WWW.VNMATH.COM SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Khối A (Thời gian làm bài: 180 phút) Phần I: Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Câu I. (2 điểm) Cho hàm số ( ) Cxxy 43 23 +−= 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Câu II. (2 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 2 cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − . 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 21 1 21 1 x y y y x x  + = − +   + = − +   Câu III. (1 điểm) Giải phương trình: 3 2 3 3 5 8 36 53 25x x x x− = − + − Câu IV. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30 0 . Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a. Câu V. (1 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 3xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1 4 3 2xyz x y y z z x + ≥ + + + Phần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần. A. Theo chương trình chuẩn Câu VIa.(2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I(2; 1) và AC = 2BD. Điểm 1 0; 3 M    ÷   thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip có phương trình chính tắc ( ) 2 2 : 1 25 9 x y E + = . Viết phương trình đường thẳng song song với Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB = 4. CâuVIIa. (1 điểm) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 n n P x x x x= − + + , biết rằng 2 1 1 5 n n n A C − + − = . B. Theo chương trình nâng cao. Câu VIb.(2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, biết rằng các đường thẳng AB, BD lần lượt có phương trình là 3 4 1 0x y+ + = và 2 3 0x y− − = . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của Elip (E) biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là ( ) 12 2 3+ Câu VIIb. (1 điểm) Tìm số nguyên dương n sao cho: ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013 n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = ………………… Hết…………………. WWW.VNMATH.COM WWW.VNMATH.COM WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I KHỐI A WWW.VNMATH.COM Câu Nội dung Điểm I.1 ( ) Cxxy 43 23 +−= + Tập xác định: D = ¡ + Giới hạn: lim , lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ 0.25 + Đaọ hàm 2 0 ' 3 6 ; ' 0 2 x y x x y x =  = − = ⇔  =  BBT: x - ∞ 0 2 + ∞ y’ + - + y - ∞ 4 0 + ∞ 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ;0 , 2;−∞ +∞ , nghịch biến trên khoảng ( ) 0;2 Hàm số đạt cực đại tại x = 0, 4 CD y = Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, 0 CT y = 0.25 + Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 0) và nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng 0.25 I.2 Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc k là: ( ) 2−= xky + Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: ( ) 432 23 +−=− xxxk ( ) ( ) ( )    =−−−= == ⇔=−−−−⇔ 02 2 022 2 2 kxxxg xx kxxx A 0.25 + (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P ( ) 0=⇔ xgpt có hai nghiệm phân biệt khác 2 ( ) (*)0 4 9 02 0 ≠<−⇔    ≠ >∆ ⇔ k g 0.25 + Theo định lí viet ta có:    −−= =+ 2. 1 kxx xx NM NM + Các tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau ( ) ( ) 1'.' −=⇔ NM xyxy 0.5 WWW.VNMATH.COM ( )( ) 3 223 0118916363 222 ±− =⇔=++⇔−=−−⇔ kkkxxxx NNMM (thỏa(*)) II.1 ( ) ( ) 2 cos sin 2 cos sin 1 1 sin cos 2 cos cos cos sin 1 cos sin 2 sin cos .sin 2 sin x x x x pt x x x x x x x x x x x x − − ⇔ = ⇔ = − + − 0.25 Điều kiện: sin 2 0 2 cos sin 0 4 k x x x x x k π π π  ≠  ≠   ⇔   − ≠   ≠ +   0.25 Khi đó pt ( ) 2 sin 2 2 sin cos 2 2 4 x x x x k k π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈¢ 0.25 Đối chiếu với điều kiện, pt đã cho có nghiệm là ( ) 2 