PH NG TRÌNH B C B NƯƠ Ậ Ố ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 (a ≠ 0) I. Nh ng d ng đ c bi tữ ạ ặ ệ 1/ Ph ng trình trùng ph ng axươ ươ 4 + bx 2 + c = 0 Đ t t = xặ 2 (t ≥ 0), ph ng trình tr v d ng b c haiươ ở ề ạ ậ 2/ (x + a) 4 + (x + b) 4 = c Đ t t = x + ½(a + b), pt có d ng : (t + m)ặ ạ 4 + (t - m) 4 = c, khai tri n s đ c pt trùng ph ngể ẽ ượ ươ 3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) v i a + b = c + dớ pt ↔ [x 2 + (a + b)x + ab].[x 2 + (c + d)x + cd] = m Đ t t = xặ 2 + (a + b)x = x 2 + (c + d)x (n u mu n có th kèm theo ĐK c a t)ế ố ể ủ Ph ng trình tr v d ng b c haiươ ở ề ạ ậ 4/ ax 4 + bx 3 + cx 2 ± kbx + k 2 a = 0 (a ≠ 0) - Xét x = 0 có ph i nghi m pt khôngả ệ - V i x ≠ 0 : Chia 2 v pt cho xớ ế 2 pt ↔ a (x 2 + k 2 /x 2 ) + b(x ± k/x) + c = 0 Đ t t = x ± k/x (n u mu n có th kèm theo ĐK c a t)ặ ế ố ể ủ 5/ a[f 2 (x) + 1/f 2 (x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0 Đ t t = f(x) ± 1/f(x) (t ng quát h n so v i d ng ph ng trình 4)ặ ổ ơ ớ ạ ươ 6/ a.f 2 (x) + b.f(x).g(x) + c.g 2 (x) = 0 (a ≠ 0) - V i g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0ớ - V i g(x) ≠ 0, chia 2 v ph ng trình cho gớ ế ươ 2 (x) - Đ t t = f(x)/g(x), pt tr v d ng b c hai theo tặ ở ề ạ ậ 7/ x = f(f(x)) pt ↔ h đ i x ng lo i 2 : t = f(x) và x = f(t)ệ ố ứ ạ * Chú ý : N u trong ph ng trình có ch a tham s , trong vài tr ng h p ta có th đ iế ươ ứ ố ườ ợ ể ổ vai trò c a n và tham s (xét ph ng trình theo tham s a, tính a theo x r i suy ra x theoủ ẩ ố ươ ố ồ a) II. Ph ng trình b c b n t ng quát Xươ ậ ố ổ 4 + AX 3 + BX 2 + CX + D = 0 (công th c Ferrari)ứ - Đ t X = x - A/4, ph ng trình tr v d ng ặ ươ ở ề ạ khuy t b c baế ậ : x 4 = ax 2 + bx + c - C ng 2 v pt cho 2mxộ ế 2 + m 2 (m thu c R), ta đ c :ộ ượ (x 2 + m 2 ) 2 = (2m + a)x 2 + bx + c + m 2 - Xét v ph i pt, ta s ch n m sao cho v ph i là bình ph ng m t nh th c b ngế ả ẽ ọ ế ả ươ ộ ị ứ ằ cách : Δ VP = b 2 - 4(2m + a)(c + m 2 ) : pt b c ba theo m → luôn có nghi m th cậ ệ ự - Khi đó pt có d ng : (xạ 2 + m 2 ) 2 = f 2 (x) PH NG TRÌNH B C BAƯƠ Ậ ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) Chú ý : - Ph ng trình b c l luôn luôn có nghi m th cươ ậ ẻ ệ ự - Đ nh lý Viete : N u ph ng trình axị ế ươ 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghi m xệ 1 , x 2 , x 3 thì : x 1 + x 2 + x 3 = -b/2a x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c/a x 1 x 2 x 3 = -d/a I. Nh ng d ng thông th ngữ ạ ườ 1. N u x = xế 0 là m t nghi m, ta có th phân tích thành d ng :ộ ệ ể ạ (x - x 0 )(ax 2 + bx + c) = 0 Đ c bi t :ặ ệ - N u a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghi mế ệ - N u (d/a) = (c/b)ế 3 → x = -c/b là