Đang tải... (xem toàn văn)
Content Contents Content 1 I INTRODUCTION 2 II BINOMIAL FORMULA AND AN EXTENDED NUMBER 4 1 Combination symbol 4 1 1 Binomial coefficient 4 1 2 Combiniatoric formula 4 2 Pascals triangle and the formation of Newtons binomial formula 5 2 1 The formation of the binomial formula 5 2 2 Newton’s binomial story 6 2 3 Pascal Triangle 9 2 4 Prove the general formula 13 2 5 Prove Newton’s binomial formula 14 3 Some basic properties 15 3 1 Recalling Newtons binomial expansion 15 3 2 Signs of problems us.
Content Contents I INTRODUCTION Mathematics has a particularly important position in the subjects in high schools, it is the basis of many other subjects It is a subject that many students love because of its abstract thinking so that they can freely discover new things when they go to learn it Tốn học có vị trí đặc biệt quan trọng mơn học trường phổ thơng, sở nhiều môn học khác Đây môn học nhiều học sinh yêu thích tính tư trừu tượng, giúp em thoải mái khám phá điều lạ học In mathematics, the binomial expansion theorem (for short, the binomial theorem) is a mathematical theorem about the exponential expansion of sums This theorem has been independently proved by two people: Mathematician and mechanic Isaac Newton discovered in 1665 Mathematician James Gregory discovered in 1670 The introduced formula is also called Binary Newton's formula Knowledge of Newton binomial is one of the most basic knowledge presented in high school math curriculum Newtonian binomial problems are not only rich and diverse but also very important for students, in addition to the content presented in the textbook Algebra and Calculus 11 - Advanced and some basic math about Newton binomial, also to meet the learning needs of students and the purpose of innovating math teaching methods in high schools to promote positivity, initiative and creativity to improve thinking and intelligence wisdom for you Making students master the knowledge of binomial topics is the basis for them to effectively learn many content knowledge of math and some other subjects Therefore, in teaching, teachers need to identify and improve the teaching quality of binomial subjects as both the goal and a necessary condition of the performance of the subject teaching task Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (gọi tắt định lý nhị thức) định lý toán học mở rộng cấp số nhân tổng Định lý chứng minh độc lập hai người: Nhà toán học học Isaac Newton phát năm 1665 Nhà toán học James Gregory phát năm 1670 Cơng thức giới thiệu cịn gọi Binary Công thức Newton Kiến thức nhị thức Newton kiến thức trình bày chương trình tốn THPT Các tốn nhị thức Newton khơng phong phú, đa dạng mà quan trọng em học sinh, bên cạnh nội dung trình bày SGK Đại số Giải tích 11 - Nâng cao số toán nhị thức Newton, nhằm đáp ứng nhu cầu học tập học sinh mục đích đổi phương pháp dạy học tốn trường phổ thơng nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo nâng cao tư duy, trí tuệ trí tuệ cho bạn Việc làm cho học sinh nắm vững kiến thức chuyên đề nhị thức sở để em học tập hiệu nhiều nội dung kiến thức mơn Tốn số mơn học khác Vì vậy, dạy học, giáo viên cần xác định nâng cao chất lượng dạy học phân môn nhị thức vừa mục tiêu vừa điều kiện cần việc thực nhiệm vụ dạy học môn The application of the binomial formula has both the effect of reviewing and systematizing the knowledge, as well as affirming the practicality of the content of knowledge If students can practice solving this type of math, not only will students master the mathematical knowledge system, but also contribute to training their ability to solve math problems, skills to apply math knowledge to practice, and develop mathematical thinking for students pupil With that in mind, my group's essay presents the topic: ''The binomial formula and an extended number'' Research object: system of knowledge, basic math forms, advanced applications and math skills using Newton's binomial expansion formula Việc áp dụng cơng thức nhị thức vừa có tác dụng ôn tập, hệ thống hóa kiến thức vừa khẳng định tính thiết thực nội dung kiến thức Nếu học sinh thực hành giải dạng tốn khơng giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến