SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐƠN Năm học: 2021 – 2022 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 4/06/2021 (Thời gian làm 150 phút không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu (2,00 điểm) a) Khơng dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức T= ( + 10 + 2 + 2+ 10 − 2 − 2− ) A = n + n2 ( n + 1)2 + (n + 1)2 n b) Với số nguyên dương , chứng minh khơng số phương Câu ) + (1+ số nguyên dương (2,00 điểm) cx − bx + a = ( ) a , b, c x ax − bx + c = ( 1) Cho phương trình ( ẩn ) với a − b + 4c = số thực dương thỏa mãn ( 1) ( ) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Gọi ( 1) x1 ; x2 x3 ; x4 hai nghiệm phương trình hai nghiệm phương trình 1 1 T= + + + x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x1 x1 x4 x1 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu ( 2) (1,50 điểm) P( x, y ) = x3 − xy + y a) Phân tích đa thức thành nhân tử Từ chứng minh x+ y ≥0 x + y ≥ 3xy x; y với số thực thỏa mãn x1 ; x2 ;…, x21 b) Cho số thực thỏa mãn x1 + x2 +…+ x21 ≤ 18 Chứng minh Câu ( 3,00 điểm) x1 ; x2 ;… : x21 ≥ −2 ( O) x13 + x23 + x33 +…+ x21 = 12 (I ) AC AB Các đường tròn đường kính , đường kính cắt H ( H ≠ A) (d) ( O) A điểm thứ hai Đường thẳng thay đổi qua cắt đường tròn ( I) N A N M M cắt đường tròn ( nằm hai điểm ) (O) D, E I a) Đoạn thẳng OI cắt đường tròn , ( ) Chứng minh OI AB + AC − BC = DE AH đường trung trực đoạn thẳng Cho ∆ABC vuông A b) Chứng minh giao điểm S hai đường thẳng OM IN di chuyển đường tròn cố định đường thẳng (d) quay quanh#A ( I) T (T ≠ H ) c) Giả sử đường thẳng cắt đường điểm thứ hai Chứng minh N , I ,T MS , AT , NH ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy MH Câu (1,50 điểm) a) Hai số tư nhiên khác gọi "thân thiết" tổng bình phương chúng chia hết X = {1; 2;3;…; 2021} cho Hỏi tập họp có cặp số "thân thiết" (khơng phân biệt thứ tự)? (n ∈ ¥ , n ≥ 5) n T b) Trong kỳ thi chọn đội tuyển khiếu trường có mơn , mơn thi có thí sinh tham gia thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: - Có mơn có số lượng thí sinh tham gia thi đôi khác nhau; - Với môn thi bất kì, ln tìm mơn thi khác có tổng số lượng thi sinh tham gia với tổng số lưọng thí sinh mơn Hỏi kỳ thi có mơn tổ chức? HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Câu (2,00 điểm) Ý Đáp án Điểm a) Khơng dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức ( + 10 + T= 2 + 2+ ( = 2 + 2+ ( + 10 + 4+ 4+2 4+2 = 4−2 = ( ( 10 + = 3 10 − = Suy ) + (1+ ) + 2(1+ ) − 1) +1 10 − ) 2 − 2− + 10 + T= ) + ( 1+ 10 − ) 10 − ) 0,25 = +1 (1+ 3) (1− 3) 2 − 2− 4− 4−2 1,00 = −1 3 = 1+ = 1− 0,25 0,50 ( 1+1 + T= = = + +1 ) + 2(1+1− ) − +1 4+2 4−2 + 5+ 5− ( + 3) ( − 3) + ( − 3) ( + 3) ( + 3) ( − 3) ( + 3) ( − 3) 14 + 14 − + 22 22 28 14 = = 22 11 = T= Vậy b ) 14 11 Với số nguyên dương n , chứng minh A = n + n ( n + 1) + ( n + 1) A = n + n ( n + 1) + ( n + 1) 2 1,00 số nguyên dương số phương = n + n ( n + 2n + 1) + n + 2n + = n + n + n + n + n + 2n + = n + 2n3 + 3n + 2n + = (n + n + 1) 0,75 Vì n n2 + n + > dương nên A= Do (n + n + 1) = n + n + n Vì nguyên dương nên dương Vì n A = n2 + n + A = n2 + n + > n2 A = n + n + < n + 2n + = ( n + 1) số nguyên 0,25 nguyên dương, ta có: ⇒ n < A < ( n + 1) Suy A khơng số phương x ax − bx + c = ( 1) Câu Cho phương trình (ẩn (2,00 điểm) cx − bx + a = ( ) mãn