Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.2. Giới hạn và tính liên tục 1.2. Giới hạn và tính liên tục 1.4. Cực trị của hàm nhiều biến 1.5. Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học Đầy đủ lý thuyết, bài tập và lời giải chi tiết
Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Không gian Rn 1.1.1.1 Định nghĩa Không gian Euclide n chiều Rn (nN*) tập hợp có thứ tự n số thực x1, x2, …, xn tức Rn = {(x1,x2, …,xn) | xiR} Khi n = R1 tập hợp số thực R Khi n = R2 tập hợp cặp số thực (x1,x2) hay tập hợp điểm mặt phẳng Theo thói quen từ trước, điểm R2 thường ký hiệu (x,y) thay cho (x1,x2) Khi n = R3 tập hợp ba số thực (x1,x2,x3) hay tập hợp điểm khơng gian Theo thói quen từ trước, điểm R3 thường ký hiệu (x,y,z) thay cho (x1,x2,x3) Vì R1 tập hợp điểm trục số, R2 tập hợp điểm mặt phẳng, R3 tập hợp điểm không gian thực nên R1, R2 R3 gọi “không gian Euclide chiều”, “không gian Euclide chiều” “không gian Euclide chiều” Tổng quát, Rn gọi “không gian Euclide n chiều” hay ngắn gọn “không gian Rn” phần tử gọi điểm, cịn (x1,x2,…,xn) gọi tọa độ điểm không gian Rn 1.1.1.2 Khoảng cách Rn Khoảng cách hai điểm M1(x1) M2(x2) trục số (R1) định nghĩa d ( M1 , M ) x x ( x x ) Khoảng cách hai điểm M1(x1,y1) M2(x2,y2) mặt phẳng (R2) định nghĩa d(M1 , M ) ( x1 x ) ( y1 y ) Khoảng cách hai điểm M1(x1,y1,z1) M2(x2,y2,z2) không gian (R3) định nghĩa d(M1 , M ) ( x1 x ) ( y1 y ) (z1 z ) Tổng quát, khoảng cách hai điểm M1(x1,x2,…,xn) M2(y1,y2,…,yn) không gian Rn định nghĩa d(M1 , M ) ( x1 y1 ) ( x y ) ( x n y n ) Theo định nghĩa, khoảng cách hai điểm Rn ánh xạ từ Rn vào R+ (Rn R+) Khoảng cách hai điểm định nghĩa gọi khoảng cách Euclide Cũng trục số, mặt phẳng không gian thực, khoảng cách Euclide Rn có tính chất: (1) d(M1,M2) d(M1,M2) = M1 M2 (2) d(M1,M2) = d(M2,M1) (3) d(M1,M2) d(M1,M3) + d(M3,M2) – bất đẳng thức tam giác với M1, M2, M3 điểm Rn 1.1.1.3 Lân cận, tập mở, tập đóng tập bị chặn Rn Giả sử Mo điểm không gian Rn, số thực dương, tập hợp tất điểm MRn cho d(M0,M) < gọi -lân cận điểm M0 Mọi tập hợp chứa -lân cận điểm M0 gọi lân cận điểm M0 Giả sử tập hợp E Rn, điểm ME gọi điểm E tồn -lân cận điểm M nằm hồn tồn E Tập hợp E gọi mở điểm điểm Giả sử tập hợp E Rn, điểm NRn gọi điểm biên tập hợp E -lân cận điểm N vừa chứa điểm thuộc E vừa chứa điểm khơng thuộc E Điểm biên tập hợp E thuộc E khơng thuộc E Tập hợp tất điểm biên E gọi biên Tập hợp E Rn gọi đóng chứa điểm biên Ví dụ 1.1 Giả sử E tập hợp tất điểm MRn cho d(M0,M) < r với M0Rn điểm cố định r số thực dương, tập hợp mở Chứng minh Giả sử M điểm E, d(Mo,M) < r Đặt = r – d(M0,M), -lân cận M nằm hồn tồn E P điểm lân cận ta có d(M,P) < , theo bất đẳng thức tam giác d(M0,P) d(M0,M) + d(M,P) < d(M0,M) + = r Tập hợp E nói Ví dụ 1.1 gọi cầu mở tâm M0 bán kính r Biên tập hợp E gồm điểm M cho d(M0,M) = r gọi mặt cầu tâm M0 bán kính r Tập hợp điểm M cho d(M0,M) r tập hợp đóng, gọi cầu đóng tâm M0 bán kính r Tập hợp E Rn gọi bị chặn tồn cầu chứa Tập hợp E Rn gọi liên thông nối hai điểm đường liên tục nằm hoàn toàn E Tập hợp liên thơng gọi đơn liên bị giới hạn mặt kín, gọi đa liên bị giới hạn nhiều mặt kín rời đơi 1.1.2 Hàm số nhiều biến, hàm véc tơ 1.1.2.1 Hàm số nhiều biến Xét không gian Euclide n chiều Rn, giả sử D Rn Khi ánh xạ f: D R xác định {x = (x1,x2, …,xn)D} {y = f(x) f(x1,x2, …,xn)R} gọi hàm số n biến xác định D; D gọi tập xác định hàm số f, ký hiệu D(f); x1, x2, …, xn gọi biến số độc lập Tập tất giá trị hàm số y = f(x1,x2, …,xn) tập xác định D(f) gọi tập giá trị hàm số f, ký hiệu R(f) Như vậy, hàm số y = f(x1,x2, …,xn) ánh xạ f: D(f) R(f) Theo thói quen từ trước, với n = người ta dùng ký hiệu y = f(x) hàm số biến, với n = người ta dùng ký kiệu z = f(x,y) hàm số biến với n = người ta dùng ký hiệu u = f(x,y,z) hàm số biến Cũng hàm số biến, hàm số biến hàm số biến, tập xác định D(f) hàm số n biến tập hợp tất điểm xRn cho biểu thức hàm số y = f(x) f(x1,x2, …,xn) có nghĩa, tức biểu thức phải xác định Từ sau (trong Bài giảng học phần này), vấn đề liên quan đến hàm số nhiều biến trình bày cho trường hợp n = (hàm số biến) n = (hàm số biến) Các vấn đề mở rộng hoàn toàn tương tự số nguyên dương n ≥ (hàm số n biến) bất kỳ, khơng lưu ý thêm Ví dụ 1.2 Tìm vẽ tập xác định hàm số sau (a) z f ( x, y) x y (b) z f ( x , y) (c) z = f(x,y) = xln(y2 – x) (d) u f ( x , y, z) x y 1 y 1 x x y2 z2 Bài giải (a) Đối với hàm số f ( x, y) x y xét biểu thức x y , để biểu thức có nghĩa hay xác định biểu thức bậc hai phải không âm, tức – x2 – y2 0, nên tập xác định D(f) = {(x,y)R2|x2 + y2 22} Trên mặt phẳng tọa độ hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy D(f) điểm thuộc hình trịn đóng tâm O(0,0) có bán kính r = 2 x y 1 x y 1 xét biểu thức , để biểu thức có nghĩa hay y 1 y 1 xác định biểu thức bậc hai tử số phải không âm (x + y + ≥ 0) biểu thức mẫu số phải khác không (y – ≠ 0), nên tập xác định D(f) = {(x,y)R2| x + y +1 ≥ y – ≠ 0} Trên mặt phẳng tọa độ hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy D(f) điểm thuộc nửa mặt phẳng phía đường thẳng y = – x – (kể điểm nằm đường thẳng này), không nằm đường thẳng y = (b) Đối với hàm số f ( x , y) (c) Đối với hàm số f(x,y) = xln(y2 – x), xét biểu thức xln(y2 – x), để