Đang tải... (xem toàn văn)
bổ trợ thêm kiến thức hình học cho các bạn lớp 9. các bạn sẽ rèn luyện khả năng của mình trong việc giải toán hình lớp 9.
TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn (O). Các đ ng cao AD, BE, CF c t nhauọ ộ ế ườ ườ ắ t i ạ H và c t đ ng tròn (O) l n l t t i M,N,P.ắ ườ ầ ượ ạ Ch ng minh r ng:ứ ằ 1. T giác CEHD, n i ti p .ứ ộ ế 2. B n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ng tròn.ố ể ằ ộ ườ 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đ i x ng nhau qua BC.ố ứ 5. Xác đ nh tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF.ị ườ ộ ế L i gi i:ờ ả 1. Xét t giác CEHD ta có:ứ ∠ CEH = 90 0 ( Vì BE là đ ng cao)ườ ∠ CDH = 90 0 ( Vì AD là đ ng cao)ườ => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 H ( ( 2 - - 2 1 1 1 P N F E M D C B A O Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đ i c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế 2. Theo gi thi t: BE là đ ng cao => BE ả ế ườ ⊥ AC => ∠BEC = 90 0 . CF là đ ng cao => CF ườ ⊥ AB => ∠BFC = 90 0 . Nh v y E và F cùng nhìn BC d i m t góc 90ư ậ ướ ộ 0 => E và F cùng n m trên đ ng tròn đ ng kínhằ ườ ườ BC. V y b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ng tròn.ậ ố ể ằ ộ ườ 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 90 0 ; Â là góc chung => ∆ AEH ∼ ∆ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90 0 ; ∠C là góc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có ∠C 1 = ∠A 1 ( vì cùng ph v i góc ABC)ụ ớ ∠C 2 = ∠A 1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BM)ộ ế ắ => ∠C 1 = ∠ C 2 => CB là tia phân giác c a góc HCM; l i có CB ủ ạ ⊥ HM => ∆ CHM cân t i C ạ => CB cũng là đ ng trung tr c c a HM v y H và M đ i x ng nhau qua BC.ươ ự ủ ậ ố ứ 5. Theo ch ng minh trên b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ng trònứ ố ể ằ ộ ườ => ∠C 1 = ∠E 1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BF)ộ ế ắ Cũng theo ch ng minh trên CEHD là t giác n i ti p ứ ứ ộ ế ∠C 1 = ∠E 2 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung HD)ộ ế ắ ∠E 1 = ∠E 2 => EB là tia phân giác c a góc FED.ủ Ch ng minh t ng t ta cũng có FC là tia phân giác c a góc DFE mà BE và CF c t nhau t i H do đó Hứ ươ ự ủ ắ ạ là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF.ườ ộ ế Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đ ng cao AD, BE, c t nhau t i H. G i O là tâm đ ngườ ắ ạ ọ ườ tròn ngo i ti p tam giác AHE.ạ ế 1. Ch ng minh t giác CEHD n i ti p .ứ ứ ộ ế 2. B n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đ ngố ể ằ ộ ườ tròn. 3. Ch ng minh ED = ứ 2 1 BC. 4. Ch ng minh DE là ti p tuy n c aứ ế ế ủ đ ng tròn (O).ườ 5. Tính đ dài DE bi t DH = 2 Cm,ộ ế AH = 6 Cm. L i gi i:ờ ả 1. Xét t giác CEHD ta có:ứ ∠ CEH = 90 0 ( Vì BE là đ ng cao)ườ ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 1 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 H 1 3 2 1 1 O E D C B A ∠ CDH = 90 0 ( Vì AD là đ ng cao)ườ => ∠ CEH + ∠ CDH = 180 0 Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đ i c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế 2. Theo gi thi t: ả ế BE là đ ng cao => BE ườ ⊥ AC => ∠BEA = 90 0 . AD là đ ng cao => AD ườ ⊥ BC => ∠BDA = 90 0 . Nh v y E và D cùng nhìn AB d i m t góc 90ư ậ ướ ộ 0 => E và D cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính AB.ằ ườ ườ V y b n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đ ng tròn.ậ ố ể ằ ộ ườ 3. Theo gi thi t tam giác ABC cân t i A có AD là đ ng cao nên cũng là đ ng trung tuy n ả ế ạ ườ ườ ế => D là trung đi m c a BC. Theo trên ta có ể ủ ∠BEC = 90 0 . V y tam giác BEC vuông t i E có ED là trung tuy n => DE = ậ ạ ế 2 1 BC. 4. Vì O là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác AHE nên O là trung đi m c a AH => OA = OEườ ạ ế ể ủ => tam giác AOE cân t i O => ạ ∠E 1 = ∠A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân t i D => ạ ∠E 3 = ∠B 1 (2) Mà ∠B 1 = ∠A 1 ( vì cùng ph v i góc ACB) => ụ ớ ∠E 1 = ∠E 3 => ∠E 1 + ∠E 2 = ∠E 2 + ∠E 3 Mà ∠E 1 + ∠E 2 = ∠BEA = 90 0 => ∠E 2 + ∠E 3 = 90 0 = ∠OED => DE ⊥ OE t i E.