Đang tải... (xem toàn văn)
Toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật
Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các hình thức không gian và những quan hệ định lượng của thế giới thực. Triết học là thành tựu nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo con người và loài người nói chung. Quá trình hình thành và phát triển của triết học diễn ra quanh co, phức tạp và lâu dài. Trong quá trình đó, toán học đã đóng góp một phần rất quan trọng. Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã hội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản thân đối tượng của toán học cũng không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao hơn. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội. Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học là các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực, chúng ta đi đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của toán học dù có trừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan và mọi tri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạo hiện thực khách quan đó. Đồng thời, cũng xuất phát từ thực tiễn phát triển của toán học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học là các hệ thống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trường phái triết học khác nhau, thậm chí cả trong giới toán học với nhau đã diễn ra không ít các cuộc tranh luận về bản chất của đối tượng toán học cũng như vai trò của toán học trong quá trình nhận thức. Vì vậy, vấn đề đặt ra trong luận án luôn luôn là một vấn đề mang tính thời sự không phải chỉ riêng đối với toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vực khoa học nói chung. Từ đó, việc làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phân tích đối tượng của toán học sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sự phát triển toán học nói riêng và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại. Đồng thời, việc làm đó cũng chính là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với thực tại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của toán học thông qua đối tượng của nó. Điều này phù hợp với nhận xét của Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr. 179]. Đó là lý do tôi chọn đề tài: “Vai trò của Toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật”. PHẦN II NỘI DUNG I. MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC TRONG QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN Ngay buổi bình minh của tư tưởng Tây phương, ích lợi thực tiễn của toán học đã được Herodotus (1) ghi nhận; ông cho rằng nguồn gốc của Hình học xuất phát từ những người đo đất ở Ai Cập. Thật vậy, chữ hình học theo nguyên ngữ có nghĩa là “trắc địa”. Nhưng các triết gia Hy Lạp, đặc biệt là Plato, đã tỏ ý khinh bỉ cái ý tưởng coi toán học có giá trị chỉ vì sự hữu dụng của nó trong việc khảo sát đất đai hoặc đo lường sự chuyển động của các thiên thể. Theo Plato, học toán là sự chuẩn bị lý tưởng cho tư tưởng triết lý, bởi vì nó đem trí tuệ vượt xa khỏi những sư vật thấy được và sờ được dể chú tâm vào những đối tượng trừu tượng thuần túy - những con số, những hình hình học, và những tỉ lệ. Lập trường của Plato đã dẫn đến một kiểu bất đồng khác về bản chất của toán học, còn mãi cho tới ngày nay. Aristote đồng ý với Plato rằng toán học có giá trị như một tri thức, hoàn toàn không kể tới những ứng dụng thực tiễn, nhưng ông phản đối mạnh mẽ ý kiến nói toán học được coi là mẫu mực cho tất cả tri thức triết học. Ông lấy làm khó chịu thấy những học trò của Plato đồng nhất hóa toán học với triết học, và các sinh viên khoa triết sẽ không lắng nghe giảng viên nào không trình bày tư tưởng của mình bằng hình thức toán học. Theo Aristotle, mỗi khoa học có một phương pháp riêng thích hợp đối với đối tượng chính yếu của nó, và do đó, phương pháp toán học không nên áp dụng trong các khoa học khác. Sự bất đồng từ thời thượng cổ Hy Lạp này lại tiếp tục ở thời hiện đại trong các quan điểm đối lập nhau của Descartes (2) và Kant. Là nhà toán học vĩ đại đồng thời là một