biểu thức có nghĩa hay xác định đối số hàm số loga phải dương, tức y2 – x > hay x < y2, nên tập xác định D(f) = {(x,y)R2|x < y2} Trên mặt phẳng tọa độ hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy D(f) điểm nằm bên trái đường parabol x = y2 (d) Đối với hàm số f ( x , y, z) x , xét biểu thức x , để biểu thức x y2 z2 x y2 z2 có nghĩa hay xác định biểu thức bậc hai mẫu số phải dương, tức – x2 – y2 – z2 > 0, nên tập xác định D(f) = {(x,y,z)R3|x2 + y2 + z2 < 12} Trong không gian tọa độ hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz D(f) điểm thuộc cầu mở tâm O(0,0,0) có bán kính r = Cũng hàm số biến, hàm số nhiều biến thường mô tả cách: (1) công thức, (2) đồ thị, (3) lời, (4) bảng giá trị 1.1.2.2 Hàm véc tơ Giả sử Rn, Rm tương ứng không gian Euclide n, m chiều Ánh xạ f: D Rm, D Rn gọi hàm véc tơ n biến Giá trị hàm véc tơ f có m thành phần f = (f1,f2, …,fm-1,fm) Rm Trường hợp riêng, n = m = 1, hàm véc tơ hàm số biến nghiên cứu học phần Giải tích 1; n > m = 1, hàm véc tơ hàm số nhiều biến vừa định nghĩa nghiên cứu học phần Giải tích 1.2 Giới hạn tính liên tục 1.2.1 Giới hạn Ta nói dãy điểm {Mn(xn,yn)} tiến đến điểm M0(x0,y0) R2 viết Mn M0 n + lim x n x lim d(M , M n ) lim ( x n , y n ) ( x , y ) n n n lim y y n n Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định lân cận V điểm M0(x0,y0) (có thể khơng xác định M0) Ta nói hàm số f(x,y) có giới hạn L (L số thực hữu hạn) điểm M(x,y) tiến đến điểm M0(x0,y0) (M M0) viết lim f ( x, y) L với dãy điểm Mn(xn,yn) (khác M0) thuộc ( x , y ) ( x , y ) lân cận V tiến đến M0, ta có lim f ( x n , y n ) L n Nói cách khác (bằng ngơn ngữ “-”): Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định lân cận V điểm M0(x0,y0) (có thể khơng xác định điểm M0) Ta nói hàm số f(x,y) có giới hạn L điểm M(x,y) tiến đến điểm M0(x0,y0) (M M0) viết lim f ( x, y) L với > bé tùy ý cho ( x , y ) ( x , y ) trước, = () > cho với (x,y)V thỏa mãn d(M, M ) ( x x ) ( y y ) f (x) L Nhận xét f ( x) L khoảng cách số f(x,y) L, ( x x ) ( y y ) khoảng cách điểm (x,y) điểm (x0,y0); đó, định nghĩa giới hạn ngơn ngữ “-” nói lên rằng: Khoảng cách f(x,y) L làm nhỏ tùy ý cách làm cho khoảng cách từ điểm (x,y) đến điểm (x0,y0) đủ nhỏ (nhưng không không) Lưu ý Giá trị x0, y0 nhận giá trị thuộc tập {-, , +} Các định lý giới hạn tổng/hiệu, tích, thương, lũy thừa, hàm số biến (n = 1) học phần Giải tích hàm số nhiều biến (n > 1) Cụ thể là: Cho hàm số f(x,y), g(x,y) giả sử lim ( x , y )( x , y0 ) f ( x , y) L , lim ( x , y ) ( x , y ) g( x, y) M (các số hữu hạn M, LR), + lim f ( x, y) g( x, y) L M ( x , y ) ( x , y ) + + + + + lim cf ( x, y) cL (hằng số cR) lim f (x, y)g(x, y) LM ( x , y )( x , y0 ) ( x , y )( x , y0 ) f ( x , y) L (M ≠ 0) ( x , y )( x , y0 ) g ( x , y) M lim lim f (x, y)n Ln (nN*) ( x , y )( x , y0 ) lim ( x , y ) ( x , y ) n f ( x, y) n L (nN*, n số chẵn thêm giả thuyết lim ( x , y )( x , y0 ) f ( x, y) 0) Nguyên lý kẹp hàm số nhiều biến Cụ thể là: Cho hàm số h(x,y), f(x,y), g(x,y); giả sử h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y) với điểm (x,y) lân cận điểm (x0,y0) lim h ( x, y) lim g( x, y) L (hằng số LR) ( x , y ) ( x , y ) lim ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) f ( x , y) L Tích vơ bé (VCB) với hàm số/biểu thức giới nội VCB Theo định nghĩa giới hạn hàm số nhiều biến giá trị giới hạn L khơng phụ thuộc vào cách thức điểm M tiến đến điểm M0 Do đó, M M0 theo cách thức khác mà hàm số tiến đến giá trị khác hàm số khơng tồn giới hạn điểm M0 M M0 Do đó, hàm số biến f(x,y), để chứng minh hàm số không tồn giới hạn điểm M0 M M0, thường có cách sau đây: (1) Nếu hai dãy điểm x (n1) , y (n1) , x (n2 ) , y (n2 ) tiến đến điểm (x0,y0) x (n1) , y (n1) (x , y ) x (n2) , y (n2) ( x , y ) n+∞, đồng thời lim f x (n1) , y (n1) L1 ( 2) n lim f x , y n mà ( 2) n L mà L1 ≠ L2 lim ( x , y ) ( x , y ) n f ( x, y) không tồn (2) Nếu hai đường (thẳng/cong) M(x,y) M0(x0,y0) dọc hai đường lim f ( x, y) tương ứng nhận hai giá trị khác lim f ( x, y) không tồn Cụ thể là, ta ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) hàm số y = g(x) hàm số y = h(x) thỏa mãn lim g( x ) lim h ( x ) y , đồng thời lim f x, g( x ) L1 lim f x, h ( x ) L mà L1 ≠ L2 x x x x x x x x lim ( x , y ) ( x , y ) f ( x, y) khơng tồn Ở đây, x y có vai trò x x r cos (3) Nếu đổi từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,) y y r sin ( x, y) (x , y0 ) r 0 , mà f(x,y) = g() - phụ thuộc vào góc lim f ( x, y) lim g() ( x , y )( x , y0 ) g() lim ( x , y ) ( x , y ) r 0 f ( x, y) không tồn (4) Nếu dãy điểm (xn,yn) tiến đến điểm (x0,y0) [(xn,yn) (x0,y0) n+∞] mà f(xn,yn) -∞/+∞ lim f ( x, y) không tồn ( x , y ) ( x , y ) Ví dụ 1.3 Tìm giới hạn sau x x xy y (a) lim ( x , y )(1, ) x y2 x sin y (c) lim ( x , y )(1, ) x Bài giải (b) (d) lim ( x y )e ( x lim e xy cos(x y) ( x , y ) ( , ) ( x , y )(1, 1) y2 ) 2x x xy y D(f) = R2\{(0,0)} x y2 lim (2x x xy y ) lim ( x y ) (a) Tập xác định hàm số f ( x, y) Ta có ( x , y ) (1, ) ( x , y ) (1, ) 2x x xy y ) lim f ( x , y) lim ( x , y )(1, ) ( x , y )(1, ) x y2 (b) Tập xác định hàm số f (x, y) (x y)e ( x lim (2x x xy y ) ( x , y )(1, ) y2 ) lim ye ( x lim ( x y ) 3 ( x , y )(1, ) D(f) = R2 x x ( x y ) x y2 x x 0 xe e e Vì e > nên y 0 ye( x y2 ) 2 y2 y e x y ey lim ( x , y ) ( , ) f ( x , y) lim ( x , y )( , ) ( x y )e ( x y2 ) lim ( x , y ) ( , ) xe ( x y2 ) ( x , y ) ( , ) x sin y D(f) = R2 x 1 1 Ta có lim ( x 1) 12 lim x sin y sin ( x , y ) (1, ) ( x , y )(1, ) 2 x sin y x sin y ( x , y )lim (1, ) lim f ( x, y) lim ( x , y )(1, ) ( x , y )(1, ) x lim ( x 1) (c) Tập xác định hàm số f ( x, y) ( x , y )(1, ) (d) Tập xác định hàm số f ( x, y) e xy cos(x y) D(f) = R2 y2 ) 000 Ta có lim ( x , y )(1, 1) lim ( x , y )(1, 1) e xy e 1.