Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………
LUẬN VĂN
Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor
1
Mu
.
cLu
.
c
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u 3
1 C´ac b`ai to´an nˆo
.
i suy cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
n6
1.1 B`ai to´an nˆo
.
isuyLagrange 6
1.1.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 B`ai to´an nˆo
.
isuyTaylor 7
1.2.1 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyTaylor 7
1.2.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
isuyTaylor 7
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyNewton 7
1.3.1 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyNewton 7
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
isuyNewton 7
1.4 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyHermite 8
1.4.1 Ba`i toa´n nˆo
.
isuyHermite 8
1.4.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
isuyHermite 8
2Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy 13
2.1 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng 18
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a c´ac cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy kh´ac . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyTaylor 28
2.2.2 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyNewton 31
2.2.3 Cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Ba`i tˆa
.
p 35
3
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng v`a xˆa
´
pxı
˙’
h`am sˆo
´
38
3.1 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
38
3.1.1 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Lagrange . . . . . . . 38
3.1.2 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Chebyshev . . . . . . 41
3.2 Mˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
47
3.3 Xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
theo d¯a th´u
.
cnˆo
.
isuy 50
2
3.4 Ba`i tˆa
.
p 54
Kˆe
´
t luˆa
.
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an 55
Ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o 57
3
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u
Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe
`
u khi ta cˆa
`
n pha
’
ixa´cd¯i
.
nh gia´ tri
.
cu
’
amˆo
.
t ha`m
sˆo
´
f(x)ta
.
imˆo
.
td¯iˆe
’
m tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c, trong khi d¯o´d¯iˆe
`
ukiˆe
.
nchı
’
m´o
.
ichobiˆe
´
tmˆo
.
t
sˆo
´
gia´ tri
.
(r`o
.
ira
.
c) cu
’
a ha`m sˆo
´
va`cu
’
ad¯a
.
o ha`m ha`m sˆo
´
d¯ ˆe
´
ncˆa
´
p na`o d¯o´cu
’
a no´ ta
.
i
mˆo
.
tsˆo
´
d¯ i ˆe
’
m x
1
,x
2
, ··· ,x
k
cho tru
.
´o
.
c.
V´o
.
inh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pnhu
.
vˆa
.
y, ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng tı`m ca´ch xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ha`m
sˆo
´
P (x)da
.
ng d¯o
.
n gia
’
nho
.
n, thu
.
`o
.
ng la` ca´c d¯a th´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
, tho
’
ama
˜
n ca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
d¯ a
˜
cho. Ngoa`i ra, ta
.
inh˜u
.
ng gia´ tri
.
x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o
.
i x
1
,x
2
, ··· ,x
k
, thı`
P (x) ≈ f(x) (xˆa
´
pxı
’
theo mˆo
.
td¯ˆo
.
chı´nh xa´c na`o d¯o´).
Ha`m sˆo
´
P (x)d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng theo ca´ch v`u
.
a mˆo ta
’
trˆen d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` ha`m nˆo
.
i suy
cu
’
a f(x); ca´c d¯iˆe
’
m x
1
,x
2
, ···,x
k
thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`ca´cnu´t nˆo
.
i suy va` ba`i toa´n
xˆay du
.
.
ng ha`m P(x)nhu
.
vˆa
.
yd¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`Ba`i toa´n nˆo
.
i suy.
Su
.
’
du
.
ng ha`m (d¯a th´u
.
c) nˆo
.
i suy P (x), ta dˆe
˜
da`ng tı´nh d¯u
.
o
.
.
c gia´ tri
.
tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i
chı´nh xa´c cu
’
a ha`m sˆo
´
f(x)ta
.
i x ∈ R tu`y y´ cho tru
.
´o
.
c. T`u
.
d¯ o´, ta co´ thˆe
’
tı´nh gˆa
`
n
d¯u´ng gia´ tri
.
d¯ a
.
oha`mva` tı´ch phˆan cu
’
a no´ trˆen R.
Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n ra d¯`o
.
it`u
.
rˆa
´
ts´o
.
mva`d¯o´ng vai tro` rˆa
´
t quan tro
.
ng
trong thu
.
.
ctˆe
´
. Do d¯o´, viˆe
.
c nghiˆen c´u
.
u ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy la` rˆa
´
t co´ y´ nghı
˜
a.
O
.
˙’
ca´c tru
.
`o
.
ng phˆo
’
thˆong, ly´ thuyˆe
´
tvˆe
`
vˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y khˆong d¯u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p, nhu
.
ng
nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng so
.
cˆa
´
pcu
’
a no´ cu
˜
ng ”ˆa
’
nhiˆe
.
n” khˆong ı´t, ch˘a
’
ng ha
.
n trong ca´c
phu
.
o
.
ng trı`nh d¯u
.
`o
.
ng ho˘a
.
cphu
.
o
.
ng trı`nh m˘a
.
tbˆa
.
c hai, trong ca´c d¯˘a
’
ng th ´u
.
cda
.
ng
phˆan th´u
.
cva`d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` viˆe
.
c´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe
’
n
Taylor d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n kho´ trong ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.
c sinh gio
’
i ca´c cˆa
´
p.
Vı` vˆa
.
y, viˆe
.
c hı`nh tha`nh mˆo
.
t chuyˆen d¯ˆe
`
cho
.
nlo
.
cnh˜u
.
ng vˆa
´
nd¯ˆe
`
co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe
`
ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy, du
.
´o
.
igo´cd¯ˆo
.
toa´n phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a
no´ trong qua´ trı`nh gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ la` rˆa
´
tcˆa
`
n thiˆe
´
t. Ho
.
nn˜u
.
a, chuyˆen
d¯ ˆe
`
na`y cu
˜
ng co´ thˆe
’
la`m ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o cho ca´c gia´o viˆen gio
’
iva` ca´c sinh viˆen
nh˜u
.
ng n˘am d¯ˆa
`
ucu
’
abˆa
.
cd¯a
.
iho
.
c.
´
Ytu
.
o
.
’
ng muˆo
´
n thu
.
.
chiˆe
.
n luˆa
.
n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru
.
´o
.
c khi cuˆo
´
n sa´ ch chuyˆen
kha
’
o [2] ra d¯`o
.
i. D
-
ˆay v`u
.
a la` mˆo
.
t thuˆa
.
nlo
.
.
iv`u
.
ala`mˆo
.
t kho´ kh˘an cho nˆo
˜
lu
.
.
c tı`m kiˆe
´
m
4
nh˜u
.
ng ne´t m´o
.
i cho luˆa
.
n v˘an cu
’
a ta´c gia
’
, vı` cuˆo
´
n sa´ch trˆen la` mˆo
.
t ta`i liˆe
.
urˆa
´
t quı´
gia´, trong khi d¯o´hˆa
`
unhu
.
chu
.
a co´ mˆo
.
t ta`i liˆe
.
u toa´n so
.
cˆa
´
p na`o d¯ˆe
`
cˆa
.
pd¯ˆe
´
nvˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y mˆo
.
t ca´ch tro
.
nve
.
n. Do d¯o´, luˆa
.
n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe
`
cˆa
.
psˆauvˆe
`
ly´ thuyˆe
´
t ma` cˆo
´
g˘a
´
ng tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
ano´va`o viˆe
.
c gia
’
iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa
.
po
.
’
phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
t la` nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng thu
.
`o
.
ng g˘a
.
pcu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`
khai triˆe
’
n Taylor.
Luˆa
.
n v˘an da`y 56 trang, gˆo
`
m ca´c phˆa
`
nMu
.
clu
.
c, Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u, ba chu
.
o
.
ng nˆo
.
i dung,
kˆe
´
t luˆa
.
nva` ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o:
Chu
.
o
.
ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n.
Nˆo
.
i dung chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
t ca´ch co
.
ba
’
n nhˆa
´
tvˆe
`
ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy
cˆo
’
d¯ i ˆe
’
n, d¯o´ la` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy
Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite.
Chu
.
o
.
ng 2: Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy.
D
-
ˆay la` mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng nˆo
.
i dung tro
.
ng tˆam cu
’
a luˆa
.
n v˘an. V´o
.
itˆa
`
m quan tro
.
ng
o
.
’
phˆo
’
thˆong, cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a no´ d¯u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p
tha`nh mˆo
.
t phˆa
`
n riˆeng trong chu
.
o
.
ng na`y v´o
.
inh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p gia
’
i toa´n kha´ d¯a
da
.
ng va`mˆo
.
tsˆo
´
lu
.
o
.
.
ng ba`i tˆa
.
pd¯ˆe
`
xuˆa
´
t kha´ phong phu´. Nhiˆe
`
ud¯˘a
’
ng th´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng
phˆan th´u
.
c co´ nguˆo
`
ngˆo
´
ct`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c luˆa
.
n v˘an pha´t
hiˆe
.
n. Nhiˆe
`
u ba`i toa´n thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
cgiava` quˆo
´
ctˆe
´
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c gia
’
ib˘a
`
ng
ca´ch a´p du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy na`y. Phˆa
`
n co`n la
.
icu
’
a chu
.
o
.
ng trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy co`n la
.
i. Mˆo
.
tsˆo
´
ba`i tˆa
.
p da`nh cho ba
.
nd¯o
.
ccu
˜
ng
d¯ u
.
o
.
.
c gi´o
.
i thiˆe
.
uo
.
’
phˆa
`
n cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng.
Chu
.
o
.
ng 3:
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va` xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.
Chu
.
o
.
ng na`y ta´ch riˆeng mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy d¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng
va`xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ o
.
’
phˆo
’
thˆong liˆen quan d¯ˆe
´
nvˆa
´
nd¯ˆe
`
na`y
d¯ a
˜
d¯ u
.
o
.
.
cd¯ˆe
`
cˆa
.
p, trong d¯o´ co´ nh˜u
.
ng ba`i trong ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.
c sinh gio
’
i quˆo
´
c
gia va` quˆo
´
ctˆe
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
phˆa
`
ncu
’
a luˆa
.
n v˘an d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c d¯˘ang ta
’
i trong ca´c ky
’
yˆe
´
uhˆo
.
i
nghi
.
chuyˆen nga`nh, ch˘a
’
ng ha
.
n [1].
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh nh`o
.
su
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
cva` nhiˆe
.
t tı`nh cu
’
aTiˆe
´
n
sy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n - Ngu
.
`o
.
i Thˆa
`
yrˆa
´
t nghiˆem kh˘a
´
cva`tˆa
.
n tˆam trong cˆong viˆe
.
c,
truyˆe
`
nd¯a
.
t nhiˆe
`
ukiˆe
´
nth´u
.
c quı´ ba´u cu
˜
ng nhu
.
kinh nghiˆe
.
m nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.
c
trong suˆo
´
t th`o
.
i gian nghiˆen c´u
.
ud¯ˆe
`
ta`i. Chı´nh vı` vˆa
.
y ma` ta´c gia
’
luˆon to
’
lo`ng biˆe
´
t
o
.
n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a
´
cd¯ˆo
´
iv´o
.
i Thˆa
`
y gia´o hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n-Tiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n.
5
Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia
’
xin d¯u
.
o
.
.
c ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh d¯ˆe
´
n: Ban Gia´m
Hiˆe
.
u, Pho`ng d¯a`o ta
.
oD
-
a
.
iho
.
cva` sau D
-
a
.
iho
.
c, Khoa toa´n cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui
Nho
.
n, cu`ng quı´ thˆa
`
y cˆo gia´o d¯a
˜
tham gia gia
’
ng da
.
yva`hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
ccho
l´o
.
p cao ho
.
c toa´n kho´a 8. UBND tı
’
nh, So
.