thức toán học mà cịn góp phần rèn luyện lực giải toán, kĩ vận dụng kiến thức toán vào thực tiễn, phát triển tư toán học cho học sinh Học sinh Với suy nghĩ đó, tiểu luận nhóm em trình bày chủ đề: '' Cơng thức nhị thức số mở rộng’’ Đối tượng nghiên cứu: hệ thống kiến thức, dạng toán bản, ứng dụng nâng cao kỹ giải toán sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton Although our group has made a lot of efforts, but due to limited time and capacity, there are inevitable shortcomings, we hope to receive your constructive comments to improve the essay We sincerely thank you! Nhóm chúng em có nhiều cố gắng thời gian lực có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng bạn để tiểu luận hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! II.BINOMIAL FORMULA AND AN EXTENDED NUMBER Công thức nhị thức số mở rộng Combination symbol 1.Kí hiệu tổ hợp 1.1.Binomial coefficient 1.1.Hệ số nhị thức The symbol binomial coefficient is the coefficient of in the binomial expansion Hệ số nhị thức ký hiệu là hệ số khai triển nhị thức 1.2.Combiniatoric formula 1.2.Công thức tổ hợp In Mathematics, combinatorics is a way of selecting elements from a larger group regardless of the order In smaller cases the number of combinations can be counted For example for three fruits, an apple, an orange and a pear, there are three ways to combine the two fruits from this set: an apple and a pear; an apple and an orange; a pear and an orange By definition, the concatenation of n elements is a subset of the parent set S containing elements, the subset of k distinct elements belonging to S and unordered The number of convolutional combinations of n elements is equal to the binomial coefficient We have Trong Toán học, tổ hợp cách chọn phần tử từ nhóm lớn mà khơng phân biệt thứ tự Trongnhững trường hợp nhỏ đếm số tổ hợp Ví dụ cho ba loại quả, táo, cam mộtquả lê, có ba cách kết hợp hai loại từ tập hợp này: táo lê; táo cam;một lê cam Theo định nghĩa, tổ hợp chập k nphần tử tập tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập gồm k phần tử riêng biệt thuộc S không thứ tự Số tổ hợp chập k n phần tử bằngvới hệ số nhị thức Ta có In where k, if k>n then the result is Pay attention here n!=1.2…n and convention 0!=1 Tam giác Pascal hình thành công thức nhị thức Newton Pascal's triangle and the formation of Newton's binomial formula 2.1 The formation of the binomial formula 2.1.Sự hình thành cơng thức nhị thức Special cases of the binomial theorem have been known since at least the 4th century BC, when the Greek mathematician Euclid mentioned a special case of the binomial theorem for the exponent of Binomial coefficients, as combinatorial quantities expressing the number of ways to choose k objects out of a number without substitution, were of interest to ancient Indian mathematicians The earliest reference to this associative problem is Chandahsastra, an Indian lyricist Pingala (circa 200 BC), which mentions a method for dealing with the problem The commentator Halayudha from the 10th century AD explains this method using the instrument that is Pascal's triangle In the 6th century AD, Indian mathematicians expressed the value of this binomial coefficient by the formula which was given in Bhaskara's Lilavati document of the 6th century 12 The first formula of the binomial theorem and the table of binomial coefficients, can be found in a work by Al-Karaji, quoted by the mathematician Al-Samaw'al in his work "al-Bahir" " your Al-Karaji described the triangular model of the binomial coefficients and gave proofs for the binomial theorem and Pascal's triangle by mathematical induction The binomial expansion with polynomials of small degree is known in the 13th century mathematical works of two Chinese mathematicians, Yang Hui and Chu Shih-Chieh In 1544, Michael Stifel introduced the term "binomial coefficients" and showed how to use them to represent through using "Pascal's triangle" Although many mathematicians worked on the binomial theorem, it still bears the name of Newton because Newton's ideas not stop at applying this formula to the case of the exponents being positive integers, but