Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của phân bố Maxwell) : Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng : ( , ),( , ),( , ) x x y y z z v v dx v v dy v v dz Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng ( , )v v dv . Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng ( , )d Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau : a) 2 3 22 2 1 / ( ) ( ) n n n kT m vn b) 8kT m v c) 2 8 3( ) ( ) kT m vv d) 2 2 2 2 2 1 2 3 2 ( ) ( )m v v kT e) Vận tốc có xác suất lớn nhất : 2 0 kT m v Hướng dẫn  Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là : ( ) ( , , ) i mv m kT ii kT dW v e dv i x y z 2 2 2  Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là : () mv m kT kT dW v e v dv 2 3 2 2 2 4  Xác suất để động năng của hạt nằm trong khoảng đã cho là : () () kT dW e d kT 3 2 a) Ta có () mv n n n m kT kT v v dW v v e dv 2 3 2 2 2 00 4 . Đặt n mv n nx kT mv kT kT x v e dv x e dx kT m m 2 1 1 2 2 2 22 2 2 . Từ đó ta được : n nn nx n kT kT mm v x e dx 1 3 2 2 2 2 2 22 2 0 . Trong đó : () ax a x e dx 1 0 là hàm Gamma. b) Sử dụng kết quả câu a) khi n 1 , ta có : / () kT kT mm v 12 2 2 8 2 c) Ta có ( ) . ( ) ( )v v v v v v v v 2 2 2 2 2 2 . Theo câu b) ta đã có kT m v 8 Áp dụng kết quả câu a) khi n 2 , ta có () kT kT kT m m m v 2 3 2 2 5 2 2 3 24 . Từ đó ta tìm được : () kT kT kT m m m vv 2 2 3 8 8 3 d) Ta có .v v v v v v v v 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 . Áp dụng kết quả câu a) với n 2 và n 4 ta có : () kT kT mm v 2 2 2 5 3 2 và () kT kT mm v 22 4 7 22 2 15 . Từ đó ta tìm được : kT kT mm m m v v kT 2 2 2 2 2 2 22 1 3 3 22 15 4 . e) Từ biểu thức của xác suất () mv m kT kT dW v v e dv 2 3 2 2 2 4 , ta thấy để xác xuất ()dW v cực đại thì hàm () mv m kT kT f v v e 2 3 2 2 2 4 phải đạt cực đại. Ta có : () mv mv m mv m mv kT kT kT kT kT kT f v v e ve 22 32 33 22 22 2 4 2 . Từ đó suy ra : ( ) , kT m f v v v 2 00 . Lập bảng biến thiên của ()fv : v 0 kT m 2 ()fv 0 0 0 ()fv max f 0 0 Từ đó ta thấy rằng ()fv đạt cực đại khi kT m v 2 , nói cách khác vận tốc có xác suất lớn nhất là kT m v 2 0 . Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm Gamma : ( ) ( ) ( ), ( ) ! ( )a a a a n n n1 1 1 và ( )= 1 2 . Khi đó ta có : ( ) ! , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 3 3 3 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 và ( ) ( ) ( )= 7 15 5 5 5 2 2 2 2 4 1 .Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ sử dụng công thức sau : () m ax m m x e dx a 1 0 1 Bài 2. Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị trung bình của năng lượng của nó . Hướng dẫn : Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng ( , ) ( , ) H p q kT p q Ae . Đối với dao động tử điều hòa tuyến tính qx và ( , ) p mx m H x p E 2 22 22 là năng lượng của dao động tử , do đó phân bố Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng : () E kT E Ae . Từ điều kiện chuẩn hóa ()E dE 0 1 , ta có : () EE kT kT A e dE A kT e 0 0 11 .AkT 1 , hay kT A 1 . Do đó : () E kT kT Ee 1 . Năng lượng trung bình : () E kT E E E dE Ee dE kT 00 1 . Lấy tích phân từng phần ta được : ( . | ) . | E E E E kT kT kT kT kT E kT Ee kT e dE e d kT e kT 1 00 00 Bài 3. