Thông tin tài liệu
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 1
TP1: TCH PHN HM S HU T
Dng 1: Tỏch phõn thc
Cõu 1.
x
Idx
xx
2
2
2
1
712
=
-+
ũ
ã
Idx
xx
2
1
169
1
43
ổử
=+-
ỗữ
ốứ
ũ
=
( )
xxx
2
1
16ln49ln3+ = 125ln216ln3+
Cõu 2.
dx
I
xx
2
53
1
=
+
ũ
ã
Ta cú:
x
x
xxxx
3232
111
(1)1
=-++
++
ị
Ixx
x
2
2
2
11313
lnln(1)ln2ln5
2228
1
2
ộự
= ++=-++
ờỳ
ởỷ
Cõu 3.
x
Idx
xxx
5
2
32
4
31
256
+
=
+
ũ
ã
I
2413714
lnlnln2
331565
=-++
Dng 2: i bin s
Cõu 4.
x
Idx
x
2
4
(1)
(21)
-
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xx
fx
xx
2
111
()
32121
Â
ổửổử
=
ỗữỗữ
++
ốứốứ
ị
x
IC
x
3
11
921
ổử
-
=+
ỗữ
+
ốứ
Cõu 5.
( )
( )
x
Idx
x
99
1
101
0
71
21
-
=
+
ũ
ã
( )
xdxxx
Id
xxx
x
9999
11
2
00
7117171
2192121
21
ổửổửổử
==
ỗữỗữỗữ
+++
ốứốứốứ
+
ũũ
x
x
100
100
11711
1
21
0
910021900
ổử
-
ộự
=ì=ở-ỷ
ỗữ
+
ốứ
Cõu 6.
x
Idx
x
1
22
0
5
(4)
=
+
ũ
ã
t tx
2
4=+
ị
I
1
8
=
Cõu 7. Idx
xx
4
3
4
1
1
(1)
=
+
ũ
ã
t tx
2
=
ị
t
Idt
t
t
3
2
1
1113
ln
242
1
ổử
=-=
ỗữ
+
ốứ
ũ
Cõu 8.
dx
I
xx
3
62
1
(1)
=
+
ũ
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 2
ã
t : x
t
1
=
ị
t
Idtttdt
tt
3
1
6
3
42
22
1
3
3
1
1
11
ổử
=-=-+-
ỗữ
++
ốứ
ũũ
=
117413
13512
p
-
+
Cõu 9.
dx
I
xx
2
102
1
.(1)
=
+
ũ
ã
xdx
I
xx
2
4
5102
1
.
.(1)
=
+
ũ
. t
tx
5
=
ị
dt
I
tt
32
22
1
1
5
(1)
=
+
ũ
Cõu 10.
x
Idx
x
1
7
25
0
(1)
=
+
ũ
ã
t txdtxdx
2
12=+ị=
ị
t
Idt
t
2
3
55
1
1(1)11
.
24
2
-
==
ũ
Cõu 11.
x
Idx
xx
2
7
7
1
1
(1)
-
=
+
ũ
ã
xx
Idx
xx
2
76
77
1
(1).
.(1)
-
=
+
ũ
. t
tx
7
= ị
t
Idt
tt
128
1
11
7(1)
-
=
+
ũ
Cõu 12.
x
Idx
x
2
2001
21002
1
.
(1)
=
+
ũ
ã
x
Idxdx
xx
x
x
22
2004
3210021002
11
3
2
1
(1)
1
1
==
+
ổử
+
ỗữ
ốứ
ũũ
. t
t dtdx
xx
23
12
1=+ị=-
.
Cỏch 2
: Ta cú:
xxdx
I
xx
1
2000
2200022
0
1.2
2
(1)(1)
=
++
ũ
. t
txdtxdx
2
12=+ị=
ị
t
Idtd
tt
tt
1000
22
1000
100021001
11
1(1)1111
11
22
2002.2
ổửổử
-
== =
ỗữỗữ
ốứốứ
ũũ
Cõu 13.
