Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP Xác suất thống kê ứng dụng (bài tập) Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1 1 Quan hệ và phép toán các sự kiện Giải tích tổ hợp Bài tập 1 1 Một lô hàng có 50 sản phẩm a) Có bao.
BÀI TẬP Xác suất thống kê ứng dụng (EMA2050) Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 Quan hệ phép toán kiện Giải tích tổ hợp Bài tập 1.1 Một lơ hàng có 50 sản phẩm a) Có cách chọn ngẫu nhiên lúc sản phẩm để kiểm tra? b) Có cách chọn ngẫu nhiên sản phẩm? Bài tập 1.2 Trong hệ thống điện thoại nội số: a) Có máy có chữ số khác nhau? b) Có máy có số cuối cịn chữ số lại khác nhau? Bài tập 1.3 Một lớp học có 40 học sinh gồm 22 nam 18 nữ Có cách chia để nửa lớp có 11 nam sinh nữ sinh? Bài tập 1.4 Nếu người có đơi tất khác đơi giày khác Có cách kết hợp tất giày Bài tập 1.5 Năm người A, B, C, D, E phát biểu hội nghị Có cách xếp để: a) Người B phát biểu sau A b) Người A phát biểu xong đến lượt B CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Bài tập 1.6 Có học sinh xếp ngồi vào chỗ ghi số thứ tự bàn dài Tìm số cách xếp: a) học sinh vào bàn b) học sinh vào bàn cho học sinh A, B ngồi cạnh c) học sinh ngồi vào bàn cho học sinh A, B không ngồi cạnh Bài tập 1.7 Một lớp có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm: lớp trưởng, lớp phó, thủ quỹ Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn ban cán lớp? Bài tập 1.8 Một hộp có bi đỏ, bi trắng, bi vàng Người ta chọn bi từ hộp Hỏi có cách chọn nếu: a) Khơng u cầu thêm b) Phải có bi đỏ, bi trắng, bi vàng c) Có bi vàng Bài tập 1.9 Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, cịn người trực đồn Hỏi có cách phân công? Bài tập 1.10 Một tổ sản xuất có 12 người, có nữ, cần chia thành nhóm Hãy tìm số cách phân chia cho nhóm có nữ? Bài tập 1.11 Xếp 12 hành khách lên toa tàu Tìm số cách xếp: a) Mỗi toa có hành khách b) Một toa có hành khách, toa có hành khách, toa cịn lại toa có hành khách Bài tập 1.12 (Hằng đẳng thức Vandermonde) Giả sử m, n, r số nguyên dương Chứng minh rằng: r r −1 r Cm Cn−m + Cm Cn−m + + Cm Cn−m = Cnr CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Gợi ý: phân tích hệ số nhị thức (1 + x )n = (1 + x )n−m (1 + x )m Bài tập 1.13 Chứng minh rằng: a) Cn1 + 2Cn2 + + nCnn = n2n−1 b) 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n−2 Gợi ý: lấy đạo hàm cấp cấp Bài tập 1.14 Từ lơ khơ 52 rút ngẫu nhiên không quan tâm đến thứ tự Có khả xảy trường hợp đó: a) Đều át; b) Có át; c) Có át; d) Có đủ loại rơ, cơ, bích, nhép Bài tập 1.15 Có 20 sinh viên Có cách chọn sinh viên (khơng xét tới tính thứ tự) tham gia câu lạc Văn sinh viên tham gia câu lạc Toán trường hợp: a) Một sinh viên tham gia nhiều câu lạc bộ; b) Một sinh viên tham gia hai câu lạc Bài tập 1.16 Thực phép thử tung xúc xắc, ghi lại số chấm xuất Gọi x, y số chấm xuất tương ứng xúc xắc thứ thứ hai Ký hiệu không gian mẫu W = {( x, y)|1 ≤ x, y ≤ 6} Hãy liệt kê phần tử kiện sau: a) A: “tổng số chấm xuất lớn 8”; b) B: “có xúc xắc mặt chấm”; c) C: “con xúc xắc thứ có số chấm lớn 4”; d) A + B, A + C, B + C, A + B + C, thể thơng qua sơ đồ Venn; e) AB, AC, BC, ABC, sau thể thơng qua sơ đồ Venn CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.2 Định nghĩa xác suất Bài tập 1.17 Số lượng nhân