Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu dùng cho các bạn ôn thi cấp tốc môn Toán rất chi tiết, có lý thuyết và bài tập áp dụng. Rất hữu ích cho giáo viên và học sinh
1 Bài 1: Hệ phương trình đại số Một số loại hệ phương trình thường gặp: I)Hệ đối xứng loại I 1) Dạng: Hệ phương trình 0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại I nếu );();( );();( xygyxg xyfyxf 2)Cách giải : - Đặt x y S xy P . ĐK: 2 4 S P . - Biểu thị hệ qua S và P . - Tìm S ; P thoả mãn điều kiện PS 4 2 . Khi đó x; y là 2 nghiệm của phương trình : 0 2 PStt . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho. Chú ý 1 : +) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y. +) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn PS 4 2 . +) Khi PS 4 2 thì x = y = -S/2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn PS 4 2 . Chú ý 2 : Nhiều trường hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ). II) Hệ đối xứng loại II 1)Hệ : 0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại II nếu : );();( yxgxyf 2)Cách giải : +)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu được phương tình : (x-y).h(x;y) = 0 Khi đó hệ đã cho 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 x y h x y f x y f x y ( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế chưa xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp mới có điều này). +) Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhất. Đ/k cần: Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x 0 = y 0 (1) Thay (1) vào một phương trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x 0 duy nhất ,ta được giá trị của tham số. Đó là đ/k cần. Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận. III) Hệ nửa đối xứng của x và y 1)Dạng hệ: )2(;0);( )1();;();( yxg xyfyxf (Tức là có 1 phương trình là đối xứng ) 2)Cách giải: Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phương trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho tương đương với: )2(;0);( 0);().( yxg yxhyx 0);( 0);( 0);( 0 yxg yxh yxg yx Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng Ví dụ : 5 5 5 5 2 2 2 2 ty yt tx xy yx IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y 1) Hệ phương trình 0);( 0);( yxg yxf được gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2. 2) Cách giải : * Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thường dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số hạng tự do cho đơn giản) * Cách 2) Khử x 2 ( với y 0 ) hoặc y 2 (với x 0): (Cách này thường dùng khi hệ có chứa tham số). VI. Một số hệ phương trình khác. *) Cách giải: Để giải hệ phương trình không mẫu mực ta thường áp dụng một số pp : + Phân tích thành tích có vế phải bằng 0. + Đổi biến (đặt ẩn phụ) + Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số. Một số ví dụ: 1. Hệ đối xứng I: Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy : 2 2 11 1) 30 xy x y x y xy 2 11 5; 6 5. 6 . 30 p s hpt s p p s p s ẹS : x = 2; 3; 1; 5 2 - 2 2 3 3 30 35 5; 6 (2;3) ; (3;2) x y xy x y hpt s p 4 4 2 2 1 3) 1 11 1 0; 2 (0;1);(1;0) ( 2 ) 2 1 x y x y p s s hpt p p s p p 3 3 30 4) : ; 0; ; . 35 . 30 125, 5 6 3 35 x y y x HD x y s x y p x y x x y y p s hpt s s p s sp Vaọy Hpt coự ngh ( 4;9) ; ( 9;4). 5- cho: 5( ) 4 4 1 x y xy x y xy m a) Tỡm m ủeồ hpt coự nghieọm. HD: Giaỷi heọ S ;P ta ủửụùc S= 4m ;p = 5m-1 ẹK : S 2 -4p 0 1 ; 1 4 m m . b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: m = 1/4, m = 1. 6) a-Cmr: Hpt coự ngh vụựi moùi m : 2 2 2 2 1 x y xy m x y xy m m b) Tỡm m hpt coự nghieọn duy nhaỏt . HDẹS : a- 2 1 1 2 2 2 1 . ; 1 1. p s m hpt p s m m s m p m s m p m ẹS:heọS 1 ,P 1 Vn ; 2 2 2 2 4 ( 1) 0 S P m . Vaọy: HPt coự nghieọm vụựi moùi m. b-HPT có ngh duy nhất 2 2 2 4 0 S P 2 ( 1) 0 m 1 m . => x = y = 1 Vaọy : (1;1). 