SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn: Tốn (Chun) ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày: 03/06/2021 (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian: 150 phút (Không kể giao đề) ĐỀ BÀI: Câu (2,0 điểm)  a a 1 a a 1   a    a) Cho biểu thức A   với a  0; a  1; a  Tìm tất giá trị   :  a   a  a a  a    nguyên dương a đề P nhận giá trị nguyên b) Cho x   2021 Tính giá trị biểu thức: x5  x  2021x3  x  2018 x  2021 Câu (2,5 điểm) 1) Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 40km thời gian định Sau 20km người dừng lại nghỉ 20 phút Do để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm 3km/h Tính vận tốc dự định người 2) Cho phương trình x   m  1 x  2m   (trong m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x ; x với m b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x ; x thỏa mãn điều kiện: x    2mx1  2m  x22  2mx2  2m   Câu (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn  ABC không cân (AB < AC) có đường trịn ngoại tiếp (O; R) đường trịn nội tiếp (I; r) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB D, E, F Kéo dài AI cắt BC M cắt đường tròn (O;R) điểm thứ N (N khác A) Gọi Q giao điểm AI FE Nối AD cắt đường tròn (I; r) điểm thứ P (P khác D) Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) điểm thứ T (T khác D) Chứng minh rằng: a) AF  AP AD b) Tứ giác PQID nội tiếp NB  NM NA c) QA phân giác ·PQT d) ·ADF  ·QDE Câu (2,0 điểm) 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ A  53 x  53 y   x y b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x  y  z  Chứng minh rằng: x     y  z  x3  y  z   x  y  z Câu (1,0 điểm) 2 a) Tìm tất số nguyên  x ; y  thỏa mãn phương trình: x  x  y   xy  1 b) Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3  y  p  xy  Tìm giá trị lớn p -Hết - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2021-2022) Câu (2,0 điểm)  a a 1 a a 1   a    a) Cho biểu thức A   với a  0; a  1; a  Tìm tất giá trị   :  a   a  a a  a    nguyên dương a đề P nhận giá trị nguyên b) Cho x   2021 Tính giá trị biểu thức: x5  x  2021x3  x  2018 x  2021 Lời giải:  a  a) Với:   a   1, 2  a a 1 a a 1   a    A    Ta có:    :  a    a  a a  a       a      a 1  a 1 a  a 1   a   :   a   a a 1  a 1 a  a    a  a 1 a  a 1  a    a   2a  A    : 2       a2 a a a2 a2    a2 Để A  ¢   ¢  a  2U      1;  2;  4;  8 a2 a  ¢   a    a      a   TM  Do:  a   1; 2 Vậy a   A ¢ b) Đặt: 5 3 2 M  x  x  2021x  3x  2018x  2021  x  x  2020 x  x  x  2020 x  x  x  2020           M  x3 x  x  2020  x x  x  2020  x  x  2020   x  x  2020 x3  x   Mà: x   2021  x   2021   x  1  2021  x  x  2020   M  1 Câu (2,5 điểm) 1) Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 40km thời gian định Sau 20km người dừng lại nghỉ 20 phút Do để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm 3km/h Tính vận tốc dự định người 2) Cho phương trình x   m  1 x  2m   (trong m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x ; x với m b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x ; x thỏa mãn điều kiện: x    2mx1  2m  x22  2mx2  2m   Lời giải: 1) Gọi vận tốc dự định xe đạp là: x  km / h  ; x  Vận tốc sau tăng tốc là: x   km / h  Thời gian dự định là: 40  h x Quãng đường từ lúc tăng tốc là: 40  20  20  km  Thời gian lúc chưa tăng tốc là: 20  h x3 Thời gian từ lúc tăng tốc là: Theo đề ta có: 20  h x  x  12  TM  20 20 40     x x3 x  x  15  KTM  Vậy vận tốc dự định xe đạp là: 12 (km/h) 2) a) Ta có:  '     m  1   2m   m  4m    m      m 2 => Phương trình ln có nghiệm phân biệt với m  x1  x2   m  1 b) Theo Vi-et ta có:   x1 x2  2m  Do: x1 ; x2 nghiệm phương trình nên ta có:  x12   m  1 x1  2m       x   m  1 x2  2m      x12  2mx1  x1  2m        x  2mx2  x2  2m      x12  2mx1  2m    x1    x  2mx2  2m    x2 2 Mà: x1  2mx1  2m  x2  2mx2  2m      x1    x2    16   x1  x2   x1x2   16  8.2  m  