viên công ty A phân loại theo lứa tuổi giới tính sau: PP P PP P Tuổi Giới tính PP PP PP PP PP P Nam Nữ Dưới 30 120 170 Từ 30 đến 40 260 420 Trên 40 400 230 Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên người cơng ty được: a) Một nhân viên độ tuổi 30–40; b) Một nam nhân viên 40 tuổi; c) Một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống Bài tập 1.18 Một kiện hàng có 24 sản phẩm, số có 14 sản phẩm loại I, sản phẩm loại II, sản phẩm loại III Người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất sản phẩm đó: a) Có sản phẩm loại I sản phẩm loại II; b) Có sản phẩm loại I; c) Có sản phẩm loại III; Bài tập 1.19 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để: a) Tất thẻ mang số chẵn; b) Có số chia hết cho 3; c) Có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có số chia hết cho 10 Bài tập 1.20 Một đồn tàu có toa đánh số I, II, III, IV đỗ sân CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT ga Có hành khách từ sân ga lên tàu Mỗi người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để: a) Toa I có người, toa II có người, toa III có người; b) Một toa có người, toa người, toa có người; c) Mỗi toa có người Bài tập 1.21 Trong thành phố có khách sạn Có khách du lịch đến thành phố đó, người chọn ngẫu nhiên khách sạn Tìm xác suất để: a) Mỗi người khách sạn khác nhau; b) Có hai người khách sạn Bài tập 1.22 Đội A có người đội B có người tham gia vào chạy thi, người có khả xuất phát Tính xác suất để người đội A vị trí nhất, nhì, ba Bài tập 1.23 Phân phối ngẫu nhiên n viên bi vào n hộp (biết hộp chứa n viên bi) Tính xác suất để: a) Hộp có bi; b) Có hộp khơng có bi Bài tập 1.24 Hai người hẹn công viên khoảng thời gian từ 5h00 đến 6h00 để tập thể dục Hai người quy ước đến không thấy người chờ vòng 10 phút Giả sử thời điểm hai người đến công viên ngẫu nhiên khoảng từ 5h00 đến 6h00 Tính xác suất để hai người gặp Bài tập 1.25 Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10 cm Lấy điểm C đoạn thẳng Tính xác suất chênh lệch độ dài hai đoạn thẳng AC CB không vượt cm Bài tập 1.26 Cho đoạn thẳng AB độ dài 10 cm Lấy hai điểm C, D đoạn AB (C nằm A D) Tính xác suất độ dài AC, CD, DB CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT tạo thành cạnh tam giác 1.3 Xác suất có điều kiện Cơng thức cộng, nhân xác suất Công thức Bernoulli Bài tập 1.27 Một lớp có tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người tổ III có 15 người Chọn hú họa nhóm sinh viên gồm người a) Tính xác suất để nhóm có sinh viên tổ I b) Biết nhóm có sinh viên tổ I, tính xác suất để nhóm có sinh viên tổ III Bài tập 1.28 Cho kiện A, B với P( A) = P( B) = 12 ; P( AB) = 18 Tìm: a) P( A + B); b) P( AB), P( A + B) Bài tập 1.29 Cho ba kiện A, B, C độc lập đôi thỏa mãn P( A) = P( B) = P(C ) = p P( ABC ) = a) Tính P( ABC ); P( ABC ); P( ABC ) b) Tìm giá trị p lớn có Bài tập 1.30 Trong phép thử, A B kiện thỏa mãn P( A) = 14 , P( B) = 12 Tính xác suất để A không xảy B xảy trường hợp sau: a) A B xung khắc; b) A suy B; c) P( AB) = 81 Bài tập 1.31 Cho hai kiện A B, P( A) = 0, P( B) = 0, Xác định giá trị lớn nhỏ P( AB) P( A + B) điều kiện đạt giá trị CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Bài tập 1.32 Ba người A, B, C tung đồng xu Giả sử A tung đồng xu đầu tiên, B