Trang 1 THI TH I HC KHI D MễN TON S 5 I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hàm số 2 12 x x y có đồ thị là (C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2.Chứng minh đ-ờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 1.Giải ph-ơng trình 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = 8 2.Giải bất ph-ơng trình )3(log53loglog 2 4 2 2 2 2 xxx Câu III (1 điểm). Tìm nguyên hàm xx dx I 53 cos.sin Câu IV (1 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 ) thuộc đ-ờng thẳng B 1 C 1 . Tính khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng AA 1 và B 1 C 1 theo a. Câu V (1 điểm). Cho a, b, c 0 v 2 2 2 3abc . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c P b c a II.Phần riêng (3 điểm) 1.Theo ch-ơng trình chuẩn Câu VIa (2 điểm). 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đ-ờng tròn (C) có ph-ơng trình (x-1) 2 + (y+2) 2 = 9 và đ-ờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đ-ờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đ-ờng thẳng d có ph-ơng trình tz ty tx 31 21 . Lập ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Câu VIIa (1 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. 2.Theo ch-ơng trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) Trang 2 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đ-ờng tròn (C): x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đ-ờng thẳng d có ph-ơng trình x + y + m = 0. Tìm m để trên đ-ờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đ-ờng thẳng d có ph-ơng trình 3 1 12 1 zyx . Lập ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. Trang 3 P N S 5 I.Phần dành cho tất cả các thí sính Câu Đáp án Đ i ể m I (2 điể m) 1. (1,25 điểm) a.TXĐ: D = R\{-2} b.Chiều biến thiên +Giới hạn: 22 lim;lim;2limlim xx xx yyyy Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2 0 , 5 + Dx x y 0 )2( 3 ' 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )2;( và );2( 0 , 2 5 +Bảng biến thiên x -2 y + + 2 y 2 0 , 2 5 c.Đồ thị: Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; 2 1 ) và cắt trục Ox tại điểm( 2 1 ;0) Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 0 , 2 5 2. (0,75 điểm) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đ-ờng thẳng d là nghiệm của ph-ơng x y O 2 -2 Trang 4 trình )1(021)4( 2 2 12 2 mxmx x mx x x Do (1) có mmmvam 0321)2).(4()2(01 22 nên đ-ờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B 0 , 2 5 Ta có y A = m x A ; y B = m x B nên AB 2 = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 = 2(m 2 + 12) suy ra AB ngắn nhất AB 2 nhỏ nhất m = 0. Khi đó 24AB 0 , 5 II (2 điể m) 1. (1 điểm) Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với 9sinx + 6cosx 6sinx.cosx + 1 2sin 2 x = 8 6cosx(1 sinx) (2sin 2 x 9sinx + 7) = 0 6cosx(1 sinx) (sinx 1)(2sinx 7) = 0 0 , 5 (1-sinx)(6cosx + 2sinx 7) = 0 )(07sin2cos6 0sin1 VNxx x 0 , 2 5 2 2 kx 0 , 2 5 2. (1 điểm) ĐK: 03loglog 0 2 2 2 2 xx x Bất ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với )1()3(log53loglog 2 2 2 2 2 xxx đặt t = log 2 x, BPT (1) )3(5)1)(3()3(532 2 tttttt 0 , 5 4log3 1log 43 1 )3(5)3)(1( 3 1 2 2 2 x x t t ttt t t 0 , 2 5 168 2 1 0 x x Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: )16;8(] 2 1 ;0( III 1 điể m xx dx xxx dx I 23233 cos.2sin 8 cos.cos.sin đặt tanx = t 0 , 5 Trang 5 dt t t t t dt I t t x x dx dt 3 32 3 2 22 )1( ) 1 2 ( 8 1 2 