Ixxdx
1
536
0
(1)=-
ũ
ã
t
dttt
txdtxdxdxIttdt
x
1
78
326
2
0
111
13(1)
3378168
3
ổử
-
=-ị=-ị=ị=-=-=
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 14.
xdx
I
x
1
03
(1)
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xx
xx
xx
23
33
11
(1)(1)
(1)(1)
+-
==+-+
++
Ixxdx
1
23
0
1
(1)(1)
8
ộự
ị=+-+=
ởỷ
ũ
Cõu 15.
x
Idx
x
2
2
4
1
1
1
+
=
+
ũ
ã
Ta cú:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
. t
txdtdx
x
x
2
11
1
ổử
=-ị=+
ỗữ
ốứ
ị
dt
Idt
tt
t
33
22
2
11
111
2222
2
ổử
==-
ỗữ
-+
-
ốứ
ũũ
t
t
3/2
12121
.lnln
1
2222221
ổử
==
ỗữ
ỗữ
++
ốứ
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 3
Câu 16.
x
Idx
x
2
2
4
1
1
1
-
=
+
ò
·
Ta có:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
-
-
=
+
+
. Đặt
txdtdx
x
x
2
11
1
æö
=+Þ=-
ç÷
èø
Þ
dt
I
t
5
2
2
2
2
=-
+
ò
.
Đặt
du
tudt
u
2
2tan2
cos
=Þ=
;
uuuu
12
55
tan2arctan2;tanarctan
22
=Þ==Þ=
Þ
u
u
Iduuu
2
1
21
2225
()arctanarctan2
2222
æö
==-=-
ç÷
èø
ò
Câu 17.
x
Idx
x
1
4
6
0
1
1
+
=
+
ò
·
Ta có:
xxxxxxxx
xxxxxxxx
44224222
66242626
1(1)11
11(1)(1)111
+-++-+
==+=+
+++-++++
Þ
dx
Idxdx
xx
11
3
232
00
11()1
34343
1()1
ppp
=+=+=
++
òò
Câu 18.
x
Idx
xx
2
2
3
1
1-
=
+
ò
·
Ta có:
x
Idx
x
x
2
2
1
1
1
1
-
=
+
ò
. Đặt
tx
x
1
=+
Þ
I
4
ln
5
=
Câu 19.
xdx
I
xx
1
42
0
1
=
++
ò
.
·
Đặt tx
2
=
Þ
dtdt
I
tt
t
11
22
2
00
11
22
63
1
13
22
p
===
++
æö
æö
++
ç÷
ç÷
èøèø
òò
Câu 20.
x
Idx
xx
15
2
2
42
1
1
1
+
+
=
-+
ò
·
Ta có:
x
x
xx
x
x
2
2
42
2
2
1
1
1
1
1
1
+
+
=
-+
+-
. Đặt
txdtdx
x
x
2
11
1
æö
=-Þ=+
ç÷
èø
Þ
dt
I
t
1
2
0
1
=
+
ò
. Đặt
du
tudt
u
2
tan
cos
=Þ=
Þ
Idu
4
0
4
p
p
==
ò
Câu 21.
x
Idx
x
3
2
3
4
0
1
=
-
ò
·
x
Idxdx
xxxx
33
2
33
2222
00
1111
ln(23)
2412
(1)(1)11
p
æö
==+=-+
ç÷
-+-+
èø
òò
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1.
x
Idx
xx
2
391
=
+-
ò
·
x
Idxxxxdxxdxxxdx
xx
222
2
(391)391
391
== =
+-
òòòò
+IxdxxC
23
11
3==+
ò
+
Ixxdx
2
2
91=-
ò
xdxxC
3
222
2
2
11
91(91)(91)
1827
= =-+
ò
Þ
IxxC
3
23
2
1
(91)
27
=-++
Câu 2.
xx
Idx
xx
2
1
+
=
+
ò
·
xx
dx
xx
2
1
+
+
ò
xx
dxdx
xxxx
2
11
=+
++
òò
.