( 1) e f ( x, y) Ví dụ 1.4 Tìm (a) f ( x , y) lim ( x , y )(1, 1) lim ( x , y )( , ) lim ( x , y )(1, 1) cos(x y) cos(1 1) cos e xy cos(x y) lim e xy . lim cos(x y) e.1 e ( x ,y )(1, 1) ( x ,y )(1, 1) f ( x, y) hàm số sau x y2 x y2 (c) f ( x, y) ( x y) cos xy (b) f ( x , y) x 2y x 2y (d) f ( x, y) x y2 sin( x ) sin( y ) x y2 Bài giải x y2 (a) Tập xác định hàm số f ( x , y) Theo x y 1 1 2 D(f) = R2\{(0,0)} giới hạn có dạng vơ định định nghĩa, khoảng cách từ điểm M(x,y) đến điểm O(0,0) d(O, M) ( x 0) ( y 0) x y d M(x,y) O(0,0) (x,y) (0,0) f ( x , y) lim ( x , y ) ( , ) 2 x y2 x y 1 2 d2 d 1 1 d d2 d d 1 1 1 1 d 0 xy x y 2 D(f) = R2\{(0,0)} giới hạn có dạng vơ Vì x x y x x y2 với (x,y) ≠ (0,0) nên f ( x , y) f ( x, y) y (x,y) (0,0) Theo nguyên lý kẹp (c) Tập xác định hàm số f ( x, y) ( x y) cos Ta có f ( x, y) ( x y) cos cos 1 1 d2 f ( x , y) lim d (b) Tập xác định hàm số f ( x , y) định lim ( x , y )( , ) x x y2 y y y f ( x , y) x 2y D(f) = R2\{(0,0)} 2 x 2y x 2y x 2y x y cos x y x y 2 x y 2 x 2y x 2y x 2y x y x 2y x y 2 x y với (x,y)D(f) x 2y f ( x, y) 2 x y (x,y) (0,0) Theo nguyên lý kẹp (d) Tập xác định hàm số f ( x, y) lim ( x , y )( , ) f ( x , y) sin( x ) sin( y ) D(f) = R2\{(0,0)} x y2 sin( x ) x x Vì sin α nên (x,y) (0,0) 3 sin( y ) y y 3 3 3 sin( x ) sin( y ) sin( x ) sin( y ) sin( x ) sin( y ) sin( x ) sin( y ) f ( x , y) x y2 x y2 x y2 x y2 kẹp x y x y lim ( x , y )( , ) x x y y x y x x y y x y (x,y) (0,0) Theo nguyên lý f ( x , y) Ví dụ 1.5 Chứng minh rằng, không tồn giới hạn x y2 (a) z f ( x, y) x y2 Bài giải f ( x, y) hàm số sau 2x y (b) z f ( x, y) x y2 (a) Tập xác định hàm số f ( x , y) định lim ( x , y )( , ) x y2 D(f) = R2\{(0,0)} giới hạn có dạng vơ x y2 2 1 Cách Xét dãy điểm ( x n , y n ) , với nN*, ( x n , y n ) (0,0) n n n 2 2 2 1 3 n n f ( x n , y n ) n lim f ( x , y) lim f ( x n , y n ) lim ( x , y ) ( , ) n n 5 5 2 1 n n n 1 2 Tương tự, xét dãy điểm ( x ,n , y ,n ) , với nN*, (x ,n , y,n ) (0,0) n n n 1 2 3 n n 3 f ( x n , y n ) n lim f ( x , y) lim f ( x n , y n ) lim ( x , y ) ( , ) n n 5 5 1 2 n n n x y2 Do đó, theo định nghĩa lim không tồn ( x , y ) ( , ) x y Cách Khi (x,y) (0,0) dọc theo trục hoành Ox (y = 0) f ( x,0) x 02 x với x ≠ x 02 x x y2 lim f ( x,0) , (x,y) (0,0) dọc theo trục tung Oy (x = 0) ( x , y )( , ) x y x 0 lim f (0, y) 02 y2 y2 x y2 với y ≠ lim lim f (0, y) 1 nên, theo định nghĩa ( x , y )( , ) x y x 0 02 y2 y2 không tồn x y2 ( x , y ) ( , ) x y lim x r cos r cos Cách Đổi tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,): y r sin r sin r , D(f ) (r, ) R r 0,0 2 (x,y) (0,0) r 0+ 0 2 x r cos Bây giờ, thay vào biểu thức hàm số f(x,y) ta y r sin x y (r cos ) (r sin ) r (cos sin ) f ( x , y) cos sin 2 2 x y (r cos ) (r sin ) r (cos sin ) với lim ( x , y )( , ) f ( x, y) lim (cos sin ) cos sin , nên nhận giá trị khác r 0 x y2 f(x,y) dần đến giới hạn khác Do đó, theo định nghĩa lim khơng tồn ( x , y ) ( , ) x y (b) Tập xác định hàm số f ( x , y) định 2x y D(f) = R2\{(0,0)} giới hạn có dạng vơ x y 1 Cách Xét dãy điểm ( x n , y n ) , với nN*, ( x n , y n ) (0,0) n n n 1 2 n n n lim f ( x , y) lim f ( x , y ) lim f (x n , y n ) n n ( x , y ) ( , ) n n 1 n n n 1 Tương tự, xét dãy điểm ( x ,n , y ,n ) , với nN*, (x ,n , y,n ) (0,0) n n n 1 2 n n , , f (x n , y n ) n 1 lim f ( x , y) lim f ( x ,n , y ,n ) lim (1) 1 ( x , y ) ( , ) n n 1 n n n 2x y Do đó, theo định nghĩa lim không tồn ( x , y ) ( , ) x y Cách Nếu cho (x,y) (0,0) dọc theo đường parabol y = kx2 với tham số k ≠ ta 2x (kx ) 2kx 2k 2k 2k nên f ( x, kx ) lim f ( x, y) lim f ( x, kx ) lim 2 2 ( x , y ) ( , ) x x x (kx ) 1 k x 1 k 1 k 1 k2 giới hạn thay đổi k thay đổi; chẳng hạn, (x,y) (0,0) dọc theo đường parabol y = x2 (k = 1) lim 1, cịn (x,y) (0,0) dọc theo đường parabol y = 2x2 (k = 2) lim Do đó, ( x , y ) ( , ) ( x , y ) ( , ) 2x y theo định nghĩa lim khơng tồn ( x , y ) ( , ) x y Ví dụ 1.6 Cho hàm số f ( x , y) xmy với x > tham số m > Tìm lim f ( x , y) ( x , y ) ( , ) 2x y m (đề thi Giải tích năm học 2020-2021) 0 m Bài giải Tập xác định hàm số f(x,y) D(f) = {(x,y)R2 | x > 0} Trên mặt phẳng tọa độ hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy D(f) nửa mặt phẳng bên phải trục tung Oy, không kể trục tung Oy Cách - Trường hợp m > 1: xmy xmy Ta có f ( x , y) (do BĐT Cauchy 2x y 2x y 2 xy ) 2 2x y 2 xy x m1 x 0+ (do m > m – > 0) nên theo nguyên lý kẹp 2 lim f ( x, y) ( x , y )( , ) - Trường hợp < m ≤ 1: Nếu cho (x,y) (0+,0) dọc theo đường thẳng/cong y = kxm với tham số k ≠ x m (kx m ) kx m k f ( x, y) f ( x, kx m ) 2(1m ) m 2 2m 2x (kx ) 2x k x 2x k2 Xét giới hạn lim x 2(1m ) : x 0 + Khi m = lim x 2(1m ) lim