2. Hệ đối xứng loại II: Giaỷi heọ pt : 3 3 3 8 1 : 3 8 x x y hpt y y x 3 4 2 : 3 4 y x y x hpt x y x y 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 x x y y y x HDẹS : 1-Hpt 2 2 3 3 ( )( 5) 0 3 8 3 8 (0;0) ( 11; 11) ( 11; 11) x y x y x y xy x x y x x y 2- ẹK : x 0 ; y 0. Hpt : 2 2 ( )( 4) 0 6 4( ) 0 x y x y x y xy x y (-2; -2) 3- 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y x x Laỏy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0 y=x hoaởc y = 1-x. Keỏt hụùp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2) Khi y = 1 -x VN . 4- 1 3 2 1 1 2 x y x y x y Laỏy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0 y = x ; y = -2/x + y = x : (1;1) ; (-1;-1) . + y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2) 3) . Hệ nửa đối xứng VD. Giải hệ : 12 11 3 xy y y x x Giải: 12 0)1)(( 0. 12 0 0. 12 11 33 22 3 xy xyyx yx xy yxxyyx yx xy y y x x 3 4 . 0 . 0 1 ( ) ( ) 2 1 0 2 0 x y x y x y I y II x x x x x + Ta có I): 2 51 2 51 1 )( 012 ( 0. 3 yx yx yx I xx yx yx + Ta có II) : 2 2 2 . 0 1 ( ) 1 1 3 ( ) ( ) 0;( ) 2 2 2 x y II y x x x VN 3 4. Hệ đẳng cấp : VD. Cho hệ phương trình : 2 2 2 4 (1) 3 4 (2) x xy y m y xy a) Giải hệ pt` với m = 1 b) Tìm a để hệ có nghiệm Giải: Cách 1: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt. Đặt x = ty, ta có : Hệ 2 2 2 2 2 2 4 3 4 t y ty y m y ty 2 2 2 ( 4 1) (1 3 ) 4 y t t m y t 2 2 4 1 1 3 4 (1 3 ) 4 t t m t y t (I) Do y 0 nên từ y 2 (1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0 t < 1 3 a) Với m = 1 ta có hệ : 2 2 4 1 1 1 3 4 (1 3 ) 4 t t t y t Giải hệ ta được kq : (1 ; 4), (-1 ; -4). b) Ta có : (I) 2 2 4( 4 1) (1 3 ) (1 3 ) 4 t t m t y t 2 2 4 (16 3 ) 4 0 (*) (1 3 ) 4 t m t m y t Đặt f(t) = 4t 2 - (16 - 3m)t + 4 - m = thì Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t < 1 3 . Ta lại có 1 8 ( ) 0 3 9 af m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t 1 < 1 3 < t 2 . Vậy hệ luôn có nghiệm với m. Cách 2 : Khử một ẩn. Hệ 2 2 4 3 4 x xy m y xy 2 4 2 2 4 2 (8 ) (4 ) 0 (*) x m y x x m x m (x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4). Với m 4 đặt : f(t) = 2t 2 + (8 - m)t - (4 - m) 2 ta có f(0) = -(4 - m) 2 < 0 nên phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm t > 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm với m. Các bài tập luyện tập Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phương trình 8 )1)(1( 22 yxyx myxxy a) Giải hệ khi m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 2) Cho hệ phương trình 2 2 2 1 1 2 a x y x y a Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt 3) Cho hệ phương trình 2 2 2 2 1 3 2 x xy y x xy y m Tìm m để hệ có nghiệm 4) 22 22 xy yx 5) myxxyyx yx 1111 311 a) Giải hệ khi m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2: 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y (KB 2003) HD: Th1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú ýy: ý x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm Bài 3: 358 152 33 22 yx xyyx HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y Đs : (1,3) và (3/2 , 2) Bài 4: )2(1 )1(33 66 33 yx yyxx HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số : tttf 3 3 trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1) 4 Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất x a xy y a yx 2 2 2 2 2 2 HD: 223 2 axx yx xét 23 2)( xxxf lập BBT suy ra KQ Bài 6: 22 22 xy yx HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2 Bài 7: )1( )1( 2 2 xayxy yaxxy xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 Bài 8: )2(5 )1(2010 2 2 yxy xxy HD : Rút ra y yy y x 55 2 Cô si 52 5 y y x . 