+
x
Idx
xx
2
1
1
=
+
ò
. Đặt t=
xxtxx
2
11+Û-= xt
322
(1)Û=- xdxttdt
22
4
(1)
3
Û=-
Þ
tdtttC
23
444
(1)
393
-=-+
ò
=
( )
xxxxC
3
1
44
11
93
+-++
+
x
Idx
xx
2
1
=
+
ò
=
dxx
xx
2(1)
3
1
+
+
ò
=
xxC
2
4
1
3
++
Vậy:
( )
IxxC
3
4
1
9
=++
Câu 3.
x
Idx
x
4
0
21
121
+
=
++
ò
·
Đặt tx21=+. I =
t
dt
t
3
2
1
2ln2
1
=+
+
ò
.
Câu 4.
dx
I
xx
6
2
2141
=
+++
ò
·
Đặt tx41=+. I
31
ln
212
=-
Câu 5. Ixxdx
1
32
0
1=-
ò
·
Đặt: tx
2
1=-
Þ
( )
Ittdt
1
24
0
2
15
=-=
ò
.
Câu 6.
x
Idx
x
1
0
1
1
+
=
+
ò
·
Đặt tx=
Þ
dxtdt2.= . I =
tt
dt
t
1
3
0
2
1
+
+
ò
=
ttdt
t
1
2
0
2
22
1
æö
-+-
ç÷
+
èø
ò
=
11
4ln2
3
- .
Câu 7.
x
Idx
xx
3
0
3
313
-
=
+++
ò
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 5
·
Đặt txtdudx12=+Þ=
Þ
tt
Idttdtdt
t
tt
222
3
2
111
281
(26)6
1
32
-
==-+
+
++
òòò
3
36ln
2
=-+
Câu 8.
Ixxdx
0
3
1
1
-
=+
ò
·
Đặt
tt
txtxdxtdtItdt
1
1
74
323
3
0
0
9
1133(1)3
7428
æö
=+Þ=+Þ=Þ=-=-=-
ç÷
èø
ò
Câu 9.
x
Idx
xx
5
2
1
1
31
+
=
+
ò
·
Đặt
tdt
txdx
2
31
3
=+Þ=
Þ
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3
2
.
3
1
.
3
æö
-
+
ç÷
ç÷
èø
=
-
ò
dt
tdt
t
44
2
2
22
2
(1)2
9
1
=-+
-
òò
t
tt
t
3
44
2111009
lnln.
931275
22
æö
-
=-+=+
ç÷
+
èø
Câu 10.
xx
Idx
x
3
2
0
21
1
+-
=
+
ò
·
Đặt xtxt
2
11+=Û=-
Þ
dxtdt2=
Þ
ttt
Itdt ttdtt
t
2
22
2225
423
1
11
2(1)(1)1454
22(23)2
55
æö
-+
==-=-=
ç÷
èø
òò
Câu 11.
xdx
I
xx
1
2
0
2
(1)1
=
++
ò
·
Đặt txtxtdtdx
2
112
=+Þ=+Þ=
tt
Itdttdtt
tt
t
2
2
22
223
3
1
11
(1)1116112
.2222
33
æö
æö
Þ==-= =
ç÷
ç÷
èøèø
òò
Câu 12.
( )
x
Idx
x
4
2
0
1
112
+
=
++
ò
·
Đặt
dx
txdtdxtdt
x
112(1)
12
=++Þ=Þ=-
+
và
tt
x
2
2
2
-
=
Ta có: I =
tttttt
dtdttdt
t
ttt
444
232
222
222
1(22)(1)1342142
3
222
æö
-+ +-
==-+-
ç÷
èø
òòò
=
t
tt
t
2
12
34ln
22
æö
-++
ç÷
ç÷
èø
=
1
2ln2
4
-
Câu 13.
x
Idx
x
8
2
3
1
1
-
=
+
ò
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 6
ã
x
Idx
xx
8
22
3
1
11
ổử
=-
ỗữ
ỗữ
++
ốứ
ũ
=
( )
xxx
8
22
3
1ln1
ộự
+-++
ởỷ
=
( ) ( )
1ln32ln83++-+
Cõu 14. Ixxxdx
1
32
0
(1)2=
ũ
ã
Ixxxdxxxxxxdx
11
3222
00
(1)2(21)2(1)= =-+
ũũ
. t
txx
2
2=-
ị
I
2
15
=- .