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ thức : cp Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : N i i H cp 1 . Tích phân trạng thái của hệ : () !( ) !( ) i cp HN kT kT ii NN i V Z e d dr e dp NN 33 1 11 22 (1) Mặt khác : () i V dr V là thể tích của hệ i cp cp kT kT i e dp e p dp 2 0 4 , sử dụng công thức ! n ax n n x e d x a 1 0 ta tìm được : i cp kT kT i c e dp 3 8 . Thay vào (1) ta được : !( ) !( ) N N N N N kT kT cc NN i Z V V V T NN 33 3 33 1 11 88 22 Trong đó : !( ) N N k c N N 3 3 1 8 2 . Gọi P là áp suất của hệ, ta có : ln ln ln ln Z NkT V V V T P kT NkT V T3 Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV NkT Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng nhiệt động khác như : năng lượng tự do F , entropy S , nội năng U , nhiệt dung đẳng tích V C , thế Gibbs , enthalpy H , nhiệt dung đẳng áp P C . Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức liên hệ giữa tích phân trạng thái Z và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với bài tập trên ta có : ln ln ln lnF kT Z NkT V T3 ln ln ln ln ln . FZ T T T VV S k Z kT Nk V T NkT 3 3 Hay ln lnS S Nk V Nk T 0 3 với lnS Nk Nk 0 3 . ln ln ln ln Z TT V U F TS kT NkT V T NkT 22 33 U V T V C Nk3 ln ln lnF PV NkT V T NkT3 H U PV NkT NkT NkT34 H P T P C Nk4 Bài 4. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ với nhau bởi hệ thức : 3 ( : )cp c const Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : N i i H cp 3 1 . Tích phân trạng thái của hệ : () !( ) !( ) i cp HN kT kT ii NN i V Z e d dr e dp NN 3 33 1 11 22 (1) Mặt khác : () i V dr V là thể tích của hệ | i cp cp cp kT kT kT i kT kT e dp e p dp e cc 3 33 2 0 0 4 44 33 . Thay vào (1) ta được : !( ) !( ) N N N N N kT kT cc NN i Z V V V T NN 33 33 1 11 44 22 Trong đó : !( ) N N k c N N 3 3 1 4 2 . Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có : ln ln ln ln Z NkT V V V T P kT NkT V T (1) Năng lượng của hệ ln ln ln ln Z TT V U kT NkT V T NkT 22 (2) Từ (1) và (2) ta có ngay : U PV . Các đại lượng nhiệt động khác : ln ln ln lnF kT Z NkT V T ln ln ln ln ln . FZ T T T VV S k Z kT Nk V T NkT 1 Hay ln lnS S Nk V Nk T 0 với lnS Nk Nk 0 . U V T V C Nk ; ln ln lnF PV NkT V T NkT H U PV NkT NkT NkT2 ; H P T P C Nk2 Bài 5. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức 4 cp Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : N i i H cp 4 1 . Tích phân trạng thái của hệ : () !( ) !( ) i cp HN kT kT ii NN i V Z e d dr e dp NN 4 33 1 11 22 (1) Mặt khác : () i V dr V là thể tích của hệ i cp cp kT kT i e dp e p dp 4 4 2 0 4 . Đặt : // // cp kT kT kT c c x p x p dp x dx 4 1 4 3 4 1 4 2 1 4 1 4 Do đó : // / () i cp x kT kT kT i cc e dp x e dx 4 3 4 3 4 14 3 4 0 .Thay vào (1) ta được : // / ( ) ( ) !( ) !( ) N N N N N kT kT cc NN i Z V V V T NN 3 4 3 4 34 33 44 33 1 11 22 Trong đó : / () !( ) N N k c N N 34 3 4 3 1 2 . Gọi P là áp suất của hệ, ta có : ln ln ln ln Z NkT V V V T P kT NkT V T 3 4 Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV NkT Các đại lượng nhiệt động khác : ln ln ln lnF kT Z NkT V T 3 4 ln ln ln ln ln . FZ T T T VV S k Z kT Nk V T NkT 33 44 Hay ln lnS S Nk V Nk T 0 với lnS Nk Nk 3 0 4 . ln ln ln ln Z TT V U F TS kT NkT V T NkT 22 33 44 U V T V C Nk 3 4 ; ln ln lnF PV NkT V T NkT 3 4 H U PV NkT NkT NkT 7 3 44 ; H P T P C Nk 7 4 Bài 6. Xác định năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm N hạt chứa trong bình có thể tích V , biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ thức : 0 ( , )ap a Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : N i i H ap 1 . Tích phân trạng thái của hệ : () !