SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU (Đề thi gồm 01 trang) TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐH VINH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 06/06/2021 (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (6,0 điểm) ( ) x2 + 2 + x − = 5x a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Câu (3,0 điểm) a) Tìm x, y ∈ ¥ cho b) Tìm số nguyên dương Câu 3x + y = + xy + x − y  2  x + y = 10 + x − y x = 1993.3 y + 2021 n để (2,0 điểm) Cho số dương biểu thức n − 23 n + 89 bình phương số hữu tỉ dương a b c ab + bc + ca ≤ 3abc , , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ  a + b2 b2 + c2 c2 + a2  P = a+b + b+c + c+a − + + ÷  2a + 2b 2b + 2c 2c + a ÷   Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn ( O) điểm di động đường tròn trung điểm cạnh K , đường thẳng A khác ) AH BC H cắt cạnh có dây cung ( O) BC cố định không qua tâm cho tam giác trực tâm tam giác BC D ABC ABC nhọn Tia đường thẳng AO MH O AB < AC Gọi cắt đường tròn cắt đường tròn ( O) A Gọi M ( O) E ( E a) Chứng minh tứ giác BHCE hình bình hành HA.HD = HK HM ( O) I I K I cắt đường tròn ( khác ), đường thẳng qua vng góc với BC J HJ AM AK BC đường thẳng cắt Chứng minh đường thẳng , qua điểm b) Tia KD AK A AB AC c) Một đường tròn thay đổi tiếp xúc với cắt cạnh , PQ N AN P Q , phân biệt Gọi trung điểm Chứng minh qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Cho số 676 số nguyên tố khác Chứng minh có hai số 2022 số cho mà hiệu chúng chia hết cho HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (6,0 điểm) ( ) x2 + 2 + x − = 5x a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: 2 3x + y = + xy + x − y  2  x + y = 10 + x − y Lời giải ( ) x2 + 2 + x − = 5x a) Giải phương trình: ( ) x2 + 2 + x −1 = 5x Phương trình Điều kiện: ⇔ x − x + − ( x − 1) + x − = ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) + x − = ( 1) Đặt: x ≥1 x −1 = t ( t ≥ 0) Khi đó, ta có: ( 1) ⇔ t − 3t + 2t = ⇔ t ( t − 3t + ) = ⇔ t ( t − 1) ( t + 2) = t =   x −1 = ⇔ t = x = ⇔ ⇔ t = −2 ( loaïi )  x − =  x = Vậy phương trình có tập nghiệm b) Giải hệ phương trình: Lấy × ( 1) − ( ) ta có pt: ( tm ) S = { 1; 2} 3x + y = + xy + x − y ( 1)  2 ( 2)  x + y = 10 + x − y x + y = xy + x − y 2 x − y = ⇔ ( 2x − y ) = 2x − y ⇔  2 x − y = + Trường hợp 1: y = 2x thay vào ( 2) ta được: x = 10 + x − x x =1 ⇒ y = ⇔ x + x − 10 = ⇔   x = −5 ⇒ y = −10 3  + Trường hợp 2: y = x −1 thay vào ( 2) x + ( x − 1) = 10 + x − ( x − 1) ta được: ⇔ x = 12  x = ⇒ y = 2 −1 ⇔ x2 = ⇔   x = − ⇒ y = −2 −  ( x; y ) ∈ ( 1; ) ,  −  Vậy hệ có nghiệm: Câu 10  ; − ÷,  3 (  