x lim , x 0 x 0 x 0 lim f ( x , y) lim f ( x , kx ) ( x , y ) ( , ) x 0 k lim x (1 m ) x 0 k k k 2 k k2 k thay đổi k thay đổi, theo định nghĩa lim f ( x, y) khơng tồn ( x , y ) ( , ) k2 (1 m ) + Khi < m < < 2(1–m) < lim x 0 Giá trị x 0 lim f ( x , y) lim f ( x , kx m ) ( x , y ) ( , ) x 0 k lim x x 0 Giá trị (1 m ) k k k k thay đổi k thay đổi, theo định nghĩa lim f ( x, y) không tồn ( x , y ) ( , ) k Cách r cos r x Đổi tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,) mở rộng với , 0 2 y r sin 0 cos D(f ) (r, ) R r 0, 2 2 sin Đồng thời (x, y) (0 ,0) r r cos x x cos 2x y 2x y 2 r cos sin 2x y r 2 2 r r y r sin sin y r r cos x Bây thay vào biểu thức hàm số f(x,y) ta y r sin m r cos r sin m x y f ( x , y) r m 1 cos m sin 2 2x y r 2 cos (r sin ) m 1 m lim f ( x, y) lim r cos sin ( x , y )( , ) r 0 - Trường hợp m > 1: m > m – > lim r m1 , mặt khác cos m sin nên lim r m1 cos m sin r 0 lim ( x , y )( 0 , ) r 0 f ( x , y) - Trường hợp < m ≤ 1: + m = lim f ( x, y) lim r m1 cos m sin lim cos1 sin cos sin , giá trị ( x , y )( , ) r 0 thay đổi thay đổi, theo định nghĩa r 0 lim ( x , y ) ( , ) f ( x , y) không tồn + < m < – m > lim r m1 lim r 0 lim r m 1 cos m sin r 0 thay đổi, theo định nghĩa Kết luận: lim ( x , y )( 0 , ) r 0 1m , mặt khác cos m sin nên r < cosm ≤ Như vậy, giới hạn thay đổi m 1 m lim r cos sin không tồn tại, tức lim f ( x , y) không tồn r 0 ( x , y ) ( , ) f ( x, y) m > lim ( x , y ) ( , ) f ( x , y) không tồn < m ≤ 1.2.2 Tính liên tục 1.2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số hai biến z = f(x,y) có tập xác định D(f)R2, ta nói hàm số f(x,y) liên tục điểm M0(x0,y0)D(f) tồn giới hạn lim f ( x, y) giá trị giới hạn giá trị hàm số ( x , y )( x , y0 ) f(x,y) điểm (x0,y0), tức lim ( x , y )( , ) f ( x, y) f ( x , y ) Khi đó, điểm M0(x0,y0) gọi điểm liên tục hàm số f(x,y) Hàm số f(x,y) gọi hàm số liên tục tập xác định D(f) liên tục điểm tập xác định D(f) Lưu ý Các tính chất liên tục hàm số biến (n = 1) học học phần Giải tích hàm số nhiều biến (n > 1) Ví dụ 1.7 Xét tính liên tục hàm số f(x,y) sau đây, tập xác định D(f) x y2 ( x , y) (0,0) (a) z f ( x , y) x y ( x , y) (0,0) 0 xy (b) z f ( x, y) x y ( x, y) (0,0) với tham số R 0 ( x, y) (0,0) Bài giải x y2 ( x , y) (0,0) (a) Tập xác định hàm số f ( x , y) x y D(f) = R2 ( x , y) (0,0) 0 x y x 02 y 02 lim f ( x, y) lim f ( x , y ) nên hàm số - Tại điểm (x0,y0) ≠ (0,0) ( x , y )( x , y0 ) ( x , y )( x , y0 ) x y x y 02 liên tục điểm (x0,y0) ≠ (0,0) - Tại điểm O(0,0) ta có f(0,0) = lim ( x , y ) ( , ) f ( x, y) không tồn x p n Thật vậy, chọn dãy điểm M n ( x n , y n ) với n với p, q tham số không đồng thời y n q n x n n M n ( x n , y n ) O(0,0) n không nN* y n x y 2n p n q n p2 q2 lim f ( x , y) lim f ( x n , y n ) Khi f ( x n , y n ) 2n ( x , y ) ( , ) n x n y 2n p n 2 q n 2 p q 2 10 xy e e y x y x y ( x y) ( y x ) ( y x ) x y ( x y) dy e y x e y x e dx e x x y y x y x y x e x y ye y x xe x y e y x y dy dx e e dy dx y x x x x y y - Đối với hàm số biến u = f(x,y,z) (e) (f) ta sử dụng cơng thức vi phân tồn phần cấp điểm (x,y,z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) df ( x, y, z) f x' ( x, y, z)dx f y' ( x, y, z)dy f z' ( x, y, z)dz dx dy dz x y z (e) Tập xác định hàm số f(x,y,z) = xey + yez + zex D(f) = R3 df ( x, y, z) f x' ( x, y, z)dx f y' ( x, y, z)dy f z' ( x, y, z)dz ( xe y yez ze x )'x dx ( xe y yez ze x )'y dy ( xe y yez ze x )'z dz (e y ze x )dx (xey ez 0)dy (0 yez e x )dz (e y ze x )dx (ez xey )dy (e x yez )dz (f) Tập xác định hàm số f ( x, y, z) x y z D(f) ={(x,y,z)R3|x > 0} df ( x, y, z) f x' ( x, y, z)dx f y' ( x, y, z)dy f z' ( x, y, z)dz ( x y z ) 'x dx ( x y z ) 'y dy ( x y z ) 'z dz 2 y zx y z1dx x y z (ln x )( y z) 'y dy x y z (ln x )( y z) 'z dz y zx y z1dx x y z (ln x )2 yzdy x y z (ln x ) y 2dz 2 2 2 x y z1y zdx 2x y z yz ln xdy x y z y ln xdz 2 1.15 (a) Viết đẳng thức x3y – xy3 = a4 dạng F(x,y) = x3y – xy3 – a4 = Tập xác định hàm số F(x,y) = x3y – xy3 – a4 D(F) = R2 Fx' ( x , y) ( x y xy3 a ) 'x 3x y y y(3x y ) Ta có ' 3 ' 2 Fy ( x , y) ( x y xy a ) y x 3xy x ( x 3y ) F' ( x , y) y(3x y ) y' ( x ) x' với điều kiện Fy ( x , y) x (3y x ) x x x (3y x ) x 3y y x ( y x )( y x ) x 3y y x xy y x xy (b) Viết đẳng thức xe + ye – e = thành dạng F(x,y) = xe + ye – e = Tập xác định hàm số F(x,y) = F(x,y) = xey + yex – exy D(F) = R2 Fx' ( x , y) ( xe y yex e xy ) 'x e y yex yexy Ta có ' y x xy ' y x xy Fy ( x , y) ( xe ye e ) y xe e xe F' ( x , y) e y yex yexy e y y(e x e xy ) y' ( x ) x' y Fy ( x , y) xe e x xe xy x (e xy e y ) e x xy y xy y thành dạng F( x, y) arctan 0 a a a a xy y Tập xác định hàm số F( x, y) arctan D(F) = R2 a a xy y xy a2 a ' Ta có Fx ( x, y) arctan 2 2 x a a x y x a ( x y) a a ( x y) a 1 a (c) Viết đẳng thức arctan 73 Fy' ( x , y) x y y arctan y a a xy x y y a a 1 a a2 1 ( x y) ( x y) a a a a ( x y) a 2 y' ( x ) Fx' ( x, y) a ' Fy ( x , y) ( x y) a ( x y) a2 với điều kiện x + y y –x a ( x y) a ( x y) (d) Viết đẳng thức ln x y arctan ( y x ) dạng F( x, y) ln( x y ) arctan ( y x ) Tập xác định hàm số F( x, y) ln( x y ) arctan ( y x ) D(F) = {(x,y)R2|x 0} - Tính y’(x): 1 (x y ) y 2 Ta có Fx' ( x, y) ln( x y ) arctan ( y x ) 2 x x y x