tung thứ hai C tung thứ ba Quá trình lặp lặp lại thắng việc trở thành người thu mặt ngửa Xác định khả mà người giành chiến thắng Bài tập 1.33 Ba xạ thủ A, B, C độc lập với bắn súng vào bia Xác suất bắn trúng bia người A, B C tương ứng 0,7; 0,6 0,9 Tính xác suất để: a) Có xạ thủ bắn trúng bia; b) Có hai xạ thủ bắn trúng bia; c) Có xạ thủ bắn trúng bia; d) Xạ thủ A bắn trúng bia biết có hai xạ thủ bắn trúng bia Bài tập 1.34 Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa thành phố vào mùa hè 0,5; cịn khơng mưa 0,3 Biết kiện có ngày mưa, ngày không mưa đồng khả Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa Bài tập 1.35 Một khảo sát 1000 người hoạt động thể dục thấy có 80% số người thích 60% người thích đạp xe vào buổi sáng tất người tham gia hai hoạt động Chọn ngẫu nhiên người hoạt động thể dục Nếu gặp người thích xe đạp xác suất mà người khơng thích bao nhiêu? Bài tập 1.36 Để thành lập đội tuyển quốc gia môn học, người ta tổ chức thi tuyển gồm vòng Vòng thứ lấy 80% thí sinh; vịng thứ hai lấy 70% thí sinh qua vòng thứ vòng thứ ba lấy 45% thí sinh qua vịng thứ hai Để vào đội tuyển, thí sinh phải vượt qua vịng thi a) Tính xác suất để thí sinh vào đội tuyển; b) Tính xác suất để thí sinh bị loại vòng thứ ba; CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT c) Tính xác suất để thí sinh loại vịng thứ hai số thí sinh bị loại Bài tập 1.37 Theo thống kê gia đình có hai xác suất để thứ thứ hai trai 0,27 hai gái 0,23, cịn xác suất có trai gái đồng khả Biết kiện xét gia đình chọn ngẫu nhiên có thứ gái, tìm xác suất để thứ hai trai Bài tập 1.38 Hai vận động viên bóng bàn A B đấu trận gồm tối đa ván (khơng có kết hịa sau ván trận đấu dừng người thắng trước ván) Xác suất để A thắng ván 0,7 a) Tính xác suất để A thắng sau x ván (x = 3, 4, 5) b) Tính xác suất để trận đấu kết thúc sau ván Bài tập 1.39 Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, câu hỏi cho phương án trả lời, có phương án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú họa câu trả lời Tìm xác suất để: a) Học sinh 13 điểm b) Học sinh bị điểm âm Bài tập 1.40 Hai cầu thủ bóng rổ, người ném bóng lần vào rổ Xác suất ném trúng rổ cầu thủ theo thứ tự 0,6 0,7 Tìm xác suất để: a) Số lần ném trúng rổ hai người nhau; b) Số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ nhiều số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ hai Bài tập 1.41 Một công nhân đứng máy 1000 ống sợi Xác suất ống bị đứt vòng 0,005 Tính xác suất để vịng giờ: CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT a) 40 ống sợi bị đứt; b) Không 40 ống sợi bị đứt 1.4 Công thức xác suất đầy đủ Cơng thức Bayes Bài tập 1.42 Có hộp đựng bi: hộp thứ có bi đỏ, bi trắng; hộp thứ hai có bi đỏ, bi trắng; hộp thứ ba khơng có viên Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp thứ viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ Sau từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên viên bi a) Tính xác suất để viên bi màu đỏ b) Biết viên bi lấy từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy viên bi đỏ từ hộp thứ bỏ vào hộp thứ ba Bài tập 1.43 Hộp I có viên bi đỏ, viên bi xanh; hộp II có viên bi đỏ, viên bi xanh Bỏ ngẫu nhiên viên bi từ hộp I sang hộp II, sau lại bỏ ngẫu nhiên viên bi từ hộp II