triết gia, Descartes tuyên bố phương pháp toán học là con đường duy nhất dẫn đến tri thức, kể cả tri thức về vật lý vũ trụ. Đối với ông, cũng như đối với Newton và các nhà khoa học hiện đại vĩ đại khác, thế giới tự nhiên hình thành theo cách có thể được hiểu rõ nhất bằng phân tích toán học. Từ cái nhìn này, vũ trụ vật chất có một cơ cấu có thể diễn tả được bằng các thuật ngữ toán học. Kant thừa nhận rằng những nguyên lý toán học có thể áp dụng vào việc nghiên cứu thế giới vật lý, và ông đề cao thiên tài của Newton (3) . Nhưng ông cảnh báo các triết gia coi chừng bị lạc đường vì những thành công sáng chói của toán học trong một lĩnh vực mà ở đó chỉ cần tri thức đích xác về những quan hệ định lượng. Ông nói, chúng ta không thể có được một vài tri thức quan trọng nhất bằng cách đi từ những khái niệm và châm ngôn rõ ràng đến việc chứng minh những kết luận chính xác và chắc chắn. Điều này đặc biệt đúng đối với tri thức, nơi mà những phân biệt minh bạch chỉ đạt được ở cuối quá trình truy vấn, chứ không phải ở bước đầu quá trình này. Hơn nữa phương pháp toán học không đóng một vai trò gì trong đạo đức học, mà đối với Kant thì đạo đức học là khoa học triết lý hoàn thiện nhất. Trong nhiều thế kỷ qua, toán học đã có những biến đổi to lớn nhưng cuộc tranh luận lâu đời này vẫn chưa ngã ngũ giữa các triết gia. Trong số các tư tưởng gia hiện đại, Bertrand Russell (4) , chẳng hạn, tiêu biểu cho chủ trương dùng phương pháp toán học để tiếp cận mọi vấn đề, trong khi đó thì John Dewey (5) thích lối tiếp cận có tính chất thực chứng và sinh vật học hơn. Nhưng cho dù các triết gia có bất đồng thế nào đi nữa về giá trị của toán học như là một hình mẫu cho mọi loại tri thức, họ vẫn phải đồng ý với nhau một điều - toán học đem tới cho con người tri thức chắc chắn và minh xác thông qua sự suy luận nghiêm ngặt mà không cần đến sự hỗ trợ của thí nghiệm và nghiên cứu thực nghiệm Tính chất chính xác, nghiêm ngặt và thuần lý của toán học đã đưa nó lên vị trí cao trong cái nhìn của các nhà giáo dục mọi thời đại. Như Plato khẳng định, toán học là môn học hướng dẫn lý trí trong việc nghiên cứu các đối tượng và những mối liên hệ trừu tượng. Nó cung cấp một bằng chứng về suy luận diễn dịch, là thứ suy luận đi từ những tiền đề sáng rõ đến những kết luận tất yếu. “Giá trị thực hành” cao nhất của toán học là trong việc phát triển trí tuệ con người. Có nhiều ứng dụng hằng ngày của toán học: đo đạc địa hình, thiết kế nhà cửa và quần áo, vạch quỹ đạo súng pháo binh. Nhưng ngay cả khi các máy tính điện tử và các phương tiện tối tân khác thay thế cho mọi tính toán của con người, lý trí chúng ta vẫn phải cần đến nguyên lý toán học để nắm được một phương diện thiết yếu của thế giới chúng ta đang sống. Toán học chứa đựng trong nó những những đặc điểm của lý trí, của lập luận trừu tượng và hướng tới sự hoàn thiện về thẩm mỹ. Những yếu tố cơ bản và đối lập lẫn nhau của nó là lôgic và trực giác, giải tích và phép dựng hình, tính khái quát và tính cụ thể. Với mọi quan điểm khác nhau bắt nguồn từ truyền thống này hay truyền thống khác, sự tác động đồng thời của những thái cực đó và sự đấu tranh để tổng hợp chúng lại sẽ đảm bảo cho sức sống, sự bổ ích và giá trị cao của khoa học toán học. Sự tiến lên trong phạm vi toán học được quy định bởi sự phát sinh những nhu cầu có tính chất thực tiễn nhất định. Nhưng, tất yếu phải có một cái đà nội tại vượt ra ngoài giớ hạn của lợi ích trực tiếp. Sự biến đổi từ một khoa học ứng dụng sang một khoa học lý thuyết như vậy đã diễn ra trong lịch sử xa xưa, song ngày nay cũng vẫn còn như thế: chỉ cần để ý đến sự đóng góp của các kỹ sư và các nhà vật lý trong toán học hiện đại cũng đủ rõ. Những phong cánh tư duy toán học cổ xưa nhất đã xuất hiện ở phương Đông khoảng hai nghìn năm trước công nguyên: người Babilon đã tập hợp được chất liệu phong phú, cái mà ngày nay ta có xu hướng xếp vào đại số sơ cấp. Nhưng từ “toán học” được xem như một khoa học theo một ý nghĩa hiện nay, đã phát sinh chậm hơn ở trên mảnh đất Hy Lạp vào khoảng thế kỷ thứ tư và thứ năm trước công nguyên. Mọi sự tiếp xúc ngày càng tăng giữa phương Đông và Hy Lạp bắt đầu từ đế quốc Ba Tư và đạt tới đỉnh trong thời kỳ tiếp ngay sau cuộc du lịch của Alecxăngđrơ đã bảo đảm cho người Hy Lạp đuổi kịp những thành tựa của người Babilon trong lĩnh vực toán học và thiên văn học. Toán học đã nhanh chóng trở thành đối tượng của các cuộc thảo luận về triết học thông thường tại các Nhà nước – thành phố Hy Lạp. Như vậy, các nhà tư tưởng Hy Lạp đã nhận thức được những khó khăn đặc biệt có liên quan với những khái miệm toán học cơ bản – sự liên tục, sự chuyển động, cái vô hạn – và bài toán đo các đại lượng tùy ý bằng các đơn vị cho trước. Nhưng đã có quyết tâm vượt khó khăn: nảy sinh do kết quả của một sự cố gắng tuyệt vời của tư tưởng Evđôkxôp, lý thuyết continum hình học là một thành tựu có thể sánh ngang hàng với lý thuyết số vô tỉ hiện đại. Phương hướng tiên đề suy diễn trong toán học, bắt đầu từ Evđôkxôp, đã được thể hiện rất rõ trong tác phẩm “khởi đầu” Ơclit. Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết vẫn là một trong những đặc điểm nổi bật nhất của toán học Hy Lạp và tự nó đã ảnh hưởng đến sự phát triển sau này của khoa học. Nhưng cũng cần phải kiên quyết chỉ rõ rằng vai trò của các nhu cầu thực tiễn và mối liên hệ với thực tại vật lý không hề bị hạ thấp chút nào trong việc sáng tạo ra toán học cổ xưa và rằng việc trình bày toán học không theo phong cánh chặt chẽ của Ơclit vẫn được ưa thích hơn. Sự phát hiện quá sớm những khó khăn có liên quan đến các đại lượng “vô ước” đã cản cản trở những người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính toán bằng số mà trong những thời kỳ trước đây đã tạo ra những thành tựu đáng kể ở phương Đông. Thay thế vào đó, họ đi tìm những con đường trong rừng rậm của hình học tiên đề thuần túy. Thế là bắt đầu một trong những cuộc phiêu lưu lạ lùng trong lịch sử khoa học mà trong đó có thể bỏ lỡ những khẳ năng sáng lạn. Gần như trong suốt hai nghìn năm, sự thống trị của truyền thống hình học Hy Lạp đã ngăn cản sự tiến hóa của tư tưởng về số và của phép tính về số và của phép tính bằng chữ mà sau này đã được đặt làm cơ sở của các khoa học chính xác. Sau một tập trung sức lực chậm chạp, một thời kỳ cách mạng bão táp trong sự phát triển của toán học và vật lý học đã được mở ra cùng với sự nảy sinh hình học giải tích và phép tính vi tích phân trong thế kỷ XVII. Trong các thế kỷ XVII và XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa và suy diễn hệ thống đã tàn lụi đi và đã mất ảnh hưởng, tuy rằng hình học cổ xưa vẫn tiếp tục được đánh giá cao. Sự tư duy logic hoàn hảo xuất phát từ những định nghĩa rành mạch và những tiên đề “hiển nhiên” không mâu thuẫn với nhau đã không còn làm vừa lòng những người khai phá kiến thức toán học mới. Đắm mình trong những dự định trực giác, bằng cách pha trộn những kết luận hiển nhiên với những với những khẳng định huyền bí phi lý, bằng cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng của các quy trình hình thức, họ đã phát hiện ra một thế giới toán học mới vô cùng phong phú. Song dần dà, trạng thái phấn trấn cao độ của tư tưởng được cổ vũ bởi những thắng lợi oanh liệt, đã nhường chỗ cho thái độ thận trọng và ý thức phê bình.Trong thế kỷ XIX, ý thức về sự cần thiết phải củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới những nhu cầu của giáo dục cao đẳng, được phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, đã dẫn tới sự xét lại cơ sở của toán học mới. Họ đã đặc biệt chú ý tới phép tính vi tích phân và việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn. Như vậy, thế kỷ XIX không những đã trở nên một kỷ nguyên của những thắng lợi mới mà còn được đánh dấu bởi sự trở lại có kết quả lý tưởng cổ điển về sự chính xác và chặt chẽ của các chứng minh. Về mặt này thì khuôn mẫu Hy Lạp đã bị vượt qua. Một lần nữa, con lắc đã nghiêng về sự hoàn hảo lôgic và sự trừu tượng. Hiện nay, chúng ta còn chưa vượt ra khỏi thời kỳ đó, dẫu rằng có cơ sở để hy vọng sự gián đoạn đáng buồn được tạo nên giữa toán học thuần túy và những ứng dụng thuần túy của nó có thể được thay thế bởi sự thống nhất chặt chẽ hơn trong thời kỳ xét lại có phê phán. Ngày nay, một khối lượng những lực nội tại sáng tạo và sự đơn giản hóa cao độ đạt được trên cơ sở của sự thấu hiểu đã cho phép ta sử dụng một lý thuyết toán học sao cho những ứng dụng không bị bỏ qua. Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu cơ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú chính là nhiệm vụ toán học trong một tương lai gần đây. Dù ta dừng trên một quan điểm triết học nào thì mọi nhiệm vụ nghiên cứu khoa học đều được quy về thái độ của ta đối với sự vật được cảm thụ và đối với các công cụ nghiên cứu. Tất nhiên, bản thân sự cảm thụ chưa phải là trí thức, chưa phải là sự thông hiểu; còn phải phù hợp chúng với nhau và cắt nghĩa bằng thuật ngữ một số nội dung cơ bản đằng sau chúng. “Vật tự thân” (*) không phải là đối tượng trực tiếp của một nghiên cứu vật lý mà thuộc về lĩnh vực siêu hình. Nhưng đối với một phương pháp khoa học thì điều quan trọng là sự từ bỏ các suy luận siêu hình, chung quy là sự biểu thị mọi sự kiện quan sát được dưới dạng các khái niệm và các phép dựng. Sự từ bỏ tham vọng nhận thức bản chất của “vật tự thân”. Nhận thức tính chân lý cuối cùng cũng như sự giải đáp bản chất nội tại của thế giới, có thể sẽ là một gánh nặng về tâm lý đối với những người nhiệt tâm ngây thơ; nhưng sự từ bỏ đó lại có hiệu quả cao đối với sự phát triển của khoa học hiện đại. Một số phát minh vĩ đại nhất về vật lý đã bắt ta phải tuân theo nguyên tắc thủ tiêu duy tâm siêu hình. Khi Einstein định đưa khái niệm “những sự kiện đồng thời, phát sinh từ những địa điểm khác nhau” vào số những hiện tượng quan sát và khi ông hiểu rằng niềm tin bản thân khái niệm này tất phải có một ý nghĩa chính xác nào đó mới chỉ là một tiên đoán siêu hình thì trong phát minh đó đã chứa đựng mầm mống của lý tương đối của ông. Khi Niels Bohr và các học trò của ông cân nhắc kỹ sự kiện một quan sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ giữa dụng cụ và vật được quan sát thì ông đã thấy rõ rằng không thể một định nghĩa vị trí và vận tốc của phân tử đồng thời chính xác theo nghĩa mà nó được hiểu trong vật lý. Những hệ quả hiện đại mà ngày nay mỗi nhà vật lý học đều biết. Trong thế kỷ XIX đã có một tư tưởng thống trị, đó là tư tưởng cho rằng các lực cơ học và chuyển động của các phân tử trong không gian là các vật tự thân; còn điện, ánh sáng và từ có thể quy về các hiện tượng cơ học (hoặc “giải thích” bằng thuật ngữ cơ học) tương tự như đã làm với lý thuyết nhiệt. Khái niệm về một môi trường có tính chất giả định – gọi là môi trường “ête” - đã được đề xuất cho thích hợp với những chuyển động cơ học không hoàn toàn chính đáng mà ta gọi là ánh sáng và điện. Dần dà đã thấy rõ ê-te này không quan sát được, tức là khái niệm này thuộc về siêu hình nhiều hơn là thuộc về vật lý. Sau đó thì tưởng giải thích một cách cơ học các hiện tượng điện và ánh sáng và cùng với nó khái niệm về ê-te đã bị rứt khoát loại bỏ. Trong toán học cũng có một tình huống tương tự như thế, thậm chí còn rõ ràng hơn. Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã xem những sự vật mà họ quan tâm – số, đường thẳng v.v như là những vật tự thân. Song, vì những bản thể đó không thích hợp với ý định mô tả chính xác về bản chất của chúng, trong các nhà toán học thế kỷ XIX đã hình thành một tư tưởng cho rằng vấn đề về giá trị của những khái niệm đó xem như những thực thể trong phạm vi toán học (và cả ở bất kỳ đâu) cũng đều không có ý nghĩa. Những khẳng định toán học mà những thuật ngữ đó thâm nhập vào toán học không thuộc về thực tại vật lý; chúng chỉ thiết lập mối liên hệ tương hỗ giữa các “sự vật không xác định” và những quy tắc thao tác với những sự vật ấy. Không thể và không nên thảo luận trong toán học vấn đề điểm, đường thẳng và số, thực chất là gì. Điều thực sự quan trọng và có liên quan trực tiếp với các sự kiện “được khảo sát” là cấu trúc và mối liên hệ tương hỗ giữa các sự vật đó: hai điểm thì xác định một đường thẳng; theo những quy tắc nhất định thì từ các số này ta suy ra được các số khác v.v Nhận thức