SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN – CHUYÊN Thời gian làm bài: 120 phút Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021 Câu (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: A = − 10 − − + 10 − Câu (2,0 điểm) 2021 2022 Cho B = + + + + + + Chứng minh B + khơng phải số phương Câu (2,5 điểm) Câu (2,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Câu (1,5 điểm) AH ( H ∈ BC ) Cho tam giác ABC , đường cao Biết BC − AB = 2cm, · AC = 10cm CAH = 300 Tính diện tích tam giác ABC Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b + 20c = c Chứng minh 3 a + b + c chia hết cho Trường THCS X có 60 giáo viên Tuổi trung bình tất thầy giáo giáo 42 tuổi Biết tuổi trung bình thầy giáo 50, tuổi trung bình giáo 38 Hỏi trường THCS X có thầy giáo, cô giáo?  x − y − + x − =  Giải hệ phương trình:  y − xy + = Câu (2,0 điểm) x + ( m − 1) x − m2 − = x Cho phương trình: ( ẩn, m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn x1 − x2 = (biết x1 < x2 ) Câu (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương a + b + c = Tìm giá trị nhỏ A; AB ) đường tròn ( chúng cắt điểm thứ hai E ( E khác B ) Tia CE cắt AD điểm F Chứng minh F trung điểm AD a3 b3 c3 P= + + a + 4ab + b b + 4bc + c c + 4ca + a biểu thức: · Câu 10 (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có BAD > 900 Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Đường trung tuyến kẻ từ C tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K Chứng minh bốn điểm K , H , D, C thuộc đường tròn HẾT Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh: …………………… Giám thị 1:……………………Ký tên………Giám thị 2: ………………Ký tên:…… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2021 – 2022 (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang) Mơn thi: TỐN – CHUYÊN Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM Câu A = − 10 − − + 10 − (2,0 điểm ) Tính giá trị biểu thức: Lập luận : A < - ĐIỂM 0,5 điểm   A =  − 10 − − + 10 − ÷   0,5 điểm = − − 10 − + 10 − = − + = − ( + 1) 0,5 điểm = − 2( + 1) = − = ( − 1) 0,5 điểm ⇒ A = − Câu B = + 22 + 23 + 24 + + 22021 + 22022 Chứng minh (2,0 điểm ) Cho B + khơng phải số phương 2021 2022 - Biến đổi: B = + + + + + + ⇔ B = ( + 22 + 23 + 24 + + 22021 + 2022 ) 0,5 điểm ⇔ B = 22 + 23 + + 22022 + 22023 - Tính được: 0,5 điểm B − B = 22023 − ⇔ B = 22023 − - Tính được: B + = 22023 − + = 22023 2023 - Lập luận được: Vì lũy thừa với số mũ lẻ nên khơng số phương Vậy B + khơng số phương 0,5 điểm 2023 0,5 điểm AH ( H ∈ BC ) Câu Cho tam giác ABC , đường cao Biết AC = 10cm, (2,5 điểm ) · = 300 Tính diện tích tam giác ABC BC − AB = 2cm CAH - Tính được: CH = AC.sin 30 = 5cm 0,5 điểm AH = AC.cos300 = 3cm 2 - Viết được: AB − HB = AH ( AB − ( BC − ) = ) 0,5 điểm - Lập luận : BC − AB = 2cm ⇒ AB = BC − 0,5 điểm ⇒ ( BC − ) − ( BC − ) = 75 2 ⇔ ( BC − + BC − ) ( BC − − BC + ) = 75 - Tính được: BC = 16 cm - Vậy S ABC ( AH BC 3.16 = = = 40 cm 2 ) 0,5 điểm 0,5 điểm Câu Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b + 20c = c (2,0 điểm ) 3 Chứng minh a + b + c chia hết cho - Biến đổi được: a + b + 20c = c ⇔ a + b + c = c − c − 18c ⇔ a + b + c = c ( c − 1) ( c + 1) − 18c - Chứng minh được: ⇔ a + b + c = c ( c − 1) ( c + 1) − 18cM 0,5 điểm 0,5 điểm 3 - Mặt khác: a + b + c − (a + b + c) = (a − 1)a (a + 1) + (b − 1) b(b + 1) + (c − 1)c(c + 1)M 0,5 điểm 0,5 điểm 3 - Lập luận kết luận a + b + c chia hết cho Câu Trường THCS X có 60 giáo viên Tuổi trung bình tất (2,0 điểm ) thầy giáo cô giáo 42 tuổi Biết tuổi trung bình thầy giáo 50, tuổi trung bình cô giáo 38 Hỏi trường THCS X có thầy giáo, giáo? - Gọi x y số cô giáo số thầy giáo trường ( x, y ∈ N ; x, y < 60 ) * THCS X 0,5 điểm 0,25 điểm - Lập luận pt: x + y = 60 38 x + 50 y = 42 60 - Lập luận pt: 0,5 điểm  x + y = 60  x = 40  ⇔  38 x + 50 y = 42  y = 20  - Giải hệ pt:  60 0,5 điểm 0,25 điểm - Trả lời: Cô giáo : 40 , thầy giáo : 20 Câu (1,5 điểm )  x − y − + x − = ( 1)  y − xy + = ( 2) Giải hệ phương trình:  - Điều kiện x − y − ≥ , 0,25 điểm - Phương trình (2) ⇔ ( y − x ) = x − ⇔ - Phương trình ( ) 0,25 điểm 0,25 điểm 2x − y − + ( y − x ) = 2 x − y − =  x = ⇒ ⇔ y−x=0  y = x - Kiểm tra điều kiện kết luận hệ phương trình có nghiệm 0,5 điểm ( 3;3) 0,25 điểm Câu x + ( m − 1) x − m2 − = Cho phương trình: (*) ( x ẩn, m (2,0 điểm ) tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn x1 − x2 = (biết x1 < x2 ) - Lập luận phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu P < ac = 1.