ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG PTNK Năm học 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN CHUN Thời gian làm 150 phút Bài (1.5 điểm) Cho hệ phương trình: a) Giải hệ với b) Tìm m m=7 cho hệ có nghiệm M= Bài (1.5 điểm) Cho MK = a) Chứng minh b) Cho M = K = 4, N = xn ≥ a) Chứng minh xn ≤ ≤ x1 + x2 +…+ xk ≤ 3 Bài điểm) 1 1 1 a b c + + ,N = + + ,K = + + a b c b+c c+a a +b b+c c+a a+b a2 + b2 + c2 abc Bài điểm) Cho dãy x1 + x2 +… xn = b) Chứng minh ( x, y ) N =0 Tính tích abc ( 1.5 (1.5  x − + y − =   x + y = m 3 n số thực x1 ; x2 ;…; xn (n ≥ 5) thỏa: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn x1 + x2 ≤ xn tìm số nguyên dương k0 , xi > x1 + L xn −1 ≥ x1 + x2 + x3 + x4 ≤ ( x1 + x2 ) > n≥5 Do nên b) (0,75 điểm) xn ≥ • Nếu ⇒ , ≥ xn ≥ 3 Từ ⇒ xn < 3 2≤i≤n (Vô lý) x1 + x2 + + xn = 1 ≤ x1 + x2 +… + xn −1 = − xn ≥ 3 xn < • với Nếu xi < Suy Giả sử không tồn k i với thỏa đề bài, tức khơng có k để ≤ x1 + x2 +…+ xk ≤ (*) 3 Ta chứng minh tồn l ≤ n−2 x1 + L xl < cho x1 + L xl +1 > (**) Thật không tồn (**) nên l x1 < ≤ x1 + x2 ≤ ×(mâu 3 x1 + x2 < , suy thuẫn x1 + x2 + L xn −1 < ( Lý luận tương tự l Do tồn thỏa (**) Mâu thuẫn ) suy k , ngược lại (*) xl +1 > Vậy điều giả sử sai Do tồn > xn (vô lý) thỏa đề Bình luận Đây bất đẳng thức lạ hay, tư tưởng chủ đạo phản chứng phản chứng liên tục Việc thứ tự biến giả thiết vô quan trọng, giúp giải tốn Câu a khơng q khó, câu b mức khác hẳn Việc chứng minh bất đẳng thức khó, cịn thêm n biến, tốn trở nên q phức tạp cho học sinh cấp Bạn giải câu Bài (1.5 b) Tìm tất số tự nhiên nguyên Chứng minh với phương n n cho (2n + 1)3 + số nguyên tố n p p điểm) (2n + 1)3 + 1M22021 ( ) ⇔ (2n + 2) 4n + 2n + M22021 ( ) ⇔ 2( n + 1) 4n + 2n + M2 2021 chia hết cho cho 2n + p 22021 4n + n + p số tìm được, số ngun khơng thể đồng thời số Lời giải a) , giỏi điểm) a) Tìm tất số tự nhiên ( 0.5 3 b ( ) ⇔ (n + 1) 4n + 2n + : 2020 n + 1M22020 ( 4n + 2n + ≡ 1( mod 2) ( ⇔ n = 22020 k − k ∈ ¢ + b) (1 điểm) Từ Do ) ) p ∣ 2n + p ∣ 4n + 2n + 4n + + 2n + = 4( n − 1)(n + 1) + 2( n + 1) + p∣n + n = 3k − k ∈¢ p nên phải số lẻ, dẫn đến p∣3 , từ p=3 + với (0.5 điểm) Ta chứng minh khơng số phương p∣n + Kết hợp với điều kiện 2n + 4n + + 2n + Thật vậy, giả sử ta có điều ngược lại, chúng số nguyên dương nên: 2n + 4n + 2n + × = s2 ( s ∈ ¢ + ) 3 Viết lại thành (2n + 1)3 = (3s − 1)(3s + 1) tồn số nguyên a, b đế Do s số chẵn nên ab = 2n + 1, (a, b) = (3s − 1,3s + 1) = , dẫn dến việc và: 3s − = a  3s + = b ( ) = (b − a ) b + ba + a Từ cụ thể, ta giả sử (a, b) = (−1,1) Do b>a nên b − a ∈ {1, 2} Tuy nhiên điều dẫn đến