( ) !( ) i ap HN kT kT ii NN i V Z e d dr e dp NN 33 1 11 22 (1) Mặt khác : () i V dr V là thể tích của hệ i ap ap kT kT i e dp e p dp 2 0 4 . Đặt : // / ap kT kT kT a a x p x p dp x dx 3 1 13 12 1 Do đó : // () i ap x kT kT kT i aa e dp x e dx 3 1 33 3 0 44 .Thay vào (1) ta được : // / ( ) ( ) !( ) !( ) N N N N N kT kT ca NN i Z V V V T NN 3 4 3 3 4 33 4 33 1 11 22 Trong đó : / () !( ) N N k a N N 3 4 3 3 1 2 . Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có : ln ln ln ln Z NkT V V V T P kT NkT V T 3 Năng lượng của hệ : ln ln ln ln Z TT V U kT NkT V T NkT 22 33 Các đại lượng nhiệt động khác : ln ln ln lnF kT Z NkT V T 3 ln ln ln ln ln . FZ T T T VV S k Z kT Nk V T NkT 33 Hay : ln lnS S Nk V Nk T 0 với lnS Nk Nk 3 0 . U V T V C Nk 3 ; ln ln lnF PV NkT V T NkT 3 H U PV NkT NkT NkT 33 1 ; H P T P C Nk 3 1 Bài 7. Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều cao h , diện tích đáy ở trong trọng trường ở nhiệt độ T ,biết rằng số hạt khí là N . Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ i N p i m i H mgz 2 2 1 . Tích phân trạng thái của hệ : () !( ) !( ) ii mgz p HN kT kT mkT ii NN i V Z e d e dr e dp NN 2 2 33 1 11 22 (1) Mặt khác : ( ) ( ) ( ) | ( ) i mgh kT h mgz mgz mgz kT kT kT kT kT i mg mg V e dr dxdy e dz e e 0 0 1 / () i p p mkT mkT i e dp p e dp mkT 2 2 2 3 2 22 0 42 . Thay vào (1) ta được : / [ ( )( ) ] !( ) N mgh kT N i kT Z e mkT mg N 32 3 1 1 12 2 // [ ( )( ) ] ( ) !( ) mgh mgh N N N N kT kT N kT e mkT T e mg N 3 2 5 2 3 1 1 2 1 2 Trong đó : / !( ) N N N k mk mg N 32 3 1 2 2 . Từ đó ta tìm được : Năng lượng tự do : ln [ ln ln( ) ln ] mgh kT F kT Z NkT T e 5 2 1 Nội năng : ln [ ln ln( ) ln ]= mgh Z kT TT V U kT NkT T e 22 5 2 1 = mgh kT mgh mgh kT kT mgh Nmgh e kT ee NkT NkT T 2 2 11 55 22  Nhiệt dung : () mgh mgh kT kT mgh mgh kT kT e Nmgh U V TT V ee C NkT Nk Nmgh 2 2 11 55 22 Hay : () mgh mgh kT kT mgh mgh mgh kT kT kT V sh ee C Nk Nk 22 2 2 2 22 2 55 22 Bài 8. Trong bình hình lập phương cạnh L có chứa N phân tử khí lý tưởng ở nhiệt độ T . Bình khí được đặt trong trọng trường. Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của bình Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ i N p i m i H mgz 2 2 1 . Tích phân trạng thái của hệ : () !( ) !( ) ii mgz p HN kT kT mkT ii NN i V Z e d e dr e dp NN 2 2 33 1 11 22 (1) Mặt khác : () ( ) | i mgL kT L L L mgz mgz mgz L kT kT kT kT kT i mg mg V e dr dx dy e dz L e L e 22 0 0 0 0 1 / () i p p mkT mkT i e dp p e dp mkT 2 2 2 3 2 22 0 42 . Thay vào (1) ta được : / [ ( )( ) ] !( ) N mgL kT N i kT Z L e mkT mg N 2 3 2 3 1 1 12 2 // [ ( )( ) ] ( ) !( ) mgL mgL N N N N N kT kT N kT L e mkT L T e mg N 2 3 2 2 5 2 3 1 1 2 1 2 Trong đó : / [] !