S GIO DC V O TO K LK TRNG THPT NGUYN HU THI TH I HC MễN TON NM 2012 - 2013 Thi gian lm bi: 180 phỳt. I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Câu I. (2,0 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x 3 - 3x 2 . 2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x = xx m 3 2 . Câu II. (2,0 điểm) 1. Tìm nghiệm x ( ) ;0 của phơng trình : 5cosx + sinx - 3 = 2 sin + 4 2 x . 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 12 223 log 2 2 2 ++ ++ mxx xx xác định Rx . Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân I = dx x x e + 1 2 )ln1ln( . Câu IV. (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng 1111 . DCBAABCD có đáy là hình bình hành và có 0 45=BAD . Các đờng chéo 1 AC và 1 DB lần lợt tạo với đáy các góc 45 0 và 60 0 . Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2. Câu V. (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình : =+ =+++ 3032 06)32(536188 22 22 yx xyyxxyyx ( ) Ryx , . II. PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B). A. Theo chng trỡnh Chun: Cõu VIa. (2,0 im) 1. Trong mt phng tọa độ Oxy, cho cỏc ng thng 1 :3 2 4 0d x y+ = ; 2 :5 2 9 0d x y + = . Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm 2 I d v tip xỳc vi 1 d ti im ( ) 2;5A . 2. Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD vi ( 1 ; 2; 1), (2 ; 3 ; 2)A B . Tỡm ta cỏc nh C, D bit tõm I ca hỡnh thoi thuc ng thng 1 2 : 1 1 1 x y z d + = = . Cõu VIIa. (1,0 im) Tỡm s phc z tha món 1 5z = v 17( ) 5 0z z zz+ = . B. Theo chng trỡnh Nõng cao: Cõu VIb. (2,0 im) 1. Trong mt phng tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C) : x 2 + y 2 - 6x - 2y + 1 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M (0;2) và cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 4. 2. Trong khụng gian tọa độ Oxyz, viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và (P) cắt mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 6y - 4z + 5 = 0 theo giao tuyến là một đờng tròn có bán kính bằng 2. Cõu VIIb. (1,0 im) Trong cỏc acgumen ca s phc ( ) 8 1 3i , tỡm acgumen cú s o dng nh nht . Ht Câu 1: y = x 3 - 3x 2 . * Tập xác định : D = R * Sự biến thiên : Giới hạn: lim x y + = + lim x y = Chiều biến thiên : y , = 3x 2 - 6x = 3x(x -2) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - ; 0) và (2; + ), nghịch biến trên khoảng (0;2). - th cú im cc i (0;0), im cc tiu (2; -4) Bảng biến thiên : x - 0 2 + y + 0 - 0 + y 0 - 4 * Đồ thị : y'' = 6x - 6 = 0 x = 1 Điểm uốn U(1;-2) Đồ thị đi qua các điểm (-1;4), (3; 0) và nhận điểm U(1;-2) làm tâm đối xứng . Câu1: 2, x = xx