Đang tải... (xem toàn văn)
Cơ học chất điểm là một trong những nội dung khó của vật lí phổ thông. Trong khuôn khổ thời gian có hạn, chuyên đề đã tập trung phân tích, làm rõ cơ sở lí thuyết về phần động học chất điểm, về các loại hệ trục tọa độ thường dùng để giải bài toán về cơ học chất điểm, đã làm rõ cách xác định vecto vận tốc và gia tốc trong các loại hệ trục tọa độ đó. Chuyên đề cũng xây dựng, sưu tầm hệ thống các bài tập về động học chất điểm, trong đó tập trung vào các bài tập có sử dụng kiến thức toán nâng cao để giải, vào chuyển động cong của chất điểm. Trong quá trình dạy học sinh giỏi, tôi đã sử dụng và thấy đây là một trong những tư liệu hữu ích, tạo cơ hội cho học sinh tiếp cận và thực hiện việc giải bài tập khó về cơ học chất điểm một cách dễ dàng hơn. Tuy nhiên do thời gian và trình độ còn hạn chế nên chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, lượng bài tập chưa thực sự nhiều và phong phú. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn đọc.
CHUYÊN ĐỀ: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM NỘI DUNG PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Chuyển động học, Hệ quy chiếu 1.1.1 Định nghĩa chuyển động học Chuyển động học chuyển dời vị trí không gian vật chuyển động phận so với phận khác vật Ví dụ: Chuyển động thiên thể bầu trời, chuyển động xe ô tô đường, chuyển động thoi máy dệt, … Nói vật chuyển động hay đứng n điều có tính chất tương đối điều cịn phụ thuộc vào việc người quan sát đứng vị trí Thật vậy, ta đứng bên đường quan sát ta thấy đứng yên, ta ngồi ô tơ chuyển động ta thấy chuyển động Điều tương tự xảy quan sát bầu trời: ta thấy đất đứng yên mặt trời, mặt trăng ngơi quay quanh trái đất Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối phụ thuộc vào vị trí mà ta đứng quan sát chuyển động Thực vũ trụ khơng có vật đứng yên cách tuyệt đối, vật chuyển động khơng ngừng V vậy, nói vật chuyển động ta phải nói rõ vật chuyển động so với vật mà ta quy ước đứng yên 1.1.2 Hệ quy chiếu Vật hay hệ vật mà ta quy ước đứng yên nghiên cứu chuyển động vật khác gọi hệ quy chiếu Với chuyển động hệ quy chiếu khác xảy khác Ví dụ: xét chuyển động điểm M nằm vành xe chạy, chọn hệ quy chiếu xe đạp ta thấy chuyển động điểm chuyển động trịn đều, cịn hệ quy chiếu mặt đường điểm M tham gia chuyển động phức tạp tổng hợp hai chuyển động: chuyển động tròn xe chuyển động thăng xe mặt đường Khi xét chuyển động cụ thể ta thường chọn hệ quy chiếu cho chuyển động mô tả đơn giản Để mô tả chuyển động mặt đất, ta thường chọn hệ quy chiếu đất vật gắn liền với đất Cần ý chuyển động mô tả khác hệ quy chiếu khác biết chuyển động tương đối hệ quy chiếu từ cách mơ tả chuyển động hệ quy chiếu suy cách mô tả chuyển động hệ quy chiếu Vì chuyển động xảy khơng gian theo thời gian nên để mô tả chuyển động trước tiên phải tìm cách định vị vật khơng gian Muốn vật ta phải đưa thêm vào hệ quy chiếu hệ toạ độ Trong Vật lý người ta sử dụng nhiều hệ toạ độ khác Ở đây, giới thiệu hai hệ toạ độ hay dùng hệ toạ độ Đề-các (Descartes) hệ toạ cầu a Hệ tọa độ Descartes Hệ toạ độ Descartes gồm trục Ox, Oy, Oz tương ứng vng góc với đôi một, chúng tạo thành tam diện thuận Điểm O gọi gốc toạ độ Vị trí điểm M hoàn toàn xác định bán kính vectơ , hay tập hợp số (x,y,z) r hình chiếu điểm mút M vectơ lên trục Ox, Oy, Oz tương ứng, gọi toạ độ điểm M hệ toạ độ Descartes Ba vecto sở (vecto đơn vị) kí hiệu b Hệ tọa độ trụ: Các vecto đơn vị với ; song song với mặt phẳng (Oxy), theo hướng góc θ tăng Vị trí điểm M xác định bởi: c Hệ tọa độ cực: Khi khơng có tọa độ z hệ tọa độ trụ suy biến thành tọa độ cực (chỉ xét mặt phẳng (Oxy)) Biểu thức liên hệ tọa độ trụ (hay cực) hệ tọa độ Descartes: d Hệ tọa độ cầu Trong hệ toạ độ cầu, vị trí điểm M xác định toạ độ r, θ, φ Trong đó, r độ dài bán kính vectơ, θ góc trục Oz r , cịn φ góc trục Ox tia hình chiếu t mặt phẳng xOy Biết ba toạ độ cầu điểm M, ta tính toạ độ Descartes điểm M theo cơng thức sau: Ngược lại ta có: Trong hệ toạ độ cầu: ≤ θ ≤ 1800 ≤ φ ≤ 3600 Các đường tròn ứng với giá trị θ gọi Các đường vĩ tuyến, đường tròn ứng với giá trị φ gọi đường kinh tuyến Hệ toạ độ cầu thuận tiện định vị địa điểm đất e Tọa độ cong (hệ tọa độ tự nhiên) Khi quỹ đạo chuyển động vật đường cong biết, người ta thường dùng hệ tọa độ cong (hệ tọa độ tự nhiên) mà trục tọa độ đường cong quỹ đạo, chọn đường điểm A làm gốc tọa độ, chọn chiều dương Tại thời điểm đó, vật điểm M đường cong, |s| gọi chiều dài cung cong AM, s > chuyển dời từ A đến M theo chiều dương ngược lại Hoành độ vật độ dài đại số cung cong AM vecto đơn vị tiếp tuyến với đường cong định hướng theo chiều dương Cho độ dời nguyên tố từ M O điểm cố định, d biểu diễn vecto độ dời nguyên tố, với ds biểu diễn giá trị đại số độ dời đó: d, nên: Vecto đơn vị thẳng góc với đạo hàm theo hồnh độ cong s Bán kính cong R vecto đơn vị pháp tuyến quỹ đạo xác định bởi: Ta đặt R Với quy ước này, hướng vào chỗ lõm Cơ sở địa phương Frenet: Cho Cơ sở trục chuẩn thuận ( theo định nghĩa sở Frenet kết hợp với điểm M pháp tuyến với đường cong phẳng mặt phẳng đường cong pháp tuyến với 1.1.3 Chất điểm Để mô tả chuyển động hạt có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động điểm vật Tuy nhiên, kích thước vật nhỏ so với khoảng cách dịch chuyển mà ta xét điểm vật dịch chuyển gần nhau, mơ tả chuyển động vật chuyển động điểm Trong trường hợp ta coi vật chất điểm, tức điểm hình học lại có khối lượng khối lượng vật (khơng có kích thước có khối lượng) Trong nhiều trường hợp nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động vật trở nên đơn giản nhiều 1.1.4 Phương trình chuyển động phương trình quỹ đạo chất điểm a Phương trình chuyển động Để xác định chuyển động chất điểm cần biết vị trí chất điểm thời điểm khác Nói cách khác, cần biết phụ thuộc theo thời gian bán kính vectơ r chất điểm: Phương trình biểu diễn vị trí chất điểm theo thời gian gọi phương trình chuyển động chất điểm Trong hệ toạ độ Descartes, phương trình chuyển động chất điểm hệ gồm