x x x y 1 x2 y x y xy x 2 2 2 2 x y x y x x y x y x y2 Fy' ( x, y) 1 (x y ) y 2 ln( x y ) arctan ( y x ) 2 y y y x y x x y 1 x2 y x yx y 2 2 2 2 x y x y x x y x y x y2 y' ( x ) Fx' ( x , y) xy ' Fy ( x, y) x y2 yx xy với điều kiện x – y y x 2 x y xy - Tính y”(x): xy ( x y) y' ( x ) x y , đạo hàm hai vế đẳng thức theo x coi y = y(x) xy d( x y) y' ( x ) d( x y) d ( x y) y' ( x ) ( x y) y" ( x ) y' ( x ) dx dx dx 1 y' (x)y' (x) (x y) y" (x) y' (x) (x y) y" (x) y' (x)2 Ta có y' ( x ) x y 2( x y ) xy Thay y' ( x ) vào đẳng thức ta ( x y) y" ( x ) ( x y) xy xy x y2 với điều kiện y x y" ( x ) ( x y) 1.16 (a) Tập xác định hàm số f ( x, y) y y x D(f) = {(x,y)R2|x > 0} Biến đổi biểu thức hàm số f(x,y) dạng f ( x , y) x y để tính đạo hàm cho thuận lợi Tính đạo hàm riêng cấp hai z "x , z "y2 thay vào phương trình x z"x y z"y2 , sau biến đổi tương đương, ta đpcm (b) Tập xác định hàm số f(x,y) = ln(1 + x2 + y2) D(f) = R2 Tính đạo hàm riêng cấp hai z "x , z "y2 thay vào phương trình z"x z"y2 2 e z , sau biến đổi tương đương, ta đpcm (c) Tập xác định hàm số f ( x, y) ln x y D(f) = R2\{(0,0)} 74 lợi Biến đổi biểu thức hàm số f(x,y,z) dạng f ( x, y) ln( x y ) để tính đạo hàm cho thuận Tính đạo hàm riêng cấp hai z "x , z "y2 thay vào phương trình z"x z"y2 , sau biến đổi tương đương, ta đpcm (d) Tập xác định hàm số f ( x, y, z) x y z D(f) = R3\{(0,0,0)} Biến đổi biểu thức hàm số f(x,y,z) dạng f (x, y, z) (x y z ) 1 để tính đạo hàm cho thuận lợi Tính đạo hàm riêng cấp hai z"x , z"y2 , z"z2 thay vào phương trình u "x u "y2 u "z2 , sau biến đổi tương đương, ta đpcm (e) Tập xác định hàm số f ( x , y, z) arctan( x y) arctan( y z) arctan(z x ) D(f) = {(x,y,z)R3|x 0, y 0, z 0} – điểm (x,y,z) hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz, khơng kể điểm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz Oxz Tính đạo hàm riêng cấp hai z"x , z"y2 , z"z2 thay vào phương trình u "x u "y2 u "z2 , sau biến đổi tương đương, ta đpcm 1.17 (a) Viết biểu thức hàm số f (x, y) 4(x y) x y x 4x 4y y để tính đạo hàm cho thuận lợi Bước Tập xác định hàm số f (x, y) x 4x 4y y D(f) = R2 f ( x , y) ( x x y y ) 2 x x x Bước Ta có nên điểm dừng nghiệm hệ 2 f ( x , y) ( x x y y ) 4 y y y f ( x, y) x x x phương trình M (2,2) D(f ) điểm dừng y y 2 f ( x, y) y f ( x , y) f ( x , y) (2 x 4) 2 A f (2,2) 2 x x x x x f ( x , y) f ( x , y) (2 x 4) f ( 2,2) B 0 Bước Ta có x y y x y x y f ( x , y) f ( x , y) (4 y) f ( 2,2) C 2 y y y y y B2 AC 02 (2).( 2) 4 4 Bước Tại điểm dừng M ( 2,2) ta có nên hàm số f (x, y) x 4x 4y y có A cực đại địa phương điểm f cđ f (2,2) 22 4.2 4.(2) (2) (b) Bước Tập xác định hàm số f (x, y) x xy y x y D(f) = R2 75 f ( x, y) ( x xy y x y 1) 2x y x x Bước Ta có nên điểm dừng nghiệm hệ 2 f ( x, y) ( x xy y x y 1) x y y y f ( x, y) x 2x y x 1 phương trình M (1,1) D(f ) điểm dừng f ( x , y ) x y y 0 y f ( x , y) f ( x , y) (2 x y 1) f (1,1) A 2 2 x x x x x f ( x , y) f ( x , y) (2 x y 1) f ( 1,1) B 1 Bước Ta có y x y xy xy f ( x , y) f ( x , y) ( x y 1) f ( 1,1) C 2 y y y y y B AC 12 2.2 3 3 Bước Tại điểm dừng M (1,1) ta có nên hàm số f (x, y) x xy y x y A có cực tiểu địa phương điểm f ct f (1,1) (1) (1).1 12 (c) Bước Tập xác định hàm số f (x, y) x y xe y D(f) = R2 f ( x , y) ( x y xe y ) ey x x Bước Ta có nên điểm dừng nghiệm hệ phương trình y f ( x , y ) ( x y xe ) y xe y y f ( x, y) x 1 e y x M (1,0) D(f ) điểm dừng f ( x, y) y y xe 0 y f ( x , y) f ( x , y) (1 e y ) f ( x , y) 0 A ( x , y ) x x x x x f ( x , y) f ( x , y) (1 e y ) f ( x , y) e y B( x , y) e y Bước Ta có x y y x y x y f ( x , y) f ( x , y) (1 xe y ) f ( x , y) y C ( x , y ) xe y xe y y y y y ( x, y) B2 ( x, y) A( x, y)C( x, y) (e y ) 0.( xe y ) e y (1,0) e y e 2.0 ( x , y ) (1, ) Bước Tại điểm dừng M (1,0) ta có (1,0) nên hàm số f (x, y) x y xe y khơng có cực trị điểm (d) Bước Tập xác định hàm số z f (x, y) 2x y x 2y D(f) = R2 76 f ( x , y) (2 x y x y ) 8x x 2x (2 x 1)( x 1) x x Bước Ta có nên điểm dừng 4 2 f ( x , y) (2 x y x y ) y y y( y 1)( y 1) y y f ( x, y) x 2x (2x 1)( 2x 1) x (2x 1)( 2x 1) nghiệm hệ phương trình f ( x , y ) y ( y )( y ) y ( y )( y ) 0 y x (2x 1)( 2x 1) Hệ phương trình có nghiệm tương ứng với điểm dừng M1 (0,0) , y( y 1)( y 1) M (0,1) , M3 (0,1) , M ( ,0) , M5 (1 ,1) , M (1 ,1) , M (1 ,0) , M8 (1 ,1) , M9 (1 ,1) f ( x , y) f ( x , y) (8x x ) 24 x 2(12 x 1) A( x , y) x x x x f ( x , y) f ( x , y) (8x x ) B( x , y) Bước Ta có x y y x y f ( x , y) f ( x , y) (4 y 4) 12 y 4(3y 1) C( x , y) y y y y 2 (x, y) B (x, y) A(x, y)C(x, y) 2(12 x 1).4(3y 1) 8(12 x 1)(1 3y ) Biểu thức (x,y) chẵn biến x, y Bước Xét điểm dừng - Tại điểm dừng M1 (0,0) : (0,0) 8(12 x 1)(1 3y ) 8(12.0 1)(1 3.0 ) 8 ( x , y ) ( , ) 2 A(0,0) 2(12 x 1) ( x ,y )( 0, ) 2(12.0 1) 2 f (0,0) (2 x y x y ) (2.0 2.0 ) ( x , y ) ( , ) - Tại điểm dừng M (0,1) , M3 (0,1) : (0,1) 8(12 x 1)(1 3y ) ( x , y )( , 1) 8(12.0 1) 3.( 1) 16 - Tại điểm dừng M ( ,0) , M (1 ,0) : 2 812. 1 (1 3.0 ) 16 ( x , y ) ( 1 2, ) - Tại điểm dừng M5 (1 ,1) , M (1 ,1) , M8 (1 ,1) , M9 (1 ,1) : ( ,0) 8(12 x 1)(1 3y ) 2 2 ,1 8(12 x 1)(1 3y ) ( x ,y )( 1 2, 1) 812. 1 3.( 1) 32 1 A ,1 2(12 x 1) ( x ,y )( 1 2, 1) 12. 