( ) NN k mg N mk N 32 3 1 2 2 . Áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là : ln lnZZ dL V L dV TT P kT kT . Vì VL 3 nên : dL dV L dV L dL 2 2 1 3 3 . Từ đó ta có : [ ln ln ln( ) ln ] [ + ]= mgL mg mgL kT kT NkT NkT kT LL mgL LL kT e P L T e e 22 52 2 33 21 1 ( / ) [ + ]= [ + ] mgL mgL kT kT mgL kT mg NkT NkT L kT V L ee 2 2 1 2 1 33 3 11 (với VL 3 ) Bài 9. Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm 1 N hạt khối lượng 1 m và 2 N hạt khối lượng 2 m chứa trong một bình hình trụ có chiều cao h và điện tích đáy . Bình khí được đặt trong trọng trường với gia tốc g . Tìm áp suất đặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm . Hướng dẫn : Gọi j Z là tích phân trạng thái của hạt loại ( , )jj 12 , ta có : () !( ) !( ) i j j i j j jj p H m gz N m kT kT kT j j i i NN i V jj Z e d e dr e dp NN 2 2 33 1 11 22 Mặt khác : ( ) ( ) ( ) | ( ) j i j j m gh j kT jj h m gz m gz m gz h kT kT kT kT kT i m g m g V e dr dxdy e dz e e 0 0 1 / () i jj p p m kT m kT ij e dp p e dp m kT 2 2 22 2 3 2 0 42 . Thay vào (1) ta được : / [ ( )( ) ] !( ) j j j j m gh N kT kT jj mg N i j Z e m kT N 32 3 1 1 12 2 / / [ ( )( ) ] ( ) !( ) jj j j j j j j m gh m gh N N N N kT kT kT jj mg N j e m kT T e N 52 32 3 1 1 2 1 2 Trong đó : / [] !( ) j j j j N N k jj mg N j mk N 32 3 1 2 2 .Tích phân trạng thái của hệ là : j j ZZ 2 1 . Do đó áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là : ln ln ln jj ZZ Z dh V V h dV T TT jj P kT kT kT 22 11 . Vì thể tích của hình trụ là : Vh nên dh dV 1 . Từ đó ta tìm được : [ ln ln( ) ln ] m gh j j kT jj m gh j kT m gh N m g kT kT e kT jj h kT jj e P N T e 22 5 2 11 1 1 Hay : jj m gh j kT N m g j e P 2 1 1 1  Nội năng của hệ : ln ln j Z Z TT V V j U kT kT 2 22 1 = [ ln ln( ) ln ] [ ] m gh j j kT j m gh j kT m gh m gh e kT j j j TT kT jj e kT N T e kT N 2 22 22 55 22 11 1 1 Hay : () jj m gh j kT N m gh j j e U N kT 2 5 2 1 1 . Gọi d E là động năng trung bình của hệ, theo định lý phân bố đều động năng ta có : () dj j E N N kT N kT 2 33 12 22 1 . Từ đó suy ra thế năng trung bình của hệ là : () jj m gh j kT N m gh t d j j e E U E N kT 2 1 1 (2)  Nếu gọi c z là tọa độ của khối tâm, ta có : tc E Mgz (3) , với M N m N m 1 1 2 2 là khối lượng của hệ. Từ (2) và (3) ta tìm được : () ( ) ( ) jj m gh j kT N m gh tt cj j e EE z N kT Mg N m N m g N m N m g 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 Bài 10. Biết rằng động năng của chuyển động quay của phân tử 2 nguyên tử đối với khối tâm của chúng bằng : sin () p q I p 2 2 2 1 2 ở đây I là moment quán tính đối với khối tâm phân tử còn ,pp là xung lượng suy rộng ứng với các tọa độ cầu , . Hãy tính : tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển động quay của phân tử hai nguyên tử Hướng dẫn : Tích phân trạng thái của chuyển động quay là : q kT q Z e d , trong đó : ( , , , <+ )d d d dp dp p p0 0 2 . Từ đó ta có : sin p p IkT I kT q Z d d e dp e dp 2 2 2 2 22 00 . Sử dụng tích phân Poisson : ax e dx a 2 , ta được : p IkT e dp IkT 2 2 2 và sin sin sin p I kT e dp I kT IkT 2 2 2 2 22 . Thay vào biểu thức của q Z ta có : ( ) sin q Z IkT d d IkT 2 2 00 28 .  Entropy của hệ : ln ln ln( ) ln( ) = ln (8 ) ln( ) ln [ln( ) ] q Z q TT V T S k Z kT k IkT kT IkT k IkT kT k IkT k k T k Ik 22 2 2 2 1 88 8 8 1  Nhiệt dung : { ln [ ln( ) ]} . S k V T T T V C T T k T k Ik T k 2 81 Bài 11. Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính đáy R , chiều cao h . Biết rằng hình trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc . a) Xác định áp suất của khí tác dụng lên thành bình. b)Tìm nội năng của khí. Hướng dẫn : Khi hình trụ trụ quay quanh trục với vận tốc góc , các hạt khí trong hình trụ sẽ quay theo với vận tốc góc . Gọi r là khoảng cách từ hạt khí tới trục hình trụ, lực ly tâm tác dụng lên hạt là : lt f m r 2 . Lực này liên kết với thế năng ly tâm () lt ur theo hệ thức : () lt mr lt lt lt lt du f du f dr m rdr u r dr 22 2 2 .Từ đó suy ra, hàm Hamilton của hệ là : [ ( )] ( ) i i i NN p p m r lt i mm ii H u r 2 2 2 2 2 2 2 11 .  Tích phân trạng thái của hệ : !( ) !( ) ii NN m r p HN kT kT mkT ii NN i V Z e d e dr e dp 2 2 2 33 11 22 22 1  Sử dụng hệ tọa độ trụ ( , , )rz , ta có : | ( ) i hR mr m r m r m R R hkT kT kT kT kT kT i mm V e dr d dz e rdr h e e 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 21  / () i p p mkT mkT i e dp p e dp mkT 2 2 2 3 2 22 0 42  Thay vào biểu thức của Z ta nhận được : // !( ) [ ( )( ) ] ( ) N N m R m R N N N hkT kT kT Nm i Z e mkT T e 2 2 2 2 32 3 2 5 2 2 1 22 2 1 1 2 1 trong đó : / !( ) [ ( ) ] N NN kh Nm mk 32 32 2 1 2 2 . a) Áp suất tác dụng lên thành bình : ln lnZZ dR V R dV TT P kT kT . Vì V R h 2 nên dR dV hR dV hRdR 1 2 2 . Do đó : ln [ ln ln( ) ln ] mR kT mR kT mR mR e Z kT NkT NkT kT kT Rh R Rh R Rh T e P T e 22 2 22 2 22 2 5 2 2 2 2 2 1 1 Hay : ( / ) mR kT m R kT NkT V e P 22 22 2 2 1 b) Nội năng của khí : ln [ ln ln( ) ln ] mR kT Z TT V U kT NkT T e 22 2 22 5 2 1 [] mR kT mR kT mR e kT T e NkT 22 22 2 2 22 2 2 52 2 1 , hay : / mR kT Nm R e U NkT 22 22 2 2 5 2 1 Bài 12. Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường đều, biết rằng gia tốc trọng trường là g , khối lượng một phân tử là m và nhiệt độ là T . Hướng dẫn. Gọi N là số hạt của hệ , thế năng của hệ là : N ti i E mgz 1 . Từ đó suy ra N ti i E mgz 1 (1) . Nếu gọi c z là tọa độ khối tâm của hệ, ta lại có : tc E Mgz (2), trong đó M Nm là khối lượng của hệ. Từ (1) và (2) ta được : N ci i z mgz Nmg 1 1 (3) Để tính i z ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann trong trường lực. Biểu thức của hàm phân bố Boltzmann có dạng : () mgz kT z Be . Từ điều kiện chuẩn hóa: ()z dz 0 1 , ta có : [...]... F pi Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – thống kê lượng tử Bài 1 Khảo sát hệ N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập a) Tính năng lượng tự do và entropy của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập b) Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập N Z1 , Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z trong đó Z1 e n kT n 0 là tổng thống kê của một dao... (1) Theo định lý phân bố đều động năng ta có : (2) Vì lim kx 4 x 1 virial, ta có : 2 x H x kT 2 1 Từ đó suy ra : 2 x H x 2kx 4 nên lim H Do đó theo định lý x 1 Từ biểu thức của H , ta lại có : 2 x kx 4 kT 2 kT 2 E kT 4 kT 4 1 x 4kx 3 2 H x 2kx 4 (3) Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được : 3kT 4 Bài 19 Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong trường lực có thế năng U... 2kT ) Nk 2 2kT 1 sh( 2kT )2 Bài 2 Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N dao động tử điều hoà hai chiều (n 1) độc lập có các mức năng lượng n suy biến bội g ( n ) n 1 N Z1 , trong đó Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z g( Z1 n )e n là tổng thống kê của một dao động tử Vì phổ năng lượng của dao kT n 0 động tử điều hòa hai chiều là : (n nên, ta có : Z1 1)e (n n (n 1) 1) [... 