Trang 1 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013 Môn thi: TOÁN ĐỀ 3 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 32 31y x x có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 42 . Câu II: (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x 8 48 2 11 log ( 3) log ( 1) 3log (4 ) 24 . 2. Tìm nghiệm trên khoảng 0; 2 của phương trình: x xx 22 3 4sin 3sin 2 1 2cos 2 2 4 Câu III: (1 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và 4 f x f x x( ) ( ) cos với mọi x R. Tính: I f x dx 2 2 . Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối chóp O.AHK. Câu V: (1 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 . Chứng minh rằng: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 2 1 1 1 1 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 = 0. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình z bz c 2 0 nhận số phức 1zi làm một nghiệm. B. Theo chương trình nâng cao Trang 2 Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G( 2, 0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0; 02y5x2 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d) 6x 3y 2z 0 6x 3y 2z 24 0 . Viết phương trình đường thẳng // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC. Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức: 4 3 2 6 8 16 0z z z z– – – . HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I: 2) Giả sử 3 2 3 2 3 1 3 1A a a a B b b b( ; ), ( ; ) (a b) Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y a y b( ) ( ) a b a b( )( 2) 0 ab20 b = 2 – a a 1 (vì a b). AB b a b b a a 2 2 3 2 3 2 2 ( ) ( 3 1 3 1) = a a a 6 4 2 4( 1) 24( 1) 40( 1) AB = 42 a a a 6 4 2 4( 1) 24( 1) 40( 1) = 32 ab ab 31 13 A(3; 1) và B(–1; –3) Câu II: 1) (1) x x x( 3) 1 4 x = 3; x = 3 2 3 2) (2) xxsin 2 sin 32 x k k Z a x l l Z b 52 ( ) ( ) 18 3 5 2 ( ) ( ) 6 Vì 0 2 x ; nên x= 5 18 . Câu III: Đặt x = –t f x dx f t dt f t dt f x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 f x dx f x f x dx xdx 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) cos x x x 4 3 1 1 cos cos2 cos4 8 2 8 I 3 16 . Câu IV: a V AH AK AO 3 12 ,. 6 27    Trang 3 Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 2 a ab c ab c ab c ab c ab abc a a a a a bc 1+b c b c 22 2 (1 ) (1) 2 4 4 4 2 1 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 2 bc d b bc d bc d bc d bc bcd b b b b b cd 1+c d c d 22 2 1 (2) 2 4 4 4 2 1 2 cd a c cd a cd a cd a cd cda c c c c c da 1+d a d a 22 2 1 (3) 2 4 4 4 2 1 2 da b d da b da b da b da dab d d d d d ab 1+a b a b 22 2 1 (4) 2 4 4 4 2 1 Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab b c c d d a a b 2 2 2 2 4 44 1 1 1 1 Mặt khác: a c b d ab bc cd da a c b d 2 4 2 . Dấu "=" xảy ra a+c = b+d a b c d abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a 22 22 a b c d abc bcd cda dab a b c d a b c d 44 a b c d abc bcd cda dab 2 4 2 . Dấu "=" xảy ra a = b = c = d = 1. Vậy ta có: a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 44 4 44 1 1 1 1 a b c d b c c d d a a b 2 2 2 2 2 1 1 1 1 đpcm. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. Câu VI.a: 1) Ptts của d: xt yt43 . Giả sử C(t; –4 + 3t) d. S AB AC A AB AC AB AC 2 22 11 . .sin . . 22   = 3 2 tt 2 4 4 1 3 t t 2 1 C(–2; –10) hoặc C(1;–1). 2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) có VTPT p n n AB, 0; 8; 12 0     Q y z( ):2 3 11 0 Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z 2 + bx + c = 0 nên: b c b i b i c b c b i bc 2 02 (1 ) (1 ) 0 (2 ) 0 2 0 2 Trang 4 Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 2) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa AB và song song d: ( ): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng ( ) chứa OC và song song d: ( ): 3x – 3y + z = 0 là giao tuyến của ( ) và ( ) : 6x 3y 2z 12 0 3x 3y z 0 Câu VII.b: 4 3 2 6 8 16 0z z z z– – – 2 1 2 8 0z z z( )( )( ) 1 2 22 22 z z zi zi . ab c ab c ab c ab abc a a a a a bc 1 +b c b c 22 2 (1 ) (1) 2 4 4 4 2 1 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 2 bc d b bc d bc d bc d bc bcd b b b. c b d ab bc cd da a c b d 2 4 2 . Dấu "=" xảy ra a+c = b+ d a b c d abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a 22 22 a b c d abc bcd cda dab