sang hộp I Cuối rút ngẫu nhiên từ hộp I viên bi a) Tính xác suất để viên bi rút sau màu đỏ b) Nếu viên rút sau màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút viên bi đỏ hộp I cho vào hộp II Bài tập 1.44 Trong kho rượu, số lượng rượu loại A loại B Người ta chọn ngẫu nhiên chai đưa cho người nếm thử Biết xác suất đoán người 0,8 Có người kết luận rượu loại A, người kết luận rượu loại B Hỏi xác suất chai rượu thuộc loại A bao nhiêu? Bài tập 1.45 Có hai lơ sản phẩm: lơ I có phẩm phế phẩm; lơ II có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ I sang lơ II, sau từ lơ II lấy ngẫu nhiên sản phẩm Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Bài tập 2.1 Một chùm chìa khóa gồm giống nhau, có mở cửa Người ta thử ngẫu nhiên mở cửa Gọi X số lần thử a) Tìm phân phối xác suất X b) Tìm kỳ vọng phương sai X c) Viết hàm phân phối xác suất X Bài tập 2.2 Một xạ thủ có viên đạn Anh ta phải bắn vào bia với quy định có viên trúng bia hết đạn dừng Biết xác suất trúng bia lần bắn 0,4 gọi X số đạn cần bắn a) Tìm phân phối xác suất X b) Tìm kỳ vọng, phương sai viết hàm phân phối xác suất X c) Viết hàm phân phối xác suất X Bài tập 2.3 Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A bầu cử tổng thống 40% Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri chọn cách ngẫu nhiên Gọi X số người bỏ phiếu cho ông A 20 người a) Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn X modeX b) Tìm P( X = 10) 12 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Bài tập 2.4 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có giá trị x1 x2 (x1 < x2 ) Xác suất để X nhận giá trị x1 0,2 Tìm luật phân phối xác suất X, biết kỳ vọng E( X ) = 2, độ lệch chuẩn σ( X ) = 0, Bài tập 2.5 Mỗi khách uống cà phê quán cà phê ngày phát ngẫu nhiên vé bốc thăm, xác suất khác hàng trúng thăm 0,1 Nếu khách hàng trúng thăm liên tục ngày (từ Thứ Hai đến Thứ Sáu) nhận 100$, khơng khơng An uống cà phê liên tục quán tuần liên tiếp Gọi X$ số tiền An thưởng bốc thăm tuần Xác định kỳ vọng phương sai X Bài tập 2.6 Tung đồng xu 10 lần Biến ngẫu nhiên X định nghĩa sau: (X = 1) kiện lần mặt sấp xảy (X = 0) trường hợp cịn lại Tính kỳ vọng E( X ) phương sai V ( X ) Bài tập 2.7 Có sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta lấy hai sản phẩm (lấy khơng hồn lại) a) Gọi X ‘số phẩm gặp phải’ Lập bảng phân phối xác suất X Tính E( X ) V ( X ) b) Gọi Y ‘số phế phẩm gặp phải’ Lập hệ thức cho mối quan hệ X Y Bài tập 2.8 Người ta đặt ngẫu nhiên 10 thẻ (trong thẻ màu đỏ thẻ màu xanh) vào 10 phong bì (5 phong bì có màu đỏ phong bì có màu xanh), phong bì thẻ Gọi X số phong bì có chứa thẻ màu Tính giá trị: a) P( X = 1) b) E( X ) Bài tập 2.9 Có hai kiện hàng Kiện thứ có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Kiện thứ có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện I bỏ sang kiện II Sau từ kiện II lấy ngẫu 13 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC nhiên sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên số sản phẩm tốt sản phẩm lấy từ kiện II Bài tập 2.10 Gieo hai xúc sắc đồng chất lần, gọi X số lần xuất hai mặt a) Tính xác suất kiện số lần xuất hai mặt b) Tính E( X ), V ( X ) c) Viết hàm phân phối FX ( x ) Bài tập 2.11 Một niên nam vào cửa hàng thấy máy thu giống Anh