GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 CHÝÕNG III: TÍCH PHÂN ÐÝỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT I TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI MỘT Ðịnh nghĩa Cho hàm fậ∞ấ xác ðịnh cung ồửề ũhia cung th ành n phần tùy ý ðiểm A = Ao < A1 < …… ≥ ồn ụ ửề Ðặt li ðộ dài cung ồiồi-1 cung ồiồi-1 lấy ðiểm ∞i tùy ýờ i ụ ữờ ị … nề n v h c2 o ih u V (Hình ữềữấ Lập tổng ầ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn ỗ n   cho max{ li }  i không phụ thuộc vào cách chia cung ồiồi-1 cách chọn ∞iờ ỗ ðýợc gọi tích phân ðýờng loại ữ f(M) cung ðýợc ký hiệu làầ Vậyầ 49 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Khi ðó ta nói fậ∞ấ khả tích cung ồửề Nếu cung thuộc mặt phẳng xy f hàm theo ị biến fậxờyấ dùng ký hiệu ầ Trong khơng gian xyzờ f hàm fậxờyờz ấ dùng ký hiệu Ý nghĩa thực tế: Xem dây vật chất hình dạng ỡ có mật ðộ khối lýợng fậ∞ấ phụ thuộc vào ðiểm M dâyờ khối lýợng dây vật chất ầ n v Tích phân ðýờng loại ữ có nhiều ứng dụng thực tếờ ðýợc trình bày mục ỗề≤ Ðịnh lý tồn h c2 o ih u V Nếu hàm fậ∞ấ liên tục dọc theo cung trõn Các tính chất tích phân ðýờng loại ữ tồn tạiề Tích phân ðýờng loại ữ khơng phụ thuộc hýớng cungờ nghĩa làầ Nếu fờ g khả tích cung ồử k số kfựg khả tích ầ Nếu f khả tích ồử ũ ữ ðiểm cung ồử thìầ Nếu fậ∞ấ  khả tích ồử ầ 50 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu f khả tích trên ồử khả tích ồử vàầ Lýu ý: Nếu cung ồử trõn khúc ậnghĩa cung ồử chia thành ữ số hữu hạn cung trõnấ fậ∞ấ liên tục cung ồử ðịnh lý tồn tính chất nêu ðúngề Ðịnh lý (về giá trị trung bình) Nếu fậ∞ấ liêân tục cung trõn ồử có ðộ dài ỡề ẩhi ðó tồn ðiểm thuộc cung AB thỏa ầ n v Công thức tính tích phânð ýờng loại mặt phẳng a) Cung h c2 o có phýõng trình tham số : Cho hàm số fậxờyấ liên tục cung trõn tham số ầ , cung có phýõng trình ih u V Chia [a,b] thành n ðoạn ðiểmầ a = to < t1< … ≥ tn ụ b ề Khi ðó cung ồử ðýợc chia týõng ứng thành n cung ðiểm ồkậxậtkấờ y(tk)), k= 0,1,2…ềờnề Theo ðịnh lý giá trị trung bình ta có ầ Lấy ðiểm ∞kậxậtkấờ yậtkấấ có tổng tích phânầ 51 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Vế phải tổng tích phân xác ðịnhờ qua giới hạnờ ta ðýợcầ b) Cung có phýõng trình: y = y(x), a  x  b : Khi ðó từ cơng thức trênờ ta có ầ c) Cung AB có phýõng trình tọa ð cực ộ n v h c2 o Nếu xem  tham sốờ ta có ầ Vậy ầ ih u V Cơng thức tính tích phân ð ýờng loại khơng gian Cho hàm số fậxờyờ zấ liên tục cung trõn ồử khơng gianề ũung phýõng trình tham số ầ có Hồn tồn týõng tự nhý phần ỗềỏềaờ ta cóầ Các thí dụ 52 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 a) Thí dụ 1: Tính A(1,0), B(0,1) Với ũ ðýờng cạnh tam giác có ðỉnh ẫậếờếấờ (Hình ữềịấ Trên n v h c2 o Ta có ầ : y=0, dl = dx nênầ ih u V Trên : x=0, dl = dy nênầ Trên : y= 1-x  Vậy ầ 53 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 b) Thí dụ 2: Tính Với ũ ðýờng cong có phýõng trìnhầ Sử dụng tọa ðộ cựcầ Vậyầ n v c) Thí dụ 3: Tính 0 t  Với cung h c2 o có phýõng trìnhầ x ụ acost y ụ asintờ zụ bt ih u V Xem t tham sốờ ta có ầ d) Thí dụ 4: Tính với ðýờng ỡ phần góc tọa ðộ thứ giao tuyến mặt ỳaraboloid elliptic có phýõng trình zụ ị- x2-2y2 mặt trụ parabolic z = x2 từ ðiểm ậếờữờếấ ðến ậữờếờữấ Dùng tham số tụ x ta có ầ 54 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Vì ỡ nằm góc tọa ðộ thứ nhấtờ nên ta ðýợc phýõng trình tham số sauầ Do ðó ầ Vậyầ n v h c2 o ih u V Ứng dụng tích phân ð ýờng loại a) Khối lýợng cung: Giả sử cung vật chất chiều dài ỡ có khối lýợng riêng phụ thuộc ðiểm ∞ dây cung  (M) Khi ðó với ữ cung nhỏ ồiồi+1, có ầ Vậyầ Qua giới hạn ta ðýợc ầ b) Moment tĩnh (moment thu nhất), trọng tâm cung phẳng : Cho cung phẳng thuộc mặt phẳng xyờ có khối lýợng riêng phụ thuộc ðiểm ∞ậxờyấ dây cung  (x,y) Theo ðịnh nghĩa moment cõ họcờ 55 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 ta có cơng thức moment cung ∞y ầ ðối với trục ẫx ∞x ðối với trục ẫy Từ ðó trọng tâm khối lýợng cung ồử ðýợc xác ðịnh bởiầ Nếu cung ðồng chấtờ  (x,y) = số ầ ∞ụ  L (L chiều dài cung AB), tọa ðộ trọng tâm ầ n v h c2 o Cũng nhớ ầ cung không cắt trục ẫx quay quanh trục ẫx diện tích mặt trịn xoay cung phẳng ðó tạo ầ ih u V Từ cơng thức toạ ðộ trọng tâmờ cóầ Thí dụ 5: Tìm trọng tâm nửa vòng tròn tâm ẫ bán kính Ởề Giảiầ Xét nửa vịng trịn ồử tâm ếề ắo tính ðối xứng nên trọng tâm ậxờyấ phải nằm trục ẫy ậ ) Khi nửa vòng tròn ồử quay quanh trục ẫx ta ðýợc cầu có diện tích mặt cầu làầ S ụ ở R2, ðộ dài nửa cung tròn ồử ỡ ụ  R Vậy trọng tâm có tung ðộ ầ c) Moment tĩnh (moment thứ nhất), trọng tâm cung không gian: 56 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu cung không gian với khối lýợng riêng  (x,y,z) týõng tự trýờng hợp phẳng ta có khối lýợng cung moment tĩnh cung ồử ðối với mặt tọa ðộ xếyờ xếzờ yếz ầ Và trọng tâm khối lýợng cung có cơng thức ầ Nếu cung ồử ðồng chất ậ =hằng sốấ ầ n v h c2 o Thí dụ 6: Cho nửa vịng trịn thép ðặt mặt phẳng y z có phýõng trình y2 + z2 = 1, z  Biết khối lýợng riêng  (x,y,z) = – z Hãy tìm khối lýợng trọng tâm nửa vịng trịn ðóề ih u V (Hình ữềĩấ Do nửa vịng trịn nằm mặt phẳng yzờ nên trọng tâm có xụ ếề Ngồi ðối xứng có khối lýợng phân bố ðối xứng ðối qua trục ẫz nên trọng tâm có y=0 Phýõng trình tham số nửa vịng trịn ầ xụế y ụ cos t z ụ sin t ế t Vậyầ 57 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 d) Moment qn tính (moment thứ hai) Ta có cơng thức moment qn tính cung với trục toạ ðộ ầ với khối lýợng riêng  (x,y,z) ðối n v h c2 o Tổng quátờ moment quán tính ðối với ðýờng thẳng  ðýợc tính ầ ih u V Với rậxờyờzấ ầ khoảng cách từ ðiểm M(x,y,z) ðến ðýờng thẳng  Khi cung cung phẳng ta có khái niệm cơng thức týõng tựề e) Diện tích mặt trụ Cho cung không gian với z  có hình chiếu vng góc xuống mặt phẳng xếy cung Xem mặt trụ với ðýờng sinh song song trục ẫz, ðýờng chuẩn ũắ giới hạn cung ũắờ giới hạn dýới cung ồửờ giới hạn bên ðýờng thẳng ồũờ ửắ 58 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 lập phýõng gồm ẳ mặt trõn nối theo