’
gia´o du
.
cva` d¯a`o ta
.
otı
’
nh Gia Lai, Ban
Gia´m Hiˆe
.
u tru
.
`o
.
ng THPT Ia Grai d¯a
˜
cho ta´c gia
’
co
.
hˆo
.
iho
.
ctˆa
.
p, cu`ng v´o
.
i quı´ thˆa
`
y
cˆo gia´o cu
’
a nha` tru
.
`o
.
ng d¯a
˜
d¯ ˆo
.
ng viˆen, se
’
chia cˆong viˆe
.
cva`ta
.
omo
.
id¯iˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
n
lo
.
.
id¯ˆe
’
ta´c gia
’
nghiˆen c´u
.
uva` hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y.
Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an, ta´c gia
’
co`n nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng
viˆen cu
’
a ca´c ba
.
nd¯ˆo
`
ng nghiˆe
.
p, ca´c anh chi
.
em trong ca´c l´o
.
p cao ho
.
c kho´a VI I, VIII,
XIX cu
’
a tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia
’
xin chˆan tha`nh ca
’
mo
.
ntˆa
´
tca
’
nh˜u
.
ng
su
.
.
quan tˆam d¯ˆo
.
ng viˆen d¯o´.
D
-
ˆe
’
hoa`n tha`nh luˆa
.
n v˘an na`y, ta´c gia
’
d¯ a
˜
tˆa
.
p trung rˆa
´
t cao d¯ˆo
.
trong hoc tˆa
.
pva`
nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.
c, cu
˜
ng nhu
.
rˆa
´
tcˆa
’
n thˆa
.
n trong nhˆan chˆe
´
ba
’
n. Trong d¯o´ ı´t nhiˆe
`
u
ha
.
nchˆe
´
vˆe
`
th`o
.
i gian cu
˜
ng nhu
.
trı`nh d¯ˆo
.
hiˆe
’
ubiˆe
´
tnˆen trong qua´ trı`nh thu
.
.
chiˆe
.
n
khˆong thˆe
’
tra´nh kho
’
inh˜u
.
ng thiˆe
´
u so´t, ta´c gia
’
rˆa
´
t mong nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
csu
.
.
chı
’
ba
’
ocu
’
a
quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng go´p y´ cu
’
aba
.
nd¯o
.
cd¯ˆe
’
luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n thiˆe
.
nho
.
n.
Quy Nho
.
n, tha´ng n˘am 2008
Ta´c gia
’
6
Chu
.
o
.
ng 1
C´ac b`ai to´an nˆo
.
i suy cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
n
Trong chu
.
o
.
ng na`y, luˆa
.
nv˘and¯ˆe
`
cˆa
.
pmˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nse
˜
su
.
’
du
.
ng
o
.
’
ca´c chu
.
o
.
ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo
.
i suy Taylor, Ba`i
toa´n nˆo
.
i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite. L`o
.
i gia
’
i cho ca´c ba`i toa´n na`y la`
ca´c d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ma` ch´u
.
ng minh chi tiˆe
´
td¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c trı`nh ba`y trong [2]
1.1 B`ai to´an nˆo
.
i suy Lagrange
1.1.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
,v´o
.
i x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha
˜
yxa´c
d¯ i
.
nh d¯a th´u
.
c L(x) co´bˆa
.
c degL(x) ≤ N −1 va` tho
’
aca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
L(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N
.
1.1.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange
Ky´ hiˆe
.
u
L
i
(x)=
N
j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ··· ,N.
Khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
L(x)=
N
i=1
a
i
L
i
(x)
la` d¯a th ´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Lagrange va` ta go
.
i
d¯a th´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
7
1.2 B`ai to´an nˆo
.
i suy Taylor
1.2.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
0
,a
i
, v´o
.
i i =0, 1, ···,N − 1.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c T (x) co´
bˆa
.
c degT (x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
T
i
(x
0
)=a
i
, ∀i =0, 1, ··· ,N − 1.
1.2.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor
D
-
ath´u
.
c
T (x)=
N −1
i=0
a
i
i!
(x − x
0
)
i
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor va`go
.
i d¯a th ´u
.
c
na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
1.3.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
, v´o
.
i i =1, 2, ··· ,N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c N(x) co´bˆa
.
c
degN(x) ≤ N −1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
N
i−1
(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ··· ,N.
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
Ky´ hiˆe
.
u
R
i
(x
1
,x
2
, ··· ,x
i
,x)=
x
x
1
t
x
2
t
1
x
3
···
t
i−2
x
i
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt; i =1, 2, ··· ,N.
khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
N(x)=
N
i=1
a
i
R
i−1
(x
1
,x
2
, , x
i−1
,x)
= a
1
+ a
2
R(x
1
,x)+a
3
R
2
(x
1
,x
2
,x)+···+ a
N
R
N −1
(x
1
, ···,x
N −1
,x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va` ta go
.
id¯a
th ´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
8
Nhˆa
.
n xe´t 1.1. V´o
.
i x
i
= x
0
, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ··· ,N, thı`
R
i
(x
0
,x
1
, ···,x
i−1
,x)=R
i
x
0
, ···,x
0
i lˆa
`
n
,x
=
x
x
0
t
x
0
t
1
x
0
···
t
i−2
x
0
dt
i−1
dt
2
.dt
1
.dt
=
(x − x
0
)
i
i!
; v´o
.
i i =1, 2, ···,N
Khi d¯o´
N(x)=
N
i=1
a
i
R
i
x
0
, ···,x
0
i lˆa
`
n
,x
=
= a
0
+ a
1
R(x
0
,x)+a
2
R
2
(x
0
,x
0
,x)+···+ a
N −1
R
N −1
x
0
, ···,x
0
N −1 lˆa
`
n
,x
= a
0
+ a
1
(x −x
0
)+a
2
(x − x
0
)
2
2
+ ···+ a
N −1
(x − x
0
)
N −1
(N − 1)!
=
N −1
i=0
a
i
(x − x
0
)
i
i!
≡ T(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i x
i
= x
0
, ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u
.
c
nˆo
.
i suy Taylor.
1.4 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
1.4.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
ki
,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ··· ,p
i
− 1 va` x
i
= x
j
,v´o
.
i
mo
.
i i = j, trong d¯o´ p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
c
degH(x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H
(k)
(x
i
)=a
ki
, ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p
i
− 1
1.4.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite
Ky´ hiˆe
.
u
W (x)=
n
j=1
(x −x
j
)
p
j
;
9
W
i
(x)=
W (x)
(x − x
i
)
p
i
=
n
j=1,j=i
(x − x
j
)
p
j
; i =1, 2, ··· ,n
Go
.
i d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor d¯ˆe
´
ncˆa
´
pth´u
.
p
i
− 1 − k,v´o
.
i k =0, 1, ··· ,l; l =
0, 1, ···,p
i
− 1, ta
.
i x = x
i
cu
’
a ha`m sˆo
´
1
W
i
(x)
(i =1, 2, ··· ,n)la`
T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
p
i
−1−k
l=0
1
W
i
(x)
(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
.
khi d¯o´, d¯a th´u
.
c
H(x)=
n
i=1
p
i
−1
k=0
a
ki
(x − x
i
)
k
k!
W
i
(x)T
1
W
i
(x)
(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
.
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite va`tago
.
id¯a
th ´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite.
Nhˆa
.
n xe´t 1.2.