4 x k k π π = − + ∈¢ 0.25 II.2 ( ) ( ) 2 2 2 2 21 1 1 21 1 2 x y y y x x  + = − +   + = − +   Điều kiện: 1 1 x y ≥   ≥  Trừ hai vế của pt (1) và (2) cho nhau ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 21 1 1 0 1 1 21 21 1 0 1 1 21 21 x y y x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + = − − − + − − + − ⇔ + + − + = − + − + + +   +  ÷ ⇔ − + + + =  ÷ − + − + + +   ⇔ = 0.5 Thay x = y vào pt (1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 21 1 21 5 1 1 4 4 2 2 2 1 1 21 5 1 1 2 2 1 0 2 1 1 21 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x + = − + ⇔ + − = − − + − − − ⇔ = + + − − + + +     ⇔ − + + − = ⇔ =    ÷ − + + +       Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2 0.5 III ( ) ( ) 3 3 3 5 2 3 2 *pt x x x⇔ − = − − + Đặt ( ) 3 3 2 3 3 5 2 3 3 5y x y x− = − ⇔ − = − Ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 5 ** 2 3 3 5 x y x y x  − = + −   − = −   0.5 Trừ vế với vế hai phương trình của hê ta đươc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0 x y x x y y x y x y x x y y x y   − − + − − + − = − −     ⇔ − − + − − + − + =   ⇔ = 0.5 WWW.VNMATH.COM Thay x=y vào (**) ta được: ( ) 3 3 2 1 2 3 2 3 3 5 8 36 51 22 0 5 3 5 3 2, , 4 4 x x x x x x x x − = − ⇔ − + − = + − ⇔ = = = IV Vì ( ) CB AB CB SAB CB SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒  ⊥  SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB) ( ) · ( ) · ( ) · 0 , , 30SC SAB SC SB CSB⇒ = = = 0 .cot30 3 2SB BC a SA a⇒ = = ⇒ = 0.25 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 3 2 . 1 1 2 . 2. ( ) 3 3 3 S ABCD ABCD a V SA S a a dvtt= = = 0.25 + Từ C dựng CI // DE 2 a CE DI⇒ = = và ( ) / /DE SCI ( ) ( ) ( ) , ,d DE SC d DE CSI⇒ = Từ A kẻ AK CI ⊥ cắt ED tại H, cắt CI tại K Ta có: ( ) ( ) ( ) SA CI CI SAK SCI SAK AK CI ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  theo giao tuyến SK Trong mặt phẳng (SAK) kẻ ( ) HT AK HT SCI⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( ) ( ) , ,d DE SC d H SCI HT⇒ = = 0.25 + Ta có: 2 2 3 . 1 1 . 3 2 . . 2 2 5 2 ACI a a CD AI a S AK CI CD AI AK CI a a = = ⇒ = = =   +  ÷   Kẻ KM//AD 1 1 ( ) 2 3 5 HK KM a M ED HK AK HA AD ∈ ⇒ = = ⇒ = = Lại c ó: · 2 2 2. . 38 5 sin 19 9 2 5 a a SA HT SA HK SKA HT SK HK SK a a = = ⇒ = = = + Vậy ( ) 38 , 19 d ED SC = 0.25 V Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương ( ) ( ) ( ) 1 1 4 , , 2 2xyz xyz x y y z z x+ + + ta được: 0.25 WWW.VNMATH.COM ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 4 1 1 4 2 2 3 xyz x y y z z x xyz xyz x y y z z x x y z x y y z z x + = + + + + + + + + ≥ + + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z x y y z z x xyz zx yz xy zx yz xy+ + + = + + + Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương xy, yz, zx: ( ) 3 2 2 2 . . 1 1 1 1 3 xy yz zx xy yz zx x y z xyz + +   ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≤  ÷   Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương , ,zx yz xy zx yz xy + + + : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 2 3 zx yz xy zx yz xy zx yz xy zx yz xy   + + + + + + + + ≤ =     0.5 Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8x y z x y y z z x+ + + ≤ Vậy ( ) ( ) ( ) 3 1 4 3 3 2 8 xyz x y y z z x + ≥ = + + + . 