Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ ĐỘNG LỰC CỦA MƠ HÌNH TRUYỀN BỆNH SỐT RÉT Nguyễn Hữu Khánh ABSTRACT In this article, we study a mathematical model of malaria desease, where humans and mosquitoes interact and infect each other The model is presented by a system of differential equations belonging to parameters We define the factor deciding the spread of malaria This factor is called basic reproduction number and denoted by R0 If R0  then the desease goes extinct, whereas if R0  then the desease remains This phenomenon is explained by transcritical bifurcation Keywords: equilibrium, basic reproduction number Title: Dynamics of malaria transmission model TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu mơ hình tốn học bệnh sốt rét, người muỗi tương tác gây bệnh lẫn Mơ hình biểu diễn hệ phương trình vi phân phụ thuộc tham số Chúng xác định nhân tố định cho truyền nhiễm bệnh sốt rét số sinh sản sở R0 Khi R0  truyền bệnh tắt dần, R0  truyền bệnh trì Hiện tượng giải thích phân nhánh transcritical Từ khóa: điểm cân bằng, số sinh sản sở PHẦN GIỚI THIỆU Bệnh sốt rét bệnh gây nên chết nhiều quốc gia vùng nhiệt đới Theo thống kê, 40% dân số giới sống vùng có bệnh sốt rét Hàng năm, bệnh giết chết từ 700.000 đến 2,7 triệu người giới Bệnh sốt rét bệnh truyền nhiễm gây nên ký sinh trùng loại protozoa tên Plasmodium Người bị nhiễm bệnh bị muỗi Anophele nhiễm bệnh cắn muỗi nhiễm bệnh cắn phải người bị bệnh sốt rét Mơ hình toán học bệnh sốt rét bắt đầu nghiên cứu năm 1911 với mơ hình Ross R (1911) Sau cải tiến Macdonald G (1957) Gần đây, có nhiều mơ hình nghiên cứu bệnh sốt rét Tùy theo mục địch nghiên cứu mà mô hình có khác động lực Trong báo này, khảo sát bệnh sốt rét theo mơ hình SIRS (susceptibility, infection, recovery, susceptibility) cho người SIS (susceptibility, infection, susceptibility) cho muỗi Sự lan truyền bệnh nghiên cứu thông qua số người số muỗi bị nhiễm bệnh Qua phân tích chúng tơi tìm điều kiện cho tính ổn định trạng thái cân xác định số sinh sản R0 nhân tố định truyền bệnh Mô số cho mơ hình thực phần mềm Mathematica AUTO Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ 190 Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ MƠ HÌNH TỐN HỌC Trong mơ hình Ross, cá thể người xếp vào trạng thái có khả nhiễm bệnh bị nhiễm bệnh Đối với mô hình chúng tơi, số lượng người N h chia thành số người có khả nhiễm bệnh S h , số người bị nhiễm bệnh I h số người bình phục Rh ; số lượng muỗi N m chia thành số lượng muỗi có khả nhiễm bệnh Sm số lượng muỗi bị nhiễm bệnh I m Biểu đồ dịng mơ hình cho h I h h Nh Sh h Rh h Ih Ih  h Rh m I m Rh Im m Nm ( hm bm I h ) Sm Nh ( mh bm Sh ) I m Nh  h Sh Sm  m Sm Hình 1: Biểu đồ dịng mơ hình bệnh sốt rét Ta thấy h N h lượng người sinh  h Rh lượng người bình phục khơng miễn dịch tham gia vào số lượng người có khả nhiễm bệnh Sh Có ( mhbm Sh ) I m / N h lượng người bị muỗi nhiễm bệnh cắn chuyển vào lượng người bị nhiễm bệnh I h Ngồi ra, cịn có h Sh người chết lý khác rời khỏi lượng người có khả nhiễm bệnh Sh Bằng cách lý luận mơ hình bệnh sốt rét cho hệ phương trình vi phân sau: ( mh bm I m ) S h Nh dSh dt   h N h  h Rh   h S h  dI h dt  ( mh bm I m ) S h  ( h   h ) I h Nh   h I h  ( h  h ) Rh   m N m   m Sm  dRh dt dS m dt dI m dt  (1) ( hm bm I h ) Sm Nh ( hmbm I h ) S m  m I m Nh Nh Nm  S h  I h  Rh  Sm  I m tham số cho bảng sau: 191 Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ Bảng 1: Các tham số mơ hình  hm  mh bm h h h m m  h (t ) hệ số lây nhiễm người hệ số lây nhiễm muỗi tỷ lệ muỗi cắn người tỷ lệ sinh người tỷ lệ người bình phục tỷ lệ thất bại miễn dịch tỷ lệ sinh muỗi tỷ lệ chết muỗi tỷ lệ chết người Ta xét với tất tham số dương Ngoài ra, tỷ lệ sinh muỗi lớn tỷ lệ chết ,  m  m , để đảm bảo số lượng muỗi tồn Để thuận lợi cho việc phân tích mơ hình ta thực phép đổi biến sau: sh  Sh I R S I , ih  h , rh  h , sm  m , im  m Nh Nm Nh Nh Nm Khi ta có sh  ih  rh  sm  im  (2) Mơ hình bệnh sốt rét đưa dạng đơn giản hơn: dsh dt dih dt drh dt dim dt dsm dt N = N m / N h ,  (h   h )(1  sh )  hih  Nsh (1  sm )  Nsh (1  sm )  ( h   h )ih (3)   hih  (h   h )rh  ih sm   mim   m (1  sm )  ih sm   bm hm   bm mh (4) Bảng 2: Các biến sh ih rh sm im tỷ lệ với số người có khả nhiễm bệnh tỷ lệ với số người bị nhiễm bệnh tỷ lệ với số người bình phục tỷ lệ với số muỗi có khả nhiễm bệnh tỷ lệ với số muỗi bị nhiễm bệnh PHÂN TÍCH TỔNG QT MƠ HÌNH Bằng cách co giãn thời gian t, ta xét hệ với điều kiện sh (t )  ih (t )  rh (t )  im (t )  sm (t )  t  sh (t )  0, ih (t )  0, rh (t )  0, im (t )  0, sm (t )  192 t  Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ Ngồi ra, ih (0)  bất đẳng thức chặt Điểm cân bằng: Các điểm cân mơ hình nhận cách giải hệ với vế phải hệ (3) Ta tìm điểm cân với tọa độ dạng ( sh , ih , rh , im , sm ) - Điểm cân bệnh tự (disease free equilibrium) E0 (1, 0, 0, 0, 1) - Điểm cân bệnh địa phương (endemic disease equilibrium) * * * * E1 ( sh , ih , rh* , im , sm ) ( h   h )( h  m  (h   h )(   m )) * sh  [(h   h )( N   h )   h (h   h  N )] * ih = rh*  * im  * sm  (h   h )  N  ( h   h ) m  [(h   h )( N   h )   h (h   h  N )]  h [N  ( h   h ) m ] [(h   h )( N   h )   h (h   h  N )] (5) (h   h )  N  ( h   h ) m  N [((h   h )  ( h  h   h ) m ] [(h   h )( N   h )   h (h   h  N )] m N [((h   h )  ( h  h   h ) m ] Số sinh sản sở Động lực mô hình bệnh sốt rét định giá trị ngưỡng R0 gọi số sinh sản Trong thực tế, R0 số trung bình tái nhiễm bệnh tạo nên cá thể bị nhiễm bệnh trở lại vật thể chủ ban đầu Trong báo này, ta định nghĩa R0  N ( h   h ) m Trong phần sau ta chứng minh R0  truyền bệnh tắt dần, R0  truyền bệnh tồn Ta xét hai trường hợp minh họa cho đặc trưng R0 : * Trường hợp R0  : Chọn  h  0.6 , h  0.4 ,   0.9 ,   0.3 ,  h  0.4 , N  0.2 ,  m  0.28 R0 = 0.771429 < Với điều kiện ban đầu ( sh (0), ih (0), rh (0), im (0), sm (0))  (0.9, 0.1, 0, 0,1) , thành phần nhiễm bệnh ih , im dần giá trị t   Điều cho thấy truyền bệnh tắt dần 193 Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ ih, im 0.10 0.08 0.06 ih 0.04 0.02 im 10 20 30 40 50 60 70 t Hình 2: Số lượng người bị nhiễm Ih muỗi bị nhiễm Im R0 < * Trường hợp R0  : Chọn  h  0.6 , h  0.4 ,   4.9 , N  0.2 ,   0.35 ,  h  0.4  m  0.28 R0 = 1.225 > Với điều kiện ban đầu ( sh (0), ih (0), rh (0), im (0), sm (0))  (0.9, 0.1, 0, 0.3,1) , thành phần nhiễm bệnh ih , im dần