ = π ⇒ = = = × × + ∫ ∫ 8. Tính tích phân ∫ + = 2ln3 0 2 3 )2( x e dx I Giaûi: Ta c ó ∫ + = 2ln3 0 2 33 3 )2( xx x ee dxe I = Đặt u= 3 x e ⇒ dxedu x 3 3 = ; 22ln3;10 =⇒==⇒= uxux 4 2 3 2 0 1 1 1 4 sin 2 (sin 2 ) sin 2 2 6 6 0 I xd x x π π = = = ∫ Ta c: + = 2 1 2 )2( 3 uu du I =3 du u uu + + 2 1 2 )2(2 1 )2(4 1 4 1 =3 2 1 )2(2 1 2ln 4 1 ln 4 1 + ++ u uu 8 1 ) 2 3 ln( 4 3 = Vy I 8 1 ) 2 3 ln( 4 3 = 9.Tính tích phân: = 2 1 2 2 4 dx x x I . Giaỷi: Đặt tx sin2= thì tdtdx cos2= , khi 1=x thì 6 =t , khi 2=x thì 2 =t , vậy: == = 2 1 2 6 2 2 2 2 sin cos4 dt t t dx x x I == 2 6 2 6 2 6 2 )(cot1 sin 1 ttddt t 3 3 10.Tớnh tớch phõn: 3 2 2 1 log 1 3ln e x I dx x x = + . Giaỷi: 3 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1 ln log 1 ln . ln ln 2 . ln 2 1 3ln 1 3ln 1 3ln e e e x x x xdx I dx dx x x x x x x ữ = = = + + + t 2 2 2 1 1 1 3ln ln ( 1) ln . 3 3 dx x t x t x tdt x + = = = . Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 log 1 1 1 3 . 1 ln 2 3 9ln 2 1 3ln e t x I dx tdt t dt t x x = = = + 2 3 3 3 1 1 1 4 9ln 2 3 27ln 2 t t = = ữ B- BAỉI TAP Tệẽ LUYEN: 11. Tớnh tớch phõn 8 3 ln 1 x I dx x = + 12. Tớnh tớch phõn: ln3 2 ln2 1 2 x x x e dx I e e = + 13. Tớnh tớch phõn + + = 5 1 2 13 1 dx xx x I . 14. Tớnh tớch phõn: 3 2 2 1 log 1 3ln e x I dx x x = + . 15. a) Tính tích phân 4 0 tan cos x I dx x π = ∫ 16. Tính : I = cos 0 ( ).sin x e x xdx π + ∫ 18. Tính tích phân ∫ + = 2ln3 0 2 3 )2( x e dx I 19. Tính tích phân :I= 2 1 ln . 1 ln x dx x x+ ∫ 20.Tính tích phân: 2 3 0 3sin 2cos (sin cos ) x x I dx x x π − = + ∫