ạ V y DE là ti p tuy n c a đ ng tròn (O) t i E.ậ ế ế ủ ườ ạ 5. Theo gi thi t AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp d ng đ nh lí Pitagoả ế ụ ị cho tam giác OED vuông t i E ta có EDạ 2 = OD 2 – OE 2 ED 2 = 5 2 – 3 2 ED = 4cm Bài 3 Cho n a đ ng tròn đ ng kính AB = 2R. T A và B k hai ti p tuy n Ax, By. Qua đi m Mử ườ ườ ừ ẻ ế ế ể thu c n a đ ng tròn k ti p tuy n th ba c t các ti p tuy n Ax , By l n l t C và D. Các đ ngộ ử ườ ẻ ế ế ứ ắ ế ế ầ ượ ở ườ th ng AD và BC c t nhau t i N.ẳ ắ ạ 1.Ch ng minh AC + BD = CD.ứ 2. Ch ng minh ứ ∠COD = 90 0 . 3.Ch ng minh AC. BD = ứ 4 2 AB . 4.Ch ng minh OC // BMứ 5.Ch ng minh AB là ti p tuy n c a đ ng tròn đ ng kínhứ ế ế ủ ườ ườ CD. 5.Ch ng minh MN ứ ⊥ AB. 6.Xác đ nh v trí c a M đ chu vi t giác ACDB đ t giá tr nhị ị ủ ể ứ ạ ị ỏ nh t.ấ L i gi i:ờ ả / / y x N C D I M B O A 1.Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.ấ ế ế ắ Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: OC là tia phân giác c a góc AOM; OD là tia phânấ ế ế ắ ủ giác c a góc BOM, mà ủ ∠AOM và ∠BOM là hai góc k bù => ề ∠COD = 90 0 . ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 2 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 3. Theo trên ∠COD = 90 0 nên tam giác COD vuông t i O có OM ạ ⊥ CD ( OM là ti p tuy n ).ế ế Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao trong tam giác vuông ta có OMụ ệ ứ ữ ạ ườ 2 = CM. DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R 2 => AC. BD = 4 2 AB . 4.Theo trên ∠COD = 90 0 nên OC ⊥ OD .(1) Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: DB = DM; l i có OM = OB =R => OD là trung tr cấ ế ế ắ ạ ự c a BM => BM ủ ⊥ OD .(2). T (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc v i OD).ừ ớ 5.G i I là trung đi m c a CD ta có I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác COD đ ng kính CD cóọ ể ủ ườ ạ ế ườ IO là bán kính. Theo tính ch t ti p tuy n ta có AC ấ ế ế ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => t giác ACDB là hình thang.ứ L i có I là trung đi m c a CD; O là trung đi m c a AB => IO là đ ng trung bình c a hình thangạ ể ủ ể ủ ườ ủ ACDB ⇒ IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t i O => AB là ti p tuy n t i O c a đ ng tròn đ ng kínhạ ế ế ạ ủ ườ ườ CD 6. Theo trên AC // BD => BD AC BN CN = , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra DM CM BN CN = => MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB. 7. ( HD): Ta có chu vi t giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu viứ t giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đ i nên chu vi t giác ACDB nh nh t khi CD nh nh t , màứ ổ ứ ỏ ấ ỏ ấ CD nh nh t khi CD là kho ng cách gi Ax và By t c là CD vuông góc v i Ax và By. Khi đó CD // ABỏ ấ ả ữ ứ ớ => M ph i là trung đi m c a cung AB.ả ể ủ Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đ ng tròn n i ti p, K là tâm đ ng tròn bàng ti pườ ộ ế ườ ế góc A , O là trung đi m c a IK.ể ủ 1. Ch ng minh B, C, I, K cùng n m trên m t đ ng tròn.ứ ằ ộ ườ 2. Ch ng minh AC là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ứ ế ế ủ ườ 3. Tính bán kính đ ng tròn (O) Bi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24ườ ế Cm. L i gi i:ờ ả (HD) 1. Vì I là tâm đ ng tròn n i ti p, K là tâm đ ng tròn bàng ti pườ ộ ế ườ ế góc A nên BI và BK là hai tia phân giác c a hai góc k bù đ nh B ủ ề ỉ Do đó BI ⊥ BK hay∠IBK = 90 0 . T ng t ta cũng có ươ ự ∠ICK = 90 0 nh v y B và C cùng n m trênư ậ ằ đ ng tròn đ ng kính IK do đó B, C, I, K cùng n m trên m t đ ngườ ườ ằ ộ ườ tròn. 2. Ta có ∠C 1 = ∠C 2 (1) ( vì CI là phân giác c a góc ACH.