SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2021 - 2022 Môn thi: TỐN (chun Tốn) Ngày thi: 14/6/2021 Thời gian làm bài: 150 phú ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x  x   x   2) Cho ba số thực a,b c thỏa mãn ab bc  ca  Chứng minh a  b b c c  a   0 1 c2 1 a2 1 b2 Bài II (2,0 điểm) 2 1) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x  5xy  6y  x  2y   2) Chứng minh với số nguyên n , số n  n  16 không chia hết cho 49 Bài III (2,0 điểm) 1) Cho số thực x khác thỏa mãn x x x3 số hữu tỉ Chứng minh x số hữu tỉ 2) Cho số thực không âm a,b c thỏa mãn a b c  Chứng minh 2a 2ab abc  18 Bài IV (3,0 điểm) · Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc BAC  60 AB  AC Các đường thẳng BO ,CO cắt đoạn thẳng AC , AB M , N Gọi F điểm cung BC lớn 1) Chứng minh năm điểm A , N ,O , M F thuộc đường tròn 2) Gọi P ,Q giao điểm thứ hai hai tia FN , FM với đường tròn (O) Gọi J giao điểm đường thẳng BC đường thẳng PQ Chứng minh tia AJ tia phân giác · góc BAC 3) Gọi K giao điểm đường thẳng OJ đường thẳng CF Chứng minh AB vng góc với AK Bài V (1,0 điểm) Cho A tập hợp có 100 phần tử tập hợp {1,2,3, ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp 2) Chứng minh với số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4, ,22}, tồn hai phần tử A có hiệu n ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x  x   x   2) Cho ba số thực a,b c thỏa mãn ab bc  ca  Chứng minh a  b b c c  a   0 1 c2 1 a2 1 b2 Lời giải 1) ĐKXĐ: x  1  x  1 Cách 1: Đặt t  x  1,t  Ta có: t    t2  1  2t   t4  t2  2t    t2 t2   2(t  1)     t2(t  1)(t  1)  2(t  1)     (t  1) t  t  2   (t  1) t  t  2t  2   (t  1) t (t  1)  2(t  1)(t  1)   (t  1)(t  1) t  2t  2   (t  1)  t  2t  2   (t  1) t2(t  1)   3 2 2 2 t  1(TM )  t1 (t  1)   0 L  Với t  1, suy x    x    x  (TM) Vây phương trình có nghiệm x  Cách 2: 2 2 Ta có: x  x   x    x  x  1 x     x  ( x   1)   x   x   x  x       x  0(TM ) x   x  x    x       Vây phương trình có nghiệm x  a  b b c c  a a b b c c a VT       2 2 1 c 1 a 1 b ab bc  ca c ab bc  ca a ab bc  ca b2 2) Ta có: a b b c c a (a b)(a b)  (b c)(b c)  (c  a)(c  a)    (a c)(b c) (a b)(c  a) (a b)(b c) (a b)(a c)(b c) (đpcm)  Bài II (2,0 điểm) 2 1) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x  5xy  6y  x  2y   2) Chứng minh với số nguyên n , số n  n  16 không chia hết cho 49 Lời giải x2  5xy  6y2  x  2y    (x  2y)(x  3y)  (x  2y)   (x  2y)(x  3y  1)  1) (1) Do x; y ¢ suy x  2y; x  3y  1 ¢ Vậy từ (1) ta suy trường hợp sau  x  2y  x    x  3y    y  2 TH1:   x  2y  x    x  3y    y  TH2:   x  2  x  2y  2   x  3y   1  y  TH3:   x  2y  1 x    x  3y   2  y  2 TH4:  Vậy cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn (6; 2);(1;0);(2;0);(3; 2) 2 2) Ta có P  n  n  16 suy 4P  4n  4n  64  (2n  1)  63 TH1: 2n 1M7 suy (2n 1) M49 mà 63M49 suy 4P M49 suy P M49 TH2: 2n 1M7 suy (2n 1) M7 mà 63M7 suy 4P M49 suy P M49 Vậy P M49 với n (đpcm) Bài III (2,0 điểm) x x3 số hữu tỉ Chứng minh x số hữu tỉ 1) Cho số thực x khác thỏa mãn 2) Cho số thực không âm a,b c thỏa mãn a b c  Chứng minh 2a 2ab abc  18 Lời giải 1) Cách 1: x  2 x2  x Ô x2 Ô x Ô x x x  x Ta có suy   4 x   x x Ô Ô  3 x x x x  ¤    Cùng có suy x suy 4 x Ô Ô x2 Ô x x x Do nên suy  2  2 2x x x Ô x x Vy suy x Ô (iu phi chứng minh) Cách 2: x x số hữu t Ta cú: x2 x4 2x2 Ô x3 M: x Ô x 2x Ô (1) x2 Ô (2) x Ô ; x2 x2 Ô x x2 Ô Ta li cú: x x2 x x2 Ô x2 Ô x (3)  Từ (2) (3)  x x            x2   x2   ¤     1  3 x  Ô x Ô x2 x2 Ô 2 2 x2 Ô x2 Ô x2 x Ô x2 x Ô x Mà: x    b c   2a 2ab abc  2a ab(c  2)  2a a    2)   a  2a 2ab abc  2a a    Ta chứng minh: a2  14a 49 2a a 18  a3  14a2  57a 72   (a 3)2(a 8)  với  a  Bài IV (3,0 điểm) · Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , với gốc BAC  60 AB  AC Các đường thẳng BO ,CO cắt đoạn thẳng AC , AB M , N Gọi F điểm cung BC lớn Lời giải 1) Chứng minh năm điểm A , N ,O , M F thuộc đường tròn · · BOC  BAC (góc nội tiếp góc tâm) ·BAC  60  BOC ·  120 Mà  Tứ giác AMON nội tiếp (1) · · · NAO  NMO (cùng chắn ON ) · · · MAO  MNO (cùng chắn OM ) · · Mà NAO  NBO (do OA  OB  OAB cân) · · MAO  MCO (do OA  OC  OAC cân) · · Nên NBM  NMB  MBN cân N  NM  NB · · MNC  MCN  MCN cân M  MN  MC  NB  MC Xét FNB FMC có: ¶ · · NB  MC (chưng minh trên) NBF  MCF (cùng chắn AF ) ¶ FB  FC ( F điểm BC )  FNB  FMC(c.gc )  FN  FM  · ·  NFB  MFC · · · · Mà MFC  MFB  BFC  BAC  60 · ·  NFB  MFB  60 ·  NFM  60o  o ·  NAM  60 Tứ giác NAFM nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm A , N ,O , M , F thuộc đường tròn 2) Gọi P ,Q giao điểm thứ hai hai tia FN , FM với đường tròn (O) Gọi J giao điểm đường thẳng BC đường thẳng PQ Chứng minh tia AJ tia phân giác · góc BAC ¶ ¶ ¶ Ta có CQ  AF  BP , QJMC BJNP tứ giác nội tiếp · · F điểm cung BC nên BFC  BAC  60 suy BFC · · · Suy MQC  MQC  FAC  60 · Lại có MOC  60 suy MCQO tứ giác nội tiếp Suy điểm M ,C ,Q , J ,O thuộc đường tròn Chứng minh tương tự B, N ,O , J , P thuộc đường tròn · · · Suy CJM  COM  60  BAC · BAC · ·  MAJ  MBJ  30  Suy AMJB tứ giác nội tiếp · Suy AJ tia phân giác góc BAC 3) Gọi K giao điểm đường thẳng OJ đường thẳng CF Chứng minh AB vng góc với AK Theo ta có PBQC hình thang cân, OJ đường trung trưc CP · BAC ·JAP  CAP · · · · · · ·   CAP  30  JOP  OCF  JOP  OPK  JKP Mặt khác Suy tứ giác AKJP nội tiếp · · · · · · Suy KAJ  JPK  KCJ  60  BAK  BAJ  KAJ  30  60  90 Hay AK  AB Bài V (1,0 điểm) Cho A tập hợp có 100 phần tử tập hợp {1,2,3, ,178} 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp 2) Chứng minh với số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4, ,22}, tồn hai phần tử A có hiệu n Lời giải A   a1 , a2 , a3 , a100 1) Gọi phần tử tập A Khơng mắt tính tổng qt già sử a1  a2  a3    a100 Giả sử tập A khơng có hai số tự nhiên liên tiếp ta có a2  a1  2; a3  a2  2.; a100  a99  Suy a100  a100  a90   a3  a2  a2  a1  a1  99.2  a1  178 a100 không thuộc tập hợp {1,2,3 ,178} (trái với giả thiết) suy điều giả sử sai từ ta có điều phải chứng minh 2) Với n {2,3,4 ,22} giả sử không tồn hai phần tử A có hiệu bẳng n (*) a  aj  kn (k ¥ )i , j  {1,2,3 ,100} Ta có i Với phần tử a1 ,a2 ,a3 ,a12  a1  k,n k ¥ * a  79 A Ta có tập khơng thể có phần tử có dạng 178  a1 99 a1  kn  178  k   4 n 22 Xét bất phương trình Vậy có số thuộc tập {1,2,3 178} không thuốe A  Tưong tự với a2 , a3  a12 trường hợp có có số thuộc tập {1,2,3 ,178} không thuộc A ( số bỏ trương hợp khác nhau) Với phần tử a13 , a14 ,a15  a34  a13  kn k ¥ * a  91 Ta có 13 tập A khơng thể có phằn tử có dạng 178  a13 87 a13  kn  178  k   3 n 22 Xét bất phương trình Vậy có số thuộc tập {1,2,3 ,178} không thuộc A  Tương tự với a14 , a15  a34 trường hợp có có số thuộc tập {1,2,3 ,178} không thuộc A ( số bỏ trường họp khác nhau) Suy tập A không nhiều 178  114  64 phẩn tử ( trái với giả thiết) điều giả sử (*) sai tử ta có điều phải chứng minh -HẾT -