SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TUYÊN QUANG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A     1    12 b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh : 1   3 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b Câu (3,0 điểm) 1) Cho phương trình x  3x  m  x  * a) Giải phương trình (*) m  b) Tìm giá trị m để phương trình (*) có nghiệm phân biệt     2 x  y  x  xy   2) Giải hệ phương trình:  x  xy  y   ABC  AB  AC  Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AP Các đường cao BE CF cắt H  E  AC , F  AB  Gọi I, K trung điểm AH EF Tiếp tuyến (O) A cắt BE T Chứng minh : a) AEF  ABC b) Hai đường thẳng IK , AT vng góc c) Các đường thẳng BC , HP, IK đồng quy Câu (1,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 3xy  x  y  7 2023 b) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn a  2b  Chứng minh P  a  2b  số phương Câu (1,0 điểm) Đầu tiên, thầy giáo viết lên bảng 23 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3…,22,23 thành hàng ngang Thầy cho học sinh thực trò chơi đổi số sau: Mỗi lần đổi số , người chơi xóa hai số a, b thay số a  b Sau 22 lần đổi số trên, bạn Phong thu số nguyên tố p a) Xác định p b) Em quy trình biến đổi 23 số để số p ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Rút gọn biểu thức A     A  94  94   2    52       4 1    12 d) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh : 1   3 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 1 11 1        Áp dụng bất đẳng thức : x y x  y x  y  x y  Dấu bẳng xảy x  y  Ta có : 1 1 1   1 1    1                2a  b  c a  b  a  c  a  b a  c   a b a c   16  a b c  (1) Chứng minh tương tự : 1  1 1 1 2       ;       2b  a  c 16  a b c  2c  a  b 16  a b c  Cộng (1), (2), (3) theo vế ta : P  4 4 11 1 1 abc          12  3(dfcm) 16  a b c   a b c  4 Dấu xảy Câu (3,0 điểm) x  x  m  x  * 3) Cho phương trình c) Giải phương trình (*) m  2 Thay m  vào (*) ta phương trình x  3x   x x  x  x  3x   x    x  2 x  3x   x Ta có Vậy m  phương trình cho có hai nghiệm x  1; x  d) Tìm giá trị m để phương trình (*) có nghiệm phân biệt x   x  x  3x  m  x    2  x  3x  m   1 2 x  3x  m  x Ta có Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khơng âm Khi đó, ta có :   9  4m    0m  S   3   P  m    phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Vậy 2 x  y  x  xy   1    x  xy  y    2 4) Giải hệ phương trình:  Điều kiện : x  0; y  Biến đổi phương trình (1) ta có : 0m         x  y  x  xy   x  y  x  xy   x 20 x  x 2 0    y  4x  x  y  x      16  y  y    y  9,5(ktm) 2 x   x 2  y    x   y  4(tm) y  x,    x  x  x      x   y  12 (tm) 5   12   x; y    1;  ,  ;   5   Vậy hệ cho có hai nghiệm 2 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn tâm O, đường  Gọi I, K kính AP Các đường cao BE CF cắt H  trung điểm AH EF Tiếp tuyến (O) A cắt BE T Chứng minh : E  AC , F  AB d) AEF  ABC Xét tứ giác BCEF ta có : CEB  CFB  90 suy điểm C , B, E , F nằm đường tròn  BCEF tứ giác nội tiếp  FBC  CEF  180 mà CEF  AEF  180 : FBC  AEF hay ABC  AEF e) Hai đường thẳng IK , AT vng góc Xét AEH  E  90  có I trung điểm AH suy IA  IH  IC  1   có I trung điểm AH nên   Xét Từ (1) (2) suy IE  IF  IEF cân I mà EK  FK KI đường cao IEF AFH F  90 Hay IA  IH  IF IK  EF  3   ABC  TAE   sd »AC  AT / / EF   Ta có ABC  AEF (cmt) , mặt khác (so le trong) (4) IK  AT Từ (3) (4) suy f) Các đường thẳng BC , HP, IK đồng quy Ta có ABP  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy BP  AB mà CH  AB BP / / CH   Cmtt ta có CP / / BH   Từ (5) (6) suy tứ giác BPCH hình bình hành Do BC cắt HP trung điểm đường (7) Gọi IK  HP  M , ta có IK  AT (cmt )  IK / / AP hay IM / / AP Mà I trung điểm AH nên M la`trung điểm HP (8) Từ (7) (8) suy BC , HP, IK đồng quy trung điểm M BC Câu (1,0 điểm) x; y a) Tìm tất cặp số nguyên   thỏa mãn 3xy  x  y  Ta có 3xy  x  y    x    y  1   1 Vì x, y  ¢ nên x   ¢, y  1 ¢ mà y  chia dư nên :  x   x   (tm)  3 y    y    1    x   1 x    (tm)  y  1  3 y   2  Vậy cặp số nguyên thỏa mãn    2023 b) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn a  2b  Chứng minh P  a  2b7  số phương 4;0 , 1; 1 Ta có: Mà P  22023   a  a    b  b    7t  22023   23  Do 674 a Vì   a  M7,  b  b  M7  2.8674   mod  P   mod  suy P không số phương Câu (1,0 điểm) Đầu tiên, thầy giáo viết lên bảng 23 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3…,22,23 thành hàng ngang Thầy cho học sinh thực trò chơi đổi số sau: Mỗi lần đổi số , người chơi xóa hai số a, b thay số trên, bạn Phong thu số nguyên tố p c) Xác định p a b Sau 22 lần đổi số d) Em quy trình biến đổi 23 số để số p a) Xét tổng A      23  256 Vì sau lần xóa hai số a, b thay số a  b nên bước tổng A thay đổi B  A   a  b  a  b B  A   a  b   a  b  A  a  b  a  b  A  2b +) Nếu a  b     +) Nếu a  b Nhận xét sau lần đổi số B ln số chẵn (do A=256, 2a, 2b số chẵn) Do B  A  a  b  a  b  A  a  b  a  b  A  2a sau 22 lần đổi số bạn Phong thu số nguyên tố p p  Vậy p  b) 23; 22  ,  21; 20  , ,  9;8  +Từ lần đổi số đến lần đổi số ta xóa cặp số  Ta thu số +Từ lần đổi số thứ đến lần đổi số thứ 15 ta thực với số thu sau lần đổi đầu, ta nhận số +Với lầm đổi số thứ 16 ta thực với cặp  0;1 ta thu số 6;3 , 7;5 , 4; +Với lần đổi thứ 17;18;19 ta thực với cặp số       ta thu số 3, 2, 3;1 , 2; +Với lần đổi số thứ 20,21 ta thực với cặp     ta thu hai số 2; +Với lần đổi số thứ 22 ta thực với cặp số   ta thu số nguyên tố cuối Vậy số nguyên tố lại sau 22 lần đổi ... nguyên thỏa mãn    2023 b) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn a  2b  Chứng minh P  a  2b7  số phương 4;0 , 1; 1 Ta có: Mà P  22023   a  a    b  b    7t  22023   23  Do 674... trình (*) có hai nghiệm phân biệt Vậy 2 x  y  x  xy   1    x  xy  y    2 4) Giải hệ phương trình:  Điều kiện : x  0; y  Biến đổi phương trình (1) ta có : 0m       ...   x  x  x      x   y  12 (tm) 5   12   x; y    1;  ,  ;   5   Vậy hệ cho có hai nghiệm 2 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn tâm