1   2m     12  8m   m  Câu (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn  ABC khơng cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) đường tròn nội tiếp (I; r) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB D, E, F Kéo dài AI cắt BC M cắt đường tròn (O;R) điểm thứ N (N khác A) Gọi Q giao điểm AI FE Nối AD cắt đường tròn (I; r) điểm thứ P (P khác D) Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) điểm thứ T (T khác D) Chứng minh rằng: a) AF  AP AD b) Tứ giác PQID nội tiếp NB  NM NA c) QA phân giác ·PQT d) ·ADF  ·QDE Lời giải: 1» ; ¶A Chung a) Xét  AFP  ADF có: ·AFP  ·ADF  FP   AFP ∽  ADF  g g   AF AP   AF  AP AD (đpcm) AD AF b) Vì: AF AE tiếp tuyến  I   AI trung trực FE  AI  FE Q  A F  AQ AI (hệ thức lượng)  AQ.AI  AP AD   A F   AP AI  AQ AD Xét  APQ  AID có: AP AI   cmt  ; ¶A Chung AQ AD   APQ ∽  AID  c g c   ·AQP  ·ADI  PQID nội tiếp (vì: ·AQP góc ngồi đỉnh Q) » B  NC »  ¶B  ¶A Ta có: ¶A1  ¶A2 (vì: AI tia phân giác)  N Xét  ABN  BMN có: ¶B1  ¶A2  cmt  ; ·N Chung   ABN ∽  BMN  g g    ·IPD  ·IDP  c) Ta có:  · ·  IPD  IQD  AN BN   NB  NA.NM (đpcm) BN MN  IP  ID  r   1º    ID     ·IDP  ·IQD  ·IDP  ·AQP  cmt   ·AQP  ·AQT  đpcm Mà:  · ·  AQT  IQD  doi dinh  »  EK » d) Gọi K giao điểm AI với  I   FK »  KT »  FP » E » T  ·FDP  ·EDT  đpcm Mà: ·AQP  ·AQT  cmt   KP Câu (2,0 điểm) 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ A  53 x  53 y   x y b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x  y  z  Chứng minh rằng: x     y  z  x3  y  z   x  y  z Lời giải: a) Dự đoán điểm rơi: x  y  Ta có: A  53 x  53 y  A Co  Si 1   ax  ax  3 ax ax 3 a x x 1        27 x  27 x    27 y  27 y    x  y  x y  x   y  Co  Si  3 27 x 27 x  3 27 y 27 y x Dấu “=” xảy x  y  Vậy  Min A   ax a 27 x 160  xy 3  y2  x y 27  27   x y 54  160   3 b) Ta có: x   x  x ; y 1  y  y ; z   z  z      x  y  z  x  y  z   VT  x  y  z   x3  y  z Tương tự: x3  x  x3 x  x ; y  y  y y  y ; z  z  z z  z        x3  y  z  x  y  z   x  y  z   VT  x  y  z   x  y  z   x  y  z           VT  x  y  z   x  y  z   x  y  z   x  y  z   x  y  z   3.3   VT  x  y  z   x  y  z   Mà: x   x  x ; y   y  y ; z   z  z  x  y  z   x  y  z    VT   x  y  z     x  y  z     x  y  z   (đpcm) Câu (1,0 điểm) 2 a) Tìm tất số nguyên  x ; y  thỏa mãn phương trình: x  x  y   xy  1 b) Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3  y  p  xy  Tìm giá trị lớn p Lời giải: 2 2 2 a) Ta có: x  x  y   xy  1  x  x  y  xy   x  xy  y  y  x    x  y   x  y  y   y    x  y    x  y    y  1    x  y    x  y     y  1  2    x  y  1   y  1   02  22 2 2  x  y 1  x  y 1   y 1   y 1          y 1   y   2  x  y   2  x  y   x  x  y 1 y 1        y   y  1 x  x  Vậy  x ; y    ; 3 ;  0; 1 ;  ; 1 ;  ; 1 b) Ta có: x3  y  p  xy   p  x  y  xy   p   x  y   3xy  x  y   xy  3  p   x  y   8  3xy  x  y    p   x  y    x  y    x  y    3xy       x  y    p   x  y    x  y    3xy  Do số nguyên tố nên:   x  y    x  y    3xy  (Vì: x ; y  ¢   x  y   )   x  y    x  y    3xy   x  xy  y  x  y  3xy  3  x  xy  y  x  y  3  x  xy  y  x  y  12   x  y   y   x  y    12 y  12     x  y     y     12  3.12 2  2 x  y   2 x  y    x  y   1  x  y   1        y  1  y   1 y  1  y   1 x  x  x  x         y  y 1 y  y 1 x   p   KTM  TH1:  y  x   p   TM  TH2:  y 1 x   p   TM  TH3:  y  x   p   KTM  TH4:  y 1 Vì: p số nguyên tố lớn  p  Vậy p  thỏa mãn yêu cầu toán -Hết - ...  Tìm giá trị lớn p -Hết - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2 021- 2 022) Câu (2,0 điểm)  a a 1 a a 1   a    a) Cho biểu thức A   với a  0; a  1;...  a    nguyên dương a đề P nhận giá trị nguyên b) Cho x   2 021 Tính giá trị biểu thức: x5  x  2021x3  x  2018 x  2 021 Lời giải:  a  a) Với:   a   1, 2  a a 1 a a 1  ... 2021x  3x  2018x  2 021  x  x  2020 x  x  x  2020 x  x  x  2020           M  x3 x  x  2020  x x  x  2020  x  x  2020   x  x  2020 x3  x   Mà: x   2021