SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Khóa ngày 06 tháng 06 năm 2022 Mơn thi : TỐN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm)  x −2 P = ( x − 1)  −  x −1   Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P Câu (2,0 điểm) x2 + x = 1) Giải phương trình 2) Gọi x1 ; x2 ( (  x + ÷ x ≥  ÷ ÷ x + ÷ x ≠   ) ) x − + x −1 hai nghiệm phương trình x1 x2 + x1 hai nhận hai số Câu (2,0 điểm) x2 x1 + x2 x − 11x + = Hãy lập phương trình bậc làm hai nghiệm p − 2q = p 1) Tìm tất số nguyên tố q thỏa mãn 2) Ba cầu thủ đội bóng trị chuyện với số áo in áo người, nội dung sau: An: Tôi nhận số áo số ngun tố có hai chữ số Bình: Tổng hai số ảo hai bạn ngày sinh nhật trôi qua vào tháng Chung: Thật thú vị! Tổng hai số áo hai bạn ngày sinh nhật tới vào tháng An: Và tổng hai số áo hai bạn ngày hôm Hãy xác định số áo An, Bình Chung Câu (1,0 điểm) 1) Cho biểu thức 2) ∆≤0 f ( x ) = ax + bx + c f ( x) ≥ (với a, b, c ∈ ¡ , a > 0) với số thực Chứng minh với số thực x, y , z x ta có : ( x − x + 1) ( y − y + 1) ( z − z + 1) ≥ + xyz + x y z 2 2 Đặt ∆ = b − 4ac Chứng minh Câu (3,0 điểm) Cho tam giác thuộc đường trung trực tâm A bán kính AB ∆ ABC vng B có BD đường cao đoạn thẳng CD Đường trịn đường kính ( D ∈ AC ) MA AE = AD AC Chứng minh b) Chứng minh c) Khi M di động MC = ME ∆, chứng minh EF M điểm cắt đường tròn E F a) qua điểm cố định ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm)  x −2 P = ( x − 1)  −  x −1   Cho biểu thức c) Rút gọn P  x −2 P = ( x − 1)  −  x −1   (  x + ÷ x ≥  ÷ ÷ x + ÷ x ≠   ( )  x + ÷ x ≥  ÷ ÷ x + ÷ x ≠   )  x −2 x + 1) − ( x + ) ( x − 1)  ( ) (   = ( x − 1)   ( x − 1) ( x + 1)   ( x − 1) ( x − x − − x − x + ) = = ( x − 1) ( −2 x ) = −2 x + x +1 2 d) x Tìm giá trị lớn P Ta có : 1 1  P = −2  x − ÷ + ≤ ⇔ x = 2 2  Max P = 1 ⇔x= Vậy Câu (2,0 điểm) 2x2 + x = 1) Giải phương trình Điều kiện 2) Gọi x1 ; x2 ) x −1 + x −1 x ≥1 ( x −1) + x −1 ⇔ 2x ⇔ ( x + 1) ( x − x − ) = ⇒ x − 2x2 + x = ( + x = x − ( x + 1) x − 1( x ≥ 1) ⇒ x = 2(tmdk ) hai nghiệm phương trình bậc hai nhận hai số x1 x2 + x1 Theo định lý Vi-et ta có : x − 11x + = x2 x1 + x2 x1 + x2 = 11; x1 x2 = Hãy lập phương trình làm hai nghiệm Giả sử lập phương trình bậc hai có hai nghiệm Dễ thấy X = x1 X > 0, X > ( ) Ta có : x1 x2 + = x1 ; X = x2 ( X = x1 x2 + x1 ; X = x2 x1 + x2 ) x2 x1 + = x2 X X = 16 x1 x2 = 32 ( 1) Suy X 12 + X 22 = 16 ( x1 + x2 ) ⇔ ( X + X ) − X X = 176 ⇔ ( X + X ) = 240  X + X = 15  ( 2)  X + X = −4 15 Suy Từ (1) (2) kết hợp với Câu (2,0 điểm) X > 0, X > Tìm tất số nguyên tố 1) p = 2q + 1, Từ giả thiết , ta có q thỏa mãn p − 2q = suy p lẻ 2q = p − = ( p − 1) ( p + 1) M4 ⇒ qM2 ⇒ q = 2 Khi p , suy phương trình cần lập x − 15 x + 32 = p=3 (do q