ta đề nghị cửa hàng cho thử máy đến chọn máy tốt mua, lần xấu thơi Biết xác suất để máy xấu 0,6 máy xấu tốt độc lập với Gọi X số lần thử Lập phân phối xác suất X Bài tập 2.12 Một người làm từ nhà đến quan phải qua ngã tư Xác suất để người gặp đèn đỏ ngã tư tương ứng 0,2; 0,4; 0,5 Gọi X số đèn đỏ người gặp phải lần làm (giả sử đèn giao thông nga tư hoạt động độc lập với nhau) a) Lập bảng phân phối xác suất X Tính kỳ vọng, phương sai X Tìm hàm phân phối xác suất X b) Hỏi thời gian trung bình phải ngừng đường biết gặp đèn người phải đợi khoảng phút Bài tập 2.13 Một người chơi trò chơi tung xúc sắc sân đối đồng chất ba lần Nếu ba lần suất mặt thu 36$, hai lần xuất mặt thu 2,8$, lần xuất mặt thu 0,4$ Biết chơi người phải nộp x$ a) Tìm x cho trị chơi vơ thưởng vơ phạt b) x trung bình lần chơi, người chơi 1$ Bài tập 2.14 Một kiện hàng có 12 sản phẩm, có sản phẩm loại 14 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC I sản phẩm loại II Khi bán sản phẩm loại I lãi 50 nghìn đồng; bán sản phẩm loại II lãi 20 nghìn đồng Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm a) Tìm quy luật phân phối xác suất số tiền lãi thu bán sản phẩm đó; tính kỳ vọng, phương sai số tiền lãi thu bán sản phẩm b) Viết hàm phân phối, vẽ đồ thị hàm phân phối số tiền lại thu bán sản phẩm Bài tập 2.15 Một sở thí nghiệm có phịng thí nghiệm Xác suất thực thành cơng thí nghiệm phòng 0,6; 0,7 0,8 Một sinh viên chọn phịng thí nghiệm tiến hành thí nghiệm độc lập Gọi X số thí nghiệm thành cơng a) Lập bảng phân phối xác suất X, tính kỳ vọng E( X ) phương sai V ( X ) b) Theo anh (chị) khả chắn thành cơng thí nghiệm? 2.2 Một số luật phân phối xác suất thông dụng biến ngẫu nhiên rời rạc Bài tập 2.16 Bắn viên đạn vào mục tiêu Xác suất trúng đích lần bắn 0,2 Muốn phá hủy mục tiêu phải có viên trúng mục tiêu Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy Bài tập 2.17 Xác suất để sinh viên chậm thi 0,02 Tìm số sinh viên chậm thi có khả xảy nhiều 855 sinh viên dự thi Bài tập 2.18 Có 10 máy sản xuất sản phẩm (độc lập nhau), máy sản xuất 2% phế phẩm 15 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC a) Từ máy sản xuất lấy ngẫu nhiên sản phẩm Hỏi xác suất lấy nhiều phế phẩm 10 sản phẩm bao nhiêu? b) Trung bình có sản phẩm sản xuất máy trước tạo phế phẩm (giả sử sản phẩm sản xuất độc lập)? Bài tập 2.19 Một gara cho thuê ô tô thấy số người đến thuê ô tô vào thứ bảy cuối tuần biến ngâu nhiên có phân bố Poisson với tham số λ = Giả sử gara có tơ a) Tìm xác suất để tất tơ thuê vào thứ b) Tìm xác suất gara không đáp ứng yêu cầu (thiếu xe cho th) vào thứ c) Trung bình có ô tô thuê vào thứ 7? Bài tập 2.20 Số khách hàng đến cửa hàng bán lẻ biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình khách hàng đến vịng a) Nếu có khách hàng đến khoảng thời gian từ 10:00 đến 11:00 xác suất để có khách hàng đến khoảng thời gian từ 10:00 đến 11:30 bao nhiêu? b) Nếu có khách hàng đến khoảng thời gian từ 10:00 đến 12:00 cửa hàng xem khơng có lợi nhuận Tìm xác suất để cửa hàng có ngày có lãi tuần (giả sử cửa hàng mở cửa ngày tuần) Bài tập 2.21 Gọi biến ngẫu nhiên Y tỉ lệ 1000 người Mỹ xác nhận có uống nhiều cốc bia ngày Giả sử tỷ lệ 10% toàn dân số Mỹ Tính E(Y ), V (Y ) 16 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 