cạnhề ∞ặt ðýợc ðịnh hýớng dýớng mặt n cạnh ðịnh hýớng theo mặt (Hình ẳềĩấ n v Ðịnh nghĩa tích phân mặt loại Cho hàm ỳậxờyờzấờ ẵậxờyờzấờ Ởậxờyờzấ xác ðịnh mặt ðịnh hýớng S có vectõ pháp tuyến ðõn vị h c2 o (cos  , cos , cos  ) Tích phân mặt loại ữ ih u V ðýợc gọi tích phân mặt loại ị hàm ỳờẵờỞ mặt ðịnh hýớng Sề Tích phân ðýợc ký hiệu ầ Cách tính tích phân mặt loại 2: ð tích phân kép ýa Giả sử cần tính tích phân (1) Trong ðó S mặt cong có phýõng trình zụzậxờyấ ậtrõn trõn khúcấ với vectõ pháp tuyến ðịnh hýớng phía ậ phía mặt cong tạo với hýớng dýõng trục ẫz ữ góc nhọn ấ Do vế phải ậữấ giới hạn tổng tích phân mặt loại ữ 81 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 (2) Ta biết ậchýõng ữấ (3) Với  Si : diện tích mảnh cong  Si ,  Di diện tích hình chiếu mảnh cong  Si xuống mặt phẳng xy, vectõ pháp tuyến tạo với trục ẫz góc nhọn nên cos i >0  Di lấy dấu dýõngề Thay ậĩấ vào ậịấ qua giới hạn ta ðýợcầ Trong ðó ắ hình chiếu S xuống mặt phẳng xyề Nếu ðổi hýớng mặt S tức cos  i <  Di lấy dấu âm ầ n v Týõng tự ta cóầ h c2 o ih u V Trong ðó ắ1, D2 hình chiếu S xuống mặt phẳng yzờ xz týõng ứngờ chọn dấu ự hay dấu – tùy theo góc   góc nhọn hay góc tùề Lýu ý: Từ công thức ậ2) thấy mặt S ữ phần mặt trụ có ðýờng sinh song song trục ẫz cos i = , dẫn tới Thí dụ 1: Tính 0, y 0, 0 z  b với S ầ mặt phía ngồi giới hạn vật thể x2 + y2  R2, x 82 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 (Hình ẳềởấ Mặt S ðýợc hia thành ỏ mặt ầ hai ðáy Sữờ Sị hai mặt bên SĩờSở nằm mặt phẳng xz ậyụếấ yz ậxụếấ týõng ứng mặt trụ cong Sỏ Ta có ầ n v Ba tích phân cuối ụ ế mặt trụ có ðýờng sinh song song trục ẫzề h c2 o Trên mặt S1 , z= 0, nên ầ Trên mặt S2 , z=h, nên ầ ih u V Vậy ỗ ụ Thí dụ 2: Tính x2 + y2 + z2 = R2, z  với S ầ mặt phía ngồi nửa mặt cầu Ta có ầ 83 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Trong ðó ầ S ụ S1 + S2 S1 phần ứng với y  0, S2 phần ứng với y  Lýu ý chuyển tích phân kép theo nửa hình trịn mặt phẳng xz tích phân : lấy dấu dýõngờ lấy dấu âmờ hàm dýới dấu tích phân lại hàm chẵn nên n v Týõng tự ta có ầ ỗ2 = h c2 o Vậy ỗ ụ ih u V Thí dụ 3: Tính với S ầ mặt phía ngồi mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 Gọi S1 , S2 nửa mặt cầu ứng với z  z  Trên S1 ta cóầ Trên S2 ta có ầ ðýa tích phân kép lấy dấu âm (do vectõ pháp tuyến hýớng xuống dýớiấờ nên ầ 84 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Vậyầ VII LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI HAI: ÐỊNH LÝ STOKES Công thức Ứreen cho ta mối liên hệ tích phân kép tích phân ðýờng loại hai ðýờng biên miền lấy tích phânề ũơng thức Stokes dýới ðây mở rộng công thức Ứreen cho trýờng hợp miền mặt cong không gianề n v Ðịnh lý Stokes Cho mặt ðịnh hýớng S trõn khúc với biên chu tuyến ũ trõn khúc không tự cắt ậchu tuyến ðõn giảnấề Ứiả sử ỳờ ẵờ Ở hàm có ðạo hàm riêng cấp liên tục miền mở chứa Sề ẩhi ðó ta cóầ h c2 o ih u V Trong ðó hýớng chu tuyến ũ ðýợc lấy theo hýớng dýõng ứng với mặt ðịnh hýớng S Chú ý: Công