ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác MA  MB    MN NA  NC  đường trung bình ABC Tương tự ta có MP, NP đường trung bình ABC Các định lý a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba ABC , MA  MB, MN / / BC GT AN  NC KL b Định lý 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh GT KL ABC , MA  MB , NA  NC MN / / BC ; MN  BC B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm AB, AC , BC Tính chu vi tam giác MNP , biết MN  BC ; AB  8cm, AC  10cm, BC  12cm Lời giải Chu vi MNP  MN  NP  PM     15(cm) Bài 2: µ µ Cho tam giác ABC có A  60 , B  70 Gọi D E theo thứ tự trung điểm AB, AC Xác định dạng tứ giác BDEC tính góc tứ giác Lời giải Ta có ED đường trung bình ABC  DE / / BC  BDEC hình thang µ  500  D µ  110 ; E µ  130 C Bài 3: µ µ Cho hình thang ABCD có A  D  90 AB  AD  2CD Kẻ CH vng góc với AB Tại H a) Tính số đo góc hình thang ABCD b) Chứng minh ABC vuông cân c) Tính chu vi hình thang AB  6cm d) Gọi O giao điểm AC DH , O ' giao điểm DB CH Chứng minh AB  4OO ' Lời giải µ µ µ µ a) Ta có ADCH , có: A  D  H  C  90 AH / / CD, AD / / CH AHCD hình thang cân hai đáy AH , CD  AD  CH AHCD hình thang cân với hai đáy AD, CH AH  CD BH  AB  AH  2CD  CD  CD CH  AD  BH · µ 0 µ · · Do BCH vng cân H , suy B  45 , BCH  45 , C  BCH  DCH  45  90  135 µ µ µ µ Vậy A  D  90 , B  45 , C  135 b) ABC có H trung điểm AB CH  AB  ABC cân C µ Lại có B  45  ABC vng cân C c) Ta có AB  6cm, AD  CD  ABC vuông cân AB  3cm C  BC  AB    cm  2 AB  BC  CD  DA      12   cm  Chu vi hình thang ABCD là: 0 · · d) Dễ thấy ACD  45  HDC  45  DH / / BC  DH  AC Vì ACD vng cân O nên O trung điểm AC Ta có DO ' C  BO ' H  gcg   OC  O ' H hay O ' trung điểm CH Xét AHC có O ' O đường trung bình nên AH  2O ' O Mà AB  AH  AB  4O ' O Cho ABC  AC  AB  D, E , K Bài 4: , đường cao AH Gọi theo thứ tự trung điểm AB, AC , BC Chứng minh rằng: a) DE đường trung trực AH b) DEKH hình thang cân Lời giải a) Ta có DE đường trung bình ABC  DE / / BC  DE  AH  1 Gọi I giao điểm DE AH ABH có AD  DB DI / / BC  AI  IH   Từ  1    DE đường trung trực AH DE DK đường trung trực đường trung bình AH  EH  EA  ABC  DK  AC  3 AC  4 Từ  3    EH  DK Hình thang DEKH có hai đường chéo nên hình thang cân Bài 5: Cho tam giác ABC , tia đối tia BC lấy điểm D cho BD  BA Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE  CA Kẻ BH  AD, CK  AE Chứng minh a AH  HD b HK / / BC Lời giải a) Ta có ABH  DBH  AH  HD; ACK  ECK  AK  KE b) Xét ADE , có AH  HD; AK  KE  HK / / DE  HK / / BC Bài 6: Cho tam giác ABC , kẻ trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD  DE  EC a Chứng minh rằng: ME / / BD b Gọi I giao điểm AM , BD Chứng minh AI  IM c Chứng minh: ID  BD Lời giải a) Ta có ME đường trung bình BCD  ME / / BD b) Xét AME có D trung điểm AE , ID / / ME  IA  IM c) DI  1 EM ; EM  DB  DI  BD 2 Bài 7: Cho tam giác ABC , A trung điểm BD, B trung điểm EC AC DE cắt I Chứng minh rằng: DI  DE Lời giải Qua B kẻ đường thẳng BJ / /CI cắt ED J  EJ  JI DE   DI  (đpcm)  JI  ID Bài 8: Cho ABC vuông A , kẻ đường cao AH Từ H kẻ Hx  AB  P , Hx lấy điểm D cho P trung điểm HD Từ H kẻ Hy vng góc với AC Q Hy lấy điểm E cho Q trung điểm HE a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng b) PQ / / DE c) PQ  AH Li gii à ả ả ả µ ¶ a) ADP  AHP (cgc)  A1  A3 , tương tự ta có A2  A4  A1  A2  A3  A4  180  A, D, E thẳng hàng (đpcm) b Ta có PQ đường trung bình HDE  PQ / / ED c PQ  DA  AE AH DE    AH 2 Bài 9: Cho tứ giác ABCD µ µ có C  40 , D  80 AD  BC E , F trung điểm AB, CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng AD BC , AD EF Lời giải 0 0 µ Ta có D  180  40  80  60 Goị I trung điểm µ E µ  EI / / BC  E BD   µ N µ ( slt )  IF / / BC  F ¶ ¶ Lại có: N1  N (đối đỉnh) 1 F N ả M ả IE IF = CB  AD  E 2 +) Có: ¶ ¶ ¶ Mà N1  M  60 (góc ngồi tam giác)  M  30 Bài 10: Cho tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối tia BA cho BD  BA , M trung điểm BC Gọi K giao điểm DM AC , Chứng minh rằng: AK  2KC Lời giải Kẻ BN / / DM ( N thuộc