ủ ∠C 2 + ∠I 1 = 90 0 (2) ( vì ∠IHC = 90 0 ). o 1 2 1 H I C A B K ∠I 1 = ∠ ICO (3) ( vì tam giác OIC cân t i O) ạ T (1), (2) , (3) => ừ ∠C 1 + ∠ICO = 90 0 hay AC ⊥ OC. V y AC là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ậ ế ế ủ ườ 3. T gi thi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.ừ ả ế AH 2 = AC 2 – HC 2 => AH = 22 1220 − = 16 ( cm) CH 2 = AH.OH => OH = 16 12 22 = AH CH = 9 (cm) OC = 225129 2222 =+=+ HCOH = 15 (cm) Bài 5 Cho đ ng tròn (O; R), t m t đi m A trên (O) k ti p tuy n d v i (O). Trên đ ng th ng d l yườ ừ ộ ể ẻ ế ế ớ ườ ẳ ấ đi m M b t kì ( M khác A) k cát tuy n MNP và g i K là trung đi m c a NP, k ti p tuy n MB (B làể ấ ẻ ế ọ ể ủ ẻ ế ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 3 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 ti p đi m). K AC ế ể ẻ ⊥ MB, BD ⊥ MA, g i H là giao đi m c a AC và BD, I là giao đi m c a OM vàọ ể ủ ể ủ AB. 1. Ch ng minh t giác AMBO n i ti p.ứ ứ ộ ế 2. Ch ng minh năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m tứ ể ằ ộ đ ng tròn .ườ 3. Ch ng minh OI.OM = Rứ 2 ; OI. IM = IA 2 . 4. Ch ng minh OAHB là hình thoi.ứ 5. Ch ng minh ba đi m O, H, M th ng hàng.ứ ể ẳ 6. Tìm qu tích c a đi m H khi M di chuy n trên đ ng th ngỹ ủ ể ể ườ ẳ d L i gi i:ờ ả 1. (HS t làm).ự 2. Vì K là trung đi m NP nên OK ể ⊥ NP ( quan h đ ng kínhệ ườ d H I K N P M D C B A O Và dây cung) => ∠OKM = 90 0 . Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế ∠OAM = 90 0 ; ∠OBM = 90 0 . nh v yư ậ K, A, B cùng nhìn OM d i m t góc 90ướ ộ 0 nên cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính OM. ằ ườ ườ V y năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m t đ ng tròn. ậ ể ằ ộ ườ 3. Ta có MA = MB ( t/c hai ti p tuy n c t nhau); OA = OB = R ế ế ắ => OM là trung tr c c a AB => OM ự ủ ⊥ AB t i I .ạ Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế ∠OAM = 90 0 nên tam giác OAM vuông t i A có AI là đ ng cao.ạ ườ Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao => OI.OM = OAụ ệ ứ ữ ạ ườ 2 hay OI.OM = R 2 ; và OI. IM = IA 2 . 4. Ta có OB ⊥ MB (tính ch t ti p tuy n) ; AC ấ ế ế ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA ⊥ MA (tính ch t ti p tuy n) ; BD ấ ế ế ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => T giác OAHB là hình bình hành; l i có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.ứ ạ 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ⊥ AB; cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M th ng hàng( Vì quaẳ O ch có m t đ ng th ng vuông góc v i AB).ỉ ộ ườ ẳ ớ 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. V y khi M di đ ng trên d thì H cũng di đ ngậ ộ ộ nh ng luôn cách A c đ nh m t kho ng b ng R. Do đó qu tích c a đi m H khi M di chuy n trênư ố ị ộ ả ằ ỹ ủ ể ể đ ng th ng d là n a đ ng tròn tâm A bán kính AH = Rườ ẳ ử ườ Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, đ ng cao AH. V đ ng tròn tâm A bán kính AH. G i HD làở ườ ẽ ườ ọ đ ng kính c a đ ng tròn (A; AH). Ti p tuy n c a đ ng tròn t i D c t CA E.ườ ủ ườ ế ế ủ ườ ạ ắ ở 1.Ch ng minh tam giác BEC cân.ứ 2. G i I là hình chi u c a A trên BE, Ch ng minh r ng AI = AH.ọ ế ủ ứ ằ 3.Ch ng minh r ng BE là ti p tuy n c a đ ng tròn (A; AH).ứ ằ ế ế ủ ườ 4.Ch ng minh BE = BH + DE.ứ L i gi i: ờ ả (HD) 1.∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2). Vì AB ⊥CE (gt), do đó AB v a là đ ng cao v a là đ ng trung tuy n c aừ ườ ừ ườ ế ủ ∆BEC => BEC là tam giác cân. => ∠B 1 = ∠B 2 2 1 I E H D C A B 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có c nh huy n AB chung, ạ ề ∠B 1 = ∠B 2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH. 3. AI = AH và BE ⊥ AI t i I => BE là ti p tuy n c a (A; AH) t i I.ạ ế ế ủ ạ 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đ ng tròn (O; R) đ ng kính AB. K ti p tuy n Ax và l y trên ti p tuy n đó m t đi m Pườ ườ ẻ ế ế ấ ế ế ộ ể sao cho AP > R, t P k ti p tuy n ti p xúc v i (O) t i M.