m 3 2 2 0, 3 3 x x x x x m = . Số nghiệm của pt bằng số giao điểm của đồ th y = 2 3x x x ( x 0 v x 3) vi th y = m . Ta cú y = 3 2 2 3 2 3 0 3 3 3 0 3 x x khi x hoac x x x x x x khi x < > = + < < . Lp bng bin thiờn ta cú: x - 0 2 3 + y + 0 + 0 - + y 4 0 0 +/ m < 0 hoc m > 4 thỡ pt cú 1 nghim. +/ m = 0 pt vụ nghim. +/ 0 < m < 4 pt cú 3 nghim. +/ m = 4 pt cú 2 nghim. Câu 2: 1, 5cosx + sinx - 3 = 2 sin + 4 2 x 5cosx +sinx 3 = sin2x + cos2x 2cos 2 x 5cosx + 2 + sin2x sinx = 0 (2cosx 1 )(cosx 2) + sinx( 2cosx 1) = 0 (2cosx 1) ( cosx + sinx 2 ) = 0. +/ cosx + sinx = 2 vụ nghim. x y 0 +/ cosx = 1 2 , 2 3 x k k Z π π ⇔ = ± + ∈ . Đối chiếu điều kiện x ( ) 0; π ∈ suy ra pt có nghiệm duy nhất là : 3 π C©u 2: 2, Hµm số xác định 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 log 0 1 2 1 2 1 x x x x x R x R x mx x mx + + + + ∀ ∈ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ∀ ∈ + + + + (*). Vì 3x 2 + 2x + 2 > 0 x ∀ , nên (*) 2 2 2 1 0 2 1 3 2 2 m x mx x x x  − <  ⇔  + + ≤ + + ∀   2 2 2 2(1 ) 1 0 4 2( 1) 3 0 , 1 1 x m x x m x x R m  + − + ≥  ⇔ + + + ≥ ∀ ∈   − < <  ⇔      <<− ≤∆ ≤∆ 11 0 0 2 ' 1 ' m . Giải ra ta có với : 1 - 2 1m≤ < thì hàm số xác định với x R ∀ ∈ . Câu 3: Đặt lnx = t , ta có I = 1 2 0 ln(1 )t dt+ ∫ . Đặt u = ln( 1+t 2 ) , dv = dt ta có : du = 2 2 , 1 t dt v t t = + . Từ đó có : I = t ln( 1+ t 2 ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 2 ln 2 2 0 1 1 t dt dt dt t t   − = − −  ÷ + +   ∫ ∫ ∫ (*). Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính được 1 2 0 1 4 dt t π = + ∫ . Thay vào (*) ta có : I = ln2 – 2 + 2 π . Câu 4: Hình lăng trụ đứng nên cạnh bên vuông góc với đáy và độ dài cạnh bên bằng chiều cao của hình lăng trụ. Từ giả thiết ta có : 0 0 1 1 45 , 60 .C AC B DB∠ = ∠ = Từ đó suy ra : AC = CC 1 = 2 , BD = 2 cot 60 0 = 2 3 . Áp dụng định lý cô sin có: BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB.AD. cos45 0 AC 2 = DC 2 +AD 2 – 2DC.AD.cos135 0 . Ta có BD 2 –AC 2 = 4 4 . 2 . ( 2) 2 2 . 4 2 2 . . 3 3 2 AB AD DC AD AB AD AB AD AB AD− + − = − ⇒ − = − ⇒ = Từ đó 1 1 1 1 .ABCD A B C D V = AB.AD sin45 0 .AA 1 = 4 2 4 . .2 2 3 3 2 = Câu 5: Điều kiện xy 0≥ .Nếu x = 0 suy ra y = 0 không thoả mãn pt (2) của hệ. Nếu y = 0 cũng tương tự, vậy xy > 0. Pt (1) của hệ ⇔ 2 2 8 18 36 5(2 3 ) 6x y xy x y xy+ + = + 6 2 3 5 2 3 2 6 xy x y x y x y + ⇔ + = + . DÔ thÊy 2 sè h¹ng cïng dÊu cã tæng = 2,5 nªn suy ra x > 0 , y > 0 . Đặt 2 3 , 2. 