SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 08/6/2021 Mơn: TỐN (CHUN) SBD:………… Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang gồm câu Câu (2,0 điểm)  x 1 x 1 x   x  x   P    :   x 1 x  x 1   x 1 x 1  Cho biểu thức (với x  0, x  ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất số thực x để P nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y  2mx  m  (với m tham số) Tìm tất giá trị m để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  b) Giải phương trình x   x   x  29 Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z   5;7  Chứng minh xy   yz   zx   x  y  z Câu (1,5 điểm) 2 Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n  2n  n  2n  12 lập phương hai số nguyên dương Câu (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn  O  đường kính AE Gọi D điểm » không chứa điểm A ( D khác B E ) Gọi H , I , K hình cung BE chiếu vng góc D lên đường thẳng BC , CA AB a) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng AC AB BC    b) Chứng minh DI DK DH c) Gọi P trực tâm ABC , chứng minh đường thẳng HK qua trung điểm đoạn thẳng DP Hết HDC TOÁN CHUYÊN trang 1/5 SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Khóa ngày 08/6/2021 Mơn: TỐN (CHUN) (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) Yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho câu Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong câu, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước sau có liên quan * Điểm thành phần câu phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm 0,5 điểm tùy tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Đối với Câu 5, học sinh khơng vẽ hình cho điểm Trường hợp học sinh có vẽ hình, vẽ sai ý điểm ý * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tùy theo mức điểm câu * Điểm tồn tổng (khơng làm tròn số) điểm tất câu Câu Nội dung Điểm  x 1 x 1 x   x  x   P   :     x 1 x 1 x 1  x 1 x 1   Cho biểu thức 2,0 điểm (với x  0, x  ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất số thực x để P nhận giá trị nguyên  P  Ta có:  a Vậy P    x 1    x 1 4 x  x 1 x 1  x  x 1  x 1    x 1 x  x 3 :   x 1 x   x 1    x 1  x 1 x x4 0,5 0,5 x x4 b Vì x  0, x  nên P x  x4 HDC TOÁN CHUYÊN trang 2/5 0,25 Câu Nội dung  x 2 x x4 x 4   x4 x4 x4 Ta có: Do  P  mà nên P  P  Với P  x  (thỏa mãn) 1 P 1  Điểm 0 suy P  0,25 Với P  x    x  (thỏa mãn) Vậy x  0; x  P nhận giá trị nguyên a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y  2mx  m  (với m tham số) Tìm tất giá trị 0,25 m để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa 0,25 2,0 điểm mãn x1  x2  b) Giải phương trình: x   x   x  29 Xét phương trình hồnh độ giao điểm  d   P  : x  2mx  m   x  2mx  m    1 1  '  m  m 1   m     2  Ta thấy , với m  ¡ Suy phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt với m ¡ a Do đường thẳng  d  cắt  P  hai điểm phân biệt với m  ¡ Ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình  1  x1  x2  2m  x x m 1 Áp dụng định lí Vi-ét ta  Ta có 0,25 x1  x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2   2  4m  4m     2m  1   m  m  d   P  cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ Vậy b 0,25 x1; x2 thỏa mãn x1  x2  x Điều kiện: Ta có: x   x   x  29 HDC TOÁN CHUYÊN trang 3/5 0,25 0,25 0,5 Câu   Nội dung    Điểm  x   x   16  x   x      5x     2x     x      x3  x    (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x  Cho ba số thực x, y, z   5;7  Chứng minh xy   yz   zx   x  y  z x, y   5;7   x  y    x  y   Do 0,5 1,0 điểm 0,25  x  xy  y    x  y    xy  1  x  y  xy  0,25 Chứng minh tương tự ta có: y  z  yz  1; z  x  zx  Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta có 2 x  y  z    xy   yz   zx  0,25  xy   yz   zx   x  y  z x y 2   y  z   1  zx 2 Dấu xảy  Vì x  y  z nên giả sử x  y  z x  y  x  y    1   y  z    x  z  x  z  x  z    Ta có (vô nghiệm) Vậy 0,25 xy   yz   zx   x  y  z Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n  2n  n  2n  12 lập phương hai số nguyên dương 3 * Đặt n  2n   a ; n  2n  12  b (với a, b  ¥ ) Dễ thấy a  b b3  a3   n  2n  12    n  2n    19 Ta có   b  a   b  ab  a   19 * 2 Vì a, b  ¥ , b  a , b  ab  a  b  a 19 số nguyên tố nên HDC TOÁN CHUYÊN trang 4/5 1,5 điểm 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm  a   TM   b  b  a  a         a  3 b  b  ab  a  19   L  b  2  n  3 ( L )  n  2n  15    n5  n  (TM ) 0,5 0,5 Vậy n  giá trị cần tìm Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  đường kính AE Gọi » khơng chứa điểm A ( D khác B D điểm cung BE E ) Gọi H , I , K hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BC , CA AB a) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng 3,5 điểm AC AB BC    DI DK DH b) Chứng minh c) Gọi P trực tâm ABC , chứng minh đường thẳng HK qua trung điểm đoạn thẳng DP Hình vẽ a · ·  KBD  KHD Tứ giác BKDH nội tiếp ·  KBD  ·ACD Tứ giác ABDC nội tiếp  1  2 (cùng bù với ·ABD ) HDC TOÁN CHUYÊN trang 5/5 0,25 Câu Nội dung Từ · ·  ICD  1 ,    KHD  3 · ·  IHD  ICD  1800   Lại có tứ giác CIHD nội tiếp · · Từ  3 ,   suy IHD  DHK  180  K , I , H thẳng hàng AKD ∽CHD  g g   CH AB BK    HD KD KD b AK CH AB  BK CH    KD HD KD HD  5 BH AI AC  IC BH AC IC       6 DH DI DI DH DI DI IC KB ICD ∽KBD  g.g     7 ID KD CH BH AB AC    Từ   ,     suy HD DH KD DI AC AB BC    DI DK DH Vậy Đường thẳng AP cắt  O  Q đường thẳng DH cắt  O  S BDH ∽ADI  g g   · · » Ta có SAC  SDC (cùng chắn CS ) · · · · Tứ giác CDHI nội tiếp  HDC  HIA  SAC  HIA Suy đường thẳng AS song song với đường thẳng HK Ta có AQ // DS (cùng vng góc với BC ) c  AQDS hình thang, nội tiếp đường trịn  O  ·  AQDS hình thang cân  QDS  ·ASD · · Qua P vẽ PR // AS  ASD  PRD (đồng vị) · · Suy PRD  QDR  PQDR hình thang cân Ta thấy BC  PQ trung điểm PQ , suy BC trục đối xứng hình thang cân  HD  HR Xét DPR có HD  HR HK // PR  HK qua trung điểm DP HẾT HDC TOÁN CHUYÊN trang 6/5 Điểm 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... Hết HDC TOÁN CHUYÊN trang 1/5 SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Khóa ngày 08/6 /2021 Mơn: TỐN (CHUN) (Hướng dẫn chấm... 1 x   x 1    x 1  x 1 x x4 0,5 0,5 x x4 b Vì x  0, x  nên P x  x4 HDC TOÁN CHUYÊN trang 2/5 0,25 Câu Nội dung  x 2 x x4 x 4   x4 x4 x4 Ta có: Do  P  mà nên P ... hồnh độ Vậy b 0,25 x1; x2 thỏa mãn x1  x2  x Điều kiện: Ta có: x   x   x  29 HDC TOÁN CHUYÊN trang 3/5 0,25 0,25 0,5 Câu   Nội dung    Điểm  x   x   16  x   x     