SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH SƠN LA ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC x+5     A= + ÷:  − − x ÷   x +1 x − x −   Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ với A a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nguyên để x A nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) a) Giải hệ phương trình  y − 2x −1 =  2  x − xy + y = x2 + x + = b) Giải phương trình : (x + 1) ( x + 3) Câu (2,0 điểm) a) b) k Tìm giá trị tham số để đường thẳng ( d2 ) : y = x + − k Trong mặt phẳng tọa độ ( d ) : y = 2mx − m + (với m Oxy, cho parabol D Kẻ a) Đường cao DM AB Chứng minh tứ giác góc ∠MDC ABC tam giác vng góc với ( P ) : y = x2 đường thẳng tham số) Tìm tất giá trị Câu (3,0 điểm) Cho tam giác AH cắt đường thẳng điểm nằm trục hoành (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ ( O; R ) ( d1 ) : y = − x + x1 , x2 thỏa mãn có ba góc nhọn ABC để (d) cắt x1 − x2 > ( AB > AC ) cắt đường tròn m ( O; R ) nội tiếp đường tròn điểm thứ hai M BMHD nội tiếp đường tròn DA tia phân giác b) Từ D kẻ DN vng góc với đường thẳng M,H, N c) Cho AC N Chứng minh ba điểm thẳng hàng P = AB + AC + CD + BD , tính giá trị biểu thức P R theo Câu (1,0 điểm) a) Cho x, y )( ( x+ số thực dương thỏa mãn ) x2 + y + y + = Q = x y + + y x2 + Tính b) Cho x, y x + y + 17 xy + x + y ≥ số thực dương thỏa mãn P = 17 x + 17 y + 16 xy trị nhỏ biểu thức ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức x+5     A= + ÷:  − − x ÷   x +1 x − x −   x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ c) Rút gọn biểu thức A x+5     A= + ÷: 1 − − x ÷   x +1 x − x −   = ( ( ) x −2 + x+5 )( x−4+3 : ) ( x + 1) ( x − ) ( x + x + 1) ( x + 2) = ( x + 1) ( x + 2) = = ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) x +1 x −2 ) ( x −2 )( x −4+ x+5 = x +2 ( x −2 )( x −1 d) x Tìm giá trị nguyên để A= x +2 = 1+ x −1 x −1 A∈¢ ⇔ Để ( ) x − ∈ U (3) = { ±1; ±3} A x +2 x −1 nhận giá trị nguyên x +2 ) với Tìm giá x − = −3 ⇒ x = −2(ktm) x − = −1 ⇔ x = 0(tm) x − = ⇔ x = 16(tm) x − = ⇔ x = 4(ktm) x = 0, x = 16 Vậy A nguyên Câu (2,0 điểm) c) Giải hệ phương trình  y − 2x −1 =  2 4 x − xy + y =   y − 2x −1 =  y = 2x +1 ⇔   2 4 x − xy + y = ( 1) 4 x − xy + y =  Thay y = 2x + vào phương trình (1) ta hệ :  x =   y =  y = x +  y = 2x +1 ⇔ ⇔   2  x = −  x − 3x ( x + 1) + ( x + 1) = 2 x + x =    y =   ; ÷   ( x; y ) ∈ ( 0;1) ;  −  Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm x2 + 2x + = d) Giải phương trình : Điều kiện: Ta có : Đặt (x + 1) ( x + 3) x ≥ −3 x + x + = ( x + 1) + ( x + ) a = x2 + ( a > 0) ; b = x + ( b ≥ 0) Ta có phương trình : a = b a + 2b = 3ab ⇔ ( a − b ) ( a − 2b ) = ⇔   a = 2b   x = −1  x2 + = x + (tm)  x2 − x − =  ⇔ ⇔ ⇔  x =  x + = x +  x − x − 11 =  x = ± 15(tm)  { S = 2; −1; ± 15 Vậy tập nghiệm phương trình } Câu (2,0 điểm) k Tìm giá trị tham số để đường thẳng c) ( d2 ) : y = x + − k Vậy Để đường thẳng cắt trục hoành điểm ( d1 ) : y = − x + ( d2 ) trục hồnh ⇒ = 4+3−k ⇔ k = Vậy cắt đường thẳng điểm nằm trục hồnh Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d1 ) : y = − x + ( d1 ) : y = − x + ( d1 ) với trục hoành A ( 2; ) cắt đường thẳng phải qua điểm ⇒ y = 0, x = ( d2 ) : y = x + − k A ( 2; ) điểm nằm k =7 