Xét trường hợp giải s=0 , trái với việc s>0 từ điều Vậy giả sử ban đầu sai hay hai số cho số phương (0.5 điềm) Bình luận Bài thuộc phần số học, có ý để kiếm điểm,như câu a, khơng q khó để suy 2n + chia hết cho 22021 Câu b khó, việc tìm p=3 khơng khó, ý cuối thực khó, khơng có câu a định hướng khó làm Kĩ thuật ab = m3 ( a, b) nguyên tố suy a, b lập phương số nguyên kĩ thuật khó mà em THCS cần phải học làm Bài ( điểm) Cho tam giác ABC vuông canh AB, AC cho D lên EF Đường tròn EF / / BC (I ) Gọi D I Các điểm E, F thay đổi giao điểm BF CE, H hình chiếu đường kính EF cắt BF, CE M, N ( M khác F, N khác E ) a) Chứng minh AD đường tròn ngoại tiếp tâm A ∆HMN qua tâm I đường tròn b) Gọi K, L hình chiếu vng góc E, F lên BC P, Q tương ứng giao điểm EM, FN với BC Chứng minh tứ giác AEPL, AFQK nội tiếp đổi E, F thay đổi c) Chứng minh EL FK cắt đường tròn đường thẳng BC Lời giải (I ) BP ×BL CQ ×CK khơng EM FN cắt a) (1 điểm ) Qua D vẽ đường thẳng song song BC cắt AB, AC X, Y Ta có Suy EF DY DF DE DX = = = BC BF EC BC DX = DY Suy D trung điểm XY Do AD qua trung điểm Ta có DHFN, DHEM nội tiếp Suy Suy · · · DHN = DFN = MAN · · · MHN = MAN = MIN Suy tứ giác MIHN nội tiếp Ta có điều cần chứng minh b) (1 điểm ) Ta có Mặt khác Do ∆BMP#∆BEM ∆BAF #∆BEM Suy , suy BM ×BF = BP ×BL BE ×BA = BM ×BE BA ×BE = BP ×BL Từ ta có tứ giác AEPL nội tiếp Chứng minh tương tự tứ giác AFQK nội tiếp I · · · = NAM DHM = NEM Và BP ×BL BE ×BA AB = = CQ ×CK CF ×CA AC c) (1 điểm ) Giả sử EL, FK cắt · ESF = 90° Khi Vẽ thuộc (I ) EFLK hình vng PU ⊥ AB, QV ⊥ AC Ta có Đặt S BP BU BK = = BC BA BL CQ CV CL = = BC CA CK x = EF = KL Ta cần chứng minh BK CL + =1 BL CK ⇔ BK ×CK + BL ×CL = BL ×CK ⇔ BK (CL + x ) + ( BK + x)CL = ( BK + x )(CL + x ) ⇔ x = BK ×CL Đúng tam giác BEK CFL đồng dạng Bình luận Bài hình mặt hình vẽ phức tạp, có chỗ để em làm đươc Câu a, b tương đối quen thuộc cách làm quen thuộc Việc chứng minh tứ giác nội tiếp góc phương tích em làm nhiều Tuy câu c thực khó, phải phân vân tính tốn độ dài góc, cuối chọn độ dài, tính độ dài có nhiều hướng để thực hiện, nói chung câu hình khó nhiều năm trở lại Bài ( điểm) Cho từ 26 chữ N tập hợp ( N ≥ 6) , tập hợp gồm chữ khác lấy a, b, c,…, x, y, z a) Biết N tập hợp cho, hai tập hợp có chung chữ cái, khơng có chữ có mặt tất có mặt tập hợp từ N N tập cho tập hợp Chứng minh khơng có chữ b) Biết N tập hợp cho, hai tập hợp có chung chữ cái, N khơng có hai chữ xuất tập hợp Hỏi số cho, có nhiều tập hợp có chung chữ cái? N tập hợp Lời giải a) S (0,5 điểm ) Giả sử có chữ cho A1 , A2 ,…, A6 cho, chẳng hạn tập S có mặt tập hợp từ N tập Vì