( −m − ) < với giá trị m nên phương trình có hai nghiệm trái dấu - Do phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1 < x2 0,5 điểm Suy x1 < , x2 > ⇒ x1 = − x1 , x2 = x2 0,5 điểm x1 − x2 = ⇒ −2 x1 − x2 = ( 1) 0,25 điểm  x1 + x2 = − m (2)  x x = − m − (3) - Theo định lí Viet ta có:  0,25 điểm từ gt:  x1 + x2 = − m (2)  x1 = m − ⇔  −2 x1 − x2 = (1)   x2 = − 2m - Giải hệ Mà x1 < < x2 nên ta m < - Thay x1 = m − , x2 = − 2m vào (3) ta phương trình: 0,25 điểm 0,25 điểm m = ⇔ (m − 5)(6 − 2m) = − m −  m = 14 - Kết hợp m < ta m = thỏa yêu cầu toán Câu Cho hình vng ABCD Vẽ đường trịn tâm O đường kính (2,5 điểm ) BC A; AB ) đường tròn ( chúng cắt điểm thứ hai CE E ( E khác B) Tia cắt AD điểm F Chứng minh F trung điểm AD - Kẻ đoạn nối tâm OA dây chung BE ⇒ OA ⊥ BE - Chứng minh được: BE ⊥ CF - Chứng minh được: OA / / CF - Chứng minh tứ giác AOCF hình bình hành 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm ⇒ OC = FA - Lập luận: từ AD 0,5 điểm OC = BC AD AD = ⇒ AF = ⇒ 2 F trung điểm Câu Cho a, b, c số dương a + b + c = Tìm giá trị nhỏ (1,5 điểm ) biểu thức: a3 b3 c3 P= + + a + 4ab + b b + 4bc + c c + 4ca + a Với a3 b ≥ a − a,b > , ta chứng minh a + b 2 - Áp dụng: 0,25 điểm ( a − b) ≥ ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ −1 −1 ≥ a +b 2ab Khi đó: a (a + b ) − ab ab ab b =a− ≥a− =a− = 2 2 a +b a +b 2ab a +b a3 0,25 điểm b3 c c3 a ⇒ 2 ≥b− ; ≥c− b +c c +a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta có: a3 b3 c3 a+b+c + 2+ ≥ 2 a +b b +c c +a ( a − b) - Áp dụng: 0,25 điểm ≥ ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab Ta có: a3 a3 a3 ≥ = a + 4ab + b a + 2(a + b ) + b a + b ; 0,25 điểm b3 b3 b3 ≥ = b + 4bc + c b + 2(b + c ) + c b + c ; c3 c3 c3 ≥ = c + 4ac + a c + 2(c + a ) + a c + a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta có: 0,25 điểm a3 b3 c3 + + a + 4ab + b b + 4bc + c c + 4ca + a  a3 b3 c3  a + b + c ≥  + + =1 ÷≥  a + b2 b2 + c c + a  0,25 điểm -Vậy giá trị nhỏ P 1, dấu “=” xảy a = b = c = Câu 10 · ABCD có BAD > 900 Gọi H chân (2,0 điểm ) Cho hình bình hành đường vng góc kẻ từ A đến BC Đường trung tuyến kẻ từ C tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K Chứng minh bốn điểm K , H , D, C thuộc đường tròn Gọi M trung điểm AB Để chứng minh bốn điểm K , H , D, C thuộc đường · · tròn, ta chứng minh DKH = DCH 0,5 điểm · · · - Chứng minh được: DCH = ABC = AKC · · DKA = HKM Khi ta chứng minh Bài tốn hồn thành ta chứng minh tam giác DKA đồng dạng tam giác HKM · · = KMH - Chứng minh được: KAD Ta có: ( ) ( ) · · · · KAD = 180° − KAC + 180° − DAC = KBC + ·ACH · · · · · · KMH = MHC + MCH = MBC + MCA + ·ACH = KBC + ·ACH · · = KMH Suy KAD (1) - Chứng minh được: ∆KMA # ∆BMC mà 0,5 điểm ⇒ KA BC AD AK MK = = ⇒ = KM BM MH AD MH (2) 0,5 điểm · · - Từ (1) (2) suy ∆ DKA # ∆HKM ⇒ DKA = HKM · · · · · · Mà DKH = DKA + AKH = HKM + AKH = AKC · · ⇒ DKH = DCH 0,5 điểm Và kết luận bốn điểm K , H , D, C thuộc đường tròn (Lưu ý: Học sinh giải cách khác giám khảo phân bước cho điểm tương ứng) …………Hết………  ... ·ACH · · = KMH Suy KAD (1) - Chứng minh được: ∆KMA # ∆BMC m? ? 0,5 đi? ?m ⇒ KA BC AD AK MK = = ⇒ = KM BM MH AD MH (2) 0,5 đi? ?m · · - Từ (1) (2) suy ∆ DKA # ∆HKM ⇒ DKA = HKM · · · · · · M? ? DKH = DKA... ta chứng minh tam giác DKA đồng dạng tam giác HKM · · = KMH - Chứng minh được: KAD Ta có: ( ) ( ) · · · · KAD = 180° − KAC + 180° − DAC = KBC + ·ACH · · · · · · KMH = MHC + MCH = MBC + MCA + ·ACH... …………………… Gi? ?m thị 1:……………………Ký tên………Gi? ?m thị 2: ………………Ký tên:…… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN L? ?M ĐỒNG N? ?M HỌC 2021 – 2022 (Hướng dẫn ch? ?m g? ?m có 06 trang) M? ?n thi: