1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2021-2022 Mơn: Tốn (Đề chun) Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm thi có 05 trang) Lưu ý: - Điểm làm tròn đến 0,25 - Các cách giải khác mà cho điểm tương đương Nội dung Điểm Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức  a 1  a  a  b  ab ab  a S    1:  ab  ab  1  ab  2 với a  0, b  0, a  b  ab  1 1.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức S S     a  1  ab      ab  a   ab   ab    ab a  a  b  ab 0,25 :  ab a b a 1 a 2 :  ab  ab a 2  ab    ab a b a 1    a b 0,25 0,25 0,25 2.(1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức S với a   2 b  11     b  11   3 2  a   2  1 2  1  3 2 Câu II (2,0 điểm) S a   b  3  3 0,5 0,25 0,25 2 x  x    x x  x     (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 x  x    x x  x    1   Phương trình TXĐ: ¡ Đặt t  x2  x   t  0 t2    x t  2x    t  2  t  x   , phương trình (1) trở thành (2) 0,25 Với t1   x  x    x  x   x  0; x  Với t2  x  x  x   x   x    x  S   0;1;4 Thử lại, ta tới kết luận  x  y   2 xy  x  y     x   y   (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  x  2xy  x  4y      x   0;2 y   y       0,25 0,25 0,25 Điều kiện: Phương trình x    x  2  2y  1  2y    0,25 0,25 x   2y    x   2y   x   y  x   x   0,25      y0  x   y    y    Khi ta có hệ  (thỏa mãn) x; y    3;0  0,25 Suy hệ phương trình có nghiệm  Câu III (3,5 điểm) Cho đường tròn tuyến  O  O đường kính AB  R Gọi  tiếp A Trên  lấy điểm M di động cho MA  R Qua M dựng tiếp tuyến MC ( C thuộc đường tròn   C khác A ) Gọi H D hình chiếu vng góc C lên AB AM Gọi d đường thẳng qua điểm O vng góc với AB Gọi N giao điểm d BC O , (Học sinh khơng vẽ hình ý khơng chấm điểm ý đó) 1.(1,5 điểm) Chứng minh OM //BN MC  NO Ta có MA  MC OA  OC suy MO đường trung trực đoạn thẳng AC, suy MO  AC  1 0,25 · Do ACB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn nên ·ACB  900  AC  BN  2 Từ (1) (2) suy MO //BN 0,25 0,25 Xét MAO NOB · · vuông A O ; AO  OB ; AOM  NBO ( hai góc đồng vị) Suy MAO  NOB  MA  NO Mặt khác : MA  MC  MC  ON  2 0,5 0,25 2.(1,0 điểm) Gọi Q giao điểm MB CH Gọi K giao điểm AC OM Chứng minh đường thẳng QK qua trung điểm đoạn thẳng CB QH BH  (3) BA Do QH //AM suy AM 0,25 CH HB CH HB     4 ON OB AM AB Do CH //ON suy QH  CH Từ (3) (4) ta có , suy Q trung điểm CH Lại có K trung điểm AC Suy QK qua trung điểm CB 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Gọi F giao điểm QK AM , E giao điểm CD OM Chứng minh tứ giác FEQO hình bình hành Khi M thay đổi , tìm giá trị lớn QF  EO Chứng minh ADCH hình chữ nhật Do K trung điểm AC Q trung 0,25 điểm CH suy F trung điểm AD Ta có EKC  OKA  g.c.g   KE  KO Ta có FKA  QKC  g c.g   KF  KQ 0,25 Suy FEQO hình bình hành Ta có FQ  EO  AH  CB  AH  BH BA  AH   AB  AH  AB 0,25 Khi AB 2   AB AB   AB  AH   AB  AB AH   AB  AB   AH   AB  AH  AB  AH  Dấu xảy AH  AB  AH 0,25 AB  AM  3.R Câu IV (1,5 điểm) (0,75 điểm) Tìm số nguyên x, y z thỏa mãn phương trình x3  y  x  z  2021 Xét theo mod3 ta có y   0;1  mod3 2021   mod3 0,25 x3  x   x  1 x  x  1   mod3  ; z   mod3 0,25 Như vế trái chia cho dư mà vế phải chia cho dư Vậy phương 0,25 trình cho vơ nghiệm ngun 5 (0,75 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Bên hình A , A , , A2021 vuông người ta lấy tùy ý 2021 điểm phân biệt cho 2025 A, B, C , D, A , , A 2021 khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh điểm từ 2025 điểm ln tồn điểm tạo thành hình tam giác có diện tích khơng q 4044 Ta chứng minh từ 2025 điểm cho tạo 4044 tam giác khơng có điểm chung (tức là: điểm Y nằm miền tam giác khơng nằm miền tam giác kia) Bước 1: từ A, B, C, D A1 tạo tam giác khơng có điểm chung Bước 2: Điểm A2 nằm bên trong tam giác có Khơng tính tổng quát ta giả sử A2 nằm ABA1 , tạo thêm tam 0,25 giác Như có   tam giác khơng có điểm chung Bước 3: Điểm A3 nằm tam giác có, khơng tính tổng qt, giả sử A3 nằm ABA2 Khi ta có   tam giác khơng có điểm chung Sau 2021 bước hình vng cho chia thành 4044 tam giác 0,25 khơng có điểm chung Mặt khác tổng diện tích 4044 tam giác 1, suy tồn tam giác có diện tích khơng q 4044 0,25 Câu V (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y z thỏa mãn x  y  z  Chứng       1  1    512 x  y   z minh  Ta có   x    y    z   512 x 2 2 y2 z2    x    x    y    y    z    z   512 x y z Do x  y  z  nên ta có   x   y    z    x   y    z    y  z   z  x   x  y   x  y  z   x  y  z   x  y  z   1 x  y   y  z   z  x   xyz  2 Chứng minh được:  Và: 0,25 0,25 0,25  2x  y  z   x  y  z   x  y  2z  2 x y xz yx yz zx z y  8 x  y   y  z   z  x   8.8 xyz  3 Từ (1), (2) (3) suy điều phải chứng minh x yz Dấu xảy 0,25 ... điểm phân biệt cho 2025 A, B, C , D, A , , A 2021 khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh điểm từ 2025 điểm ln tồn điểm tạo thành hình tam giác có diện tích khơng q 4044 Ta chứng minh từ 2025 điểm... 0,25 0,25 (1,0 điểm) Gọi F giao điểm QK AM , E giao điểm CD OM Chứng minh tứ giác FEQO hình bình hành Khi M thay đổi , tìm giá trị lớn QF  EO Chứng minh ADCH hình chữ nhật Do K trung điểm AC... có EKC  OKA  g.c.g   KE  KO Ta có FKA  QKC  g c.g   KF  KQ 0,25 Suy FEQO hình bình hành Ta có FQ  EO  AH  CB  AH  BH BA  AH   AB  AH  AB 0,25 Khi AB 2   AB AB   AB