SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NAM NĂM HỌC: 2013 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1.( 1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 1 ( 0, 1) 1 1 a a a A a a a a − − = − ≥ ≠ − + 4 2 3 6 8 2 2 3 B + − − + = + − Câu 2. ( 2,0 điểm) a, Giải phương trình : 2 6 7 0x x− − = b, Giải hệ phương trình sau: 2 1 2(1 ) 3 7 x y x y − =   − + =  Câu 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: 2 2( 1) 2 3 0x m x m+ − − − = (m là tham số) a, Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 m R∀ ∈ b, Tìm giá trị của m sao cho : 1 2 (4 5)(4 5) 19 0x x+ + + = Câu 4. ( 4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) ( C khồng trùng với A, B), M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BM cắt nhau tại K. a, Chứng minh · · ABM IBM= và ABI∆ cân. b, Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp. c, Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N. Chứng minh đường thẳng NI là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA) và NI ⊥ MO. d, Đường tròn ngoại tiếp BIK∆ cắt đường tròn (B;BA) tại D ( D không trùng với I). Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng. Câu 5. ( 1,0 điểm) Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn 2 3 1 2 3 1 y x x y + + = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 3Q xy y x= − − − HẾT Đáp án Câu 1: 1 ( 0, 1) 1 1 a a a A a a a a − − = − ≥ ≠ − + ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a − − = − − + + − = − + + = + 4 2 3 6 8 2 2 3 (2 2 3) (2 6 8) 2 2 3 (2 2 3) 2( 2 3 2) 2 2 3 (2 2 3)(1 2) 2 2 3 1 2 B + − − + = + − + − + − + = + − + − + − + = + − + − + = + − = + Câu 2: a, Ta có: a – b + c = 1 + 6 – 7 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: 1 2 1, 7 c x x a − = − = = b, 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2(1 ) 3 7 2 3 5 2 6 3 3 x y x y x y x x x y x y y y y − = − = − = − = =      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      − + = − + = = = =      vậy hệ PT có nghiệm là (x,y) = (2; 3) Câu 3: a, 2 2( 1) 2 3 0x m x m+ − − − = Có / 2 2 ( 1) ( 2 3) 4 0m m m m R∆ = − − − − = + > ∀ ∈ ( vì 2 0m ≥ với mọi m R∈ ) ⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m R∈ b, Vì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Theo hệ thức Vi-et: 1 2 1 2 2( 1) . 2 3 x x m x x m + = − −   = − −  Theo bài ra 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 5)(4 5) 19 0 16 20 20 44 0 4 5( ) 11 0 1 4( 2 3) 5( 2 2) 11 0 18 9 0 2 x x x x x x x x x x m m m m + + + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔ − − + − + + = ⇔ − + = ⇔ = Vậy 1 2 m = là giá trị cần tìm. Câu 4: (Tự vẽ hình) a, Vì M nằm chính giữa » AC nên ¼ ¼ AM MC= · · ABM MBC⇒ = (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) · · ABM MBI⇒ = ⇒ BM là tia phân giác của · ABI (1) Ta có · 90 o AMB = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) BM AI ⇒ ⊥ ⇒ BM là đường cao của BAIV (2) Từ (1),(2) ⇒ BAIV cân tại B. b, Ta có · 90 o AMB = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ · 90 o BMI = ( vì kề bù với · AMB ) ⇒ · 90 o KMI = Ta có · 90 o ACB = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ · 90 o ACI = ( vì kề bù với · 90 o ACB = ) · 90 o KCI⇒ = Xét tứ giác MICK có: · · 90 90 180 o o o KMI KCI+ = + = Mà 2 góc này ở vị trí đối diện ⇒ Tứ giác MICK nội tiếp. c, Xét BANV và BINV có: BI = BA ( vì BAIV cân tại B) · · IBN ABN= (vì · · ABM IBM= ) BN là cạnh chung. ⇒ BANV = BINV (c.g.c) ⇒ · · NIB NAB⇒ = (2 góc tương ứng) Mà · 90 o NAB = ( vì AN ⊥ AB do AN là tiếp tuyến của (O)) Do đó · 90 o NIB = nên NI ⊥ BI Lại có BA = BI mà BA là bán kính của (B;BA) nên BI là bán kính của (B;BA) ⇒ NI là tiếp tuyến của (B;BA) Dễ thấy OM là đường trung bình của ABIV ⇒ OM//BI mà NI ⊥ BI nên OM ⊥ NI(đpcm) d, Gọi điểm D / là giao của AC với (B;BA) Gọi H là giao điểm của IK và AB. +, C/m / BADV cân tại B nên · · / / BAD BD A= / IADV cân tại I nên · · / / IAD ID A= Do đó · · · · · · / / / / / BAD IAD BD A ID A BAI BD I + = + ⇔ = Hay · · / MAH ID B= +, C/m Tứ giác AMKH nội tiếp nên · · 180 o MAH MKH+ = hay · · 180 o MAH IKB+ = (vì · · MKH IKB= do 2góc đối đỉnh) Hay · / BD I + · IKB = 180 o nên tứ giác IKBD / nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp IBKV cắt (B;BA) tại D / . Mà đường tròn ngoại tiếp IBKV cắt (B;BA) tại D Do đó / D D≡ , nên 3 điểm A, C, D thẳng hàng. Câu 5: Đk: 3 2 x − > và 0y ≥ Đặt 2 3x u+ = ( 0u > ), ( 0)y v v= ≥ Từ bài ra ta có: 2 3 2 3 2 2 2 2 1 ( )( ) 0 ì 1 0( 0, 0) 2 3 v u v v u u u v v uv u u v v u v u v dou v u v x y + = ⇔ + = + ⇔ − + + + + = + ⇔ − = > > ⇔ = ⇔ + = Nên biểu thức: Do đó 2 2 2 2 (2 3) 3(2 3) 2 3 2 5 12 5 2( 6) 2 5 49 2 ( ) 4 4 5 49 49 2( ) 4 2 2 Q x x x x x x x x x x = + − + − − = − − = − −   = − −     − = − − ≥ Dấu “ =” xảy ra ⇔ 5 4 x = Vậy Q min = 49 2 − khi 5 4 x = . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NAM NĂM HỌC: 2013 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian. cung nhỏ AC. Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BM cắt nhau tại K. a, Chứng minh · · ABM IBM= và ABI∆ cân. b, Chứng minh tứ