NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 77 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Bài 1: (2.0 điểm) Bằng phép biến đổi đại số, rút gọn biểu thức sau: a) A = − 18 + 32 b) B= Bài 2: a− a − a , với a > a − a +1 ( ) (1.5 điểm) Cho hàm số y = ( − m ) x (1) a) Tìm điều kiện m để hàm số (1) đồng biến x > b) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = − x + điểm có tung độ 2? Bài 3: a) (1.5 điểm) Cho phương trình (ẩn x) x − 2mx + 2m − = Giải phương trình m = b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x cho biểu thức A= ( x1x + 1) x1 + x 2 + ( + x1x ) đạt giá trị nhỏ Bài 4: (1,0 điểm) Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 40 lần bắn 8,25 điểm Kết cụ thể ghi bảng sau, có hai bị mờ khơng đọc (đánh dấu *): Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn * 15 * Hãy tìm lại số hai Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vuông góc với BC E Gọi (O) đường trịn ngoại tiếp tam giác CEF Đường thẳng BF cắt (O) điểm thứ hai D, DE cắt AC H a) Chứng minh ABEF tứ giác nội tiếp · · b) Chứng minh BCA = BDA c) Chứng minh hai tam giác AEO EHO đồng dạng d) Đường thẳng AD cắt (O) điểm thứ hai G, FG cắt CD I, CG cắt FD K Chứng minh I, K, H thẳng hàng Bài 6: (0,5 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn ≤ x, y, x ≤ Chứng minh rằng: x + y + z − ( xy + yz + zx ) + 4xyz ≤  -HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2.0 điểm) Bằng phép biến đổi đại số, rút gọn biểu thức sau: a) A = − 18 + 32 b) B= a− a − a , với a > a − a +1 ( ) Giải: https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 78 a) A = − 18 + 32 Ta có: A = − 18 + 32 = 4.2 − 9.2 + 16.2 = − 15 + 16 =5 Vậy A = a− a − a , với a > a − a +1 Với a > 1, ta có: ( b) B= B= a− a 1− a a − a +1 ( =− a ( ( ) a −1 ) a −1 ( ) ) ) a −1 =− a Vậy B = − a Bài 2: (1.5 điểm) Cho hàm số y = ( − m ) x (1) a) Tìm điều kiện m để hàm số (1) đồng biến x > b) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = − x + điểm có tung độ 2? Giải: a) Tìm điều kiện m để hàm số (1) đồng biến x > Hàm số đồng biến x > hệ số − m > ⇔ m < Vậy hàm số đồng biến x > m < b) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = − x + điểm có tung độ 2? Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = − x + điểm có tung độ nên điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng y = − x + Hay = − x + ⇔ x = Điểm A ( 1; ) Thay tọa độ A (1) ta được: = ( − m ) ⇔ m − = −2 ⇔ m = −1 Vậy m = −1 đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = − x + điểm có tung độ Bài 3: (1.5 điểm) Cho phương trình (ẩn x) x − 2mx + 2m − = a) Giải phương trình m = b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x cho biểu thức giá trị nhỏ Giải: a) Giải phương trình Thay m=3 m = vào phương trình cho ta được: ∆ = ( −6 ) − 4.5 = 16 > x − 6x + = Ta có: nên phương trình có nghiệm phân biệt: https://www.facebook.com/groups/627287241235464 A= ( x1x + 1) x1 + x 2 + ( + x1x ) đạt NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 79  + 16 =5  x1 =   − 16 =1 x =  Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1;5} b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x cho biểu thức A= ( x1x + 1) x1 + x 2 + ( + x1x ) đạt giá trị nhỏ Phương trình: x − 2mx + 2m − = có: ∆ ' = m − 2m + = ( m − 1) ≥ ∀x ∈ R nên phương trình ln có nghiệm  x1 + x = 2m Theo định lí Vi-ét ta có:   x1.x = 2m − Khi ta có: ( x1x + 1) A= x1 + x 2 + ( + x1 x ) = ( x1x + 1) ( x1 + x ) − 2x1x + + 2x1x ( x1x + 1) = ( x1 + x ) + 4 ( 2m − + 1) = 4m + 2m = m +1 Ta có ( m + 1) ≥ ∀m ⇔ m + ≥ −2m ∀m 2m ∀m m2 + ⇒ A ≥ −1 ∀m ⇒ A = −1 Dấu “=” xảy m + = ⇔ m = −1 Bài 4: (1,0 điểm) Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 40 lần bắn 8,25 điểm Kết cụ thể ghi bảng sau, có hai ô bị mờ không đọc (đánh dấu *): Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn * 15 * Hãy tìm lại số hai Giải: Gọi số lần bắn ô với điểm a (a ∈ N* ) ⇔ − ( m + 1) ≤ 2m ∀m ⇔ −1 ≤ Gọi số lần bắn ô với điểm b (b ∈ N* ) Tổng số lần bắn