2; 2 − , − 2; −2 −   )( ) (3,0 điểm) a) Tìm x, y ∈ ¥ cho b) Tìm số ngun dương x = 1993.3 y + 2021 n để n − 23 n + 89 bình phương số hữu tỉ dương Lời giải a) Tìm x, y ∈ ¥ x = 1993.3 y + 2021 cho x3 = 1993.3 y + 2021 y = ⇒ x = 4014 (loại) y = ⇒ x = 8000 ⇒ x = 20 y≥2 VP ≡ ( mod ) ⇒ VT ≡ ( mod 3) ⇒ x ≡ ( mod 3) ⇒ x ≡ ( mod ) x = 3k + ( 3k + ) , ( k ∈¥ ) = 1993.3 y + 2021 ⇔ 27k + 54k + 36k + = 1993.3 y + 2021 ⇔ 9k ( 3k + 6k + ) = 1993.3 y + 2013 VT ≡ ( mod ) VP ≡ ( mod ) Vậy ( x; y ) = ( 20;1) b) Tìm số nguyên dương n để n − 23 n + 89 bình phương số hữu tỉ dương Giả sử n − 23  q  = ÷ n + 89  p  với p, q số nguyên dương ( p; q ) = Ta có: n − 23 = kq  n + 89 = kp (với k số nguyên dương) ⇒ k ( p − q ) ( p + q ) = 112 = 24.7.1 ( 1) + Trường hợp 1: Trong ⇒ p+q Từ p−q số p, q có số chẵn p+q = p =   ⇒  p − q = ⇔ q = ⇒ n = 167 ( 1) k = 24 = 16 k = 16 Với số lẻ lẻ + Trường hợp 2: Cả Từ p q p = 2a − q = 2b − , lẻ Đặt ; Ta có: p q , số nguyên dương ( 1) ⇒ k ( 2a − − 2b + 1) ( 2a − + 2b − 1) = 112 ⇒ 4k ( a − b ) ( a + b − 1) = 112 ⇒ k ( a − b ) ( a + b − 1) = 28 = 22.7.1 Ta có: a + b −1 > a − b Xét cặp Tính ( a − b; a + b − 1) a b , a + b −1 a − b ; khác tính chẵn lẻ ( 1; ) ( 1; ) ( 1;14 ) ( 1; 28 ) ( 2;7 ) ( 4;7 ) suy ra: p = q = k = 14 ⇒ n = 37 ; ; p=5 q = k = ⇒ n = 86 ; ; p = 25 ; q = 13 k = ⇒ n = 361 ; p = 11 q = k = ⇒ n = 32 ; ; ; ; ; ; ; p = 29 q = 27 k = ⇒ n = 361 ; ; p=9 q = k = ⇒ n = 73 Vậy Câu ; ; n ∈ { 167;37;86;361,32, 752, 73} (2,0 điểm) Cho số dương a b c ab + bc + ca ≤ 3abc , , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a + b2 b2 + c2 c2 + a2  P = a+b + b+c + c+a − + + ÷  2a + 2b ÷ b + c c + a   Lời giải ab + bc + ca ≤ 3abc ⇒ Vì ( a + b) a+b = ≥ P≥ Do Với Vì 1 + a b 1 ,y = ,z = a b c + x+ y  a2 + b2 2ab  +  ÷ a +b ÷  a + b  ab bc ac + + a+b b+c a+c = x= a + b 2ab + a+b a+b = a+b Ta có 1 + + ≤3 a b c + 1 + b c + 1 = + a c x+ y+z ≤3 1 + ≥ y+z x+z + x+ y 1 + y+z x+ z 9 ≥ ≥ = 3.6 3( 2x + y + 2z ) x+ y + y+z + x+ z P≥ Suy Dấu Câu '' = '' 3 = 2 xảy x = y = z =1 hay a = b = c =1 (7,0 điểm) ( O) BC O A có dây cung cố định khơng qua tâm Gọi điểm di ( O) ABC AB < AC M động đường tròn cho tam giác nhọn Gọi trung điểm ( O) BC ABC H MH K cạnh trực tâm tam giác Tia cắt đường tròn , đường ( O) BC AO AH D E E A thẳng cắt cạnh đường thẳng cắt đường tròn ( khác ) Cho đường tròn a) Chứng minh tứ giác hình bình hành HA.HD = HK HM ( O) I I K I cắt đường tròn ( khác ), đường thẳng qua vng góc với BC J HJ AM AK BC đường thẳng cắt Chứng minh đường thẳng , qua điểm b) Tia KD BHCE AK A AB AC c) Một đường tròn thay đổi tiếp xúc với cắt cạnh , Q