20 2 x theo (1) 20 2 x suy ra x,y Bài 9: 2 )1( 3 yxyx yxyx (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) Bài 10: ayx ayx 3 21 Tìm a để hệ có nghiệm HD: từ (1) đặt 2,1 yvxu được hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu. Bài tập áp dụng 1) 495 5626 22 22 yxyx yxyx 2) )(3 22 22 yxyx yyxx KD 2003 3) 095 18)3)(2( 2 2 yxx yxxx 4) 2 )(7 22 33 yxyx yxyx HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm 5) mxyx yxy 26 12 2 2 Tìm m để hệ có nghiệm 6) 19 2.)( 33 2 yx yyx dặt t=x/y có 2 nghiệm 7) 64 9)2)(2( 2 yxx yxxx đặt X=x(x+2) và Y=2x+y 8) 4 )1(2 2222 yxyx yxyx đổi biến theo v,u từ phương trình số (1) 9) 22 333 6 191 xxyy xyx Đặt x=1/z thay vào được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) 10) 12 11 3 xy y y x x (KA 2003) HD: x=y V xy=-1 CM 02 4 xx vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm 11) axy ayx 2 2 )1( )1( xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ 12) 3 3 22 xyyx x y y x HD bình phương 2 vế . 5 Bài 2: Phương trình và bất phương trình Đại số Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp 1) Bất phương trình bậc hai ; Định lýý về dấu của tam thức bậc hai; Phương pháp hàm số. 2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối 2 2 2 2 0B A B A B A B A B A B A B A B A B B A B 3) Phương trình, bất phương trình chứa căn thức *PT chứa căn thức: 2 0 0( 0) 0 0 2 B A B A B A hayB A B A B A A B C B A B AB C * Bất phương trình chứa căn thức: 2 2 2 2 0 0 * 0 * 0 0 0 0 0 * * 0 0 A A A B B A B B A B A B A A B B A B A B B B A B A B Một số ví dụ BAỉI TAÄP : Baứi 1: Bỡnh phửụng hai veỏ : a) x 2 + 1 1 x Hd: 4 2 0 1 1 1 2 0 1 5 2 x x x x x x x b)pt: 5 1 3 2 1 0 x x x ĐK x 1. Chuyeồn veỏ, bỡnh phửụng hai veỏ : x = 2 ; x = 2/11( loaùi ). Vaọy x=2 . c) : 9 5 2 4 pt x x ĐK 2 x . Bỡnh phửụng hai laà ta coự : ẹS x = 0 . d) : 16 9 7 pt x x . ĐS: x = 0, x = -7. e) 2 2 :(4 1) 9 2 2 1 : 1/4 pt x x x x dk x Bình phương hai lần ta có :ẹS x = 4/3. Baứi 2 : Đặt ẩn phụ: a) 2 2 3 3 3 6 3 x x x x . ĐS: x = 1, x = 2. b) 2 2 1 1 0 : 0 1 3 x x x x dk x - ẹaởt : 2 2 1 1 ; 0 2 t t x x t x x pt t 2 -3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn. t =1 x = 0 ; x =1. c) 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16 x x x x x HDẹS: 2 2 : 1 2 3 1 0 3 4 2 2 5 3 5 3. DK x t x x t x x x pt t x 2 2 2 2 ) 7 2 3 3 19 . 2 7 / 4 5 3 13 4 1; 2 d x x x x x x t x x pt t t t t x x Bài 3: 1) 1 3 ( 1)(3 ) x x x x m a) Giaỷi pt khi m=2 b) Tỡm m pt coự nghieọm. HDẹS: ẹK: . 1 3 ; 2 2 2 : 2( ) t x x t vi a b a b a b 2 0( ) 1) 2 : 2 0 1, 3 2 t l m t t x x t 2) f(t) = -t 2 /2 + t +2 = m (1) . Laọp baỷng bieỏn thieõn : Tacoự : 2 2 2 2. m Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 9 9 x x x x m Bỡnh phửụng : ẹaởt t= (9 ) 0 9/ 2 x x t KSHS 2 ( ) 2 9 ; 9/2 9/4 10 f t t t o t Ds m d) Bài 5. Tìm m để phương trình có nghiệm: 4 4 4 4 4 6 x x m x x m HDẹS: ẹaởt 4 24 4 0 : 6 0 t x x m pt t t 6 4 4 4 3 ( ) 2 4 2 4 1 6 l o¹ i t P T t x x m m x x Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh. Baứi 6. Giải các phương trình sau: 1) 2 2 3 3 3 (2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3 x x x x -ẹaởt : 2 2 3 3 3 3 2 3 . 9 7 u x u v uv pt u v v x 3 1; 2 1; 6 2 u v u v x uv 2) 3 2 1 1 x x .ẹK : x 1 3 3 2 2 1; 0 1 0;1; 2; 1;0;3 1 1;2;10 u x v x v u v u v u v x Một số bài tập luyện tập: Bài 1: Tìm m để mxxxx )64)(3)(1( 2 Tìm m để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x. HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m≤-2 Bài 2: Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 014168 2 xxx 2) xxx 2114 : x = 0 3) 2 2 2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5 x x x x DS x 4) 211 22 xxxx . Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải. 5) 023)3( 22 xxxx (KD 2002) Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm 012 0910 2 2 mxx xx ĐS m 4. Bài 4: Giải bất phương trình: 2212 xxx HD : nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT Biến đổi về BPT tích chú ýy ĐK Bài 5: Giải bất phương trình: 7 2 1 2 2 3 3 x x x x HD Đặt 2, 2 1 t x xt AD BĐT cô si suy ra ĐK. Bài 6: Giải bất phương trình 4 )11( 2 2 x x x HD Xét 2 trường hợp chú ý DK x -1. Trong trường hợp x 4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT. Bài 7: Cho phương trình: mxxxx 99 2 Tìm m để phương trình có nghiệm. HD Bình phương 2 vế chú ýy ĐK Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t Sử dụng BBT suy ra KQ Bài 9: Giải bất phương trình (KA 2004) 3 7 3 3 )16(2 2 x x x x x Bài tập áp dụng 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mxx 41624 2) 16212244 2 xxxx 3) 12312 xxx 4) 1212)1(2 22 xxxxx HD: đặt 12 2 xxt coi là phương trình bậc hai ẩn t. 5) 2 2)2()1( xxxxx 6) 2 3 1)2(12 x xxxx 7) 1 1 251 2 x xx 8) 023243 2 xxx . 9) 2 2 4 3 18 29 x x x x 7 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình lượng giác Một số kiến thức cần nhớ 1. Các công thức biến đổi lượng giác a) Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb ( ) 1 tga tgb tg a b tgatgb b) Công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a; sin2a = 2sinacosa; 2 2 2 , 2 4 2 1 tga tg a a k a k tg a 3 3 sin3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ; a a a a a a c) Công thức hạ bậc 2 2 1 cos 2 1 cos2 cos ; sin ; 2 2 a a a a d) Công thức chia đôi Đặt 2 2 x t tg x k . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; 1 1 1 t t t x x tgx t t t ; e) Công thức biến đổi * Đổi tích thành tổng: 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b * Đổi tổng thành tích: cos cos 2cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2 sin sin 2sin cos ; 2 2 sin sin 2cos sin ; 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b f) Một số công thức hay dùng: sin cos 2sin 2 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x 1 1 ; ; 4 1 4 1 tgx tgx tg x tg x tgx tgx 2. Một số phương trình lượng giác thường gặp a) phương trình lượng giác cơ bản: + sinx = a 1 2 1 (sin ) 2 PTVN PT cãngh a x k a a x k + cosx = a 1 1 2 (cos ) PTVN PT cãngh a a x k a + tgx = a ĐK: 2 x k , x = k (tg = a). + cotgx = a, ĐK: x k , x = k (cotg = a). b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. * Phương trình bậc nhất: ( ) ( ) 2 sin ( ) sin ( ) ; ( ) ( ) 2 cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ; cos ( ) cos ( ) cos ( tg tg cotg cotg f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x f x g x f x ) cos ( ) ; sin ( ) cos ( ) sin ( ) ; 2 g x f x g x g x * Phương trình bậc 2: 2 sin sin 0 a x b x c đặt t = sinx ( 1 t ). 2 cos cos 0 a x b x c đặt t = cosx ( 1 t ). 2 2 0; 0; atg x btgx c acotg x bcotgx c c) Phương bậc nhất đối với sinx và cosx. asinx + bcosx = c. Cách giải: + Cách 1: chia cả hai vế cho 2 2 a b ; đặt: 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b ta được PT: 2 2 sin( ) c x a b ; *) Chú ý: Phương trình có nghiệm 2 2 2 c a b . + Cách 2: Đặt b tg a ta được phương trình: sin( ) cos c x a . d) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 8 2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d Cách giải: * Cách 1: Thử với cos 2 x = 0 sinx = 1 nếu nghiệm đúng phương trình thì đặt cosx làm thừa số chung. Với cos 2 x 0 chia cả hai vế cho cos 2 x ta được: atg 2 x + btgx + c = d(1 + tg 2 x). * Cách 2: Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. e) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx *) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 2 t 2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c * Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx - cosx = t, điều kiện 2 t 2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c . 