V´o
.
i n = 1, thı` i =1va` p
1
= N. Khi d¯o´, ta co´
W (x)=(x − x
1
)
N
;
W
1
(x)=
W (x)
(x − x
1
)
N
=1.
Do d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n
T
1
W
1
(x)
(N −1−k)
(x=x
1
)
= T
1
(N −1−k)
(x=x
1
)
=1.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
N −1
k=0
a
k1
(x − x
1
)
k
k!
≡ T (x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i n = 1, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
Nhˆa
.
n xe´t 1.3.
V´o
.
i k = 0, thı` p
i
= 1, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´
p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N,
[...]... cua cˆng th´.c o o ´ nˆi suy o ’ ´ o Chu.o.ng nay trı bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d` ` `nh ` o o ´ u o ¯o ¯ˆ e ´ ’ ´ ` ´ ¯ˆ o o u o o u ´ e ¯e cˆp sˆu ho.n d o i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ a a ’ ’ giai mˆt sˆ bai toan kho o hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan o o ` ´ ´ ’ e o o e ´ ´ ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c lu.o.ng va... ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n Da th´.c co dang u ´ n n aj j=1 i=1,ı=j x − xi xj − xi (2.1) (2.2) Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy u ¯ u o a o u o ` ¯ ´ x1 , x2, · · · , xn d u.o.c goi la cac nut nˆi suy ¯ Lagrange Cac sˆ ´ o ` ´ ´ o 14 ¯ u ¯o ` + V´.i n = 2, d a th´.c d´ la o P (x) = a1 x − x2 x − x1 + a2 x1 − x2 x2 − x1 (2.3) ´ Ky hiˆu degP... j=1 N Wi (x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N j=1,j=i ’ khi d´ , d oan khai triˆ n Taylor ¯o ¯ e T 1 Wi (x) 0 = (x=xi ) 1 1 = Wi (xi ) , i = 1, 2, · · · , N N (xi − xj ) j=1,j=i Vˆy, ta co a ´ N N a0i H(x) = i=1 j=1,j=i x − xj ≡ L(x) xi − xj ` ¯ u o ´nh ` ¯a u o Vˆy, v´.i k = 0, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d th´.c nˆi suy Lagrange a o `.ng ho.p tˆ ng quat, viˆc biˆ u diˆn d a th´.c Hermite... r˘ ng, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange chı la ”cac ´ a e a ` o u o ´nh ` ´ V´ ´ o ’ ’ ´ ’ `nh d u.`.ng cong (ho˘c d u.`.ng th˘ng) d i qua cac d e m ¯ o a ¯ o a ¯ ´ ¯iˆ gˆ c” cua mˆt sˆ phu.o.ng trı o o o ´ ’ o a a cho tru.´.c trong m˘t ph˘ng toa d ˆ ¯o ´.i goc d o hı hoc -o ` ´ o ´ D´ la ”cai gˆ c” nhı du o ´ ¯ˆ `nh `n ´.i d ay, v´.i mˆt goc nhı khac, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange con la ”cai gˆ... u.ng dung cua c´c cˆng th´.c nˆi suy o o ´ u o kh´c a o Cˆng th´.c nˆi suy Taylor o u ’ ´ ’ ’ ` ˜ Cˆng th´.c nˆi suy Taylor cho ta cˆng th´.c d o.n gian va cu ng rˆ t tˆ ng quat dˆ o u o o u ¯ a o ´ ¯e i han, ngu.`.i ta thu.