thức Stokes thýờng dùng dạng liên hệ tích phân ðýờng loại hai tích phân mặt loại mộtề với : vectõ pháp tuyến ðõn vị ứng với giá mặt cong S Thí dụ 85 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Tính tích phân với ũ ðýờng tròn mặt cầu ầ x2 + y2 + z2 = R2 mặt phẳng x ự y ự z ụ ế theo hýớng ngýợc chiều kim ðồng hồ nhìn từ hýớng dýõng trục ẫx Gọi S hình tròn với biên ðýờng tròn ũề Theo ðịnh lý Stokes ta có ầ cos  , cos , cos  : cosin hýớng vectõ pháp tuyến n mặt phẳng x ự y + z = Ta có ầ Vậy ỗ ụ n v VIII CƠNG THỨC CHUYỂN TÍCH PHÂN BỘI BA VỀ TÍCH PHÂN MẶT THEO BIÊN : ÐỊNH LÝ GAUSS – OSTROGRATSKI h c2 o Ðịnh lý sau ðây cho ta cơng thức chuyển tích phân bội ba tích phân mặt theo mặt biênề ũơng thức có nhiều ứng dụng thực tiễn tính tốnề Ðịnh lý Gauss – Ostrogratski ih u V Cho  miền ðóngờ bị chận không gianờ với biên mặt S trõn khúc ậS chia thành hữu hạn mặt trõnấề ũho ỳờẵờỞ có ðạo hàm riêng cấp liên tục miền mở chứa  Khi ðó ta có cơng thức Ứauss-Ostrogratski: Lýu ý: Nhờ cơng thức Ứauss – Ostrogratski, ta tính thể tính cách tính tích phân mặt lấy ỳ ụ xờ ẵ ụ yờ Ở ụzề ẩhi ðó cơng thức trở thành ầ Vậy ầ Với S mặt bên  lấy theo phía ngồi 86 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Thí dụ Tính tích phân x2 + y2 + z2 = R2 Trong ðó S phía ngồi mặt cầu ầ Theo ðịnh lý Ứauss – Ostrogratski, ta có ầ Chuyển qua tọa ðộ cầuờ ta ðýợc ầ BÀI TẬP CHÝÕNG n v I Tích phân ð ýờng loại h c2 o Tính tích phân ðýờng loạiữầ góc ỗ ih u V C : cung nối ậếờếấ 6) Tính tích phân ðýờng fậxờyờzấ ụ xự ậữờữờữấ theo ðýờng sauầ 87 -z2 theo cung nối ị ðiểm ậếờếờếấ Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 7) Tính ầ 8) Cho C Hãy tính khối lýợng cung 9) Cho cung Tìmtrọng tâmề 10) Cho Tìmtrọng tâm n v 11) Cho C: x2+y2 = a2 mặt phẳng xyờ  = const Tìm mơmen qn tính ðối với ẫz h c2 o 12) Cho mặt phẳng yzờ  = const Tìm mơmen qn tính ðối với trục tọa ðộề 13) Tìm ðộ dài cung ầ x ụ aet cos t , y = aet sint, z = aet từ ồậếờếờếấ ðến B(a,0,a) ih u V (Hýớng dẫnầ ứng với t1 = - , B với t2 = ) 14) Tìm trọng tâm cung x ụ aật-sint), y = a(1-cost)  t   ,  = const II Tích phân ð ýờng loại Tính tích phân ðýờng loại ị sau ðâyầ theo ðýờng thẳng nối ồậữờữấ ðến ửậĩờởấ  : ðýờng gấp khúc nối ẫậếờếấờ ồậịờếấờ ửậởờịấề 88 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2  – phần parabol y ụ ịx – x2 nằm trục ẫx theo chiều kim ðồng hồ  : Chu tuyến giới hạn y2 = x, x2 = y, Theo chiều ngýợc chiều kim ðồng hồ  : cung nối ồậữờếấ ửậ-1,0) theo ðýờng sauầ  Nửa vòng tròn x2 + y2 =  Ðýờng thẳng nối ồờử  Ðýờng gấp khúc từ ồờ qua ũậếờ-1) ðến n v h c2 o  : giao y ụ x z ụ x từ ðiểm ậếờếờếấ ðến ậữờữờữấ ih u V  – cung vịng trịn tâm ẫờ bán kính r nằm góc ỗờ ngýợc chiều kim ðồng hồề III Tính công sinh lực dọc theo ð ýờng  có phýõng trình 89 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 IV Cơng thức Green Tính tích phân C : biên tam giác xác ðịnh x ụ ếờ y ụ ếờ x ự y ụ ữ n v biên tứ giác với ðỉnh ồậữờếấờ ửậếờữấờ ũậ-1,0), D(0,1) h c2 o C: biên