3. Một số phương pháp thường dùng khi giải các phương trình lượng giác: + áp dụng các hằng đẳng thức; + áp dụng các công thức biến đổi; + Đổi biến số, đặt ẩn phụ; + Biến đổi về tích bằng 0; + Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm; + Biến đổi về tổng bình phương bằng 0. 4. Các ví dụ: Giải các phương trình sau: Bài 1: x x tgxgx 2 sin 4cos.2 cot . ĐS: 3 x k . Bài 2: )1(sin 2 1 3 2 cos 3 cos 22 xxx ĐS: 5 ; 2 ; 2 6 6 x k x k x x k . Bài 3: 2 sin 2sin 2 sin sin 2 2 2 2 x x x x . ĐS: 2 2 ; 2 3 3 x k x x k . Bài 4: 8 1 3 . 6 3cos.cos3sin.sin 33 xtgxtg xxxx HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1 AD công thức nhân 3 ĐS: 6 x k . Bài 5: 0cos.6)sin.2(3 xxtgxtgx HD: Biến đổi theo sin và cos. ĐS: 3 x k . Bài 6: 3. 6sin 2sin( ) (1) 2 2sin 6sin( ) (2) 2 y tg x y x y tg x y x HD: nhân (1) với (2) rút gọn y y tg 22 sin4 2 . đặt 2 y t tg t = 0, t =± 3 . Bài 7: xxxxxx cos13sin. 2 1 sin.4cos2sin.3cos HD : BĐ tích thành tổng rút gọn. Bài 8: 2 1 5cos4cos3cos2coscos xxxxx HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trường hợp bằng 0. Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng nxxxT nxxxT sin 2sinsin cos 2coscos thực hiện rút gọn bằng cách trên. Bài 9: )cos.sin2(cos3sin.2sin. 22 xxxxxtgx HD: BĐ về dạng: 2 2 (sin cos )(sin 3cos ) 0 x x x x Bài 10 2 9 sin cos 2 log 4.log 2 4 x x HD: sin sin 2 sin 1 2 . lo g 2. lo g 2 4 2 log 2 4 x x x 5. Một số phương trình có tham số: Bài 1. Tìm m để phương trình: sin2x + m = sinx + 2mcosx có đúng 1 nghiệm 3 [0; ] 4 x . HD: PT (sinx - m)(2cosx - 1) = 0. Bài 2. Tìm m để phương trình: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos 2 x có đúng 2 nghiệm x [0; ]. HD: PT (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0. 9 Bài 3. Tìm m để phương trình: mcos 2 2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0 có nghiệm x [0 ; /3]. HD: Đặt t = sin2x. Bài 4: Cho phương trình 02sin24cos)cos.(sin2 44 mxxxx Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn 0; 2 . HD: [-10/3;-2] Bài 5: Cho phương trình 3 cos 2 sin 1cossin2 x x xx a 1) Giải phương trình khi a=1/3. 2) Tìm a để phương trình có nghiệm. HD: Đưa về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1 ĐS [-1/2,2] Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, ) 4 3 cos212cos.3 2 sin4 22 xx x 6. Các bài tập luyện tập: 1) 2 1 3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos xxxxxx . 2) 2cos.3sincos.3sin xxxx . 3) x x x x cos 1 3cos.2 sin 1 3sin.2 . 4) x x xg 2 sin 2cos1 2cot1 2 . 5) 2)1.2(cos2cos 2 xtgxx . 6) 03cos2cos84cos3 26 xx . 7) 1 1 cos 2 3sin 42 sin2cos)32( 2 x x x x . 8) 02cos2sincossin1 xxxx . Một số đề thi từ năm 2002 1) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình 32cos 2sin21 3sin3cos sin5 x x xx x . KA 2002 2) Giải phương trình x xx xtg 4 2 4 cos 3sin)2sin2( 1 (DB 2002) 3) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình x xtgxxg 2 sin 2 2sin42cot KB 2003 4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng 0;14 của phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x KB 2003 5) Giải phương trình 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin2 2 8sin 2 x x g x x x DB 2002 6) Giải phương trình 2 cos cos sin 1 . 