ừ ẻ ế ế ế ớ ạ 1. Ch ng minh r ng t giác APMO n i ti p đ c m tứ ằ ứ ộ ế ượ ộ đ ng tròn.ườ 2. Ch ng minh BM // OP.ứ ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 4 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 3. Đ ng th ng vuông góc v i AB O c t tia BM t i N. Ch ngườ ẳ ớ ở ắ ạ ứ minh t giác OBNP là hình bình hành.ứ 4. Bi t AN c t OP t i K, PM c t ON t i I; PN và OM kéo dài c tế ắ ạ ắ ạ ắ nhau t i J. Ch ng minh I, J, K th ng hàng.ạ ứ ẳ L i gi i: ờ ả 1. (HS t làm).ự 2.Ta có ∠ ABM n i ti p ch n cung AM; ộ ế ắ ∠ AOM là góc tâmở ch n cung AM => ắ ∠ ABM = 2 AOM∠ (1) OP là tia phân giác ∠ AOM ( t/c hai ti p tuy n c t nhau ) => ế ế ắ ∠ AOP = 2 AOM∠ (2) T (1) và (2) => ừ ∠ ABM = ∠ AOP (3) X ( ( 2 1 1 1 K I J M N P A B O Mà ∠ ABM và ∠ AOP là hai góc đ ng v nên suy ra BM // OP. (4)ồ ị 3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : ∠PAO=90 0 (vì PA là ti p tuy n ); ế ế ∠NOB = 90 0 (gt NO⊥AB). => ∠PAO = ∠NOB = 90 0 ; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5) T (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai c nh đ i song song và b ng nhau).ừ ạ ố ằ 4. T giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ứ ⊥ AB => ON ⊥ PJ Ta cũng có PM ⊥ OJ ( PM là ti p tuy n ), mà ON và PM c t nhau t i I nên I là tr c tâm tam giác POJ.ế ế ắ ạ ự (6) D th y t giác AONP là hình ch nh t vì có ễ ấ ứ ữ ậ ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 90 0 => K là trung đi m c aể ủ PO ( t/c đ ng chéo hình ch nh t). (6)ườ ữ ậ AONP là hình ch nh t => ữ ậ ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7) Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau Ta có PO là tia phân giác ế ế ắ ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8). T (7) và (8) => ừ ∆IPO cân t i I có IK là trung tuy n đông th i là đ ng cao => IK ạ ế ờ ườ ⊥ PO. (9) T (6) và (9) => I, J, K th ng hàng.ừ ẳ Bài 8 Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB và đi m M b t kì trên n a đ ng tròn ( M khácử ườ ườ ể ấ ử ườ A,B). Trên n a m t ph ng b AB ch a n a đ ng tròn k ti p tuy n Ax. Tia BM c t Ax t i I; tiaử ặ ẳ ờ ứ ử ườ ẻ ế ế ắ ạ phân giác c a góc IAM c t n a đ ng tròn t i E; c t tia BM t i F tia BE c t Ax t i H, c t AM t i K.ủ ắ ử ườ ạ ắ ạ ắ ạ ắ ạ 1) Ch ng minh r ng: EFMK là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế 2) Ch ng minh r ng: AIứ ằ 2 = IM . IB. 3) Ch ng minh BAF là tam giác cân.ứ 4) Ch ng minh r ng : T giác AKFH là hình thoi.ứ ằ ứ 5) Xác đ nh v trí M đ t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ngị ị ể ứ ộ ế ượ ộ ườ tròn. L i gi i: ờ ả 1. Ta có : ∠AMB = 90 0 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠KMF = 90 0 (vì là hai góc k bù).ề ∠AEB = 90 0 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠KEF = 90 0 (vì là hai góc k bù).ề => ∠KMF + ∠KEF = 180 0 . Mà ∠KMF và ∠KEF là hai góc đ i c a t giác EFMK do đó EFMK là t giác n i ti p.ố ủ ứ ứ ộ ế X 2 1 2 1 E K I H F M B O A 2. Ta có ∠IAB = 90 0 ( vì AI là ti p tuy n ) => ế ế ∆AIB vuông t i A có AM ạ ⊥ IB ( theo trên). Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao => AIụ ệ ứ ữ ạ ườ 2 = IM . IB. 3. Theo gi thi t AE là tia phân giác góc IAM => ả ế ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lí do ……) => ∠ABE =∠MBE ( hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)ộ ế ắ ằ Theo trên ta có ∠AEB = 90 0 => BE ⊥ AF hay BE là đ ng cao c a tam giác ABF (2).ườ ủ ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 5 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 T (1) và (2) => BAF là tam giác cân. t i B .ừ ạ 4. BAF là tam giác cân. t i B có BE là đ ng cao nên đ ng th i là đ ng trung tuy n => E làạ ườ ồ ờ ươ ế trung đi m c a AF. (3)ể ủ T BE ừ ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác ∠HAK (5) T (4) và (5) => HAK là tam giác cân. t i A có AE là đ ng cao nên đ ng th i là đ ng trung tuy nừ ạ ườ ồ ờ ươ ế => E là trung đi m c a HK. (6).