to the exponents any: positive, negative, integer, and fractional It was this new idea that gave great significance to the development of mathematics Mathematicians of the time immediately saw the importance of formulas and formulas were widely applied in many mathematical studies, especially in algebra and analysis By the way, it must be added that Newton's binomial formula was not Newton's greatest contribution to mathematics Newton contributed greatly to the beginning of advanced mathematical directions, that is, calculations for infinitely small quantities And so Newton is sometimes considered the founder of mathematical analysis Các trường hợp đặc biệt định lý nhị thức biết đến từ vào kỷ thứ trước Công nguyênkhi nhà toán học Hy Lạp Euclid đề cập đến trường hợp đặc biệt định lý nhị thức cho số mũ Các hệ sốnhị thức, đại lượng tổ hợp biểu thị số cách chọnkđối tượng sốnmà khơng thay thế, cácnhà tốn học Ấn Độ cổ đại quan tâm Tài liệu tham khảo sớm vấn đề kết hợp Chandahsastra, mộtnhà thơ trữ tình Ấn Độ Pingala (khoảng năm 200 trước Cơng nguyên), có đề cập tới phương pháp giải vấn đề Nhà bình luận Halayudha từ kỷ thứ 10 sau Cơng ngun giải thích phương pháp nàybằng cách sử dụng cơng cụ tam giác Pascal Vào kỷ thứ sau Công nguyên, nhà toán học ẤnĐộ biểu thị giá trị hệ số nhị thức theo công thức , điều đưa tài liệu Lilavaticủa Bhaskara vào kỷ thứ 12.Công thức định lý nhị thức bảng hệ số nhị thức, tìm thấy tác phẩm Al-Karaji , nhà tốn học Al-Samaw’al trích dẫn tác phẩm "al-Bahir" ông Al-Karaji mô tảmô hình tam giác hệ số nhị thức đưa lời chứng minh cho định lý nhị thức tam giác Pascal phương pháp quy nạp toán học Khai triển nhị thức với đa thức có bậc nhỏ biết đến cơng trình tốn học kỷ 13 nhà toán học Trung Quốc Yang Hui Chu Shih-Chieh Năm 1544, Michael Stifelđã giới thiệu thuật ngữ "hệ số nhị thức" cách sử dụng chúng để biểu diễn thông qua cách sử dụng "tam giác Pascal" Tuy có nhiều nhà toán học nghiên cứu định lý nhị thức, mang tên Newton ý tưởng Newton không dừng lại việc áp dụng công thức cho trường hợp số mũ số nguyên dương mà cho số mũ bất kì: số dương, số âm, số nguyên vàphân số Chính ý tưởng cho ý nghĩa lớn lao việc phát triển toán học Các nhà toán học đương thời thấy tầm quan trọng công thức công thức áp dụng rộng rãi nhiều cơng trình nghiên cứu tốn học, đặc biệt đại số giải tích Nhân phải nói thêm công thức nhị thức Newton đóng góp lớn Newton cho tốn học Newton đóng góp nhiều cho việcmở đầu hướng tốn học cao cấp, phép tính đại lượng vô bé Và đôi lúcNewton coi người sáng lập ngành Giải tích tốn học 2.2.Newton’s binomial story 2.2 Câu chuyện nhị thức Newton To remember the merits of Isaac Newton (1642 - 1727) in finding the following binomial expansion formula, which is called Newton's binomial On Newton's tombstone at Westminster Abbey (the resting place of the Royal family and famous people of England) is also depicted Newton along with Newton's binomial So is it possible that mankind did not know anything about the binomial expansion formula before the invention of this great scientist? According to texts preserved long before Newton, as early as 200 BC Indian mathematicians were acquainted with an arithmetical triangular table In the work of the Chinese mathematician Zhou Sheng written in 1303, the following table of numbers is found 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1 21 35 35 21 1 28 56 70 56 28 Nguyen Minh Tuan - Newton's binomial and applications Obviously these are the coefficients of the Newton binomial expansion formula from order to level 8, although the mathematician did not say anything for the coefficients that follow and the general formula of them, but according to his tabular method, it is easy to find a rule that allows new rows to be written In the first half of the fifteenth century, the mathematician's book Arithmetic keys was written in Arabic , Xamacan astronomer named Jem Sitt-Jaxedin Casi, one encounters an arithmetic triangle that the author has more clearly named the binomial coefficients along with instructions on how to form successive rows of the binomial With that instruction (without proof) Casi gave us the possibility of binomial