2 x tgx x x x tgx tg (DB 2002) 7) Cho phương trình 2sin cos 1 (1) sin 2cos 3 x x a x x a) Giải phương trình (2) khi 1 3 a b) Tìm a để phương trình có nghiệm 8) Giải phương trình 2 1 sin 8cos x x (DB 2002) 9) Giải phương trình 2 cos2 1 cot 1 sin sin2 1 2 x gx x x tgx (KA 2003) 10) Giải phương trình 3 2sin 6cos 0 tgx tgx x x (DBKA 2003) 11) Giải phương trình 2 cos2 cos 2 1 2 x x tg x (DBKA 2003) 12) Giải phương trình 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0 x x x (DBKB 2003) 13) Giải phương trình 2 2 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x (DBKB 2003) 14) Giải phương trình 2 2 2 sin . cos 0 2 4 2 x x tg x (KD 2003) 15) Giải phương trình 2 cos cos 1 2 1 sin cos sin x x x x x (DBKD 2003) 16) Giải phương trình 2sin4 cot sin 2 x gx tgx x (DBKD 2003) 17) Giải phương trình 2 5sin 2 3 1 sin t x x g x (KB 2004) 18) Giải phương trình : 2cos 1 2sin cos sin 2 sin x x x x x KB 2004. 10 Bài 4: Hệ thức lượng trong tam giác Một số kiến thức cần nhớ *Một số phép biến đổi thường dùng + Cung liên kết + Các công thức biến đổi. *Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ: + . 4 . 2 2 2 A B C SinA SinB SinC Cos Cos Cos + . 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C CosA CosB CosC + tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC + 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot C g B g A g C g B g A g + 1 2 2 2 . 2 2 . 2 A tg C tg C tg B tg B tg A tg + cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 + sCCosACosBCoCSinBSinASin 22. 222 + CBACCosBCosACos sinsinsin21. 222 + Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC + Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC Các ví dụ Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR . . 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR: a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b) 33 tgCtgBtgA dấu “=” xảy ra khi nào? HD: áp dụng BĐT côsi 3 3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA lập phương hai vế thay trở lại phương trình đầu ta được đpcm. Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có : HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP. VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) – cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC =Cos(B-C).cosA + Cos 2 A + Cos(C-A).cosB +Cos 2 B + Cos(A-B).cosC + cos 2 C. thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C… sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos 2 A, cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm. Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có 2 2 2 1 . 2. 1 Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi 2. 222 CSinBSinASin Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: 2tgA = tgB + tgC CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA HD: xuất phát: tgCtgB tgCtgB CBtg .1 )( đpcm Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*) Mà cos(B - C) =2.cos[ )( CB ] khai triển suy ra đẳng thức (*). Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có: 2 cot 2 cot 2 cot 2222 1 sin 1 sin 1 sin 1 A g A g A g C tg B tg A tg CBA HD: thay 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot. 2 cot. 2 cot C g B g A g C g B g A g áp dụng công thức nhân đôi. Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có C B A B A C CCosA B CSinBSinASin cos sin sin 2 cos sin sin sin sin 2 . 222 Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR: c b a 111 và 4 5 . 222 CCosBCosACos Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có: CBA R r coscoscos1 Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: bc aA Sin 2 2 , CMR tam giác ABC cân Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk [...]