6 x y t t xy + = ≥ Xét f(t) = t + 1 , 2t t ≥ . Ta thấy f ’ (t) = 2 2 1 0 2 t t t − > ∀ ≥ suy ra f(t) 5 2 ≥ . Dấu = xẩy ra khi t = 2 hay khi 2x = 3y. Thay vào pt (2) của hệ , suy ra hệ có nghiệm: x = 3 ; y = 2. A B A C 1 B D C Câu 6a: 1, Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng 1 d tại điểm A nên 1 IA d⊥ . Vậy phương trình IA là: ( ) ( ) 2 2 3 5 0 2 3 19 0x y x y+ − − = ⇔ − + = d 2 d 1 A Kết hợp 2 I d∈ nên tọa độ tâm I là nghiệm hệ ( ) 5 2 9 0 1 1;7 2 3 19 9 7 x y x I x y y − + = =   ⇔ ⇒   − + = =   Bán kính đường tròn 13R IA= = . Vậy phương trình đường tròn là: ( ) ( ) 2 2 1 7 13x y− + − = Câu 6a: 2,Gọi ( ) 1 ; ;2I t t t d− − − + ∈ . Ta có ( ) ( ) ;2 ; 1 , 3 ;3 ;IA t t t IB t t t= + − − = + + − uur uur . Do ABCD là hình thoi nên 2 . 0 3 9 6 0 1, 2IA IB t t t t= ⇔ + + = ⇔ = − = − uuruur . Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: * Với ( ) ( ) ( ) 1 0;1;1 1;0;1 , 2; 1;0t I C D= − ⇒ ⇒ − − . * Với ( ) ( ) ( ) 2 1;2;0 3;2; 1 , 0;1; 2t I C D= − ⇒ ⇒ − − . Câu 7a: Đặt z a bi = + , ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 5 1 5 2 24 1z a b a b a− = ⇔ − + = ⇔ + − = Mặt khác: ( ) 2 2 34 17( ) 5 . 0 2 5 z z z z a b a+ − = ⇔ + = Thay (2) vào (1) được 24 24 5 5 a a= ⇔ = . Kết hợp với (1) có 2 9 3, 3b b b= ⇔ = = − . Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là: 5 3i+ và 5 3i− . Câu 6b: 1, (C) có tâm I(3;1) và b/k R =3 .Giả sử (C) cắt (d) tại A , B .Hạ IH ⊥ AB thì H là trung điểm của AB suy ra AH = 2. Tam gíac AHI vuông tại H nên IH = 2 2 9 4 5IA AH− = − = . Vì (d) qua M(0;2) nên có pt A(x-0) +B(y-2) = 0 ( A 2 + B 2 ≠ 0) ⇔ Ax + By – 2B = 0 . Ta có IH = 2 2 2 2 3 2 5 5 2 3 2 0 A B B A AB B A B + − ⇔ = ⇔ − − = + . Chọn B = 1 ta có : A = 2 hoặc - 1 2 . Vậy có 2 đt (d) phải tìm là : (d 1 ): 2x + y -2 = 0 và (d 2 ) : x – 2y + 4 = 0. Câu 6b: 2, Phương trình (S) : (x-1) 2 + (y + 3) 2 + ( z -2) 2 = 9 suy ra tâm I( 1; -3;2), b/k R = 3. (P) chứa Oy nên pt có dạng Ax + Cz = 0 với (A 2 +C 2 0 ≠ ). (P) cắt (S) theo đường tròn b/k r = 2 suy ra d(I,(P)) = 2 2 2 2 2 5 5 2 A C R r C A A C + − = ⇔ = ⇔ = + Chọn A = 1 thì C = 2. Vậy pt mf (P) là : x + 2z = 0. Câu 7b: Ta có 1 3 1 3 2 2 cos( ) isin( ) 2 2 3 3 i i π π     − = − = − + −  ÷  ÷  ÷     . Theo công thức Moavơrơ ta có 8 8 8 2 cos( ) isin( ) 3 3 z π π   = − + −  ÷   . Từ đó suy ra z có họ các acgumen là : 8 2 , 3 k k Z π π − + ∈ . Ta thấy với k = 2 thì acgumen dương nhỏ nhất của z là 4 3 π . . ( - ; 0) và (2; + ), nghịch biến trên khoảng (0;2). - th cú im cc i (0;0), im cc tiu (2; -4 ) Bảng biến thi n : x - 0 2 + y + 0 - 0 + y 0 - 4 *. x 3 - 3x 2 . * Tập xác định : D = R * Sự biến thi n : Giới hạn: lim x y + = + lim x y = Chiều biến thi n : y , = 3x 2 - 6x = 3x(x -2 ) Hàm số