nguyên tố) Suy Vậy p=3, q=2 2) Ba cầu thủ đội bóng trị chuyện với số áo in áo người, nội dung sau: An: Tôi nhận số áo số ngun tố có hai chữ số Bình: Tổng hai số ảo hai bạn ngày sinh nhật trôi qua vào tháng Chung: Thật thú vị! Tổng hai số áo hai bạn ngày sinh nhật tới vào tháng An: Và tổng hai số áo hai bạn ngày hôm Hãy xác định số áo An, Bình Chung Gọi A, B, C Ta có số áo An, Bình, Chung A, B, C số nguyên tố có chữ số, không lớn 31 tổng số số không vượt 31 nên A, B, C ∈ { 1;13;17} A+C < B +C < A+ B ⇒ C < A < B Từ giả thiết ta suy Vậy số áo An 13, số áo Bình 17, số áo Chung 11 Câu (1,0 điểm) f ( x ) = ax + bx + c Cho biểu thức 3) ∆≤0 f ( x) ≥ (với với số thực Do a>0 ∆≤0 f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ x, y , z ta có : 2 p = ( x − x + 1) ( y − y + 1) ; q = xy BĐT trở thành : Dễ thấy p > 0, ∀x, y ∈ ¡ ( p − q ) z − ( p + q ) z + p −1 ≥ 2 g ( z ) = ( p − q2 ) z + ( p + q ) z + p −1 ∆ = ( p + q ) − ( p − q ) ( p − 1) = −3 ( p − q ) − 12 ( p − q − 1) Ta có 2 p − q − =  xy − ( x + y ) + 1 + ( x − y ) = ( − x ) ( − y ) + ( x + y ) ≥ 0∀x, y ∈ ¡ Vì x ( x − x + 1) ( y − y + 1) ( z − z + 1) ≥ + xyz + x y z 2 Xét Chứng minh Chứng minh với số thực 4) Đặt ∆ = b − 4ac b  b − ac b  ∆   f ( x) = a  x + = a x + ÷ − ÷ − 2a  4a 2a  a   Ta có Đặt a, b, c ∈ ¡ , a > 0) Suy Vậy p − q = p + 2q − q > g ( z ) ≥ 0, ∀x, y, z ∈ R ∆ ≤ 0, ∀x, y ∈ ¡ , Đẳng thức xảy Câu (3,0 điểm) Cho tam giác điểm thuộc đường trung trực đường trịn tâm A bán kính ∆ AB ABC x = y = z =1 vng B có BD đường cao ( D ∈ AC ) đoạn thẳng CD Đường tròn đường kính E F M MA cắt d) Chứng minh AE = AD AC AD AC = AB = AE e) Chứng minh (hệ thức lượng tam giác vuông) MC = ME AM = AE + ME = AD AC + ME ( 1) AM = AG + MG = ( AD + DG ) + MG 2 = MD + AD ( AD + DG ) = MD + AD AC ( 1) , ( ) ⇒ MD = ME ⇔ MC = ME f) Do Khi M di động MF = ME Suy ∆, nên từ b, suy IE.IF = IC.ID chứng minh EF qua điểm cố định ME = MC = MD = MF , hay (với I giao điểm CD EF) CEDF tứ giác nội tiếp Mặt khác G , E , A, F Từ suy thuộc đường tròn nên IC.ID = IG.IA ID = Từ tính DG.DA ⇒I GA cố định IE.IF = IG.IA (với G trung điểm CD) ... 2) Ba cầu thủ đội bóng trị chuyện với số áo in áo người, nội dung sau: An: Tôi nhận số áo số nguyên tố có hai chữ số Bình: Tổng hai số ảo hai bạn ngày sinh nhật trôi qua vào tháng Chung: Thật... điểm) Cho tam giác điểm thuộc đường trung trực đường trịn tâm A bán kính ∆ AB ABC x = y = z =1 vng B có BD đường cao ( D ∈ AC ) đoạn thẳng CD Đường trịn đường kính E F M MA cắt d) Chứng minh AE =... tam giác thuộc đường trung trực tâm A bán kính AB ∆ ABC vng B có BD đường cao đoạn thẳng CD Đường trịn đường kính ( D ∈ AC ) MA AE = AD AC Chứng minh b) Chứng minh c) Khi M di động MC = ME ∆, chứng