hai tập hợp có chung chữ nên hai tập hợp tập có chữ chung Do đó, tổng số chữ có mặt tập là: • Nếu N =6 vơ lý S S + 6(5 − 1) = 25 không xuất tất N tập hợp Do N ≥7 , lấy tập , có khả năng: A7 A7 A1 , A2 ,…, A6 σ chứa S: Vì tập có chung chữ nên A7 A1 , A2 A6 cịn chứa phần tử khơng nằm tập thuộc ,… • - Với A7 N ≥7 Suy tổng số chữ tập là: - A7 + 7(5 − 1) = 29 > 26 S không chứa A7 A1 , A2 ,…, A6 Khi có chung phần tử với tập phần tử A1 , A2 ,…, A6 A7 S phải khác (vì tập có chung ) Do có phần tử (vơ lý) Vậy khơng có chữ nằm tập hợp từ b) (0,5 điểm ) Giả sử có nhiều (vô lý) k N tập hợp cho tập hợp có chung chữ cái, chẳng hạn S Khi dễ thấy k ≥ N −1 nên tồn tập hợp khác chưa kể tên tập hợp trên, đặt tập hợp X, X không chứa • Nếu X khơng chứa nên • Nếu X S lẫn T X giao tập k tập phần tử khác 2k ≤ ⇒ k ≤ chứa S , khơng chứa Khi phần tử cịn lại giao với tử nên {S , T } k k T tập phần tử khác nhau, mà X có phần k≤4 Vậy có nhiều tập hợp có chung chữ Để ví dụ khả có tập hợp, xét số từ đến 26 Khi chọn N =6 N Để thuận tiện, thay chữ tập hợp sau:  A1 = {1, 2,3, 4,5}  A = {1, 2, 6, 7,8}   A3 = {1, 2, 9,10,11}   A4 = {1, 2,12,13,14}  A5 = {1,3, 6,10,13}   A6 = {2,3, 6,9,12} Bộ tập hợp thỏa mãn tất điều kiện tốn Bình luận Như thường lệ, câu tổ hợp dấu ấn đề thi vào PTNK, câu tổ năm thế, khó khăn, rèn luyện với toàn tập hợp, giao hợp phần tử có câu kiếm điểm, câu a Câu b câu cực trị tổ hợp, khó, mặt suy luận không khác ý a mấy, phải có đánh giá bất đẳng thức tìm ví dụ nên khó học sinh làm Bình luận chung • Đề nhìn chung vừa dài khó, có nhiều ý, đầy đủ phần đại số, số học, hình học tổ hợp Có đại số, số học, hình tổ hợp Đại số chiếm 50% tống số • Các học sinh chun tốn lấy điểm 1,2 a Các câu mức phân loại đậu • Những câu khó 3 b 4 b 3a, 4a,5 b 3 b, 4 b5c, 6 b Nếu làm câu nhiều khả , kĩ thuật khó học sinh cấp 2, đặc biệt • Đề năm nhìn chung khó, bạn làm từ điểm trở lên có hy vọng đậu vào chuyên tốn, cịn điểm cao tầm 9,10 tơi nghĩ khó đạt, phải thực có khiếu làm tay đạt ... + 1)3 + số nguyên tố n p p điểm) (2n + 1)3 + 1M 22021 ( ) ⇔ (2n + 2) 4n + 2n + M 22021 ( ) ⇔ 2( n + 1) 4n + 2n + M2 2021 chia hết cho cho 2n + p 22021 4n + n + p số tìm được, số ngun khơng thể đồng... số ngun khơng thể đồng thời số Bài ( điểm) Cho tam giác ABC vuông canh AB, AC cho chia hết cho 22021 ∆HMN qua tâm I đường tròn b) Gọi K, L hình chiếu vng góc E, F lên BC P, Q tương ứng giao điểm... luận Bài thuộc phần số học, có ý để kiếm điểm,như câu a, khơng q khó để suy 2n + chia hết cho 22021 Câu b khó, việc tìm p=3 khơng khó, ý cuối thực khó, khơng có câu a định hướng khó làm Kĩ thuật