a − b + 4c = với ) a , b, c số thực dương thỏa 1,00 Chứng minh phương trình nghiệm dương phân biệt ( 1) ( 2) có hai a − b + 4c = ⇔ b = a + 4c ∆1 = ∆ = b − 4ac = ( a + 4c ) − 4ac = a + 4ac + 16c = ( a + 2c ) + 12c 2 0,50 ⇒ ∆1 > 0, ∆ > a) Suy phương trình biệt ( 1) ( 2) có hai nghiệm phân Theo định lý Vi-ét ta có: S1 = Vì b b c a , S = , P1 = , P2 = a c a c a, b, c số thực dương nên S1 , S2 , P1 , P2 lớn Ta có: ∆1 >   S1 > ⇒ P >  0,50 Phương trình ( 1) có hai nghiệm dương phân biệt ∆ >  S2 > ⇒ P >  Phương trình ( 2) có hai nghiệm dương phân biệt b ) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình hai nghiệm phương trình ( 2) ( 1) , x3 ; x4 1,00 Tìm giá trị nhỏ T= biểu thức 1 1 + + + x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 Theo định lý Vi-ét ta có: b c b a x1 + x2 = ; x1 x2 = ; x3 + x4 = ; x3 x4 = a a c c T= = 0,25 1 1 + + + x1 x2 x3 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x4 x1 x2 x1 + x2 + x3 + x4 x1 x2 x3 x4 b b + a c = c a a c b b = + a c 0,25 a + 4c a + 4c + a c 4c a = 5+ + a c = 0,25 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: T = 5+ 4c a 4c a + ≥ 5+2 =9 a c a c Dấu “=” xảy ⇔ a = 2c, b = 6c Vậy giá trị nhỏ Câu (1,50 điểm) a) Phân tích đa thức T P ( x, y ) = x − 3xy + y tử Từ chứng minh thỏa mãn 0,25 x + y ≥ 3xy x, y x+ y ≥0 0,75 thành nhân với số thực P ( x, y ) = x − 3xy + y = x − xy + xy + y = 4x ( x2 − y ) + y ( x + y ) = 4x ( x + y ) ( x − y ) + y2 ( x + y ) 0,50 = ( x + y ) ( x − xy + y ) = ( x + y) ( 2x − y) x, y Với số thực ( x + y ) ( 2x − y ) thỏa mãn x+ y ≥0 , ta có: ≥0 ⇔ x3 − 3xy + y ≥ 0,25 ⇔ x3 + y ≥ xy Dấu “=” xảy b ) x + y = ⇔  y = 2x Cho số thực x1; x2 ; ; x21 x + x + + x = 12 3 21 x1 + x2 + + x21 ≤ 18 Với i thỏa mãn Chứng minh x1; x2 ; ; x21 ≥ −2 0,75 có giá trị từ đến 21, ta có: xi + ≥ ⇔ ( xi + ) ( xi − 1) ≥ 0,25 ⇔ xi3 − xi + ≥ ⇔ xi3 + ≥ xi ( *) Dấu “=” xảy ⇔ xi = Áp dụng bất đẳng thức x13 + ≥ 3x1 x23 + ≥ 3x2 x21 + ≥ x21 Suy ( *) xi = −2 0,50 ta có: x13 + x23 + + x21 + 42 ≥ ( x1 + x2 + + x21 ) ⇔ 54 ≥ ( x1 + x2 + + x21 ) ⇔ x1 + x2 + + x21 ≤ 18 Dấu “=” xảy có số (khơng dấu “=” trừ 0,25) Câu (3,00 điểm) a) Cho VABC kính AB hai ( I) M nằm Đoạn thẳng lượt OI D, E đoạn thẳng N M ( O) ( d) thay đổi qua ( I) A N ( 1,00 ) ( O) ,( I ) cắt đường tròn đường cắt điểm thứ cắt đường tròn Chứng minh AH AC Đường thẳng ( O) 20 số lại Các đường trịn đường kính H ( H ≠ A) cắt đường trịn A A vng −2 OI lần đường trung trực AB + AC − BC = DE Ta có: OA = OH IA = IH Suy Ta có: (cùng bán kính (cùng bán kính OI ( O) ( I) ) 0,25 ) đường trung trực đoạn thẳng AH 0,25 OD = OA = OB = IE = IA = IC = Xét O I VABC trung điểm OI ⇒ OI = AC ⇒ I AB trung điểm AC trung điểm ta có: trung điểm Suy AB ⇒ O AB AC 0,25 đường trung bình BC VABC 1 AB + AC − BC 2 ⇔ DE = AB + AC − BC DE = OD + IE − OI = b ) Chứng minh giao điểm S OM IN đường tròn cố định đường thẳng quanh A ∠AHB = ∠AHC = 90° Suy Lại có VABC ( d) quay 1,00 (góc nội tiếp chắn nửa ∠BHC = ∠AHB + ∠AHC = 90° + 90° = 180° 0,25 B, H , C thẳng hàng ∠AHB = 90° ⇒ AH ⊥ BC vuông A ⇒ ∠ABC + ∠ACB = 90° ∠NMH = ∠ABC ∠MNH = ∠ACB Suy di chuyển Ta có: đường trịn) Suy 0,25 (cùng chắn cung (cùng chắn cung AH AH ) ) ∠MNH + ∠NMH = ∠ABC + ∠ACB = 90° ⇒VHMN vuông H ⇒ ∠MHN = 90° 0,25 ∠SNM = ∠IAN = ∠NHC ∠SMN = ∠OAM = ∠BHM Suy ∠SMN + ∠SNM = ∠CHN + ∠BHM = 180° − ∠MHN 0,25 = 180° − 90° = 90° ⇒VSMN S Suy Mà Vậy O S vuông thuộc đường trịn đường kính I Giả sử MH cắt MS , AT , NH ( d) ( I) quay quanh A điểm thứ hai N , I ,T OI cố định 0,25 cố định T (T ≠ H ) Chứng thẳng hàng ba đường thẳng 1,00 đồng quy ( I) ⇒ N , I ,T OI ∠MHN = 90° ⇒ ∠THN = 90° ⇒ TN kính NT OI di chuyển đường trịn đường kính minh ba điểm Ta có hay ∠ISO = 90° cố định nên đường trịn đường kính đường thẳng c) S ⇒ ∠MSN = 90° đường 0,25 thẳng hàng đường kính ( I ) ⇒ ∠NAT = 90° ⇒ TA ⊥ NM 0,25 ∠THN = 90° ⇒ NH ⊥ MT 0,25 ∠MSN = 90° ⇒ MS ⊥ NT Xét VMNT Do Câu ta có MS , NH , AT MS , NH , AT ba đường cao 0,25 đồng quy Hai số tự nhiên khác gọi “thân thiết” tổng bình phương chúng chia hết cho Hỏi tập hợp (1,50 điểm) X = { 1; 2; ; 2021} 0,75 có cặp số “thân thiết” (khơng phân biệt thứ tự)? Ta có nhận xét: Một số phương chia cho có số dư Giả sử a b hai số “thân thiết” a Ta chứng minh b Thật vậy, giả sử hai số ⇒ a + b2 M chia hết cho a b có số khơng chia hết cho Khơng tính tổng qt, giả sử số a) Suy Vì a a2 b2 a X có b b2 chia dư nên phải chia dư chia cho có số dư Vậy điều giả sử sai Do a b hai số “thân chia hết cho  2021    = 673 Số cặp số “thân thiết” b ) số chia hết cho 673.672 = 226128 0,25 Trong kỳ thi chọn đội tuyển khiếu trường T có n 0,50 chia dư Điều vơ lí Tập hợp a2 + b2 M thiết” a ( n ∈ ¥ , n ≥ 5) mơn , mơn thi có thí sinh tham gia thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: - Có mơn có số lượng thí sinh tham gia đôi khác - Với môn thi bất kì, ln tìm mơn thi khác có tổng số lượng thí sinh tham gia với tổng số lượng 0,75 thí sinh mơn Hỏi kỳ thi có mơn tổ chức? Gọi n[ i] số mơn thi có số lượng thí sinh tham gia i ( i, n [ i ] ∈ ¥ ) Gọi S = { i | i > 0, n [ i ] > 0} 0,25 Do có mơn có số lượng thí sinh tham gia đơi khác nên Giả sử S có phần tử a, b ( a > b ) d , e ( d > e) Rõ ràng phần tử lớn S hai phần tử nhỏ n [ a ] , n [ b ] , n [ d ] , n [ e] S 0,50 lớn a Lấy mơn có số lượng thí sinh tham gia mơn có số lượng thi b Theo điều kiện 2, tồn hai môn khác có a+b tổng số lượng thí sinh tham gia phần tử lớn S , dẫn đến nên hai mơn khác phải có mơn có số lượng thí sinh b Vì a, b ( a > b ) a , mơn có số lượng thí sinh n [ a ] ≥ 2, n [ b ] ≥ a Lại lấy mơn có số lượng thí sinh tham gia Theo điều kiện 2, tồn hai mơn khác có tổng số lượng thí sinh tham gia 2a Vì a phần tử lớn khác phải có số lượng thí sinh Lập luận tương tự ta có Vì S a S nên hai môn , dẫn đến n [ d ] ≥ 2, n [ e ] ≥ n [ a] ≥ có phần tử nên ta lấy trường hợp nhất, phần tử a , b, c , d , e ⇒ n [ c ] ≥ Vậy kỳ thi có S có + + + + = 13 môn thi Ta trường hợp số thí sinh dự thi mơn 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, (khơng lấy ví dụ trừ 0,25) ... mơn , mơn thi có thí sinh tham gia thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: - Có mơn có số lượng thí sinh tham gia thi đôi khác nhau; - Với mơn thi bất kì, ln tìm mơn thi khác có tổng số lượng thi sinh... 5) mơn , mơn thi có thí sinh tham gia thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: - Có mơn có số lượng thí sinh tham gia đôi khác - Với môn thi bất kì, ln tìm mơn thi khác có tổng số lượng thí sinh tham... + 12c 2 0,50 ⇒ ∆1 > 0, ∆ > a) Suy phương trình biệt ( 1) ( 2) có hai nghiệm phân Theo định lý Vi-ét ta có: S1 = Vì b b c a , S = , P1 = , P2 = a c a c a, b, c số thực dương nên S1 , S2 , P1 ,