giá trị dương không đổi t   Kết khẳng định truyền bệnh ih , im 0.35 0.30 0.25 0.20 im 0.15 0.10 ih 0.05 50 100 150 200 Hình 3: Số lượng người bị nhiễm Ih muỗi bị nhiễm Im R0 > TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG 4.1 Điểm cân bệnh tự (Disease-free eqilibrium) Điểm cân bệnh tự E0  (1, 0, 0, 0,1) tồn Xét ma trận Jacobi E0 : J E0 194 0 h  (h   h )  0 (  h   h )  0 h (h   h )    0   m    0  N   N       m  t Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ Các giá trị riêng nhận cách giải phương trình đặc trưng det( J E0  I ) = Phương trình có dạng: (h   h  )2 ( m  )[( h   h  )( m  )  N ]  Giải phương trình ta giá trị riêng 1  (h   h )   (h   h ) 3   m     ( h   h   m )2  4[N  ( h   h ) m ]  ( h   h   m )     2 1 ( h   h   m )2  4[N  ( h   h ) m ]  ( h   h   m )     2 N đóng vai trò Trong phần ta thấy số sinh sản sở R0  ( h   h ) m định cho tính ổn định E0 E1 5  Định lí 1: Điểm cân bệnh-tự E0 tồn ổn định địa phương R0  Chứng minh Hệ phương trình với vế phải hệ (3) ln có nghiệm (1,0,0,0,1) nên hệ ln có điểm cân E0  (1, 0, 0, 0,1) Xét tuyến tính hóa hệ (3) điểm E0 Phương trình đặc trưng cho ta giá trị riêng 1 ,  , 3 ,  , 5 Vì tham số h  ,  h  ,  m  nên giá trị riêng 1 ,  , 3 ,  âm Khi R0  hay N  ( h   h ) m ( h   h   m )  4[N  ( h   h ) m ] h  h  m  ( h   h   m )2  4[N  ( h   h ) m ]  ( h   h   m ) Do giá trị riêng 1 ( h   h   m )2  4[N  ( h   h ) m ]  ( h   h   m )      2 Vậy điểm cân bệnh tự E0 ổn định địa phương R0  5  Chú ý 1: Khi R0  giá trị riêng 5 ma trận Jacobi dương nên E0 khơng ổn định Định lí sau cho ta tính ổn định mạnh E0 Định lí 2: Khi R0  điểm cân bệnh-tự E0 (1,0,0,0,1) ổn định tiệm cận 195 Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ Chứng minh Do hệ thức (2) nên ta cần xét hệ (3) theo sh , ih im Khi hệ có dạng rút gọn: dsh  (h   h )(1  sh )   hih   Nshim dt dih   Nshim  ( h  h )ih dt dim   ih (1  im )  mim dt  ( h  h )  N  (ứng với ih im ) Xét ma trận Jacobi A    m    (6)  Như trường hợp tổng quát, hệ (6) có điểm cân bệnh-tự E0 (1,0,0)   Khi R0  giá trị riêng ma trận Jacobi E0 có phần thực âm nên E0 ổn định địa phương Vì sh   im  nên ta có dih   Nshim  ( h  h )ih   Nim  ( h  h )ih dt dim   ih (1  im )  mim   ih  mim dt y  Cho Y    nghiệm phương trình tuyến tính  y2  N   ( h  h )   Y'   Y  m     với y1 (0)  ih (0)   , y2 (0)  im (0)   ,   Khi R0  giá trị riêng A có phần thực âm Kết cho ma trận A + I với  đủ nhỏ Do y1 (t )  y2 (t )  t   Ta dễ dàng chứng minh ih (t )  y1 (t ) im (t )  y2 (t ) ih (t )  im (t )  t  Cho t   (7) d (1  sh )  (  h  h )(1  sh )   (t ) , dt  (t )   hih   Nshim  t   Từ Mặt khác, từ (6) ta có t  sh (t )  (1  sh (0))e  (  h  h )t  e  (  h  h )   ( s )e(  h  h ) s ds (8) Từ (7) (8) ta suy sh (t )  t   Nhận xét 1: Khi R0  x(t )  ( sh , ih , rh , im , sm ) nghiệm hệ (3) x(t)  E0 t   Khi ih (t )  im (t )  Do truyền bệnh tắt dần 196 Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ Nhận xét 2: Theo trên, truyền bệnh tắt dần R0  hay  N  ( h  h )m  L Trong thực tế L đại lượng bị chặn nên ta xem không đổi Từ bất đẳng thức (4) ta bm hm mh N m  LN h (9) Ta kiểm sốt vế phải Do để truyền bệnh tắt dần ta tìm cách khống chế tham số vế trái