ể ủ T (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đ ng chéo vuông góc v i nhau t i trung đi m c aừ ườ ớ ạ ể ủ m i đ ng).ỗ ườ 5. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => t giác AKFI là hình thang. ứ Đ t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ng tròn thì AKFI ph i là hình thang cân. ể ứ ộ ế ượ ộ ườ ả AKFI là hình thang cân khi M là trung đi m c a cung AB. ể ủ Th t v y: M là trung đi m c a cung AB => ậ ậ ể ủ ∠ABM = ∠MAI = 45 0 (t/c góc n i ti p ). (7)ộ ế Tam giác ABI vuông t i A có ạ ∠ABI = 45 0 => ∠AIB = 45 0 .(8) T (7) và (8) => ừ ∠IAK = ∠AIF = 45 0 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy b ngằ nhau). V y khi M là trung đi m c a cung AB thì t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ng tròn.ậ ể ủ ứ ộ ế ượ ộ ườ Bài 9 Cho n a đ ng tròn (O; R) đ ng kính AB. K ti p tuy n Bx và l y hai đi m C và D thu c n aử ườ ườ ẻ ế ế ấ ể ộ ử đ ng tròn. Các tia AC và AD c t Bx l n l t E, F (F gi a B và E).ườ ắ ầ ượ ở ở ữ 1. Ch ng minh AC. AE không đ i.ứ ổ 2. Ch ng minh ứ ∠ ABD = ∠ DFB. 3. Ch ng minh r ng CEFD là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế L i gi i: ờ ả 1. C thu c n a đ ng tròn nên ộ ử ườ ∠ACB = 90 0 ( n i ti p ch n n aộ ế ắ ử đ ng tròn ) => BC ườ ⊥ AE. ∠ABE = 90 0 ( Bx là ti p tuy n ) => tam giác ABE vuông t i B có BC làế ế ạ đ ng cao => AC. AE = ABườ 2 (h th c gi a c nh và đ ng cao ), mà ABệ ứ ữ ạ ườ là đ ng kính nên AB = 2R không đ i do đó AC. AE không đ i.ườ ổ ổ 2. ∆ ADB có ∠ADB = 90 0 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ).ộ ế ắ ử ườ => ∠ABD + ∠BAD = 90 0 (vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng 180ổ ủ ộ ằ 0 ) (1) ∆ ABF có ∠ABF = 90 0 ( BF là ti p tuy n ).ế ế => ∠AFB + ∠BAF = 90 0 (vì t ng ba góc c a m t tam giácổ ủ ộ b ng 180ằ 0 ) (2) T (1) và (2) => ừ ∠ABD = ∠DFB ( cùng ph v iụ ớ ∠BAD) D C A O B F E X 3. T giác ACDB n i ti p (O) => ứ ộ ế ∠ABD + ∠ACD = 180 0 . ∠ECD + ∠ACD = 180 0 ( Vì là hai góc k bù) => ề ∠ECD = ∠ABD ( cùng bù v i ớ ∠ACD). Theo trên ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB. Mà ∠EFD + ∠DFB = 180 0 ( Vì là hai góc k bù) nênề suy ra ∠ECD + ∠EFD = 180 0 , m t khác ặ ∠ECD và ∠EFD là hai góc đ i c a t giác CDFE do đó tố ủ ứ ứ giác CEFD là t giác n i ti p.ứ ộ ế Bài 10 Cho đ ng tròn tâm O đ ng kính AB và đi m M b t kì trên n a đ ng tròn sao cho AM < MB.ườ ườ ể ấ ử ườ G i M’ là đi m đ i x ng c a M qua AB và S là giao đi m c a hai tia BM, M’A. G i P là chân đ ng ọ ể ố ứ ủ ể ủ ọ ườ vuông góc t S đ n AB.ừ ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 6 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 1.G i S’ là giao đi m c a MA và SP. Ch ng minh r ng ∆ PS’M cân.ọ ể ủ ứ ằ 2.Ch ng minh PM là ti p tuy n c a đ ng tròn .ứ ế ế ủ ườ L i gi i: ờ ả 1. Ta có SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 90 0 ; ∠AMB = 90 0 ( n i ti p ch nộ ế ắ n a đ ng tròn ) => ử ườ ∠AMS = 90 0 . Nh v y P và M cùng nhìn ASư ậ d i m t góc b ng 90ướ ộ ằ 0 nên cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính AS.ằ ườ ườ V y b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ ng tròn. ậ ố ể ằ ộ ườ 2. Vì M’đ i x ng M qua AB mà M n m trên đ ng tròn nên M’ cũngố ứ ằ ườ n m trên đ ng tròn => hai cung AM và AM’ có s đo b ng nhau ằ ườ ố ằ 3 ( ) 4 3 1 1 ) ( 1 2 2 1 1 H O S' M' M A B S P => ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) (1)ộ ế ắ ằ Cũng vì M’đ i x ng M qua AB nên MM’ ố ứ ⊥ AB t i H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc v i AB)ạ ớ => ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (vì so le trong) (2). => T (1) và (2) => ừ ∠AS’S = ∠ASS’. Theo trên b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ/ tròn => ố ể ằ ộ ∠ASP=∠AMP (n i ti p cùng ch nộ ế ắ AP ) => ∠AS’P = ∠AMP => tam giác PMS’ cân t i P.