phương trình: Tương tự hệ toạ độ cầu, phương trình chuyển động chất điểm là: b Phương trình quỹ đạo Khi chuyển động, vị trí chất điểm thời điểm khác Vạch không gian đường cong liên tục gọi quỹ đạo chuyển động Vậy quỹ đạo chất điểm chuyển động đường tạo tập hợp tất vị trí khơng gian, suốt q trình chuyển động Phương trình mơ tả đường cong quỹ đạo gọi phương trình quỹ đạo Trong f hàm toạ độ x, y, z C số Về nguyên tắc, biết phương trình chuyển động (1.1) cách khử tham số t ta tìm mối liên hệ toạ độ x, y, z tức tìm phương trình quỹ đạo Vì vậy, đơi người ta cịn gọi phương trình chuyền động (1.1) phương trình quỹ đạo cho dạng tham số Ví dụ: chuyển động chất điểm cho phương trình: Ta khử tham số thời gian t cách sau: Ta suy quỹ đạo chất điểm đường trịn bán kính A tâm nằm gốc toạ độ Đường tròn nằm mặt phẳng xOy 1.2 Vận tốc: Vận tốc đại lượng đặc trưng cho phương, chiều, nhanh chậm chuyển động 1.2.1 Khái niệm vận tốc Chuyển động chất điểm quỹ đạo lúc nhanh lúc chậm, để mơ tả đầy đủ trạng thái nhanh hay chậm chuyển động, người ta đưa vào đại lượng vật lý gọi vận tốc Trong đời sống ngày thường gặp khái niệm vận tốc dạng thuật ngữ tốc độ Xét chuyển động chất điểm đường cong ©: © ta chọn gốc A chiều dương Giả thiết thời điềm t, chất điểm vị trí M xác định bởi: Tại thời điểm t’ = t + Δt chất điểm vị trí M’ xác định bởi: Quãng đường chất điểm khoảng thời gian Δt = t’ – t là: Quãng đường trung bình chất điểm đươc đơn vị thời gian là: Δs/Δt, theo định nghĩa vận tốc trung bình chất điểm thời gian Δt, kí hiệu là: Vận tốc trung bình đặc trưng cho độ nhanh chậm trung bình chuyển động chất điểm quãng đường MM’; quãng đường độ nhanh chậm chuyển động chất điểm nói chung chỗ khác nghĩa thời điểm khác Để đặc trưng cho độ nhanh chậm chuyển động thời điểm, ta phải tính tỷ số khoảng thời gian vơ nhỏ Khi ta có vận tốc tức thời, kí hiệu là: Khi xét hướng chuyển động ta có: Giả thiết thời điểm t, vị trí chất điểm xác định bán kính vectơ (hình 1.4): Ở thời điểm t + dt, vị trí chất điểm xác định bán kính vectơ: Trong khoảng thời gian nhỏ ta thấy Do vậy: Vậy: vectơ vận tốc đạo hàm bán kính vectơ thời gian 1.3 Gia tốc Gia tốc đại lượng vật lý đặc trưng cho biến thiên vận tốc 1.3.1 Định nghĩa: Trong trình chuyển động, vận tốc chất điểm thay đổi độ lớn phương chiều Để đặc trưng cho thay đổi vận tốc theo thời gian, người ta đưa vào thêm đại lượng vật lý mới, gia tốc Giả sử sau khoảng thời gian Δt, vận tốc chất điểm thay đổi lượng , theo định nghĩa gia tốc trung bình, gia tốc trung bình tb khoảng thời gian Δt là: Khi xét khoảng thời gian vơ nhỏ gia tốc trung bình trở thành gia tốc tức thời Vậy: Vectơ gia tốc đạo hàm vectơ vận tốc thời gian 1.3.2 Gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến Vectơ gia tốc đặc trưng cho biến thiên vectơ vận tốc Sự biến thiên thể phương, chiều độ lớn Trong phần ta phân tích vectơ gia tốc làm hai thành phần, thành phần đặc trưng cho biến thiên vectơ vận tốc riêng mặt Để đơn giản, giả thiết chất điểm chuyển