để bất đẳng thức (9) xảy 4.2 Điểm cân bệnh địa phương (Endemic disease eqilibrium) * * * * * * * * Điểm cân bệnh địa phương E1 ( sh , ih , rh* , im , sm ) , sh , ih , rh* , im , sm cho (5) Xét ma trận Jacobi E1 : J E1 = *   ( h   h )  N (1  sm )  *  N (1  sm )        h 0  ( h   h ) h  ( h   h ) 0 *  sm  m *  sm 0      *   ih  *  m   ih   * Nsh * Nsh Các giá trị riêng nhận cách giải phương trình đặc trưng det( J E1  I ) = Phương trình có dạng: (  h   h )(   m )(3  a2   a1  a0 )  Giải phương trình ta giá trị riêng 1  (h   h )    m 3 ,  , 5 nghiệm phương trình 3  a2   a1  a0  , a2  a  b   m  a1 b (  d  a m ) b (  d  a m )  d  h  b ( d  2 h ) b  ( a  b   h )  m ab  ( a  b ) m    b ( a  b )( d  am ) d h  b ( d  h ) am [b (  m )   h m ][ h (b  d )  b ( d  h )] b ( a   h  m )( d  am )  [ d h  b ( d  2h )][ b  ( a  b  h )m ]  b  ( a  b  h ) m  [ (b  d )  b ( d  h )]m  bd [ d  am ]   h   bd  d ( a  b  h )m   + d h  b ( d  h ) a0  ab m  ab ( d  a m ) abm [b (  m )   h m ][ h (b  d )  b ( d  h )]  (b  d ) h  b ( d   h ) [(b  d ) h  b ( d  h )][ b  ( a  b  h ) m ]  [  (b  d )  b ( d  h )]m   d m ( a   h )   h  d [ b  ( a  b  h ) m ]    [ (b  d )  b ( d  h )]m  bd ( a   h )( d  a m )   h  d [ b  ( a  b  h ) m ]    (b  d ) h  b ( d   h ) 197 Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ a   h   h , b  h   h , d =  N Các giá trị riêng 3 ,  , 5 có phần thực âm hệ số a0 , a1 , a2 thỏa mãn tiêu chuẩn Routh-Hurwitz [2,5]: a0  , a2  , a1a2  a0  (10) Định lí 3: Điểm cân bệnh địa phương E1 tồn ổn định địa phương R0  Chứng minh Khi R0   N  (  h )m  Từ hệ (5), ta thấy biểu thức * * * * sh , ih , rh* , im , sm tồn dương Do đó, điểm cân E1 tồn Xét tuyến tính hóa hệ (3) E1 Phương trình đặc trưng cho ta giá trị riêng 1 ,  , 3 ,  , 5 với 1  (h   h ) ,    m 3 ,  , 5 nghiệm phương trình 3  a2   a1  a0  Vì tham số h  ,  h  ,  m  nên giá trị riêng 1 ,  âm Ta kiểm tra hệ số a0 , a1 , a2 thỏa mãn điều kiện (10) tiêu chuẩn RouthHurwitz R0  Dễ dàng ta thấy R0  a2  a0  Dùng phần mềm Mathematica ta thấy điều kiện a1a2  a0  thỏa Do tiêu chuẩn Routh-Hurwitz, giá trị riêng 3 ,  , 5 có phần thực âm Vậy điểm cân bệnh E1 ổn định địa phương R0  Nhận xét 3: Khi R0  x(t )  ( sh , ih , rh , im , sm ) nghiệm hệ (3) lân * * * * cận E1 ( sh , ih , rh* , im , sm ) * x(t)  E1 t   Khi ih (t )  ih  * im (t )  im  Do truyền bệnh trì Chú ý 2: Ta chứng minh R0  hệ có nghiệm tuần hoàn với thành phần ih im dương Điều chứng tỏ lan truyền bệnh tồn có chu kỳ Hình 4: Nghiệm tuần hồn hệ R0 > PHÂN TÍCH PHÂN NHÁNH Trong phần ta nghiên cứu thay đổi nghiệm mơ hình tham số thay đổi Sự thay đổi chất động lực mơ hình gọi phân nhánh Để giải thích tượng phân nhánh lý thuyết hệ động lực ta đưa vào hệ (3) điểm cân ảo E1 R0  198 Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ Điểm cân bệnh tự E0 tồn Điểm ổn định R0  tương ứng với truyền bệnh tắt dần Điểm cân bệnh địa phương E1 ổn định R0  tương ứng với truyền bệnh tồn Phân nhánh transcritical xảy R0  Tại giá trị R0 , điểm cân bệnh-tự E0 tính ổn định (do giá trị riêng 5 tuyến tính hóa chuyển dấu từ âm sang dương), chuyển từ ổn định sang không ổn định Cũng từ giá trị này, R0  điểm cân bệnh E1 chuyển từ không ổn định sang ổn định Hai điểm cân E0 E1 thay đổi tính ổn định trao đổi tính ổn định cho Phân nhánh giải thích ý nghĩa số sinh sản sở R0 , số định truyền bệnh tắt dần hay tồn * Ngoài ra, phân nhánh saddle-node xảy giá trị R0  R0  điểm cân bệnh E1 Với giá trị R0  tồn hai điểm cân sinh từ E1 , điểm không ổn định điểm cịn lại ổn định tiệm cận Hình 5: Biểu đồ phân nhánh mơ hình bệnh sốt rét xác định AUTO Biểu đồ phân nhánh tìm phần mềm AUTO, phần mềm có nhiều ưu điểm sử dụng ngành hệ động lực AUTO giúp ta phát điểm phân nhánh liên tục đường cong phân nhánh Trong biểu đồ, trục hoành thể giá trị  m (tỷ lệ sinh muỗi), kí hiệu PAR(6), cịn trục tung thể giá trị trung bình theo chuẩn không gian L2 biến sh , ih , rh , im , sm Đường qua nghiệm 1, 2, đường điểm cân bệnh tự E0 Đường qua nghiệm - 14 - 21 đường điểm cân bệnh E1 Giá trị phân nhánh  m  0.0048 , ứng với R0  ứng với nghiệm số biểu đồ Tại giá trị phân nhánh transcitical xảy Hai điểm cân trao đổi tính ổn định cho Ngoài phân nhánh saddle node điểm cân bệnh E1 xảy nghiệm 19 Các nhánh nghiệm 19 - 32 19 - 38 sinh từ nghiệm 19 KẾT LUẬN Trong báo nghiên cứu động lực mơ hình bệnh sốt rét Bằng phương pháp giải tích tồn điểm cân bệnh tự E0 , điểm cân bệnh E1 số sinh sản sở R0 Lý thuyết hệ động lực cho thấy phân nhánh 199 Tạp chí Khoa học 2011:17b 190-200 Trường Đại học Cần Thơ transcritical xảy R0  Phát giải thích tượng R0  truyền bệnh tắt dần, cịn R0  truyền bệnh cịn tiếp diễn truyền bệnh có chu kỳ Bằng cách khống chế tham số vế trái (9) đủ nhỏ để (9) xảy ra, ta làm cho truyền bệnh tắt dần Mô số phần mềm Mathematica AUTO khẳng định tính đắn kết đưa TÀI LIỆU THAM KHẢO Chitnis N., Cushing J M and Hyman M., 2006, Bifurcation analysis of a mathematical model for malaria transmission, SIAM J Appl, Math Vol 67, 24 - 45 Esteva L and Vargus C., 1998, Analysis of a dengue didease tranmission model, Mathematical Bioscience, Vol 150, 131-151 Nguyen Huu Khanh and Nguyen Bich Huy, 2000, Fixed point for multivalued increasing operators, J Math Anal Appl 250, 368 – 371 Macdonald G., 1957, The epidemiology and control of malaria, Oxford University Press, London Marsden J E and McCracken M., 1976, The Hopf bifurcation and its applications, SpringerVerlag, NewYork Pongsumpun P and Tang I.M., 2009, Mathematical model of Plasmodium Vivax and Plasmodium Facciparum malaria, Internatioanl Journal of mathematical models and method in applied sciences 283-290 Ross R., 1911, The Prevention of Malaria, John Murray, London Strogatz S.H., 1994, Nonlinear dynamics and chaos, Perseus Books Publishing 200 ...  h ) m ] Số sinh sản sở Động lực mơ hình bệnh sốt rét định giá trị ngưỡng R0 gọi số sinh sản Trong thực tế, R0 số trung bình tái nhiễm bệnh tạo nên cá thể bị nhiễm bệnh trở lại vật thể chủ ban... cân bệnh E1 xảy nghiệm 19 Các nhánh nghiệm 19 - 32 19 - 38 sinh từ nghiệm 19 KẾT LUẬN Trong báo chúng tơi nghiên cứu động lực mơ hình bệnh sốt rét Bằng phương pháp giải tích tồn điểm cân bệnh. .. lại ổn định tiệm cận Hình 5: Biểu đồ phân nhánh mơ hình bệnh sốt rét xác định AUTO Biểu đồ phân nhánh tìm phần mềm AUTO, phần mềm có nhiều ưu điểm sử dụng ngành hệ động lực AUTO giúp ta phát