nghi mệ 2. Ph ng trình d ng Aươ ạ 3 + B 3 = (A + B) 3 pt ↔ A 3 + B 3 = A 3 + B 3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0 II. Nh ng d ng t ng quátữ ạ ổ 1. Ph ng trình 4xươ 3 - 3x = q * V i │q│ ≤ 1ớ - Đ t x = cost , pt tr thành : cos3t = qặ ở - G i α là góc th a cosα = q, nh v y : cos3t = cosαọ ỏ ư ậ - Ta ch n tọ 1 = α/3 ; t 2,3 = (α ± 2π)/3 - K t lu n ph ng trình có 3 nghi m xế ậ ươ ệ 1,2,3 = cos t 1,2,3 Chú ý r ng b c đ t x = cost là m t cách đ t "ép" n ph , ta không c n ch ngằ ướ ặ ộ ặ ẩ ụ ầ ứ minh r ng pt trên luôn có nghi m nh h n 1, khi tìm đ c ằ ệ ỏ ơ ượ đủ 3 nghi m thì ta cóệ th k t lu n ngayể ế ậ * V i │q│ > 1ớ : - Ta d dàng CM đ c pt không có nghi m thu c [-1;1] và n u ph ng trình cóễ ượ ệ ộ ế ươ nghi m xệ 0 không thu c [-1;1] thì xộ 0 là nghi m duy nh tệ ấ - Ta ch n a thu c R đ pt có d ng 4xọ ộ ể ạ 3 - 3x = ½ (a 3 + 1/a 3 ) b ng cách :ằ q = ½ (a 3 + 1/a 3 ) ↔ a 6 - 2qa 3 + 1 = 0 (→ tìm đ c a)ượ - CM x 0 = ½ (a + 1/a) là nghi m (duy nh t) c a ph ng trìnhệ ấ ủ ươ 2. Ph ng trình 4xươ 3 + 3x = q - Gi s ph ng trình có nghi m xả ử ươ ệ 0 , dùng đ o hàm ta CM đ c xạ ượ 0 là nghi m duyệ nh tấ - Ta ch n a thu c R đ pt có d ng 4xọ ộ ể ạ 3 + 3x = ½ (a 3 - 1/a 3 ) r i CM xồ 0 = ½ (a - 1/a) là nghi m (duy nh t) c a ph ng trình (ph ng pháp t ng t nh trên)ệ ấ ủ ươ ươ ươ ự ư 3. Ph ng trình xươ 3 + px + q = 0 (Công th c Cardan - Tartaglia)ứ - Đ t x = u - v sao cho uv = p/3ặ - T pt, ta có : (u - v)ừ 3 + 3uv(u - v) = u 3 - v 3 = q - H ph ng trình uv = p/3 và uệ ươ 3 - v 3 = q cho ta m t ph ng trình trùng ph ngộ ươ ươ theo u (ho c v), t đó suy ra u,v và tìm đ c ặ ừ ượ m tộ nghi m x = u + vệ Chú ý r ng trong lúc gi i ph ng trình trùng ph ng có th ta g p nghi m ph c (uằ ả ươ ươ ể ặ ệ ứ ho c v) nên t đó ph ng trình b c ba còn cho thêm 2 nghi m ph c n a (đó m i làặ ừ ươ ậ ệ ứ ữ ớ d ng đ y đ c a công th c trên)ạ ầ ủ ủ ứ Ngoài ra, các ph ng trình 4xươ 3 ± 3x = q nh trên cũng có th gi i đ c b ng PPư ể ả ượ ằ này 4. Ph ng trình b c ba t ng quát Xươ ậ ổ 3 + AX 2 + BX + C = 0 Đ t X = x - A/3, pt tr thành xặ ở 3 + px + q = 0 (#) Cách 1 : Gi i tr c ti p theo công th c Cardan - Tartagliaả ự ế ứ Cách 2 : - Đ t x = kt (k > 0) , (#) tr thành : kặ ở 3 t 3 + pkx + q = 0 (ch n k sao cho kọ 3 /4 = pk/3 n u p > 0 ho c kế ặ 3 /4 = -pk/3 n u p < 0)ế - Ph ng trình đ c đ a v d ng 4tươ ượ ư ề ạ 3 ± 3t = Q . (t ≥ 0), ph ng trình tr v d ng b c haiươ ở ề ạ ậ 2/ (x + a) 4 + (x + b) 4 = c Đ t t = x + ½(a + b), pt có d ng : (t + m)ặ ạ 4 + (t - m) 4 = c, khai tri. PH NG TRÌNH B C B NƯƠ Ậ Ố ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 (a ≠ 0) I. Nh ng d ng đ c bi tữ ạ ặ ệ 1/ Ph ng trình trùng ph ng axươ ươ 4 + bx 2 +