Cõu 15.
xxx
Idx
xx
2
32
2
0
23
1
-+
=
-+
ũ
ã
xxx
Idx
xx
2
2
2
0
()(21)
1
=
-+
ũ
. t
txx
2
1=-+ Itdt
3
2
1
4
2(1)
3
ị=-=
ũ
.
Cõu 16.
xdx
I
x
2
3
3
2
0
4
=
+
ũ
ã
t txxtxdxtdt
3
2232
4423=+ị=-ị=
ị
Ittdt
3
2
4 3
4
338
(4)42
225
ổử
=-=-+
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 17.
dx
I
xx
1
2
1
11
-
=
+++
ũ
ã
Ta cú:
xxxx
Idxdx
x
xx
11
22
22
11
1111
2
(1)(1)
+-++-+
==
+-+
ũũ
x
dxdx
xx
11
2
11
111
1
22
ổử
+
=+-
ỗữ
ốứ
ũũ
+
Idxxx
x
1
1
11
1
111
1ln|1
22
-
-
ổử
ộự
=+=+=
ỗữ
ởỷ
ốứ
ũ
+
x
Idx
x
1
2
2
1
1
2
-
+
=
ũ
. t
txtxtdtxdx
222
1122=+ị=+ị=
ị
I
2
=
tdt
t
2
2
2
2
0
2(1)
=
-
ũ
Vy:
I 1= .
Cỏch 2
: t txx
2
1=++.
Cõu 18.
( )
xx
Idx
x
1
3
3
1
4
1
3
-
=
ũ
ã
Ta cú: Idx
xx
1
1
3
23
1
3
11
1.
ổử
=-
ỗữ
ốứ
ũ
. t
t
x
2
1
1=-
ị
I 6= .
Cõu 19.
x
Idx
x
2
2
1
4 -
=
ũ
ã
Ta cú:
x
Ixdx
x
2
2
2
1
4 -
=
ũ
. t t =
xtxtdtxdx
222
44-ị=-ị=-
ị
I =
ttdttt
dtdtt
t
ttt
0
000
2
222
3
333
()42
(1)ln
2
444
ổử
==+=+
ỗữ
+
ốứ
ũũũ
=
23
3ln
23
ổử
-
ỗữ
-+
ỗữ
+
ốứ
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 7
Cõu 20.
x
Idx
xx
25
22
2
(1)5
=
++
ũ
ã
t tx
2
5=+
ị
dt
I
t
5
2
3
115
ln
47
4
==
-
ũ
.
Cõu 21.
x
Idx
xx
27
3
2
1
2-
=
+
ũ
ã
t tx
6
=
ị
tt
Idtdt
t
tttt
33
3
222
11
2221
551
(1)11
ộự
-
==-+-
ờỳ
+++
ởỷ
ũũ
25
531ln
312
p
ổử
=-+-
ỗữ
ốứ
Cõu 22.