1 4 1 f ,1 (2 x y x y ) ( ) ( ) ( x , y ) ( 1 2, 1) 2 TT Điểm dừng M1 (0,0) (x*,y*) A(x*,y*) –8 < –2 < Kết luận Hàm số f(x,y) có cực đại địa phương 77 Điểm dừng (x*,y*) A(x*,y*) M (0,1) 16 > Hàm số f(x,y) khơng có cực trị điểm M3 (0,1) M ( ,0) 16 > 16 > M5 (1 ,1) –32 < 4>0 M (1 ,1) –32 < 4>0 Hàm số f(x,y) khơng có cực trị điểm Hàm số f(x,y) khơng có cực trị điểm Hàm số f(x,y) có cực tiểu địa phương điểm f ct f (1 ,1) Hàm số f(x,y) có cực tiểu địa phương điểm f ct f (1 ,1) M (1 ,0) 16 > M8 (1 ,1) –32 < 4>0 M9 (1 ,1) –32 < 4>0 TT Kết luận điểm f cđ f (0,0) Hàm số f(x,y) khơng có cực trị điểm Hàm số f(x,y) có cực tiểu địa phương điểm f ct f (1 ,1) Hàm số f(x,y) có cực tiểu địa phương điểm f ct f (1 ,1) 1.18 (a) Bước Tập xác định hàm số f(x,y) = x2 – y2 D(f) = R2 hiển nhiên hàm số liên tục với (x,y)D(f), nên hàm số có GTNN GTLN miền đóng DD(f) Miền đóng D = {(x,y)R2x2 + y2 = 22} hình trịn có bán kính r = có tâm gốc tọa độ O(0,0) hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy f x' ( x , y) x Bước Ta có hệ phương trình ' để xác định điểm dừng thuộc điểm f y ( x , y) 2 y D Hệ phương trình có nghiệm (x,y) = (0,0), suy hàm số f(x,y) có điểm dừng ( x1 , y1 ) (0,0) điểm D Giá trị hàm số f(x,y) điểm dừng f ( x1 , y1 ) f (0,0) ( x y ) ( x , y ) ( , ) 02 02 Bước Tìm điểm dừng điểm biên D, tức điểm (x,y) mà x y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = y2 = – x2 f(x,y) = x2 – y2 = x2 – (4 – x2 ) = 2x2 – h(x) với –2 < x < (vì – x2 = y2 > 0) Ta có h’(x) = 4x h’(x) = 4x = 0, phương trình có nghiệm x = Vì y x y x nên ta có 2 x y 4x y x2 –2 Như vậy, hàm số có điểm dừng ( x , y ) (0,2) , (x , y3 ) (0,2) điểm biên D Giá trị hàm số điểm dừng f ( x , y ) f (0,2) ( x y ) f ( x , y3 ) f (0,2) ( x y ) ( x , y )( , 2 ) ( x , y ) ( , ) (2) 4 2 4 78 Bước Tại điểm x4 = –2 ứng với y x y5 x x 2 x 2 điểm x5 = ứng với nằm biên D mà hàm số khơng tồn đạo hàm, điểm hệ số góc tiếp tuyến khơng phải số hữu hạn y' (2) tan( 2) Giá trị hàm số điểm f ( x , y ) f (2,0) ( x y ) (2) ( x , y )( 2 , ) f ( x , y ) f (2,0) ( x y ) 2 ( x , y ) ( , ) 22 02 Bước GTNN (f D ) min0,4,4,4,4 4 điểm điểm ( x , y ) (0,2) , (x , y3 ) (0,2) GTNN (f D ) max0,4,4,4,4 điểm ( x , y ) (2,0) , ( x , y ) (2,0) (b) Bước Tập xác định hàm số z f (x, y) x y(4 x y) D(f) = R2 hàm số liên tục với (x,y)D(f) nên có GTNN GTLN miền đóng DD(f) Miền đóng D tam giác OAB có đỉnh O(0,0), A(0,6), B(6,0) hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy Bước Viết biểu thức hàm số f (x, y) x y(4 x y) x y 4x y x y để tính đạo hàm cho thuận lợi Ta có hệ phương trình f ( x , y) ( x y 4x y x y ) 3x y 8xy 2xy xy(3x y 8) x x để xác định 2 f ( x , y ) ( x y x y x y ) 2 x 4x x y x ( x y 4) y y điểm dừng thuộc điểm D xy(3x y 8) Giải hệ phương trình x ( x y 4) + x = y tùy ý: Hệ phương trình thỏa mãn nên nghiệm hệ (x,y) = (0,y) với y tùy ý + y = x 0: Phương trình thứ hệ thỏa mãn, cịn phương trình thứ hai hệ tương đương với phương trình –x – 2.0 + = x = Suy ra, trường hợp này, nghiệm hệ (x,y) = (4,0) 3x y + x y 0: Hệ phương trình tương đương với hệ phương trình , hệ x y có nghiệm (x,y) = (2,1) Nghiệm (x,y) = (4,0) nghiệm (x,y) = (0,y) với y nằm biên miền D nên không xét đây, mà xét nghiệm (x,y) = (2,1) điểm D Như vậy, có điểm dừng ( x1 , y1 ) (2,1) điểm D, giá trị hàm số f(x,y) điểm dừng ( x1 , y1 ) (2,1) f (2,1) x y(4 x y) ( x1 , y1 )( ,1) 2.1.( 1) Bước Các điểm biên D điểm nằm cạnh OA, AB, BO tam giác OAB, không kể điểm đỉnh O(0,0), A(0,6), B(6,0) - Các điểm cạnh OA có phương trình x = với < y < 6, f(0,y) = với < y < 79 - Các điểm cạnh AB có phương trình y = –x + với < x < ứng với hàm số f ( x, x 6) x y(4 x y) x ( x 6)[ x ( x 6)] 2x ( x 6) 2x 12 x g( x ) với < y x 6 d (2x 12 x ) 6x 24 x 6x ( x 4) nên điểm dừng nghiệm phương trình dx g’(x) = Phương trình g’(x) = 6x(x – 4) = có nghiệm x = x = 4, không xét nghiệm x = khơng thuộc khoảng < x < 6, mà xét nghiệm x = điểm cạnh AB Khi đó, y (x 6) x4 4 Như vậy, có điểm dừng ( x , y ) (4,2) điểm cạnh AB, giá trị x < Ta có g' ( x ) hàm số f(x,y) điểm dừng ( x , y ) (4,2) f (4,2) x y(4 x y) ( x , y ) ( , ) 2.2.( 2) 64 - Các điểm cạnh BO có phương trình y = với < x < 6, f(x,0) = với < x < Bước Ba điểm đỉnh O(0,0), A(0,6), B(6,0) tam giác OAB điểm biên miền D mà đấy, hàm số f(x,y) không tồn đạo hàm Giá trị hàm số f(x,y) điểm O(0,0), A(0,6), B(6,0) tương ứng f (0,0) x y(4 x y) 2.0.( 0) ( x , y ) ( , ) 2 f (0,6) x y(4 x y) ( x ,y )( 0, ) 6.( 6) f (6,0) x y(4 x y) 2.0.( 0) ( x , y ) ( , ) Bước GTNN(fD) = min{4,0,–64,0,0,0,0} = –64 điểm ( x , y ) (4,2) GTLN(fD) = max{4,0,–64,0,0,0,0} = điểm ( x1 , y1 ) (2,1) (c) Bước Tập xác định hàm số f (x, y) x 2xy 4x 8y D(f) = R2 hàm số liên tục với (x,y)D(f) nên có GTNN GTLN miền đóng DD(f) Miền đóng D hình chữ nhật OABC có đỉnh O(0,0), A(0,2), B(1,2) C(1,0) hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy f ( x , y) ( x xy x y) 2x y x x Bước Ta có hệ phương trình để xác định f ( x , y ) ( x xy x y ) 2x y y điểm dừng thuộc điểm D Hệ phương trình có nghiệm (x,y) = (–4,6), nhiên điểm (–4,6) điểm D nên không xét Bước Các điểm biên D điểm nằm cạnh OA, AB, BC CO hình chữ nhật OABC, không kể điểm đỉnh O(0,0), A(0,2), B(1,2) C(1,0) - Các điểm cạnh OA có phương trình x = với < y < 2, f(0,y) = 8y