được một cách rõ ràng sự cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho rằng các khái niệm toán học cơ bản như là những sự vật có thực là một trong những chiến công quan trọng nhất của sự phát triển tiên đề hóa hiện nay của toán học. May mắn thay, tư tưởng sáng tạo đang lãng quên đi những tín ngưỡng triết học giáo điều ngay khi mà những phát minh có tính chất kiến thiết còn quyến luyến chúng. Và, đối với các chuyên gia cũng như đối với những người yêu thích toán học thì không phải triết học mà chỉ có sự tân tụy nghiên cứu bản thân toán học mới có thể trả lời được câu hỏi: Toán học là gì? II. Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại lượng lấy những giá trị cố định. Trước hết, toán học đã đóng góp vào sự hình thành cơ sở của lôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học. Thí dụ từ quan hệ a=b, b=c suy ra a=c. Tuy nhiên, khái niệm bằng nhau ở đây là bất biến, bất động, cố định. Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và thiên văn học là tương đối phát triển. Toán học đã thông qua hai khoa học này góp phần vào cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của một thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏi phải có một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học về các đại lượng biến đổi ở thời kỳ cổ điển). Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của cơ học Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét các sự vật, hiện tượng của thế giới xung quanh. Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực để tính toán khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo cơ sở cho hình thành chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc đã ảnh hưởng lâu dài đến sự phát triển của toán học và các lĩnh vực khác của khoa học tự nhiên. Mặt khác, những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình học cũng đã tạo ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ cổ đại. Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn Như vậy ở thời kỳ này, mặc dù toán học có đóng góp vào sự hình thành và phát triển một số yếu tố biện chứng, song nhìn chung nó chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố thế giới quan chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi. Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những tư tưởng về vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm hơn ở các khoa học tự nhiên thực nghiệm khác. F. Enghen đã đánh giá: “Đại lượng biến đổi của Đềcác đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Nhờ đó mà vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.” (1). Thật vậy, trong lập luận của giải tínc toán và phép tính vi phân, người ta đã dùng các khái niệm như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn Rõ ràng, toán học đã nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh rất quan trọng. Có thể nói rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của toán học đã góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học. Ở thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi phối của các khái niệm, phạm trù bất biến cố định của toán học sơ cấp. Với tư tưởng vận động, liên hệ của toán học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các hình thức của tư duy nói chung và của các phạm trù bất biến trong logic hình thức nói riêng. Ví dụ, để đo được độ dài của đường cong, ta phải xem đường cong là giới hạn của những đường thẳng Vì vậy, tư tưởng vận động, liên hệ của toán học là một trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng. Nó góp phần hình thành bước đầu cơ sở khoa học của logic biện chứng. Còn đối với khoa học tự nhiên thì sao? Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan siêu hình máy móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và phát triển tư tưởng vận động, liên hệ của toán học đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên” (2). Thật vậy, sự ra đời của phép tính vi phân, giải tích toán học đã tạo cho các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật, quá trình trong tự nhiên. Nhờ đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII. Sự ra đời thuyết tương đối của Anhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước của hình học phi Ơclít. Như vậy, toán học đã thông qua vật lý học, đóng góp vào cuộc cách mạng thế giới quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối lượng bất biến, không gian và thời gian tách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng mà sự ra đời của thuyết tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại khác là ví dụ (với đặc điểm là khối lượng, không gian và thời gian không tách rời nhau). Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của tưởng thống kê – xác suất. Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn tại khách quan của cái ngẫu nhiên. Thế giới không chỉ có những cái tất nhiên mà có cả những cái ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt chẽ và bổ sung cho nhau. Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một quan niệm mới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình. Nó vượt hơn hẳn quan điểm quyết định luận chặt chẽ coi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên. Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổ sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới. Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp phần hình thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng. Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng mang những hạn chế nhất định. Nó chưa đáp ứng được những nhu cầu của nền sản xuất từ cơ khí hoá chuyển sang nền sản xuất tự động hoá, của sự phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sang khoa học liên ngành tổng hợp ở trình độ lý thuyết. Những đòi hỏi ấy tất yếu dẫn toán học tới một thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán. Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư tưởng cấu trúc. Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một cách trừu tượng và khái quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để vạcg ra quy luật chung của chúng. Nói theo ngôn ngữ toán học, tức là có sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng cấu giữa các lĩnh vực có bản chất khác nhau. Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là một trong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, trên cơ sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vô sinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự động, hoạt động theo cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người. Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học. Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc của toánd học còn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới. Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của thế giới đó. Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có những đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này. Có thể nói rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới. Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc của toán học hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc. Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới. Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh hưởng của toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt đối với những ngành tiếp cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất giữa các lý thuyết vật lý khác nhau. Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát hiện ra những hạt mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm. Điển hình là việc phát hiện ra pozitron trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một phương trình z căn bậc hai. Phương trình này lúc đầu cho ta căn cứ để dự đoán ngoài electron còn tồn tại một hạt khác có một số tính chất vừa [...]