ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = 1 1 2    x mxx 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C 1 ) 2đ b) Tìm trên 2 nhánh của (C 1 ) 2 diểm A và B sao cho AB bé nhất 2đ 2) Xác định m để hàm số có y CĐ , y CT và y CĐ .y CT > 0 1đ Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 6 2 33 111  xxx 2đ b) Tìm  x, y  Z thoả m ãn 2đ   yyxxlog y 3732 2 8 2 2 2   Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số    0 2 sin xdx eI x n (n = 1, 2, ) a) CMR: , ,n n e I n 21 2 2   3đ b) Tính n n Ilim  1đ Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 1 2 2 2 2  b y a x có a > b Xét M o (X o , Y o )  E ; O là gốc toạ độ 1) CMR: a  OM  b 2đ 2) CMR: tiếp tuyến với E tại M O (x 0 > 0;y 0 > 0)cắt chiều dương OX và OY ở A, B thì tồn tại vị trí M O để độ dài AB min. 2đ Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ABC. Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để P min . Hướng dẫn đáp án: Bài 1: 1) m = 1: a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x + 1 1  x  TXĐ: R - {-1) 0,5đ b) y' = 1   2 1 1   x  y' = 0 khi x = -2 hoặc x = 0  dấu y' - 2 - 1 0 x 0,25đ Hàm số đồng biến trong (-, -2)  (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2, -1)  (-1, 0) Có x LĐ = -2,  y CĐ = -3 và x CT = 0  y CT = 1 0,5đ Tiệm cận: đứng x = -1 vì           1 1 1 x xlim x + - - + Tiệm cận xiên y = x vì 1 1   x lim x = 0 Bảng biến thiên: 1 x y' y -  - 2 - 1 0 +  + 0 - 0 + - -  -  +  +  - 3 Vẽ đồ thị (0,5d) y x - 3 b) Gọi A  nhánh phải; B  nhánh trái. 0,5đ  A (-1 +, -1 +  +  1 ) và (-1 -, -1 - -  1 ) với  và  dương  BA 2 = AB 2 = ( + ) 2 + ( + ) 2 2 1 1         = ( + ) 2                           22 2 12 24 1 11 = 8   4 + 8 2 8 8   => 288  min AB 1điểm - 1 - 1 - 2 1 0 y = x tại  =  = 4 2 1         4 44 2 2 1 1 2 1 1 ;A        4 44 2 2 1 1 2 1 1 ;B 0,5đ Bài 2: a) x =  1 không phải nghiệm phương trình 0,5đ chia 2 vế cho 6 2 1  x ta có: 1 1 1 1 1 66       x x x x đặt )t( x x t 0 1 1 6     ta có: 01 1  t t  t 2 - t - 1 = 0  )i¹lot(t 2 51 2 51     0,5đ                                  1 2 51 2 51 1 1 66 x x x 1 2 51 2 51 1 2 51 1 6 6 6                                x 1đ b) Nhận xét rằng: x 2 + 2x + 3 = (x + 1) 2 + 2  2  log 2 (x 2 + 2x + 3)  1  x  R 0,75đ  điều kiện cần phải có 8+ 7+3+ 2 2 y yy -  1  2 1  y  1 y  Z  y = 1 0,5đ  x 2 + 2x + 3  2  x = -1 0,5đ  BPT có nghiệm       1 1 y x ( Z) 0,25 Bài 3: Đặt    0 2 nxdxsin.eI x n   nxcos n nxdxsin,dxxedueu xx 1 2 22      0 0 22 21 nxdxcosxe n xncose n I xx n 1,0đ        0 22 2 11 1 nxdxcosxeJ;J n e.)( n I x nn n n => nn n n J nn e J nn e)( I 21211 22       1,0đ mặt khác có:     000 222 dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ x n xx n = n e I e n 22 2 2 1    1,0đ Do 0 2 0 2 22   n e vµ n e nên I n 0 theo nguyên lí kẹp (1đ) Bài 4: 1) 2 điểm: từ M O  E  1 2 2 2 2  b y a x OO và OM 2 = 22 OO yx  và từ a > b ta có: 1,0đ 1= 2 2 0 2 2 0 + b y a x  2 2 0 2 2 0 + b y b x  2 b  2 0 2 0 + yx (1) và 1= 2 2 0 2 2 0 + b y a x  2 2 0 2 2 0 + a y a x  2 a  2 0 2 0 + yx (2) từ (1) và (2)  a 2  OM 2  b 2  a  OM  b 1,0đ 2) Đường thẳng AB có dạng 1 n y m x với A(m,o); B(n,o) theo t/c tiếp tuyến  1 2 2 2 2  n b m a => 0,5đ vậy AB 2 = m 2 + n 2 = (m 2 + n 2 ).1 = =   2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 a m n b n m ba n b m a nm         0,5đ  a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 dấu = có khi 2 2 2 2 2 2 a m n b n m          1 2 2 2 2 22 n b m a anbm  AB min = a + b khi        abbn abam 2 2 1đ Bài 5: Đặt ASM = , BSM = , CSM =  Ta có: P = sin + 2sin + 3sin S M    sẽ tính được sin 2  + sin 2  + sin 2  = 2 0,5đ  sin + sin + sin  sin 2  + sin 2  + sin 2  = 2 => sin + sin - 1  1 - sin  2(sin + sin) - 2  1 - sin 0,5đ  2sin + 3sin + sin  2 + 1 = 3 1,0đ P min = 3 khi sin = sin 2 ; sin = sin 2 ; sin = sin 2  0,5đ => sin  = 0, sin = sin = 1   = 90 0 ,  = 90 0 ,  = 0 0 P min = 3 khi M  C. A B C . nhánh trái. 0,5đ  A ( -1 +, -1 +  +  1 ) và  ( -1 - , -1 - -  1 ) với  và  dương  BA 2 = AB 2 = ( + ) 2 + ( + ) 2 2 1 1         =. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 18 0' (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = 1 1 2    x mxx