Idx
xx
1
2
0
1
1
=
++
ũ
ã
t txxx
2
1=+++
ị
dt
It
t
13
13
1
1
2323
ln(21)ln
213
+
+
+
==+=
+
ũ
Cõu 23.
x
Idx
xx
3
2
22
0
(11)(21)
=
++++
ũ
ã
t xt21++=
ị
Itdt
t
t
4
2
3
42364
2161242ln
3
ổử
=-+-=-+
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 24.
x
Idx
xxxx
3
2
0
2(1)211
=
+++++
ũ
ã
t tx1=+
ị
ttdt
Itdt
tt
22
22
2
2
11
2(1)
2(1)
(1)
-
==-
+
ũũ
t
2
3
1
22
(1)
33
=-=
Cõu 25.
xxx
Idx
x
3
22
3
4
1
2011-+
=
ũ
ã
Ta cú:
x
IdxdxMN
xx
3
2222
2
33
11
1
1
2011
-
=+=+
ũũ
x
Mdx
x
3
22
2
3
1
1
1-
=
ũ
. t t
x
3
2
1
1=-
ị
Mtdt
3
7
3
2
3
0
3217
2128
-
=-=-
ũ
Ndxxdx
xx
22
2222
3
32
11
1
2011201114077
2011
16
2
-
ộự
===-=
ờỳ
ởỷ
ũũ
ị
I
3
14077217
16128
=
Cõu 26.
dx
I
xx
1
3
33
0 (1).1
=
++
ũ
ã
t tx
3
3
1=+
ị
tdt
Idt
tttt
33
22
2
22
11
4323
33
.(1).(1)
==
ũũ
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 8
dtdt
t
dt
t
t
tt
t
t
333
2
3
222
3
224
111
33
4
23
3
3
1
1
1
1
1
.1
-
ổử
-
ỗữ
ốứ
===
ộựổử
ổử
-
-
ỗữ
ờỳ
ỗữ
ốứ
ốứ
ởỷ
ũũũ
t
dt
udu
tt
34
13
1=-ị=
ị
uu
Iduuduu
1
1
11
21
2
21
2
22
33
33
3
00
0
0
111
1
333
2
3
-
-
ổử
ỗữ
=====
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ũũ
Cõu 27.
x
Idx
xx
x
22
4
2
3
1
1
=
ổử
-+
ỗữ
ốứ
ũ
ã
t tx
2
1=+
ị
t
Idt
t
3
22
2
2
(1)
2
-
=
-
ũ
=
tt
dttdtdt
tt
333
42
2
22
222
21119242
ln
34
42
22
ổử
-++
=+=+
ỗữ
ỗữ
-
ốứ
ũũũ
Dng 2: i bin s dng 2
Cõu 28.
( )
x
Ixxdx
x
1
0
1
2ln1
1
ổử
-
ỗữ
=-+
ỗữ
+
ốứ
ũ
ã
Tớnh
x
Hdx
x
1
0
1
1
-
=
+
ũ
. t xttcos;0;
2
p
ộự
=ẻ
ờỳ
ởỷ
ị
H 2
2
p
=-
ã
Tớnh Kxxdx
1
0
2ln(1)=+
ũ
. t
ux
dvxdx
ln(1)
2
ỡ
=+
ớ
=
ợ
ị
K
1
2
=
Cõu 29.
Ixxxdx
2
522
2
()4
-
=+-
ũ
ã
I = xxxdx
2
522
2
()4
-
+-
ũ
= xxdx
2
52
2
4
-
-
ũ
+ xxdx
2
22
2
4
-
-
ũ
= A + B.
+ Tớnh A = xxdx
2
52
2
4
-
-
ũ
. t tx=- . Tớnh c: A = 0.
+ Tớnh B = xxdx
2
22
2
4
-
-
ũ
. t xt2sin= . Tớnh c: B = 2
p
.
Vy:
I 2
p
= .
www.VNMATH.com
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 9
Cõu 30.
(
)
xdx
I
x
2
2
4
1
34
2
=
ũ
ã
Ta cú:
x
Idxdx
xx
22
2
44
11
34
22
-
=-
ũũ
.
+ Tớnh I
1
=
dx
x
2
4
1
3
2
ũ
=
xdx
2
4
1
37
216
-
=
ũ
.
+ Tớnh
x
Idx
x
2
2
2
4
1
4
2
-
=
ũ
. t
xtdxtdt2sin2cos=ị= .