expansion at any level It can be considered as the first written statement in the history of Newton's binomial theorem In Europe, the arithmetic triangle was first found in the work of the German mathematician Stiffel M Published in 1544 In this work also showed the coefficients of the binomial up to the 17th order One hundred years later, completely independent of each other, English mathematicians Borigon (1624), French mathematician Fermat (1636) and French mathematician Pascal (1654) came up with the perfect formula about the coefficients of Newton's binomial Especially in the work entitled Thesis on the arithmetical triangle published in 1665, Pascal presented in quite detail the properties of the coefficients in the arithmetic triangle and since then the arithmetic triangle has been widely used and the name Pascal's triangle was born instead of the arithmetic triangle Obviously, historically speaking, the arithmetical triangle has been considered by many Asian mathematicians before Pascal So where is Newton's role in the formation of Newton's binomial formula? In 1676, in his first letter to Oden Hiaro President of the Royal Academy of England, Newton gave formula (1) without explaining how to prove it Shortly thereafter, in his second letter to the Academy, Newton made it clear how he arrived at the formula It turns out that in this way Newton found Newton's formula in 1665 when he was only 22 years old But even so, submitting his formula Newton did not say anything new to contemporary mathematicians Để ghi nhớ công lao Isaac Newton (1642 – 1727) việc tìm cơng thức khai triển nhị thức sau, gọi nhị thức Newton, Trên bia mộ Newton tu viện Wesminster (là nơi an nghỉ Hoàng gia người tiếng nước Anh) người ta cịn khắc họa hình Newton với nhị thức Newton Vậy có phải lồi người khơng biết cơng thức khai triển nhị thức trước có phát minh nhà bác học vĩ đại ? Theo cácvăn lưu giữ từ lâu trước Newton, từ 200 năm trước Cơng ngun nhà tốn học Ấn Độ quen biết với bảng tam giác số học Trong tác phẩm nhà toán học Trung Quốc Chu Sinh viết từ năm1303 người ta tìm thấy bảng số sau 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 7 21 35 35 21 1 28 56 70 56 28 Rõ ràng hệ số cơng thức khai triển nhị thức Newton từ cấp đến cấp 8, dù nhà tốn học khơng nói cho hệ số công thức tổng quát chúng, theo cách thức lập bảng củaông, ta dễ dàng tìm quy luật cho phép viết hàng mới.Vào nửa đầu kỉ XV tác phẩm chìa khóa số học viết tiếng Ả rập nhà toán học, thiên văn họcXamacan có tên Giêm Xit-Giaxedin Casi người ta lại gặp tam giác số học mà tác giả gọi tên rõ hệ số nhị thức với dẫn cách thành lập hàng nhị thức Với lối dẫn (không chứng minh) Casi cho ta khả khai triển nhị thức cấp Có thể coi phát biểu vănđầu tiên lịch sử định lí nhị thức Newton Ở châu Âu, tam giác số học tìm thấy trongcơng trình nhà tốn học người Đức Stiffel M Cơng bố vào năm 1544 Trong cơng trình dẫn hệ số nhị thức cấp 17.Gần trăm năm sau, hoàn toàn độc lập với nhau, Các nhà tốn học người Anh Bơ-rit-gơn (1624), nhà toánhọc Pháp Fermat (1636) nhà toán học Pháp Pascal (1654) đưa cơng thức hồn hảo hệ số nhị thứcNewton Đặc biệt công trình mang tên Luận văn tam giác số học cơng bố vào năm 1665, Pascal trìnhbày chi tiết tính chất hệ số tam giác số học từ tam giác số học sử dụng cáchrộng rãi tên tam giác Pascal đời thay cho tam giác số học Rõ ràng mà nói mặt lịch sử tam giác số học nhà tốn học Á đơng xét đến trước Pascal nhiều.Vậy vai trò Newton đâu q trình hình thành cơng thức nhị thức Newton ? Năm 1676 thưthứ gửi Ô-đen Hiaro – Chủ tịch Viện Hàn Lâm hoàng gia Anh, Newton đưa công thức (1) mà không dẫn giải cách chứng minh Sau lâu thư thứ hai gửi đến Viện Hàn Lâm, Newton trình bày rõ ràng cách ơng đến cơng thức Thì cách Newton tìm cơng thức Newton từ năm 1665 mà ông 22 tuổi Nhưng dù việc đưa trình cơng thức Newton khơng nói điều cho nhà tốn học đương thời 2.3.Pascal Triangle 2.3 Tam giác Pascal The rows of Pascal's triangle are listed by convention starting with the top row n=0 (row 0) The entries in each row are numbered from the left end with k=0 and are often staggered relative to the numbers in adjacent rows The triangle can be constructed in the following