3.1 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục Bài tập 3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: k sin 3x, x ∈ [0, π ] f (x) = 1, x∈ / [0, π3 ] a) Xác định k hàm phân phối F ( x ) b) Tính P( π6 ≤ x ≤ π3 ) Bài tập 3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: f (x) = c e x + e− x Xác định số c sau tính kỳ vọng X Bài tập 3.3 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f ( x ) = ae−|x| , −∞ < x < ∞ a) Xác định a b) Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên X, biến ngẫu nhiên Y = X c) Tìm E( X ), V ( X ) d) Tính xác suất để sau ba lần lặp lại phép thử cách độc lập có lần 17 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC X nhận giá trị khoảng [0; ln 3] Bài tập 3.4 Nhu cầu hàng năm loại hàng A biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất sau (đơn vị: nghìn sản phẩm): k(30 − x ), x ∈ [0, 30] f (x) = 0, x∈ / [0, 30] a) Tìm k b) Tìm hàm phân phối F ( x ) c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm loại hàng Bài tập 3.5 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất: 0, x≤0 F ( x ) = − k cos x, < x ≤ π 1, x>π a) Tìm k b) Tìm P(0 < X < π2 ) c) Tìm E( X ) Bài tập 3.6 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất: 0, x ≤ −a F ( x ) = A + B arcsin x , x ∈ [− a, a] a 1, x≥a a) Tìm A B b) Tìm hàm mật độ xác suất f ( x ) Bài tập 3.7 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng: F ( x ) = a + b arctan x, − ∞ < x < ∞ 18 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC a) Tìm hệ số a b b) Tìm hàm mật độ xác suất f ( x ) c) Tìm xác suất để tiến hành phép thử độc lập có lần X nhận giá trị khoảng [−1,1] Bài tập 3.8 Biến ngẫu nhiên X liên tục toàn trục số có hàm phân phối xác suất F ( x ) = 12 + π1 arctan 2x Tìm giá trị có x1 thỏa mãn điều kiện P( X > x1 ) = 41 Bài tập 3.9 Thu nhập dân cư vùng biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất sau: − x0 α , x ≤ x , α > x F(x) = 1, x < x0 Hãy xác định mức thu nhập cho lấy ngẫu nhiên người vùng thu nhập người vượt mức với xác suất 0,5 Bài tập 3.10 Thời gian phục vụ khách hàng cửa hàng ăn nhanh biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật lũy thừa với hàm mật độ xác suất: f (x) = 5e−5x , x>0 0, x≤0 với x tính phút/khách hàng a) Tìm xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nằm khoảng [0,4; 1] phút b) Tính thời gian trung bình để vụ khách hàng Bài tập 3.11 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: e− x , x > f (x) = 0, x≤0 19 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC a) Tính P( X ≥ 5) b) Xác định hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y = −2X + Bài tập 3.12 Cho hàm mật độ xác suất: 3e−3x , f (x) = 0, x≥0 x 3), P( X > 3, 784) b) Tìm c cho P(3 − c < X < + c = 0, Bài tập 3.14 Cho biên độ dao động vật biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất là: x2 1 − e− 2σ2 , F(x) = 0, x≥0 x 0) nửa mặt phẳng tọa độ xOy phần x ≥ 0, người ta kẻ ngẫu nhiên tia At hợp với tia Oy góc ϕ Biết ϕ biến ngẫu nhiên có phân phối khoảng 0, π4 Tia At cắt Ox điểm M a) Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X tam giá AOM b) Tìm giá trị trung bình diện tích Bài tập 3.17 Một cơng ty kinh doanh mặt hàng A dự định áp dụng hai phương án kinh doanh: Phương án 