d) Trong mặt phẳng tọa độ ( d ) : y = 2mx − m + (với m Oxy, cho parabol ( P ) : y = x2 tham số) Tìm tất giá trị cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ Xét phương trình hoành độ giao điểm ( d) x = 2mx − m + ⇔ x − 2mx + m − = ( 1) đường thẳng x1 , x2 ( P) : thỏa mãn m để (d) x1 − x2 > 2 1  ∆ ' = m − m +1 =  m − ÷ + > 2  Ta thấy với m Nên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt Do đường thẳng hai điểm phân biệt với m Ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Áp dụng định lý Vi-ét ta :  x1 + x2 = 2m   x1 x2 = m − Ta có : ( d) cắt (P) x1 − x2 > ⇔ ( x1 − x2 ) > ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − > 2 ⇔ 4m − 4m + > ⇔ ( 2m − 1) > ⇔ m ≠ m≠ Vậy 2 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 > Câu (3,0 điểm) Cho tam giác tròn ( O; R ) hai d) D Đường cao Kẻ DM AH giác góc Ta có : có ba góc nhọn tam giác vng góc với Chứng minh tứ giác ABC AB BMHD ∠MDC ABC cắt đường tròn MH) Hay nội tiếp nên ∠MDA = ∠ABC ( O; R ) nội tiếp đường trịn nhìn BD góc nên Vì tứ giác nội tiếp đường điểm thứ M AD ⊥ BC , DM ⊥ AB ( gt ) ⇒ ∠DHB = ∠DMB = 90° BMHD ( AB > AC ) BMHD ∠MDH = ∠MBH DA tia phân , mà đinh M, H kề tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp chắn cung ∠ADC = ∠ABC Lại có ⇒ ∠MDA = ∠ADC e) Từ D (cùng chắn cung AC) hay DA tia phân giác ∠DCN = ∠ABD Suy BDHM (vì Cho DHCN nội tiếp ⇒ ∠DHN = ∠DCN tứ giác nội tiếp ) ⇒ ∠ABD + ∠DHM = 180° ∠DHN + ∠DHM = 180° Do ba điểm P = AB + AC + CD + BD Kẻ đường kính Ta có ABDC nội tiếp f) N Chứng minh ba điểm thẳng hàng Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác Tứ giác AC kẻ DN vng góc với đường thẳng M,H, N Mà ∠MDC 2 M,H, N thẳng hàng , tính giá trị biểu thức P theo R AE » = sdCD » ⇒ BE = CD ∠AEB = ∠ACB ⇒ ∠BAE = ∠DAC ⇒ sd BE Tương tự EC = BD Áp dụng định lý Pytago ta có P = AB + AC + CD + BD = AB + BE + AC + CE = AE + AE P = 4R + R = 8R Câu (1,0 điểm) x, y c) Cho số thực dương thỏa mãn ( x+ )( Q = x y2 + + y x2 + Tính = xy + Ta có : ( (x ⇒ ( − Q ) = xy + 2 + 1) ( y + 1) + Q ⇔ − Q = xy + (x + 1) ( y + 1) ) (x − 4Q + Q = x y + x + y + + xy (x + 1) ( y + 1) ( 1) ) x2 + y + y +1 = + 1) ( y + 1) Mặt khác ta lại có : ( Q2 = x y + + y x2 + ) Q = x y + x + y + xy = x ( y + 1) + y ( x + 1) + xy (x d) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y + 17 xy + x + y ≥ P = 17 x + 17 y + 16 xy giá trị nhỏ biểu thức Đặt a = x + y ( a > 0) ( x + y) xy ≤ = a2 4 x + y + 17 xy + x + y = ( x + y ) + xy + ( x + y ) , ta có: 2 a = x+ y Áp dụng bđt Cosi ta có : ≤ ( x + y ) + xy + ( x + y ) ≤ ( x + y ) + Thay + 1) ( y + 1) Từ (1) (2) ta suy Vậy + 1) ( y + 1) ( ) − 4Q = ⇔ Q = Q= (x ( x + y ) + 5( x + y ) ta có : 5  ≤ a + 5a + a ⇔ ≤  a + ÷ 2  a = ( x + y) ≥ a≥ Từ đó, ta có ( ) −1 ⇒ P = 17 x + 17 y + xy = 17a − 18 xy ≥ 17 a − a ≥ 2 x=y= Dấu xảy −1 ( ) 2 −1 = − Tìm Min P = − ⇔ x = y = Vậy −1 ... điểm) c) Giải hệ phương trình  y − 2x −1 =  2 4 x − xy + y =   y − 2x −1 =  y = 2x +1 ⇔   2 4 x − xy + y = ( 1) 4 x − xy + y =  Thay y = 2x + vào phương trình (1) ta hệ :  x = ... 3x ( x + 1) + ( x + 1) = 2 x + x =    y =   ; ÷   ( x; y ) ∈ ( 0;1) ;  −  Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm x2 + 2x + = d) Giải phương trình : Điều kiện: Ta có : Đặt (x +