way In row (top row), there is a unique Each number of each subsequent row is constructed by adding the number above and to the left with the number above and to the right, treating empty entries as For example the initial number in the first row (or any other number) ) is (sum of and 1) While the numbers and in the third row are added to make the number in the fourth row Or we can simply understand it •In the first row, we write a number •In the next row, we write two numbers •Continue to the next row, the first and last digit is always 1, and each number inside is equal to the sum of the two numbers in the row above Example : 1+1=2, 1+2=3, 2+1=3 We have the following diagram n=0 n=1 1 n=2 n=3 3 n=4 n=5 10 10 Consider: i) Consider the first row, we have 1=,1= ii) In the second row, we have 1=, 2=, 1= iii) In the third row, we have 1=,1= So the numbers in the nth row of Pascal's triangle consist of (n+1) number We use Pascal's triangle to expand the expressions Development Development We number each row of Pascal's triangle in the order that starts with row 0, followed by row 1, row 2, and so on On each row, we arrange the order of numbers starting with the 0th number, then the 1st digit, then the 2nd digit, and so on We'll call the second digit pn,k From that, the formula to build Pascal's triangle is We have the following diagram n=0 n=1 1 n=2 n=3 3 n=4 n=5 10 10 We have the general formula is Trong toán học, tam giác Pascal mảng tam giác hệ số nhị thức Trong phần lớn giới phươngTây, đặt theo tên nhà tốn học người Pháp Blaise Pascal, nhà toán học khác nghiên cứunó hàng kỷ trước Pascal Ấn Độ, Ba Tư (Iran), Trung Quốc, Đức Ý.Các hàng tam giác Pascal liệt kê theo quy ước bắt đầu hàng n=0ở (hàng 0) Các mục hàng đánh số từ đầu bên trái với k=0 thường đặt 10 The above two bases are the same, so from there we get Hai sở giống nên từ ta Depending on each problem, we choose the appropriate coefficients a, b, c, d! To make it easier to recognize, we can pay attention as follows.Note.If in the total combination sequence, the terms contain fractions 1;; and the denominators are arranged in increasing or decreasing order according to a certain rule, we immediately think of using integrals Then, we perform the following steps: Tùy toán mà ta chọn hệ số a, b, c, d thích hợp! Để dễ nhận biết, ý sau, Chú ý: Nếu dãy tổ hợp tổng, số hạng chứa phân số 1;;và mẫu số xếp theo thứ tự tăng giảm theo quy luật định, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Sau đó, chúng tơi thực bước sau: Step 1: Find the function to integrate with the appropriate bounds Bước 1: Tìm chức tích hợp với giới hạn thích hợp Step 2: Integrate both sides: the unexpanded Newton binomial side and the expanded side Bước 2: Tích hai vế: vế nhị thức Newton chưa khai triển vế khai triển Step 3: Give two equal results and conclude Bước 3: Cho hai kết kết luận The integral equations to remember 30 Question : Solve the sum : Proof: The left hand side contains fractions, the denominators are arranged in order of steadily increasing one unit, we immediately think of using integrals Now, think of the function as integrating, and the bounds and numbers are substituted for the variable Since the last term has a coefficient So we know the bounds from to and the sum is unsigned so we use : Vế trái ghi phân số, mẫu số xếp theo thứ tự tăng đơn vị, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, nghĩ hàm tích phân, giới hạn số thay cho biến Vì số hạng cuối có hệ số nên ta biết giới hạn từ đến tổng khơng có dấu nên ta sử dụng: We get : 5.6.Application of complex numbers to prove combinatorial equality 5.6 Ứng dụng số phức chứng minh đẳng thức tổ hợp We will first recall some properties of complex numbers as follows: Đầu tiên nhắc lại số tính chất số phức sau: Two complex numbers z= x+ y, x’ + y’ are equal if and only if x = x’ , y = y’ Hai số phức z = x + iy, x ’+ iy’ x = x ’, y = y’ 31 formula z = r (cos + sin) ⇒ zn = rn (ncos + nsin) 2.Công thức chuyển động z = r (cos φ + isinφ) ⇒ zn = rn (ncos φ + nisinφ) 3 Solve the equation x - = we have solutions is x1 = ; x2 = - + ; x3 = - , those solutions are the square roots of Giải phương trình