AC ) Xét ADK , có: AB  DB, BN / / DK  BN đường trung bình  AN  NK  AK  NK (1) Lại có MK đường trung bình BNC  NK  KC (2)  AK  2KC (đpcm) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4: ADK Hình thang ABCD  AB / / CD  cân có AB  4cm, CD  10cm, BD  5cm Tính khoảng cách từ trung điểm I BD đến CD Lời giải Kẻ BH  CD, IK  CD Ta có CH  CD  AB 10     cm  2 BH  BC  CH  52  32  16  42  BH   cm  Áp dụng định lí Pytago vào BHC , ta có: Tam giác BDH có BI  ID, IK / / BH  IK đường trung bình Tam giác vng  µ  90 ABC B   IK  BH   cm  Bài 2: có đường cao BD Gọi E , F trung điểm BD, DC H giao điểm AE , BF Tính góc AHF Lời giải Từ giả thiết suy EF đường trung bình BCD Áp dụng định lí đường trung bình giả thiết vào BCD , ta được:  EF / / BC  EF  AB µ  B  90 hay EF đường cao ABF Theo giả thiết BD đường cao ABC nên đường cao tam giác ABF suy E trực tâm tam giác ABF hay AH đường cao thứ ba tam giác · Do AHF  90  ABC µA  900 Cho  , đường cao Bài 3: AH Gọi M trung điểm HC , K trung điểm AH Chứng minh BK  AM Lời giải Tam giác AHC có AK  HK HM  MC  MK đường trung bình AHC  MK / / AC Ta lại có AC  AB  MK  AB AMB có AH  BM , MK  AB  K trực tâm  BK  AM Bài 4: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AC lấy điểm D cho E AD  DC Kẻ Mx / / BD cắt AC Đoạn BD cắt AM I Chứng minh rằng: a) AD  DE  EC b) S AIB  S IBM c) S ABC  2S IBC Lời giải a Xét BDC có ME / / BD , M trung điểm BC E trung điểm DC  DE  EC  b Ta có DC  AD  DE  EC D trung điểm AE  ID AME  IA  IM  S AIB  S IBM c Hạ đường cao AH IK ABC , IBC đường trung bình IK đường trung bình AHM  IK  AH Xét ABC IBC có chung đáy BC hai đường cao AH  IK Bài 5: ABC Cho tam giác cân A , hai đường trung tuyến BD CE cắt G Gọi M , N trung điểm BG CG , I K trung điểm GM GN a Chứng minh BD  CE b Chứng minh tứ giác IEDK hình thang cân c Tính DE  IK , biết BC  10cm Lời giải a) ABD  ACE (cgc)  BD  CE b) Có IK / / ED / / MN / / BC  IEDK hình thang Ta chứng minh DI  EK 1 3 1 DI  DG  GI  DG  GM  GM ( MB )  GM  GM  DB  DB 2 2 1 3 1 EK  EG  GK  EG  GN  GN  GN  GN  EC  EC 2 2 +) Ta lại có BD  EC  DI  EK  IEDK hình thang cân c) DE  IK  7,5cm Bài 6: µ Cho tam giác ABC  AB  AC  có A  50 Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD  AC Gọi E , F trung điểm AD, BC · Tính BEF Lời giải Do E , F trung điểm AD, BC nên ta vẽ thêm I trung điểm DC EI FI theo thứ tự đường trung bình hai tam giác ADC BCD Đặt BD  AC  2a Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác ta có: FI / / BD  1 , FI  a   , EI  a  3 , EI / / AC   µ F µ E 1 Từ   (so le trong) (5) ả F FI  EI  E Từ     (trong tam giác, đối diện với hai cạnh hai góc nhau) (6) µ E ¶ E Từ     ·   BEI  µA  500 Từ     (dồng vị) · µ µ Mà BEI  E1  E1  25 Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến BD CE Trên cạnh BC lấy điểm M , N cho BM  MN  NC Gọi I giao điểm AM BD , K giao điểm AN , CE Chứng minh rằng: a) BCDE hình thang b) K trung điểm EC c) BC  IK Lời giải a) Ta có DE đường trung bình tam giác ABC  DE / / BC  BCDE hình thang b) Gọi G giao điểm AN DE Ta có E trung điểm AB DE / / BN  G trung điểm AN  EG đường trung bình Ta lại có ABN  EG  DE  1 BN  BC BC  EG  ED  G trọng tâm ACE 10  AK trung tuyến ACE  K trung điểm EC c) Chứng minh tương tự ta có I trung điểm EF Gọi F trung điểm BC , ta có DF / / AB DK / / AB  D, K , F thẳng hàng DK  1 AE  AB  DF  K trung điểm DF Suy IK đường trung bình DEF  IK  Hay BC  IK 11 1 DE DE  BC  IK  BC 2 , mà ... trực tâm tam giác ABF hay AH đường cao thứ ba tam giác · Do AHF  90  ABC µA  900 Cho  , đường cao Bài 3: AH Gọi M trung điểm HC , K trung điểm AH Chứng minh BK  AM Lời giải Tam giác AHC... M trung điểm BC E trung điểm DC  DE  EC  b Ta có DC  AD  DE  EC D trung điểm AE  ID AME  IA  IM  S AIB  S IBM c Hạ đường cao AH IK ABC , IBC đường trung bình IK đường trung bình. .. ta vẽ thêm I trung điểm DC EI FI theo thứ tự đường trung bình hai tam giác ADC BCD Đặt BD  AC  2a Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác ta có: FI / / BD  1 , FI  a   , EI 