vận động viên 40 nên ta có: + a + 15 + b = 40 ⇔ a + b = 18 (1) Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 40 phát bắn 8,25 nên ta có phương trình: 10.7 + 9a + 8.15 + 7b = 8, 25 ⇔ 9a + 7b = 140 (2) 40 a + b = 18 a = ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  (thỏa mãn) 9a + 7b = 140 b = 11 https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 80 Vậy số lần bắn ô điểm lần, số lần bắn ô điểm 11 lần Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vuông góc với BC E Gọi (O) đường trịn ngoại tiếp tam giác CEF Đường thẳng BF cắt (O) điểm thứ hai D, DE cắt AC H a) Chứng minh ABEF tứ giác nội tiếp · · b) Chứng minh BCA = BDA c) Chứng minh hai tam giác AEO EHO đồng dạng d) Đường thẳng AD cắt (O) điểm thứ hai G, FG cắt CD I, CG cắt FD K Chứng minh I, K, H thẳng hàng Giải: a) Chứng minh ABEF tứ giác nội tiếp · Ta có FAB = 900 (vì tam giác ABC vng A) · FEB = 900 (vì FE ⊥ BC) · · ⇒ FAB + FEB = 900 + 900 = 1800 ⇒ ABEF tứ giác nội tiếp · · b) Chứng minh BCA = BDA · · Ta có BDC = FDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · · ⇒ BDC = BAC = 900 ⇒ ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC (tứ giác có đỉnh A, D nhìn BC góc 900) · · (hai góc nội tiếp chắn cung AB) ⇒ BCA = BDA c) Chứng minh hai tam giác AEO EHO đồng dạng · 1800 − EOD · · OD = OE ⇒ ∆ ODE Ta có: cân O ⇒ OED = ODE = (tổng góc tam giác) · · · Mà EOD (góc nội tiếp góc tâm chắn cung DE) = 2ECD = 2BCD · 180 − 2BCD · · · · · (do tam giác BCD vuông D) ⇒ OED = ODE = = 900 − BCD = CBD = EBF · · Lại có: EBF (hai góc nội tiếp chắn cung EF tứ giác nội tiếp ABEF) = EAF · · · · ⇒ EAO = EAF = OED = OEH Xét tam giác OEH tam giác OAE ta có: https://www.facebook.com/groups/627287241235464 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TOÁN 81 · chung; EOA · · (cmt) EAO = OEH ⇒ ∆OEH ” ∆OEH (g.g) d) Đường thẳng AD cắt (O) điểm thứ hai G, FG cắt CD I, CG cắt FD K Chứng minh I, K, H thẳng hàng · Ta có: FGC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính CF) ⇒ FG ⊥ CK Mà CD ⊥ KF I giao điểm CD GF nên I trực tâm tam giác CFK ⇒ KI đường cao thứ tam giác CFK ⇒ KI ⊥ CF (1) · · · Ta có OAE (cmt) = OEH = ODE ⇒ OEAD tứ giác nội tiếp (tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh góc nhau) · · (2 góc nội tiếp chắn cung AE) ⇒ ADE = AOE · · · Mà AOE (góc nội tiếp góc tâm chắn cung EF) = 2FCE = 2FDE 1· · · · · · ⇒ ADE = 2FDE ⇒ DF phân giác ADE ⇒ ADF = FDE = ADE · · · Ta lại có FDA (góc ngồi góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp CFDG) = GCA = KCH · · ⇒ HDF = KCH ⇒ CHDK tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngồi góc đỉnh đối diện) · · ⇒ KHC = CDK = 900 (2 góc nội tiếp chắn cung CK) hay KH ⊥ CF (2) Từ (1) (2) ta có I, K, H thẳng hàng Bài 6: (0,5 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn ≤ x, y, x ≤ x + y + z − ( xy + yz + zx ) + 4xyz ≤ Giải:  xy ( z − 1) ≤  Vì ≤ x, y, z ≤ ⇔  yz ( x − 1) ≤   xz ( y − 1) ≤ ⇒ 3xyz ≤ xy + yz + zx ⇔ 3xyz − ( xy + yz + zx ) ≤ (1) Lại có ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ≤ ⇔ xyz − xy − yz − zx + x + y + z − ≤ (2) Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: 4xyz − ( xy + yz + zx ) + x + y + z − ≤ ⇔ x + y + z − ( xy + yz + zx ) + 4xyz ≤ (đpcm) Dấu “=” xảy ( x; y; z ) = ( 1;1;1) ( x; y; z ) = ( 0;1;1) hốn vị https://www.facebook.com/groups/627287241235464 Chứng minh rằng: ... trình (ẩn x) x − 2mx + 2m − = a) Giải phương trình m = b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x cho biểu thức giá trị nhỏ Giải: a) Giải phương trình Thay m=3 m = vào phương trình cho... phương trình có tập nghiệm S = { 1;5} b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x cho biểu thức A= ( x1x + 1) x1 + x 2 + ( + x1x ) đạt giá trị nhỏ Phương trình: x − 2mx + 2m − = có: ∆ '... minh BCA = BDA · · Ta có BDC = FDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · ⇒ BDC = BAC = 900 ⇒ ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BC (tứ giác có đỉnh A, D nhìn BC góc 900) · · (hai