g(y) với < y < Vì g’(y) = với y(0,2) nên hàm số g(y) khơng có điểm dừng - Các điểm cạnh AB có phương trình y = với < x < 1, f(x,2) = x + 16 h(x) với < x < Ta có h’(x) = 2x, nên điểm dừng nghiệm phương trình h’(x) = Phương trình g’(x) = 2x = có nghiệm x = 0, nhiên, nghiệm nằm ngồi khoảng (0,1) nên khơng xét 80 - Các điểm cạnh BC có phương trình x = với < y < 2, f(1,y) = 10y – k(y) với < y < Vì k’(y) = 10 với y(0,2) nên hàm số k(y) khơng có điểm dừng - Các điểm cạnh BO có phương trình y = với < x < 1, f(x,0) = x2 – 4x p(x) với < x < Ta có p’(x) = 2x – 4, nên điểm dừng nghiệm phương trình p’(x) = Phương trình p’(x) = 2x – = có nghiệm x = 2, nhiên, nghiệm nằm ngồi khoảng (0,1) nên khơng xét Bước Bốn điểm đỉnh O(0,0), A(0,2), B(1,2) C(1,0) hình chữ nhật OABC điểm biên miền D mà đấy, hàm số f(x,y) không tồn đạo hàm Giá trị hàm số f(x,y) điểm O(0,0), A(0,2), B(1,2) C(1,0) tương ứng f (0,0) ( x xy 4x y) 2.0.0 4.0 8.0 ( x , y ) ( , ) f (0,2) ( x xy 4x y) 2.0.2 4.0 8.2 16 ( x , y ) ( , ) 2 f (1,2) ( x 2xy x y) ( x ,y )(1, ) 2.1.2 4.1 8.2 17 f (1,0) ( x 2xy x y) 12 2.1.0 4.1 8.0 3 ( x , y ) ( , ) Bước GTNN(fD) = min{0,16,17, –3} = –3 điểm C(1,0) GTLN(fD) = max{0,16,17, –3} = 17 điểm B(1,2) 1 1.19 Điều kiện ràng buộc biến x, y z viết lại dạng g( x, y, z) x y z 1 Tập xác định hàm số f(x,y,z) = x + y + z với điều kiện g( x, y, z) x y z D(f) = {(x,y,z)R | x 0, y 0, z 0} – điểm (x,y,z) hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, khơng kể điểm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz Oxz Để giải toán này, sử dụng Phương pháp nhân tử Lagrange Bước Lập hàm số Lagrange 1 1 L( x, y, z, ) f ( x, y, z) g( x, y, z) x y z 1 x y z L( x , y, z, ) 1 x y z 1 x x x x y z L( x , y, z, ) x y z 1 x y z y y y2 Bước Ta có nên điểm dừng 1 1 L( x , y, z, ) x y z 1 z z z x y z L( x , y, z, ) 1 1 x y z 1 x y z x y z (nếu có) hàm số L( x , y, z, ) nghiệm hệ phương trình 81 L( x , y, z, ) x L( x , y, z, ) y L( x , y, z, ) z L ( x , y, z , ) 1 x 1 x y z 0 y 1 1 1 x y z 1 0 z 1 1 1 0 x y z 0 ( x1* , y1* , z1* , *1 ) (3,3,3,9) * * * * ( x , y , z , ) (1,1,1,1) Hệ phương trình có nghiệm *2 *2 *2 *2 tương ứng với điểm dừng ( x , y , z , ) ( , , , ) 3 3 ( x * , y* , z* , * ) (1,1,1,1) 4 4 * * * ( x1 , y1 , z1 ) (3,3,3) *1 * * * * ( x , y , z ) (1,1,1) hàm số S(,,) *2 tương ứng * * * ( x , y , z ) (1,1,1) ( x * , y* , z* ) (1,1,1) * 4 Bước 1 1 Với *1 , *2 , *3 , *4 ta L( x, y, z, *i ) f ( x, y, z) *i g ( x , y, z) x y z *i 1 (1 i x y z 4) hàm số biến x, y, z Tiếp tục, để xác định cực trị hàm số L(x, y, z, *i ) điểm (x1* , y1* , z1* ) (3,3,3) , (x *2 , y*2 , z*2 ) (1,1,1) , ( x *3 , y*3 , z*3 ) (1,1,1) , (x *4 , y*4 , z*4 ) (1,1,1) điều kiện đủ, ta tiến hành việc tìm biểu thức vi phân toàn phần cấp hai d L( x *i , y*i , z*i , *i ) với i Ta có d L( x, y, z, *i ) L( x, y, z, *i ) L( x, y, z, *i ) L( x, y, z, *i ) dx dy dz x y z 2 L( x, y, z, *i ) L( x, y, z, *i ) L( x, y, z, *i ) dxdy dydz dzdx xy yz zx L( x , y, z, *i ) L( x , y, z, *i ) *i *i 2*i 1 x2 x3 x x x y y x L( x , y, z, * ) * 2* L( x , y, z, * ) * i i i i với 1 2i 2 y y y y y z z y L( x , y, z, * ) * 2* L( x , y, z, * ) * i i i i 1 2i 2 z z z z zx x z * * * 2 2 2 d L( x, y, z, *i ) 3i dx 3i dy i dz dạng toàn phương biến (dx,dy,dz) có ma x y z 2*i x 0 trận tương ứng A( x , y, z, *i ) 2*i y 2*i z - Tại điểm (x1* , y1* , z1* ) (3,3,3) tương ứng với *1 82 2*1 ( x1* ) 2 0 0 * * * * * * A( x1 , y1 , z1 , 1 ) 21 ( y1 ) 0 2*1 (z1* ) 0 Suy ra, định thức ma trận A( x1* , y1* , z1* , *1 ) 2 A1 (x1* , y1* , z1* , *1 ) det(2 3) , A ( x1* , y1* , z1* , *1 ) det 3 2 * * * * A ( x1 , y1 , z1 , 1 ) det 27 0 Do đó, dạng tồn phương d L( x1* , y1* , z1* , *1 ) xác định dương, nên hàm số f(x,y,z) = x + y + z có cực tiểu điểm (x1* , y1* , z1* ) (3,3,3) có giá trị f ct f (x1* , y1* , z1* ) f (3,3,3) - Tại điểm (x *2 , y*2 , z*2 ) (1,1,1) tương ứng với *2 2*2 ( x *2 ) 0 0 * * * * * * A( x , y , z , ) 2 ( y ) 0 0 2*2 (z *2 ) 0 Suy ra, định thức ma trận A(x *2 , y*2 , z*2 , *2 ) 0 4 A1 (x*2 , y*2 , z*2 , *2 ) det(2) 2 , A ( x *2 , y*2 , z*2 , *2 ) det 2 0 A ( x *2 , y*2 , z*2 , *2 ) det 8 0 2 * * * * Do đó, dạng toàn phương d L( x , y , z , ) không xác định dấu, nên để xét cực trị hàm số f(x,y,z) = x + y + z điểm (x *2 , y*2 , z*2 ) (1,1,1) ta phải thực tiếp Bước Bước - Tại điểm ( x *3 , y*3 , z*3 ) (1,1,1) tương ứng với *3 2*3 ( x *3 ) 0 0 * * * * * * A( x , y , z , ) 2 ( y ) 0 0 0 2*3 (z *3 ) 0 Suy ra, định thức ma trận A( x *2 , y*3 , z*3 , *3 ) 2 4 A1 ( x *3 , y*3 , z*3 , *3 ) det(2) , A ( x *3 , y*3 , z*3 , *3 ) det 2 0 * * * * A ( x , y , z , ) det 8 0 2 * * * * Do đó, dạng tồn phương d L( x , y3 , z , ) không xác định dấu, nên để xét cực trị hàm số f(x,y,z) = x + y + z điểm ( x *3 , y*3 , z*3 ) (1,1,1) ta phải thực tiếp Bước Bước - Tại điểm (x *4 , y*4 , z*4 ) (1,1,1) tương ứng với *4 2*4 ( x *4 ) A( x *4 , y*4 , z*4 , *4 ) 2*4 ( y*4 )3 83 2 0 0 2*4 (z*4 )3 0 Suy ra, định thức ma trận A(x*4 , y*4 , z*4 , *4 ) 0 A1 (x*4 , y*4 , z*4 , *4 ) det(2) , A ( x *4 , y*4 , z*4 , *4 ) det 2 2 0 A ( x , y , z , ) det 8 0 2 * * * * Do đó, dạng toàn phương d L( x , y , z , ) không xác định dấu, nên để xét cực trị hàm số f(x,y,z) = x + y + z