1)(n 2) 2 n) N Z1 , với Z1 Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z n g( n )e kT là n 0 tổng thống kê của một dao động tử Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều là: (n n 3) 2 Z1 n 0 0, 1 ) có bội suy biến g( n ) (n (n (n 1)(n 2) e 2 3) 2 kT [  Năng lượng trung bình của hệ : E Hay : E kT 2 3N 2 ln Z T V coth 3NkT 2 2kT nên, ta có : ]3 Từ đó ta tìm được : Z 1 2sh( (n 1)(n 2) 2... làm 2: H và H tương ứng với các moment từ - và + song song hay đối song với từ trường H Giả sử hệ gồm N hạt như thế được đặt trong từ trường H ở nhiệt độ T Sử dụng phân bố chính tắc Gibbs , xác định nội năng, nhiệt dung, moment từ của hệ Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : Z N Z1 , trong đó Z1 e n kT n là tổng thống kê của một hạt Vì hạt chỉ có hai mức năng lượng là nên : Z1 H kT e... 2 2 x E Do đó, năng 2 2 2 (2) Vì 1 Do đó theo định lý virial, ta có : 2 x m (1) Theo định lý phân bố x lim kT 2 m 2 2 x 2 nên Từ biểu thức của H , ta 1 lại có : 2 x H x 2 2 m x H x 1x 2 2 2 2 m x 2 kT 2 E kT 2 kT 2 (3) Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được : kT Bài 18 Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng kx 4 u(x ) p2 2m Hướng dẫn: Hàm hamilton của dao động... 2 2kT 3Nk 2 2kT 1 sh 2 2kT ) ) Bài 4 Xác định năng lượng trung bình của hạt có các mức năng lượng không suy biến : ( : const ; 0, 1, , n 1) n 1 Hướng dẫn Tổng thống kê của hạt Z1 n 1 e 0 Năng lương trung bình : E kT ln Z1 T 2 n kT 2 2 kT [ 1 e 0 2 kT e kT n kT kT 2 n kT [ln(1 T e 1 e e n kT 1 e e kT 1 e kT n kT ) ln(1 kT )] e kT n ] e kT kT n e kT 1 1 Bài 5 Nếu hạt có spin 1/2 đặt trong từ trường... p kT 2 q 2n E Do đó, năng lượng trung q 2n (1) Theo định lý phân bố đều động năng ta có : (2) Vì q lim 1 virial, ta có : 2 q H q kT 2 1 Từ đó suy ra : 2 q H q n q 2n q 2n nên lim H 1 Từ biểu thức của H , tacó : 2 q q 2n kT 2 E Do đó theo định lý x kT 2 kT 2n kT 2n kT 2 H q 1 q 2n 2 q 2n 1 n q 2n (3) Thay (2), (3) vào (1) ta được : 1 n 1 Bài 20 Chứng minh các hệ thức sau : a) F H qi kT F qi (H khi... NkT Nk Bài 17 Sử dụng định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý virial dưới dạng: qi H qi pi H qi , tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà tuyến tính p2 2m Hướng dẫn Hàm Hamilton của dao động tử là : H lượng trung bình của dao động tử là : E đều động năng ta có : x lim H p2 2m H 1p H 2 p p2 2m kT 2 m x 2 H x 2 2 x E Do đó, năng 2 2 2 (2) Vì 1 Do đó theo định lý virial,... 1)e (n n (n 1) 1) [ kT n 0 (n 1 ]2 2sh( 2kT ) 0, 1 ) có bội suy biến g( n ) [ Từ đó ta nhận được : Z n 1 2 sh( 2kT ) 1 ]2N  Năng lượng trung bình của hệ : kT 2 E Hay : E coth N 2NkT 2 ln Z T V ch( 2NkT 2 ln[2sh( 2kT )]= T 2kT 2 sh( 2kT 2kT ) ) 2kT  Nhiệt dung : E T V CV coth T N 1 N 2kT 2kT 2 2 sh 2 2Nk 1 2kT sh 2kT 2 2kT Bài 3 Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao động tử 3 chiều mà