2sin; cos C x xxxdtt t tt dt t ttt 2 2433 3 246 tan2 1 tanln3tan 2 3 tan 4 1 ) 3 3( 133 0 , 5 C©u IV 1 ®iÓ m Do )( 111 CBAAH nªn gãc HAA 1 lµ gãc gi÷a AA 1 vµ (A 1 B 1 C 1 ), theo gi¶ thiÕt th× gãc HAA 1 b»ng 30 0 . XÐt tam gi¸c vu«ng AHA 1 cã AA 1 = a, gãc HAA 1 =30 0 2 3 1 a HA . Do tam gi¸c A 1 B 1 C 1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B 1 C 1 vµ 2 3 1 a HA nªn A 1 H vu«ng gãc víi B 1 C 1 . MÆt kh¸c 11 CBAH nªn )( 111 HAACB 0 , 5 KÎ ®-êng cao HK cña tam gi¸c AA 1 H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA 1 vµ B 1 C 1 0 , 2 5 Ta cã AA 1 .HK = A 1 H.AH 4 3 . 1 1 a AA AHHA HK 0 , 2 5 A 1 A B C C 1 B 1 K H Trang 6 Câu V 1 điể m Ta cú: P + 3 = 2 2 3 2 2 3 2 2 3 111 a a c c c b b b a 24 1 1212 24 6 2 2 2 2 3 b b a b a P 24 1 1212 2 2 2 2 3 c c b c b 24 1 1212 2 2 2 2 3 a a c a c 3 6 3 6 3 6 216 3 216 3 216 3 cba 6 222 3 82 9 )( 222 3 22 3 cbaP 2 3 22 3 22 9 22 3 22 9 6 3 P P Min khi a = b = c = 1 0 , 5 0 , 5 Phần riêng. 1.Ban cơ bản Câu VIa 2 điểm 1.( 1 điểm) Từ ph-ơng trình chính tắc của đ-ờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đ-ợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn và ACAB => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 23IA 0, 5 7 5 6123 2 1 m m m m 0, 5 2. (1 điểm) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HIAH => HI lớn nhất khi IA Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. 0, 5 )31;;21( tttHdH vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. uuAHdAH là véc tơ chỉ ph-ơng của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0 0, 5 Câu VIIa 1 điểm Từ giả thiết bài toán ta thấy có 6 2 4 C cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)và 10 2 5 C cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2 5 C . 2 5 C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán 0, 5 Mỗi bộ 4 số nh- thế có 4! số đ-ợc thành lập. Vậy có tất cả 2 4 C . 2 5 C .4! = 1440 số 0, 5 Trang 7 2.Ban nâng cao. Câu VIa 2 điểm 1.( 1 điểm) Từ ph-ơng trình chính tắc của đ-ờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đ-ợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn và ACAB => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 23IA 0, 5 7 5 6123 2 1 m m m m 0, 5 2. (1 điểm) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HIAH => HI lớn nhất khi IA Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. 0, 5 )31;;21( tttHdH vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. uuAHdAH là véc tơ chỉ ph-ơng của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0 0, 5 Câu VIIa 1 điểm Từ giả thiết bài toán ta thấy có 10 2 5 C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và 3 5 C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2 5 C . 3 5 C = 100 bộ 5 số đ-ợc chọn. 0, 5 Mỗi bộ 5 số nh- thế có 5! số đ-ợc thành lập => có tất cả 2 5 C . 3 5 C .5! = 12000 số. Mặt khác số các số đ-ợc lập nh- trên mà có chữ số 0 đứng đầu là 960!4 3 5 1 4 CC . Vậy có tất cả 12000 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán 0, 5 . có chữ số 0 đứng đầu) và 3 5 C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2 5 C . 3 5 C = 100 bộ 5 số đ-ợc chọn. 0, 5 Mỗi bộ 5 số nh- thế có 5! số đ-ợc. có số 0)và 10 2 5 C cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2 5 C . 2 5 C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán 0, 5 Mỗi bộ 4 số nh- thế có 4! số đ-ợc thành lập.