động đường tròn tâm O, thời điểm t, chất điểm vị trí M, có vận tốc = , thời điểm t ' = t + Δt chất điểm vị trí M' ( = ), có vận tốc = = + Theo định nghĩa, vectơ gia tốc chất điểm thời điểm t (ứng với vị trí M) là: Ý nghĩa cụ thể thành phần vế phải (1.15): Thành phần thứ ký hiệu là: Phương at phương AC , tức phương tiếp tuyến với quỹ đạo M: at gọi gia tốc tiếp tuyến Chiều at chiều nghĩa chiều với chuyển động khi: v' > v (vận tốc tăng), ngược chiều với chiều chuyển động khi: v' < v (vận tốc giảm) Độ lớn at cho bởi: Nghĩa theo định nghĩa đạo hàm: Vậy: Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho biến thiên vectơ vận tốc giá trị, vectơ có: Phương trùng với tiếp tuyến quỹ đạo điểm M, chiều chiều chuyển động v tăng chiều ngược lại v giảm, độ lớn đạo hàm độ lớn vận tốc theo thời gian - Thành phần thứ hai vế phải (1.15) là: có phương vng góc với tiếp tuyến quỹ đạo điểm M, hay nói cách khác phương phương pháp tuyến quỹ đạo M, an gọi gia tốc pháp tuyến gọi gia tốc hương tâm Vậy: Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho biến thiên phương vectơ vận tốc, vectơ gia tốc có: Phương trùng với phương pháp tuyến quỹ đạo M, chiều hướng phía lõm quỹ đạo có độ lớn Tóm lại, ta phân tích vectơ gia tốc làm hai thành phần: Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho biến thiên vectơ vận tốc độ lớn, vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho biến thiên vectơ vận tốc phương Một số trường hợp đặc biệt: + an luôn không: vectơ vận tốc không thay đổi phương, chất điểm chuyển động thẳng + at luôn không: vectơ vận tốc không thay đổi chiều giá trị, chất điểm chuyển động cong + a luôn không: vectơ vận tốc không đổi phương, chiều giá trị, chất điểm chuyển động thẳng 1.4 Vectơ vận tốc gia tốc hệ trục tọa độ 1.4.1 Vận tốc gia tốc hệ tọa độ Descartes: Ba thành phần vx , vy, vz vectơ vận tốc v theo ba trục có độ dài đại số đạo hàm ba thành phần tương ứng bán kính vectơ v theo ba trục nghĩa là: Với gia tốc ta có: Độ lớn gia tốc tính theo cơng thức: 1.4.2 Vận tốc gia tốc hệ tọa độ trụ: Ta có: nên vận tốc chất điểm M là: Gia tốc chất điểm tính từ việc lấy đạo hàm theo thời gian vận tốc, ta có: Vì: nên: Biến đổi ta được: đường (đường 1) tT1 Tuy nhiên học sinh khơng thỏa mãn với thời gian này, cậu muốn thiết kế đường giúp bóng chuyển động nhanh hoàn thành thời gian ngắn (đường 2) Đường thiết kế gồm hai đoạn dốc xuống (góc nghiêng θ1 θ2 tương ứng, cao h), đoạn dốc lên (góc nghiêng θ 2, cao h) ba đoạn thẳng nằm ngang Chiều dài đoạn hình vẽ Giả thiết tốc độ bóng hai đường đủ nhỏ để bóng ln chuyển động đường a) Viết biểu thức d theo đại lượng h, θ2, d2, d4 d6 b) Tìm thời gian mà bóng hết đường đường Viết kết theo đại lượng θ1, θ2, g (là gia tốc trọng trường), d, h, d 2, d4 d6 Chứng minh bóng theo đường ln nhanh so với đường Tìm độ chênh lệch thời gian hai đường Viết kết theo g, h, d4 θ2 Đáp số: a) b) c) 43 Bài 33: Tìm phương trình chuyển động chất điểm chuyển động theo vịng trịn bán kính r0 góc vecto gia