0.25 VIa1 Gọi N’ là điểm đối xứng với N qua I ( ) ' 4; 5N⇒ − 0.25 Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0 Khoảng cách từ I đến AB là: 2 2 4.2 3.1 1 2 4 3 d + − = = + 0.25 Vì AC = 2BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x, trong tam giác vuông ABI có: 2 2 2 1 1 1 5 5 4 x BI d x x = + ⇒ = ⇒ = 0.25 Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5 Tọa độ B là nghiệm của hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 1 4 3 4 3 1 0 1 1 3 1 2 1 5 25 20 5 0 1 5 1; 1 x y x x y y x x y x y x x x loai B −  =  −  + − =   = =    ⇔ ⇔ ⇔ =      = − − + − =       − − =    = −   ⇒ − 0.25 Gọi pt đường thẳng song song với Oy là (d): x = a (với 0a ≠ ). Tung độ giao điểm 0.25 WWW.VNMATH.COM VIa.2 của (d) và (E) là: ( ) 2 2 2 2 2 25 3 1 9. 25 5 25 9 25 5 a y a y y a a − + = ⇔ = ⇔ = ± − ≤ Vậy 2 2 2 3 3 6 ; 25 , ; 25 25 5 5 5 A a a B a a AB a     − − − ⇒ = −  ÷  ÷     0.25 Do đó 2 2 6 100 5 5 4 25 4 25 5 9 3 AB a a a= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± (thỏa mãn đk) 0.25 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 5 5 5 5 , 3 3 x x= = − 0.25 VIIa Điều kiện 2,n n≥ ∈ ¥ Ta có: ( ) ( ) 2 1 1 2 1 5 1 5 2 2( ) 3 10 0 5 n n n n n A C n n n loai n n n − + + − = ⇔ − − = = −  ⇔ − − = ⇔  =  0.5 Với n = 5 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 10 5 10 2 2 5 10 0 0 1 2 1 3 2 3 k l k l k l P x x x x x C x x C x = = = − + + = − + ∑ ∑ ⇒ số hạng chứa x 5 là ( ) ( ) ( ) 4 3 1 2 7 5 5 5 10 . . 2 . 3 16.5 27.120 3320x C x x C x x x− + = + = Vậy hệ số của x 5 trong biểu thức P đã cho là 3320 0.5 VIb1 + Tọa độ B AB BD= ∩ là nghiệm của hệ phương trình: ( ) 3 4 1 0 1 1; 1 2 3 0 1 x y x B x y y + + = =   ⇔ ⇒ −   − − = = −   + ( ) . 22 1 ABCD S AB AD= = + Ta có: · ( ) · ( ) 2 2 2 2 3.2 4.1 2 11 cos tan 2 2 5 5 3 4 2 1 AD ABD ABD AB − = = ⇒ = = + + − Từ (1) và (2) ta có: AD =11; AB = 2 (3) 0.25 + Vì ( ) ; 2 3D BD D x x∈ ⇒ − + . Ta có: ( ) ( ) 11 11 ; 4 5 x AD d D AB − = = Từ (3) và (4) suy ra 6 11 11 55 4 x x x =  − = ⇔  = −  0.25 + Với x = 6 ( ) 6;9D⇒ ⇒ phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB là : 4 3 3 0x y− + = 3 1 38 39 ; ; 5 5 5 5 A AD AB C     ⇒ = ∩ = − ⇒  ÷  ÷     0.25 + Với x = -4 ( ) 4; 11D⇒ − − ⇒ phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB là : 4 3 17 0x y− − = 13 11 28 49 ; ; 5 5 5 5 A AD AB C     ⇒ = ∩ = − ⇒ − −  ÷  ÷     0.25 Gọi pt Elip cần tìm là: ( ) 2 2 2 2 1 0 x y a b a b + = > > với hai tiêu điểm là ( ) 1 ;0 ,F c− ( ) 2 ;0F c ( ) 2 2 2 , 0c a b c= − > và hai đinh trên trục nhỏ là: ( ) ( ) 1 2 0; , 0;B b B b− 0.25 WWW.VNMATH.COM Theo giả thiết ta có hệ: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 6 4 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 4 12 2 3 c a b b a a b c b c b c a b a b   = − =  =       = ⇔ = ⇔ =       = + = +    + = +    0.5 Vậy (E): 2 2 1 36 27 x y + = 0.25 VII ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013 n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = (*) Xét khai triên: ( ) 2 1 1 n x + + = 0 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n C xC x C x C x C x C + + + + + + + + + + + + + + Đạo hàm cả hai vế của khai triển ta được: ( ) ( ) 2 2 1 1 n n x+ + = ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 2 1 n n n n n n n C xC x C x C n x C + + + + + + + + + + + + 0.5 Thay x=-2 vào ta được: ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . n n n n n n n n C C C C n C + + + + + + + = − + − + + + Do đó (2) 2 1 2013 1006n n⇔ + = ⇔ = 0.5 ………………… Hết…………………. WWW.VNMATH.COM . WWW.VNMATH.COM SỞ GD VÀ ĐT THANH H A TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐỀ THI THỬ Đ I HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 201 2- 2013 Môn: Toán - Kh i A (Th i gian làm b i: 180 phút) Phần I: . (SAK) kẻ ( ) HT AK HT SCI⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( ) ( ) , ,d DE SC d H SCI HT⇒ = = 0.25 + Ta có: 2 2 3 . 1 1 . 3 2 . . 2 2 5 2 ACI a a CD AI a S AK CI CD AI AK CI a a =