điểm (x *4 , y*4 , z*4 ) (1,1,1) ta phải thực tiếp Bước Bước 1 Bước Ta có vi phân tồn phần hàm số g( x, y, z) x y z dx dy g( x, y) g( x, y) 1 dg( x , y) dx dy dx dy dz dz z x y x y z y x * * * * dx dy Bước Thay dz z vào biểu thức vi phân toàn phần cấp y x * 2 2* 2* d L( x, y, z, *i ) 3i dx 3i dy i dz với i ta x y z 2* 2* 2* 2* 2* 2* d L( x , y, z, ) 3i dx 3i dy i dz 3i dx 3i dy i x y z x y z * i dx dy z y x z 4*i z 1 dy 2 dxdy (2 i 4) dạng toàn phương biến (dx,dy) x y y * 2 i z 2*i z 1 x x x y2 * có ma trận tương ứng A( x , y, z, i ) (2 i 4) 2*i z 2*i z 1 2 y y x y 2*i x3 * z 2 i dx y3 x - Tại điểm (x *2 , y*2 , z*2 ) (1,1,1) tương ứng với *2 dạng tồn phương d L(x *2 , y*2 , z*2 , *2 ) ma trận tương ứng 2*2 z 2*2 z 1 0 x x x y2 * * * * * A ( x , y , z , ) A ( x , y, z , ) * * * ( x , y ,z , )( 1,1,1,1) 2 z 2 z 2 1 2 x y y y * có 2 ( x , y ,z , )( 1,1,1,1) Suy ra, định thức ma trận A(x , y , z , ) 2 4 , đó, dạng tồn phương A1 (x*2 , y*2 , z*2 , *2 ) det(0) , A ( x *2 , y*2 , z*2 , *2 ) det 4 * * * * d L(x *2 , y*2 , z*2 , *2 ) không xác định dấu, nên hàm số f(x,y,z) khơng có cực trị điểm - Tại điểm ( x *3 , y*3 , z*3 ) (1,1,1) tương ứng với *3 dạng tồn phương d L( x *3 , y*3 , z*3 , *3 ) ma trận tương ứng 2*3 2*3 z z 1 2 4 x x x y * * * * * A ( x , y , z , ) A ( x , y, z , ) * * ( x , y ,z ,*3 ) (1, 1,1,1) 2 z 2 z 2 1 2 x y y y * ( x , y ,z , ) (1, 1,1,1) Suy ra, định thức ma trận A( x , y , z , ) * 84 * * * có 2 2 4 , đó, dạng toàn phương A1 (x *3 , y*3 , z*3 , *3 ) det(4) , A ( x *3 , y*3 , z*3 , *3 ) det 0 d L( x *3 , y*3 , z*3 , *3 ) không xác định dấu, nên hàm số f(x,y,z) khơng có cực trị điểm - Tại điểm (x *4 , y*4 , z*4 ) (1,1,1) tương ứng với *4 dạng tồn phương d L(x *4 , y*4 , z*4 , *4 ) có ma trận tương ứng 2*3 z 2*3 z 1 2 x x x y2 * * * * * A( x , y , z , ) A( x , y, z, ) * * * ( x , y ,z , )(1,1, 1,1) 2 z 2 z 1 2 x y y y * ( x , y ,z , )(1,1, 1,1) Suy ra, định thức ma trận A(x , y , z , ) * * * * 2 4 , đó, dạng tồn phương A1 (x*4 , y*4 , z*4 , *4 ) det(0) , A ( x *4 , y*4 , z*4 , *4 ) det d L(x *4 , y*4 , z*4 , *4 ) không xác định dấu, nên hàm số f(x,y,z) khơng có cực trị điểm 1.20 Ký hiệu góc tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R cho trước >0, >0, >0 độ dài cạnh đối diện với góc , , a, b, c Theo định lý sin tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R a 2R sin a b c 2R sin sin sin b 2R sin Thay a b vào cơng thức tính diện tích tam giác S ab sin ta S 2R sin sin sin với góc > 0, > 0, > thỏa mãn điều kiện Như vậy, ta phải giải tốn: Tìm giá trị cực đại hàm số S(, , ) 2R sin sin sin , với R số dương cho trước biến >0, >0, >0 thỏa mãn điều kiện g (, , ) Để giải toán này, sử dụng Phương pháp nhân tử Lagrange Bước Lập hàm số Lagrange L(, , , ) S(, , ) g(, , ) 2R sin sin sin ( ) L' (, , , ) 2R cos sin sin ' L (, , , ) 2R sin cos sin Bước Ta có ' nên điểm dừng (nếu có) hàm số L (, , , ) 2R sin sin cos ' L (, , , ) L(, , , ) nghiệm hệ phương trình L' (, , , ) 2R cos sin sin ' 2R cos sin sin L (, , , ) 2R sin cos sin tan tan tan ' L (, , , ) 2R sin sin cos ' L (, , , ) 85 * * * 3 Hệ phương trình có nghiệm gọn ta đặt m R * R * * * tương ứng với điểm dừng (* , * , * ) , , hàm số S(,,) * 3m * 3m 3 3 Bước Với * m ta L(, , , * ) S(, , ) *g(, , ) 2R sin sin sin 2R sin sin sin * ( ) hàm số biến , , Tiếp tục, để xác định cực trị hàm số L(, , , * ) điểm (* , * , * ) ( , , 3) điều kiện đủ, ta tìm biểu thức vi phân tồn phần cấp hai d L( * , * , * , * ) Ta có L(, , , * ) L' (, , , * ) 2R sin sin sin L' (, , , * ) 2R cos sin sin * ' * * ' L(, , , ) L (, , , ) * * 2R sin sin sin L (, , , ) 2R sin cos sin ' * * L (, , , ) 2R sin sin cos L(, , , * ) L' (, , , * ) 2R sin sin sin L(, , , * ) L' (, , , * ) 2R cos cos sin ' * L(, , , ) L (, , , * ) 2R sin cos cos ' L(, , , * ) L (, , , * ) 2R cos sin cos nên điểm (* , * , * ) ( , , 3) ta có L(* , * , * , * ) L(* , * , * , * ) L(* , * , * , * ) 3 3 2R sin sin sin ( * ,* ,* )( 3, 3, 3) 2R sin 2R R 3m * * * * * * * * * * * * L( , , , ) L( , , , ) L( , , , ) 2 2R cos cos sin ( * ,* , * ) ( 3, 3, 3) 1 2R cos sin 2R 3 2 2 3 R m Do đó, biểu thức vi phân toàn phần cấp L(* , * , * , * ) L(* , * , * , * ) L(* , * , * , * ) d L(* , * , * , * ) d d d 2 L(* , * , * , * ) L(* , * , * , * ) L(* , * , * , * ) dd dd dd 86 3md 3md2 3md 2mdd 2mdd 2mdd có ma trận dạng tồn phương tương 3m m m ứng A m 3m m m m 3m Suy ra, định thức ma trận A A1 det(3m) 3m 3m 3m m 8m R A det m A det m 3m m * * * * Do đó, dạng tồn phương d L( , , , ) xác điểm (, , ) ( , , 3) có giá trị m m 3 3m m 16 m R m 3m định âm, nên hàm số S(,,) đạt cực đại 3 3 Scđ S , , 2R sin sin sin 2R sin 2R R 3 3 3 3 tương ứng với tam giác nội tiếp hình trịn bán kính R 87 3 R 0, ... 2x 22 2. 6x1x 3x 12 2x 22 12 x1 x a 13 a 11 ? ?2 a 12 a 23 a 22 a 13 a 5 a 33 a 33 23 a 12 a 22 a 23 2a 1i j3 ij x i x j 2x 12 0.x 22 1.x 32. .. 02 a y y a y 02 b x x a y y a y 02 b x 02 b x x a y y a y 02 b x 02 x x y y x 02 y 02 x x y0 y x 02 y 02 1 a 2b2 a 2b2 a2 b2 a b2 a2 b2 a b2 x 02 y 02. .. 4 4 4 2 2 2 2 1 dx dxdy dy dx dxdy dy 2 2 2 2 1.3.4.3 Công thức Taylor Công thức Taylor hàm số biến mở rộng cho hàm số nhiều biến, chẳng hạn hàm số biến: Giả sử hàm số z = f(x,y)