PQ N AN P , phân biệt Gọi trung điểm Chứng minh qua điểm cố định Lời giải CY CH BX BE a) Kẻ đường cao Khi ta có song song với (vì vng góc AC CE BHCE AB BH với ) song song với (vì vng góc với ) Do tứ giác hình bình hành ·AKM = ·ADM = 90° K H M E + Từ suy bốn điểm , , , thẳng hàng Khi ta có nên HA.HD = HK HM AKDM tứ giác nội tiếp Do suy ( O) L AKDM AKIL Khi ta có tứ giác nội · · · · KDM = 180° − KAM = 180° − KAL = KIL IL tiếp đường trịn, từ ta suy nên song BC BC BILC M song với Từ suy tứ giác hình thang cân Mà trung điểm OM IL MIL M nên qua trung điểm , tam giác cân , suy ta JIL LJ MI = ML I M Dễ thấy tam giác vuông nên suy trung điểm , điều J BC HLEJ I dẫn đến đối xứng với qua Từ suy tứ giác hình bình hành, HJ //LE HJ AM suy Do vng góc với b) Giả sử AM cắt đường tròn BC T AK H ATM Gọi giao điểm với Khi trực tâm tam giác Suy TH ⊥ AM T H J , suy , , thẳng hàng Do ta có điều cần chứng minh c) Ta định nghĩa lại điểm Ta cần chứng minh Thật vậy, gọi G N N AO giao điểm trung điểm PQ giao điểm thứ hai với PQ AE với đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ A P G Q AK Ta có điểm , , , nằm đường tròn tiếp tuyến đường ·AGP = ·AQP = PAK · · · · APQ = BAK = BEK = BEM trịn ngoại tiếp ta giác nên ta có: Để ý đến tứ giác nên ta lại có: APGQ ABEC nội tiếp đường tròn · · · · · QPG = QAG = CAE = CBE = MBE Khi hai tam giác từ ta suy PGN BEM PN PG = BM BE có · · NGP = BEM · · GPN = MBE đồng dạng với nhau, Cũng tứ giác nội tiếp nên · · · · PGQ = 180° − PAQ = 180° − BAC = BEC · · GPQ = CBE PGQ BEC nên suy hai tam giác đồng dạng, từ ta lại có PN PQ = BC N BE BC M Do suy Mà trung điểm nên suy trung PQ AN O điểm Vậy qua điểm cố định Mà PG PQ = BE BC Câu (2,0 điểm) Cho số 676 số nguyên tố khác Chứng minh có hai số số cho 2022 mà hiệu chúng chia hết cho Lời giải 676 số có 673 = 2.336 + Suy tồn 337 Hiệu 673 337 số tồn 2 337 số khơng chia hết cho ; ; số có số dư chia 2 số số dư chia hết cho số chia hết cho Suy hiệu 2; 3; 337 số chia hết cho 2022 HẾT 337 ... b) Tìm số nguyên dương x = 1993.3 y + 2021 n để n − 23 n + 89 bình phương số hữu tỉ dương Lời giải a) Tìm x, y ∈ ¥ x = 1993.3 y + 2021 cho x3 = 1993.3 y + 2021 y = ⇒ x = 4014 (loại) y = ⇒ x =... ln tiếp xúc với cắt cạnh , PQ N AN P Q , phân biệt Gọi trung điểm Chứng minh qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Cho số 676 số ngun tố khác Chứng minh có hai số 2022 số cho mà hiệu chúng chia hết... 3) ⇒ x ≡ ( mod 3) ⇒ x ≡ ( mod ) x = 3k + ( 3k + ) , ( k ∈¥ ) = 1993.3 y + 2021 ⇔ 27k + 54k + 36k + = 1993.3 y + 2021 ⇔ 9k ( 3k + 6k + ) = 1993.3 y + 2013 VT ≡ ( mod ) VP ≡ ( mod ) Vậy ( x;