`.ng dung ’ ` ´ o o ` xac d inh phˆn chı cua ham sˆ Do d´ , d e tı gi´ ´ ¯ a ´nh ’ ` o ¯o ¯ˆ `m o ’ e o o a ` ¯o o ¯ˆ ` o o ´ cˆng th´.c khai triˆ n Taylor t´.i mˆt cˆ p... mˆt cach viˆ t khac cua d a th´.c ` o ´ e ´ u Nhˆn xe t 2.3 Cˆng th´.c (2.18) cu ng chı a ´ o u o.c trı bay trong phˆn cac bai toan nˆi suy ` ´ ` ´ `nh ` a o nˆi suy Newton d˜ d u o ¯a ¯ 2.2.3 o Cˆng th´.c nˆi suy Hermite o u ´ Nhˆn xe t 2.4 Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2 a ´ ` ´ o e ` a p = 1 va p = 3 Thˆ thı p + p = 4 = N ´ ` 1 ’ ’ Gia su 1 ` 2 e 2 Khi d´... cac d ˘ ng th´.c P (k) = u 1 k Cn+1 , v´.i k = 0, 1, 2, , n o Tı P (n + 1) ´nh ’ Giai V´.i 1 o i n, ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co a o u o ´ n P (x) = 1 k Cn+1 i=k k=0 x−i = k−i n (−1)n−k = k=0 n i=k (x − i) k Cn+1 (−1)n−k (n − k=0 n+1−k (n + 1)! k)!k! (x − i) i=k Suy ra n (−1) P (n + 1) = k=0 +1−k (n + 1)! n n−k n (−1)n−k (n + 1 − i) = i=k k=0 ˜ ´ ´ ’ ` Do d´ P (n + 1) = 0 nˆ u n le... nh˜.ng sˆ h˜.u tı u ’ ´ 23 ’ ´ ´ o Giai Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange v´.i ak = k (k = 0, 1, 2, , n), ta co o u o f (x) = (−1)n f (0) (−1)n−1 f (1) (x − 1)(x − 2) (x − n) + x(x − 2) (x − n) n! 1!(n − 1)! (−1)n−2 f (2) x(x − 1)(x − 3) (x − n) 2!(n − 2)! ’ ´ ’ ´ ´ ’ Theo gia thiˆ t, f(0), f(1), , f(n) la nh˜.ng sˆ h˜.u tı Vı vˆy, khai triˆ n vˆ phai e ` u o u ’ ` a e e ’ ´ a ’ ’ ¯˘ e a ` ´ e... trˆn, ta thˆ y r˘ ng cac hˆ sˆ cua cac lu y th`.a cua x d` u la nh˜.ng u ´ u tı D` ng nhˆ t d a th´.c o hai vˆ , suy ra cac sˆ c , c , c + + c , la nh˜.ng ´ ´ ´ ´ u o a ¯ u ’ sˆ h˜ ’ - ˆ o u e ´ o 0 1 2 n ` u tı ´ sˆ h˜ ’ o u + ’ ’ ˜ Lu.u ´ : Cu ng co thˆ ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange tai n + 1 d iˆ m ak y ´ e a o u o ¯e u tı tuy ´ va khac nhau, thı cu ng d i d e n kˆ t qua trˆn Do d´... 2.10 Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) co bˆc nho ho.n n (n ≥ 2) va thoa ` ´ `m a ’ ´ ¯ u ˜ ¯` ma n d iˆu kiˆn e e n k (−1)n−k−1 Cn P (k) = 0 k=0 ’ ´ ´ o ´ ´ o Giai Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange v´.i cac nut nˆi suy xk = k ta co, moi o u o c P (x) co bˆc nho ho.n n d` u co dang ’ ´ a ¯ˆ ´ e d a th´ ¯ u n−1 P (xk ) P (x) = k=0 (x − x0 ) (x − xk−1 )(x − xk+1 ) (x − xn−1 ) (xk − x0) (xk − xk−1 .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………
LUẬN VĂN
Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor
1
Mu
.
cLu
.
c
Mo
.
’
d¯. nˆo
.
i suy Lagrange va` ta go
.
i
d¯a th´u
.
c na`y la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
7
1.2 B`ai to´an nˆo
.
i suy Taylor
1.2.1 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy
Ngày đăng: 05/03/2014, 23:20
Xem thêm: LUẬN VĂN: Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor pot, LUẬN VĂN: Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor pot