ị
tdt
Itdttdt
tt
2
222
22
2
42
666
1cos1113
cotcot.(cot)
8888
sinsin
ppp
ppp
ổử
===-=
ỗữ
ốứ
ũũũ
Vy:
( )
I
1
723
16
=
Cõu 31.
xdx
I
x
1
2
6
0
4
=
-
ũ
ã
t txdtxdx
32
3=ị=
ị
dt
I
t
1
2
0
1
3
4
=
-
ũ
.
t
tuudtudu2sin,0;2cos
2
p
ộự
=ẻị=
ờỳ
ởỷ
ị
Idt
6
0
1
318
p
p
==
ũ
.
Cõu 32.
x
Idx
x
2
0
2
2
-
=
+
ũ
ã
t xtdxtdt2cos2sin=ị=-
ị
t
Idt
2
2
0
4sin2
2
p
p
==-
ũ
.
Cõu 33.
xdx
I
xx
1
2
2
0
32
=
+-
ũ
ã
Ta cú:
xdx
I
x
1
2
22
0 2(1)
=
ũ
. t xt12cos-= .
ị
tt
Idt
t
2
2
2
2
3
(12cos)2sin
4(2cos)
p
p
+
=-
-
ũ
=
( )
ttdt
2
3
2
34cos2cos2
p
p
++
ũ
=
33
4
22
p
+-
Cõu 34. xxdx
1
2
2
0
121
ũ
ã
t xtsin=
ị
Itttdt
6
0
31
(cossin)cos
1288
p
p
=-=+-
ũ
www.VNMATH.com
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 10
Dng 3: Tớch phõn tng phn
Cõu 35. Ixdx
3
2
2
1=-
ũ
ã
t
x
dudx
ux
x
dvdx
vx
2
2
1
1
ỡ
ỡ
=
ùù
=-
ị
ớớ
-
=
ù
ợù
=
ợ
x
Ixxxdxxdx
xx
33
22
22
22
3
1
1.521
2
11
ộự
ị= = +
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũũ
dx
xdx
x
33
2
2
22
521
1
=
-
ũũ
Ixx
23
2
52ln1= +-
ị
( )
I
521
ln21ln2
24
=-++
Chỳ ý: Khụng c dựng phộp i bin x
t
1
cos
= vỡ
[ ]
2;31;1
ộự
ẽ-
ởỷ
www.VNMATH.com
[...]... cos x 1 + t2 dt t2 + 1 1 t2 tan 2 x ị I = 2ũ =ũ dt = ũ (t + )dt = + ln t + C = + ln tan x + C 2t t t 2 2 Cõu 13 I = ũ 1 + t2 Trang 13 www.VNMATH.com Bi tp Tớch phõn Cõu 16 I = ũ 2011 sin 2011 x - sin 2009 x sin 5 x cot xdx 1 2011 1 - sin 2 x cot xdx = ũ sin 4 x ã Ta cú: I = ũ t t = cot x ị I = ũ 2 2011 (1 + t 2 )tdt t 4024 Trn S Tựng 2011 - cot 2 x sin 4 x cot xdx 4024 8046 2011 2011 2011 2011 = + . cú:
xxdx
I
xx
1
2000
22000 22
0
1.2
2
(1)(1)
=
++
ũ
. t
txdtxdx
2
12=+ị=
ị
t
Idtd
tt
tt
1000
22
1000
100021001
11
1(1)1111
11
22
2002 .2
ổửổử
-
==.
x
Idxdx
xxxx
33
2
33
2222
00
1111
ln(23)
2412
(1)(1)11
p
æö
==+=-+
ç÷
-+-+
èø
òò
www.VNMATH.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1.
x
Idx
xx
2
391
=
+-
ò
Ngày đăng: 12/03/2014, 18:42
Xem thêm: 200 câu tích phân hay_Trần Sỉ Tùng, 200 câu tích phân hay_Trần Sỉ Tùng