tốc vecto bán kính chất điểm có giá trị khơng đổi α Biện luận kết thu theo giá trị góc α Các điều kiện ban đầu φ(0) = 0, Đáp số: φ(t) = tanα.ln(ω0.t.tanα + 1) biểu thức có nghĩa với α < Khi α = 0, φ(t) = ω0t, chất điểm chuyển động Khi α = φ(t) = ln(ω0t +1) Bài 34: Chất điểm chuyển động theo vịng trịn bán kính r với gia tốc tiếp tuyến a t = const Tại thời điểm ban đầu chất điểm A vận tốc khơng Tìm: a) giá trị thành phần gia tốc pháp tuyến an b) giá trị vecto gia tốc góc tạo thành với vecto bán kính chất điểm c) điểm B, giá trị gia tốc tiếp tuyến at gia tốc pháp tuyến an Đáp số: a) an = 2at.φ b) c) B: φB = 0,5, chiều dài cung AB s = rφ1 = r/2 Bài 35: Chuyển động điểm không gian diễn tả hệ phương trình: Trong b, c, d số dương a) Tìm quỹ đạo điểm b) Tìm giá trị vận tốc điểm nó rời xa khỏi gốc tọa độ Đáp số: a) quỹ đạo đường cong parabol: b) 44 Bài 36: Tìm độ lệch phía đơng vật rơi từ đỉnh tháp chiều cao h trọng trường Trái Đất Biện luận kết thu theo vĩ độ nơi có tháp Đáp số: Δx = KẾT LUẬN Cơ học chất điểm nội dung khó vật lí phổ thơng Trong khn khổ thời gian có hạn, chuyên đề tập trung phân tích, làm rõ sở lí thuyết phần động học chất điểm, loại hệ trục tọa độ thường dùng để giải toán học chất điểm, làm rõ cách xác định vecto vận tốc gia tốc loại hệ trục tọa độ Chuyên đề xây dựng, sưu tầm hệ thống tập động học chất điểm, tập trung vào tập có sử dụng kiến thức tốn nâng cao để giải, vào chuyển động cong chất điểm Trong q trình dạy học sinh giỏi, tơi sử dụng thấy tư liệu hữu ích, tạo hội cho học sinh tiếp cận thực việc giải tập khó học chất điểm cách dễ dàng Tuy nhiên thời gian trình độ cịn hạn chế nên chun đề khơng thể tránh khỏi thiếu sót, lượng tập chưa thực nhiều phong phú Tôi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO GS.TS Nguyễn Quang Báu – Nguyễn Cảnh Hòe – Bài tập vật lí nâng cao trung học phổ thơng NXB Đại học Sư Phạm- năm 2002 Lương Duyên Bình (chủ biên)- Vật lí đại cương tập cơ-nhiệt, Nxb Giáo Dục P.F.I.E.V – Cơ học – NXB Giáo dục Năm 2006 Nguyễn Chí Trung - Tuyển Tập đề thi Olympic Vật lí Hong Kong tập 1,2 Vũ Thanh Khiết - Kiến thức nâng cao vật lí THPT (tập 1,2) , NXB ĐH QG Hà Nội, 2000 Nguyễn Văn Hướng (chủ biên) - 300 toán sơ cấp vật lý chọn lọc, NXB ĐH QG Hà Nội, 2000 Phạm Văn Thiều – Đoàn Ngọc Căn – Phương pháp giải tập học, dao động sóng, nhiệt học - NXB Giáo dục – năm 2006 46 ... niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động vật trở nên đơn giản nhiều 1.1.4 Phương trình chuyển động phương trình quỹ đạo chất điểm a Phương trình chuyển động Để xác định chuyển động chất điểm. .. thiết chất điểm chuyển động đường tròn tâm O, thời điểm t, chất điểm vị trí M, có vận tốc = , thời điểm t ' = t + Δt chất điểm vị trí M' ( = ), có vận tốc = = + Theo định nghĩa, vectơ gia tốc chất. .. chuyển động chất điểm Khử t hệ phương trình ta phương trình quỹ đạo chất điểm là: Vậy quỹ đạo chất điểm M hình Parabol, đỉnh S, quay phần lõm phía hình vẽ Bây ta tính toạ độ đỉnh (vị trí cao chất điểm)