ạ 3. Tam giác SPB vuông t i P; tam giác SMS’ vuông t i M => ạ ạ ∠B 1 = ∠S’ 1 (cùng ph v i ụ ớ ∠S). (3) Tam giác PMS’ cân t i P => ạ ∠S’ 1 = ∠M 1 (4) Tam giác OBM cân t i O ( vì có OM = OB =R) => ạ ∠B 1 = ∠M 3 (5). T (3), (4) và (5) => ừ ∠M 1 = ∠M 3 => ∠M 1 + ∠M 2 = ∠M 3 + ∠M 2 mà ∠M 3 + ∠M 2 = ∠AMB = 90 0 nên suy ra ∠M 1 + ∠M 2 = ∠PMO = 90 0 => PM ⊥ OM t i M => PM là ti p tuy n c a đ ng tròn t i Mạ ế ế ủ ườ ạ Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). C nh AB, BC, CA ti p xúc v i đ ng tròn (O) t i các đi m D,ạ ế ớ ườ ạ ể E, F . BF c t (O) t i I , DI c t BC t i M. Ch ng minh :ắ ạ ắ ạ ứ 1. Tam giác DEF có ba góc nh n.ọ 2. DF // BC. 3. T giác BDFC n i ti p. ứ ộ ế 4. CF BM CB BD = L i gi i: ờ ả 1. (HD) Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau ta có AD = AF => tam giácế ế ắ ADF cân t i A => ạ ∠ADF = ∠AFD < 90 0 => sđ cung DF < 180 0 => ∠DEF < 90 0 ( vì góc DEF n i ti p ch n cung DE). ộ ế ắ Ch ng minh t ng t ta có ứ ươ ự ∠DFE < 90 0 ; ∠EDF < 90 0 . Nh v y tam giácư ậ DEF có ba góc nh n.ọ 2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF AB AC = => DF // BC. 3. DF // BC => BDFC là hình thang l i có ạ ∠ B = ∠C (vì tam giác ABC cân) => BDFC là hình thang cân do đó BDFC n i ti pộ ế đ c m t đ ng tròn .ượ ộ ườ M I O F E D C B A 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có ∠ DBM = ∠BCF ( hai góc đáy c a tam giác cân).ủ ∠BDM = ∠BFD (n i ti p cùng ch n cung DI); ộ ế ắ ∠ CBF = ∠BFD (vì so le) => ∠BDM = ∠CBF . => ∆BDM ∼∆ CBF => CF BM CB BD = Bài 12 Cho đ ng tròn (O) bán kính R có hai đ ng kính AB và CD vuông góc v i nhau. Trên đo nườ ườ ớ ạ th ng AB l y đi m M (M khác O). CM c t (O) t i N. Đ ng th ng vuông góc v i AB t i M c t ti pẳ ấ ể ắ ạ ườ ẳ ớ ạ ắ ế tuy n ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 7 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 t i N c a đ ng tròn P. Ch ng minh :ạ ủ ườ ở ứ 1. T giác OMNP n i ti p.ứ ộ ế 2. T giác CMPO là hình bình hành.ứ 3. CM. CN không ph thu c vào v trí c a đi m M.ụ ộ ị ủ ể 4. Khi M di chuy n trên đo n th ng AB thì P ch y trên đo nể ạ ẳ ạ ạ th ng c đ nh nào.ẳ ố ị L i gi i: ờ ả 1. Ta có ∠OMP = 90 0 ( vì PM ⊥ AB ); ∠ONP = 90 0 (vì NP là ti pế tuy n ).ế Nh v y M và N cùng nhìn OP d i m t góc b ng 90ư ậ ướ ộ ằ 0 => M và N cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính OP => T giác OMNP n i ti p.ằ ườ ườ ứ ộ ế 2. T giác OMNP n i ti p => ứ ộ ế ∠OPM = ∠ ONM (n i ti p ch n cungộ ế ắ OM) Tam giác ONC cân t i O vìạ có ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN B' A' O P N M D B A C => ∠OPM = ∠OCM. Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ∠MOC = ∠OMP = 90 0 ; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l i có MO là c nh chung => ạ ạ ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1) Theo gi thi t Ta có CD ả ế ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2). T (1) và (2) => T giác CMPO là hình bình hành.ừ ứ 3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ∠MOC = 90 0 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 90 0 (n i ti p ch n n aộ ế ắ ử đ ng tròn ) => ườ ∠MOC =∠DNC = 90 0 l i có ạ ∠C là góc chung => ∆OMC ∼∆ NDC => CM CO CD CN = => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R 2 không đ i => CM.CNổ =2R 2 không đ i hay tích CM. CN không ph thu c vào v trí c a đi m M.ổ ụ ộ ị ủ ể 4. ( HD) D th y ễ ấ ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 90 0 => P ch y trên đ ng th ng c đ nh vuôngạ ườ ẳ ố ị góc v i CD t i D. ớ ạ Vì M ch ch y trên đo n th ng AB nên P ch ch y trên do n th ng A’ B’ song song và b ng AB.ỉ ạ ạ ẳ ỉ ạ ạ ẳ ằ Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đ ng cao AH. Trên n a m t ph ng b BC ch aở ườ ử ặ ẳ ờ ứ đi n A , V n a đ ng tròn đ ng kính BH c t AB t i E, N a đ ng tròn đ ng kính HC c t ACể ẽ ử ườ ườ ắ ạ ử ườ ườ ắ t i F.ạ 1. Ch ng minh AFHE là hình ch nh t.ứ ữ ậ 2. BEFC là t giác n i ti p.ứ ộ ế 3. AE. AB = AF. AC. 4. Ch ng minh EF là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn .ứ ế ế ủ ử ườ L i gi i: ờ ả 1. Ta có : ∠BEH = 90 0 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠AEH = 90 0 (vì là hai góc k bù). (1)ề ∠CFH = 90 0 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠AFH = 90 0 (vì là hai góc k bù).(2)ề ∠EAF = 90 0 ( Vì tam giác ABC vuông t i A) (3)ạ ( ) 1 2 2 1 1 I F E O 2 O 1 H C B A 1 T (1), (2), (3) => t giác AFHE là hình ch nh t ( vì có ba góc vuông).ừ ứ ữ ậ 2. T giác AFHE là hình ch nh t nên n i ti p đ c m t đ ng tròn =>ứ ữ ậ ộ ế ượ ộ ườ ∠F 1 =∠H 1 (n i ti p ch nộ ế ắ cung AE) . Theo gi thi t AH ả ế ⊥BC nên AH là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn (Oế ế ủ ử ườ 1 ) và (O 2 ) => ∠B 1 = ∠H 1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung HE) => ộ ế ắ ∠B 1 = ∠F 1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC mà ∠AFE + ∠EFC = 180 0 (vì là hai góc k bù) => ề ∠EBC+∠EFC = 180 0 m t khác ặ ∠EBC và ∠EFC là hai góc đ i c a t giác BEFC do đó BEFC là t giác n i ti p.ố ủ ứ ứ ộ ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 8 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có ∠A = 90 0 là góc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Ch ng minhứ trên) => ∆AEF ∼∆ ACB => AE AF AC AB = => AE. AB = AF. AC. * HD cách 2: Tam giác AHB vuông t i H có HE ạ ⊥ AB => AH 2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông t i H có HF ạ ⊥ AC => AH 2 = AF.AC (**) T (*) và (**) => AE. AB = AF. ACừ 4. T giác AFHE là hình ch nh t => IE = EH => ứ ữ ậ ∆IEH cân t i I => ạ ∠E 1 = ∠H 1 . ∆O 1 EH cân t i Oạ 1 (vì có O 1 E vàO 1 H cùng là bán kính) => ∠E 2 = ∠H 2 . => ∠E 1 + ∠E 2 = ∠H 1 + ∠H 2 mà ∠H 1 + ∠H 2 = ∠AHB = 90 0 => ∠E 1 + ∠E 2 = ∠O 1 EF = 90 0 => O 1 E ⊥EF . Ch ng minh t ng t ta cũng có Oứ ươ ự 2 F ⊥ EF. V y EF là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn .ậ ế ế ủ ử ườ Bài 14 Cho đi m C thu c đo n th ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. V v m t phía c a ABể ộ ạ ẳ ẽ ề ộ ủ các n a đ ng tròn có đ ng kính theo th t là AB, AC, CB và có tâm theo th t là O, I, K.ử ườ ườ ứ ự ứ ự Đ ng vuông góc v i AB t i C c t n a đ ng tròn (O) t i E. G i M. N theo th t là giao đi m c aườ ớ ạ ắ ử ườ ạ ọ ứ ự ể ủ EA, EB v i các n a đ ng tròn (I), (K).ớ ử ườ 1.Ch ng minh EC = MN.ứ 2.Ch/minh MN là ti p tuy n chung c a các n a đ/tròn (I), (K).ế ế ủ ử 3.Tính MN. 4.Tính di n tích hình đ c gi i h n b i ba n a đ ng trònệ ượ ớ ạ ở ử ườ L i gi i: ờ ả 1. Ta có: ∠BNC= 90 0 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm K)ộ ế ắ ử ườ 1 H 1 N M C I O K B E A 3 2 2 1 1 => ∠ENC = 90 0 (vì là hai góc k bù). (1)ề ∠AMC = 90 0 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn tâm I) => ộ ế ắ ử ườ ∠EMC = 90 0 (vì là hai góc k bù).(2)ề ∠AEB = 90 0 (n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm O) hay ộ ế ắ ử ườ ∠MEN = 90 0 (3) T (1), (2), (3) => t giác CMEN là hình ch nh t => EC = MN (tính ch t đ ng chéo hình ch nh t )ừ ứ ữ ậ ấ ườ ữ ậ 2. Theo gi thi t EC ả ế ⊥AB t i C nên EC là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn (I) và (K) ạ ế ế ủ ử ườ => ∠B 1 = ∠C 1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung CN). ộ ế ắ T giác CMEN là hình ch nh t nên => ứ ữ ậ ∠C 1 = ∠N 3 => ∠B 1 = ∠N 3 .(4) L i có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân t i K => ạ ạ ∠B 1 = ∠N 1 (5) T (4) và (5) => ừ ∠N 1 = ∠N 3 mà ∠N 1 + ∠N 2 = ∠CNB = 90 0 => ∠N 3 + ∠N 2 = ∠MNK = 90 0 hay MN ⊥ KN t i N => MN là ti p tuy n c a (K) t i N.ạ ế ế ủ ạ Ch ng minh t ng t ta cũng có MN là ti p tuy n c a (I) t i M, ứ ươ ự ế ế ủ ạ V y MN là ti p tuy n chung c a các n a đ ng tròn (I), (K).ậ ế ế ủ ử ườ 3. Ta có ∠AEB = 90 0 (n i ti p ch n n c đ ng tròn tâm O) => ộ ế ắ ử ườ ∆AEB vuông t i A có EC ạ ⊥ AB (gt) => EC 2 = AC. BC EC 2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi thi t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cmả ế Ta có S (o) = π .OA 2 = π 25 2 = 625 π ; S (I) = π . IA 2 = π .5 2 = 25 π ; S (k) = π .KB 2 = π . 20 2 = 400 π . Ta có di n tích ph n hình đ c gi i h n b i ba n a đ ng tròn là S = ệ ầ ượ ớ ạ ở ử ườ 1 2 ( S (o) - S (I) - S (k) ) S = 1 2 ( 625 π - 25 π - 400 π ) = 1 2 .200 π = 100 π ≈ 314 (cm 2 ) Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A. Trên c nh AC l y đi m M, d ng đ ng tròn (O) có đ ngở ạ ấ ể ự ườ ườ kính MC. đ ng th ng BM c t đ ng tròn (O) t i D. đ ng th ng AD c t đ ng tròn (O) t i S.ườ ẳ ắ ườ ạ ườ ẳ ắ ườ ạ 1. Ch ng minh ABCD là t giác n i ti p .ứ ứ ộ ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 9 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 2. Ch ng minh CA là tia phân giác c a góc SCB.ứ ủ 3. G i E là giao đi m c a BC v i đ ng tròn (O). Ch ng minh r ng các đ ng th ng BA, EM,ọ ể ủ ớ ườ ứ ằ ườ ẳ CD đ ng quy.ồ 4. Ch ng minh DM là tia phân giác c a góc ADE.ứ ủ 5. Ch ng minh đi m M là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ADE.ứ ể ườ ộ ế L i gi i: ờ ả 3 2 3 3 2 2 2 1 1 1 1 F O M S D E B A C H×nh a F 1 2 C A B E D S M O 1 1 1 1 2 2 2 3 2 H×nh b 1. Ta có ∠CAB = 90 0 ( vì tam giác ABC vuông t i A); ạ ∠MDC = 90 0 ( góc n i ti p ch n n a đ ngộ ế ắ ử ườ tròn ) => ∠CDB = 90 0 nh v y D và A cùng nhìn BC d i m t góc b ng 90ư ậ ướ ộ ằ 0 nên A và D cùng n mằ trên đ ng tròn đ ng kính BC => ABCD là t giác n i ti p.ườ ườ ứ ộ ế 2. ABCD là t giác n i ti p => ứ ộ ế ∠D 1 = ∠C 3 ( n i ti p cùng ch n cung AB). ộ ế ắ ∠D 1 = ∠C 3 => ¼ ¼ SM EM= => ∠C 2 = ∠C 3 (hai góc n i ti p đ ng tròn (O) ch n hai cung b ng nhau)ộ ế ườ ắ ằ => CA là tia phân giác c a góc SCB.ủ 3. Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh v y BA, EM, CD là ba đ ng cao c a tamư ậ ườ ủ giác CMB nên BA, EM, CD đ ng quy.ồ 4. Theo trên Ta có ¼ ¼ SM EM= => ∠D 1 = ∠D 2 => DM là tia phân giác c a góc ADE.(1)ủ 5. Ta có ∠MEC = 90 0 (n i ti p ch n n a đ ng tròn (O)) => ộ ế ắ ử ườ ∠MEB = 90 0 . T giác AMEB có ứ ∠MAB = 90 0 ; ∠MEB = 90 0 => ∠MAB + ∠MEB = 180 0 mà đây là hai góc đ i nênố t giác AMEB n i ti p m t đ ng tròn => ứ ộ ế ộ ườ ∠A 2 = ∠B 2 . T giác ABCD là t giác n i ti p => ứ ứ ộ ế ∠A 1 = ∠B 2 ( n i ti p cùng ch n cung CD) ộ ế ắ => ∠A 1 = ∠A 2 => AM là tia phân giác c a góc DAE (2)ủ T (1) và (2) Ta có M là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ADEừ ườ ộ ế TH2 (Hình b) Câu 2 : ∠ABC = ∠CME (cùng ph ụ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS => » » ¼ ¼ CE CS SM EM= => = => ∠SCM = ∠ECM => CA là tia phân giác c a góc SCB.ủ Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và m t đi m D n m gi a A và B. Đ ng tròn đ ng kính BD c tở ộ ể ằ ữ ườ ườ ắ BC t i E. Các đ ng thạ ườ ẳng CD, AE l n l t c t đ ng tròn t i F, G.ầ ượ ắ ườ ạ Ch ng minh :ứ 1. Tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác EBD.ồ ạ ớ 2. T giác ADEC và AFBC n i ti p .ứ ộ ế 3. AC // FG. 4. Các đ ng th ng AC, DE, FB đ ng quy.ườ ẳ ồ L i gi i: ờ ả 1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có ∠BAC = 90 0 ( vì tam giác ABC vuông t i A); ạ ∠DEB = 90 0 ( góc n i ti p ch n n a đ ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => ∠DEB = ∠BAC = 90 0 ; l i có ạ ∠ABC là góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB . . Theo trên ∠DEB = 90 0 => DEC = 90 0 (vì hai góc k bù);ề BAC = 90 0 ( vì ∆ABC vuông t iạ A) hay ∠DAC = 90 0 => ∠DEC + DAC = 180 0 mà đây là hai góc đ i nên ADEC là t giác n i ti p .ố ứ ộ ế ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 10 . k bù => ề ∠COD = 90 0 . ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 2 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 3. Theo trên ∠COD = 90 0 nên tam giác COD. CEHD ta có:ứ ∠ CEH = 90 0 ( Vì BE là đ ng cao)ườ ĐẶNG NGỌC THANH TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 1 TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9 H 1 3 2 1