... các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất 2x 1 Bài 16: Cho hàm số y (1) x 1 Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C ) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vng góc với dường thẳng IM mx 2 x m Bài 17: Cho hàm số y (1) x 1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ dương Bài 14: Cho hàm số y x2 2x ... sao 2( x 1) cho AB = 1 Bài 18 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) x 2 mx m của hàm số y = tại hai điểm phân biệt 1 x A, B sao cho OA OB Bài 19 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 - m cắt trục hồnh tại 3 điểm lập thành cấp số cộng Bài 20 Tìm m đề đồ thị hàm số y = x4 1 mx 2 m cắt trục hồnh tại 4 điểm lập 2 2 thành một cấp số cộng Các bài tập tự luyện: Bài 1 (39.I): Cho y = x3 + 3x2... 17: Cho hàm số y = xm Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu mx2 x m Bài 18: Cho hàm số y = x 1 1) Khảo sát khi m = 1 2) Tìm m để hàm số khơng có cực trị x2 2 x m 2 Bài 19: Cho hàm số y = x m1 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị x2 2x m2 2 Bài 20: Cho hàm số y = x1 1) Khảo sát khi m= 0 2) Tìm m để: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái dấu; khoảng cách... khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số x 2 (5m 2) x 2m 1 Bài 7: Cho hàm số y (1) x 1 Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn 2 5 Bài 8: Cho hàm số y x 4 2m 2 x 2 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thi n của đồ thị của hàm số khi m=1 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vng cân x2 3(m 1) x m 1 Bài 9: Cho. .. maởt phaỳng cuỷa tam II Các ví dụ và bài tập 1 Các ví dụ: Ví dụ 1 Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đơi một vng góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Lời giải: + Chọn hệ trục Oxyz sao cho A O; DOx; COy và B Oz A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Phương trình đoạn chắn của mp(BCD) là: giaực vaứ maởt phaỳng chieỏu: S ' S cos 2) Cho khoỏi cho p S.ABC Trẽn ba... S.BCNM 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HèNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG 1 CÁC BÀI TỐN VỀ HèNH CHểP TAM GIÁC Bài 1 Cho hỡnh chúp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vng góc với nhau từng đơi một Gọi H là hỡnh chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn (OBC), (OCA), (OAB) 1 Tớnh thể tớch tứ diện HA’B’C’ 2 Gọi S là điểm đối xứng của H qua O Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều Bài 2 Cho hỡnh... 2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) 3 Tớnh gúc phẳng nhị diện [A, SB, C] Bài 3 (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mp (P)(Q) giao tuyến là đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC (d), BD (d) và AC = BD = AB Tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài 4 Cho hỡnh chúp... đại đến Ox bằng nhau Bài 21: Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m4 Tìm m để hàm số có ba cực trị và các điểm cực trị tạo thành một tam giác đều (1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vng x 2 (m 1) x m 1 Bài 5: Cho hàm số y (1) x 1 CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) ln ln có điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20 Bài 6: Cho hàm số: x 2 (2m 1) x... Đạo hàm cấp n: PP tính đạo hàm cấp n: + Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3 + Dự đốn cơng thức tổng qt; + Chứng minh bằng quy nạp; + Kết luận * Một số cơng thức tính đạo hàm cấp n: 1 (1)n a n n ! y y (n) ax b (ax b)n 1 y ln(ax b) y (n) (1) n 1 a n 1 (n 1)! (ax b)n n y sin x y ( n ) sin x 2 n y cos x y ( n ) cos x 2 1 Ví dụ 1 Cho hàm số... 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị HD: Vì tổng tất cả các số là 21 nên ba số đầu có tổng là 10, ba số cuối có tổng là 11 Có 3 cặp số thoả mãn là: + Cặp 3 số đầu gồm các số 1, 4, 5 ba số cuối gồm các số 2, 3, 6 Có 3!.3! = 36 số + Cặp 3 số đầu gồm các số