... dù toán học mang tính độc lập tương đối của tư duy trừu tượng và hình thức, triết học duy vật biện chứng luôn luôn là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận đúng đắn cho sự phát triển của toán học Như vậy, lịch sử phát triển toán học chứng minh rằng sự phát triển của toán học góp phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế giới quan khoa học mà nền tảng của nó là triết học duy vật. .. khoa học nhân văn, khả năng hình thành toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trong nhận thức nhân văn và xã hội Ở trên là ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố thế giới quan triết học Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích cực đến sự phát triển của toán học, trước hết dẫn đến một số khuynh hướng nghiên cứu toán học. .. tư tưởng vận động, là một trong các nguồn gốc đẻ ta tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hình thành và luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng trong giới tự nhiên vô sinh 3 Toán học hiện đại hoàn thiện một cách sâu sắc thế giới quan duy vật biện chứng trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy Nó góp phần củng cố hoàn thiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng 4 Đồng thời... đường cho toán học phát triển Những nhận thức sai đó sẽ thúc đẩy con người tìm ra chân lý Việc nhận thức về toán học cũng đã làm cho con người hiểu rõ hơn về thế giới vật chất, nâng cao thế giới quan và phương pháp luận biện chứng của con người 3) Sự vận động và phát triển của thế giới vật chất Thế giới vật chất luôn luôn vận động và phát triển Sự vận động và phát triển đó có thể là sự vận động trong nội... triết học duy vật biện chứng nói riêng Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận thức của con người Bài học thực tiễn mà chúng tôi muốn rút ra ở đây trong quá trình cải cách giáo dục ở phổ thông, đại học và các trường dạy nghề là hình thành thế giới quan duy vật biện chứng trong giảng dạy toán học Điều đó giúp cho thế. .. hơn và chúng ta đã quen làm nên không chịu đổi mới qua phương pháp xét dấu tam thức Đó chính là tư tưởng bảo thủ, thành kiến cái mới, tiến bộ Tất cả sự phát triển và vận động đó cũng gắn liền với sự phát triển và vận động của tư duy các nhà toán học Sự phát triển không ngừng đó của toán học đã tạo ra sự phát triển về việc ứng dụng toán học vào các môn khoa học khác và vào thực tế cuộc sống Toán học. .. và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó Điều đó cho thấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Cụ thể như sau: 1) Toán học là một thế giới vật chất Theo chủ nghĩa duy vật, vật chất có trước, ý thức có sau, vật chất quyết định ý thức Điều này cũng giống như trong toán học, tất cả các đối tượng toán học đều... khách quan được đem lại cho con người trong cảm giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lại, phản ánh và tồn tại không lệ thuộc vào cảm giác” Các đối tượng toán học đều có đặc điểm như vậy Thế giới toán học như thể một thế giới vật chất thu nhỏ mà trong có các đối tượng toán học như thể vật chất, còn các tính chất trong toán học như thể các hiện tượng Nếu triết học nghiên cứu về sự vận động và phát. .. thể hiện mối quan hệ biện chứng trong đó + Biến số và hàm số + Những mệnh đề P=>, P Q Trong triết học thế giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh nó là cái có sau Thế giới vật chất luôn vận động và phát triển theo những quy luật khách quan Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồm tất cả đối tượng và tính chất các đối tượng) là cái có trước còn tất cả các chứng minh toán học là cái có... nghĩa duy tâm cũng đã lợi dụng những thành tựu của toán học hiện đại vì những mưu đồ đen tối của nó Bên cạnh đó cũng có những sự giải thích lệch lạc của chủ nghĩa duy vật không biện chứng trong khi lĩnh hội, kiến giải và sử dụng các thành tựu toán học Những sự giải thích như vậy chỉ nhằm mưu đồ phủ nhận triết học khoa học, xoá nhoà mối liên hệ, quan hệ giữa triết học khoa học với toán học hiện đại “Vật . của Toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật . PHẦN II NỘI DUNG I. MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC TRONG QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH. vận động và phát triển của thế giới vật chất Thế giới vật chất luôn luôn vận động và phát triển. Sự vận động và phát triển đó có thể là sự vận động trong