1: Gọi X1 (triệu đồng/tháng) lợi nhuận thu X1 có phân phối chuẩn N (140; 2500) Phương án 2: Gọi X2 (triệu đồng/tháng) lợi nhuận thu X2 có phân phối chuẩn N (200; 3600) 21 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC Biết công ty tồn phát triển lợi nhuận thu từ mặt hàng A phải đạt 80 triệu đồng/tháng Hỏi nên áp dụng phương án để rủi ro thấp Bài tập 3.18 Trọng lượng loại trái tuân theo luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 250 g, độ lệch chuẩn g Trái loại I trái có trọng lượng không nhỏ 260 g a) Một người lấy trái từ sọt trái Tính xác suất người lấy trái loại I b) Nếu lấy trái loại I người mua sọt Người kiểm tra 100 sọt Tính xác suất người mua sọt Bài tập 3.19 Một dây chuyền tự động hoạt động bình thường sản xuất phế phẩm với xác suất p = 0, 001 điều chỉnh phát có phế phẩm Tính số trung bình sản phẩm sản xuất hai lần điều chỉnh Bài tập 3.20 Trọng kỳ thi, điểm số trung bình sinh viên 80 độ lệch chuẩn 10 Giả sử điểm thi sinh viên tuân theo luật phân phối chuẩn a) Nếu giáo viên muốn 25% số sinh viên đạt điểm A (nhóm điểm cao nhất) điểm số thấp để đạt điểm A bao nhiêu? b) Chọn ngẫu nhiên 50 sinh viên, tính xác suất có nhiều 10 sinh viên đạt điểm A (điểm A lấy câu (a)) Bài tập 3.21 Đường kính loại chi tiết máy sản xuất tuân theo luật phân phối chuẩn, với kỳ vọng 20 mm độ lệch chuẩn 0,2 mm Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có đường kính khoảng 19,9 đến 20,3 mm Bài tập 3.22 Chiều cao nam giới trưởng thành biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với chiều cao trung bình 160 cm độ 22 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC lệch chuẩn cm Tìm xác suất để đo ngẫu nhiên người có người có chiều cao nằm khoảng 158–162 cm Bài tập 3.23 Dùng hai phương pháp để tính sai số biến ngẫu nhiên: Phương pháp 1: Cho sai số 2X với X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (0; 25) Phương pháp 2: Cho sai số tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập Y = Y1 + Y2 E(Y1 ) = E(Y2 ) = σ(Y1 ) = σ(Y2 )=5 Hỏi phương pháp ưa dùng hơn? 23 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 4.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhiều chiều Bài tập 4.1 Cho biến ngẫu nhiên X Y có bảng phân phối xác suất đồng thời sau: ❅ Y ❅ ❅ X 0,12 0,15 0,03 0,28 0,35 0,07 ❅ ❅ ❅ a) Chứng minh X Y độc lập b) Lập bảng phân phối xác suất X Y c) Tìm quy luật phân phối biến ngẫu nhiên Z = XY d) Tính E( Z ) cách kiểm tra E( X ) = E( X ) × E(Y ) Bài tập 4.2 Cho biến ngẫu nhiên X Y có bảng phân phối xác suất đồng thời là: 24 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU ❅ Y ❅ ❅ -1 -1 15 15 15 15 15 15 15 X ❅ ❅ ❅ a) Tìm E( X ), E(Y ), cov( X, Y ) b) X Y có độc lập hay khơng? c) Lập bảng phân phối xác suất X Y Bài tập 4.3 Cho biến ngẫu nhiên X Y có bảng phân phối xác suất đồng thời là: ❅ Y ❅ ❅ X 0,17 0,13 0,25 0,10 0,30 0,05 ❅ ❅ ❅ a) Lập bảng phân phối xác suất X Y b) Lập ma trận Covarian ( X, Y ) c) Tìm hệ số tương quan d) X Y có độc lập khơng? 25 Tài liệu tham khảo [1] Tống Đình Quỳ, Giáo trình Xác suất thống kê, NXB Đại học Bách khoa Hà Nội, 1999 [2] Nguyễn Văn Thìn, Bài tập Xác suất thống kê toán [3] Nguyễn Thị Thu Thủy, Bài giảng Xác suất thống kê, Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội, 2020 26