x3 - = ta có nghiệm x1 = ; x2 = - + ; x3 = - - nghiệm bậc hai Set a = - - ⇒ a2 = + and a has the following properties: Moive The idea of this method is based on the properties of the imaginary number Ý tưởng phương pháp dựa tính chất số ảo i Then we check the polynomial f (x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn Set Sau ta kiểm tra đa thức f (x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn Bộ We have For Re (f (i)), Im (f (i)) is the real and imaginary parts of f () respectively Với Re (f (i)), Im (f (i)) phần thực phần ảo f (i) Signs: This is the biggest problem to pay attention to We use complex numbers to calculate the sum of when this sum has the characteristics: Dấu hiệu: Đây vấn đề lớn cần ý Chúng tơi sử dụng số phức để tính tổng (n¦k) tổng có đặc điểm: 32 + The signs in the sum are evenly interspersed + Các dấu tổng cách + k is always odd, or always even, or when k is divided by a number, we always get the same remainder (in high school we only with k= 3n, k = 3n+1, k = 3n+2) + k lẻ chẵn, k chia cho số ta ln nhận phần dư (ở trường phổ thông ta làm với k = 3n, k = 3n + 1, k = 3n + 2) ! Expand (x+1)n, let x take as appropriate complex numbers, or expand complex numbers directly ! Mở rộng (x + 1) n, đặt x số phức thích hợp khai triển trực tiếp số phức Question 1: Solve : Proof: consider development Let x = - we have Other facts: Compare the real and imaginary parts of (1 - )2009 in the above ways we get : So sánh phần thực phần ảo (1 - )2009 theo cách ta được: 33 !Expand (x+1)n, derive both sides with respect to x and then let x take on the appropriate complex numbers !Khai triển (x+1)n, suy hai vế x sau đặt x nhận số phức thích hợp Question : Solve the sum : Proof: Consider development Derivative of both sides we have Set x = we get Other, 30( + 1)29 = 15.215 15.215 , comparing its real and imaginary parts in the above two ways, we get: 5.7 Uniformity of coefficients 5.7 Đồng hệ số 34 The method of doing this math is that we will the expansion in two ways, then compare the coefficients of the power xk on both sides, we will have something to prove To understand better, let's take a look at the following example: Cách làm dạng toán thực khai triển theo hai cách, sau so sánh hệ số lũy thừa xk hai vế ta có điều cần chứng minh Để hiểu rõ hơn, xem ví dụ sau: Ví dụ: Cho số nguyên dương m, n; 0≤p≤min {m; n} Chứng minh rằng: Ex: For positive integers m , n ; Prove that: Proof: We consider expansion multiply by side we have: Where g(x) is an expression that does not contain xp , on the other hand the coefficient of xp in the expansion (x + 1) m+n is , here compare the coefficients of x p we have: Trong g (x) biểu thức không chứa xp, mặt khác hệ số xp khai triển (x + 1)m+n is so sánh hệ số xp có: 5.8 Inequality related to combinatorial formulas 5.8 Bất đẳng thức liên quan tới công thức tổ hợp Theorem: - Inequality AM -GM Given positive real numbers a1,a2, ,an then we have a1 + a2 + + an In addition, we have the form of addition of denominators for positive real numbers a1,a2, ,an we get 35 the equal sign occurs when a1 = a2 = = an - Bất đẳng thức AM -GM Cho số thực dương a 1,a2, ,an ta có a1 + a2 + + an Ta có dạng cộng mẫu số số thực dương a1,a2, ,an ta dấu xảy a1 = a2 = = an - The Cauchy-Schwarz inequality.for sets of numbers (a 1,a2, ,an) and (b1,b2, ,bn) we have - Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Đối với (a1,a2, ,an) (b1,b2, ,bn) có In addition, it is necessary to pay attention to the Cauchy – Schwarz inequality of Engel addition, we have Ngoài ra, cần ý đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz phép cộng Engel, ta có The "=" sign occurs proportional to each Dấu "=" xảy when sets of numbers are other số tỷ lệ với Question 1: Proof that x and n Proof: Consider development (x + 1)n = , Derivative on both sides we get: n2n-1 = , then the inequality equivalent Set x = we get to be proved is (*) induction to prove (∗) is Now we will use true With n = ⇒ n! 2n-1 ⇔ 3! = 2k-1 , because k ⇒ k + so we have So by the principle of induction we have n! 2n-1, n So the question has proof 36 Self practice exercises Bài tập tự luyện Exercises 1: In the expansion, the coefficient of (x>0) Exercises 2: Let n be a natural number satisfying Knowing that the third term in the Newtonian expansion of is equal to n Then the value of x is equal to… Exercises 3: Let the expression S= + The 3S value is? Exercises 4: In the expansion of , the coefficient is -9 and there are no terms containing Find a and b Exercises 5: Polynomial expansion: P(x) = Find max ( Exercises 6: Calculate total - + - +…+ 37 III CONCLUSION In the current university's advanced math program, discrete modules play an important role and are distributed right from the first semester In it, the binomial formula and some of its extensions play a dominant role It helps to solve many problems in many fields Therefore, binomial formulas and some extensions have many wide applications in life Trong chương trình tốn cao cấp đại học nay, học phần rời rạc đóng vai trị quan trọng phân bổ từ học kỳ Trong đó, cơng thức nhị thức số mở rộng đóng vai trị chủ đạo Nó giúp giải nhiều vấn đề nhiều lĩnh vực Vì vậy, cơng thức nhị thức số mở rộng có nhiều ứng dụng rộng rãi sống Newton's binomial has been taught in the high school curriculum for a long time However, due to limitations in duration, volume and content of knowledge, Newton's binomial with high school students has long been simply a way to build general formulas from specific cases and practice skills ability to use those formulas in solving related problems While in fact Newton's binomial formula was a significant contribution by many earlier mathematicians And finally, Newton entered the mathematical treasure of mankind both theoretically and practically, in both elementary and advanced mathematics Applying Newton's binomial formula expansion in solving some advanced elementary problems related to summing combinatorial expressions, to considering divisibility, to finding remainders in division of large numbers Nhị thức Newton giảng dạy chương trình học phổ thơng từ lâu Tuy nhiên, hạn chế thời lượng, khối lượng nội dung kiến thức, nhị thức Newton với học sinh phổ thông lâu đơn giản cách xây dựng công thức tổng quát từ trường hợp cụ thể rèn luyện kỹ khả sử dụng cơng thức việc giải tốn liên quan Trong thực tế, cơng thức nhị thức Newton đóng góp đáng kể nhiều nhà tốn học trước Và cuối cùng, Newton vào kho tàng toán học nhân loại lý 38 thuyết thực tiễn, toán sơ cấp toán cao cấp Ứng dụng khai triển công thức nhị thức Newton việc giải số toán nâng cao liên quan đến tính tổng biểu thức tổ hợp, xét phép chia hết, tìm dư phép chia số lớn In the process of studying the essay due to limited time, after completing the essay, we still continue to study more deeply about the binomial formula and some extensions We are looking forward to receiving suggestions from teachers to improve our essay Thank you! Trong trình nghiên cứu tiểu luận thời gian có hạn nên sau hồn thành tiểu luận chúng em tiếp tục sâu nghiên cứu sâu đa thức nhị thức số mở rộng Rất mong nhận góp ý thầy cô để tiểu luận em hoàn thiện Cảm ơn ! 39 REFERRENCES [1] Degree, N.D (2018) Newton's binomial and some applications (Doctoral dissertation, TLU) [2] Nguyen, T H V (2020) Some applications of Newton's binomial in high school math program (Doctoral dissertation, University of Education - University of Danang) [3] Ke, T N., & Thi, Y H (2021) NIU-TON BINOLOGY APPLICATION IN THE HIGH SCHOOL PROGRAM SCIENTIFIC JOURNAL OF UNIVERSITY TRADING, 7(21) [4] Mai, N T T (2015) Newton's binomial with negative, non-integer exponents and its application in approximating the value of a function (Doctoral dissertation, TLU) 40 ... kỳ Trong đó, cơng thức nhị thức số mở rộng đóng vai trị chủ đạo Nó giúp giải nhiều vấn đề nhiều lĩnh vực Vì vậy, cơng thức nhị thức số mở rộng có nhiều ứng dụng rộng rãi sống Newton' s binomial... bày chủ đề: '' Công thức nhị thức số mở rộng’’ Đối tượng nghiên cứu: hệ thống kiến thức, dạng toán bản, ứng dụng nâng cao kỹ giải tốn sử dụng cơng thức khai triển nhị thức Newton Although our... công thức công thức áp dụng rộng rãi nhiều cơng trình nghiên cứu tốn học, đặc biệt đại số giải tích Nhân phải nói thêm cơng thức nhị thức Newton khơng phải đóng góp lớn Newton cho tốn học Newton