miền giới hạn y ụ x2 yụ ih u V 6) Cho f(x,y) có ðạo hàm riêng liên tục ầ Chứng minh Green với chu tuyến ũ sử dụng ðýợc công thức V Ứng dụng Cơng thức Green tính diện tích miền phẳng 2) D giới hạn y ụ x y ụ x2 góc ỗ 3) D: giới hạn y ụ xờ 90 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 4) Cho S diện tích miền ắờ hoành ðộ trọng tâm miền ắ giới hạn ðýờng cong ðõn giản trõn khúc ũề ũhứng minh rằngầ 5) Cho Iy – mơmen qn tính ðối với trục ẫy miền ắ ởề ũhứng minh: VI Tích phân khơng phụ thuộc ð ýờng lấy tích phân Tính tích phân ðýờng loại ị sau ðây ầ n v h c2 o ih u V Tính dọc theo ðoạn thẳng nối ậếờếờếấ ậếờĩờởấ 8) Kiểm tra biểu thức sau có phải vi phân toàn phần ằ ỷếu ðúng vi phân tồn phần hàm U tìm U 91 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 VII Tích phân mặt loại 1) Tính diện tích mặt parabôlôit x2 + y2 – z = cắt z ụ ị 2) Tính diện tích phần mặt phẳng x + 2y + 2z = cắt x ụ y2 x ụ ị - y2 n v 3) Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = cắt nón 4) Tính diện tích phần mặt parabơlơit x2 + y + x2 = t cắt mặt phẳng y ụ ế h c2 o 5) Tính S : mặt biên lập phýõng ế  x,y,z  a 6) Tính S : mặt biên hình hộpầ ế  x  a ,  y  b ,  z  c ih u V 7) Tính tám thứ 8) Tính = 0, x = 1, z = S : phần mặt phẳng ịxựịyựz ụ ị nằm góc phần S : phần mặt parabơlơit y2 + 4z =16 cắt mặt phẳng x 9) Tìm trọng tâm mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 nằm góc ỗ 10) Tìm trọng tâm phần mặt y2 + z2 = 9, z  cắt x ụ ếờ x ụ ĩ 11) Tìm trọng tâm mơmen qn tính ðối với trục ẫz mặt x2 + y2 - z2 = cắt z ụ ữờ z ụ ị 12) Tìm mơmen quán tính ỗz mặtầ ởx2 + 4y2 - z2 =0, z  cắt x2 + y2 = 2x VIII Tích phân mặt loại 92 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 S : mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 góc phần tý thứ ỗ ậphía ngồiấ 1) Tính 2) Tính S : giống ữ 3) Tính S:giống ữ S : phần mặt z ụ – y2 giới hạn x ụ 4) Tính 0,x = 1,z = (phía trongấ 5) Tính ế ≤ xờ yờz ≤ aề S : mặt ngồi hình lập phýõng cho 6) Tính ≤ ịỏ cắt z ụ ĩề ậphần z ≥ ĩ ấ h c2 o IX Ðịnh lý Stokes ih u V 1) Tính ngýợc chiều kim ðồng hồề n v S : phía ngồi mặt chỏm cầu x2+y2+z2 C: x2 + y2 = 4, z = Nhìn từ gốc ũ theo chiều 2) Tính Nhìn từ hýớng dýõng trục ẫx ngýợc chiều kim ðồng hồ 3) Tính C: Nhìn từ hýớng dýõng trục ẫz ngýợc chiều kim ðồng hồề 93 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 4) Tính C : ðýờng biên tam giác với ðỉnh ậữờếờếấờ (0,1,0),(0,0,1) – nhìn từ gốc ế ngýợc chiều kim ðồng hồề 5) Tính C : nhý C : x2 + y2 = 1, z = Nhìn từ gốc ẫ ngýợc chiều 6) Tính kim ðồng hồề 7) Tính chiều kim ðồng hồ C: x2 + y2 = 1, z = y+1 nhìn từ gốc ẫ ngýợc 8) Tính chiều kim ðồng hồ x2 + y2 + z2 = 6z, z = x – nhìn từ gốc ẫ ngýợc n v h c2 o 9) Tính C : biên tam giác với ðỉnh (2,0,0), (0,3,0), (0,0,6) nhìn từ gốc ẫ ngýợc chiều kim ðồng hồề 10) Tính chiều kim ðồng hồề ih u V 11) Tính chiều kim ðồng hồề C: x2 + y2 + z2 = a2,z = y2 nhìn từ gốc ẫ ngýợc C: x2 + y2 = 1, z = y2 Nhìn từ gốc ẫ ngýợc X Cơng thức Gauss – Ostrogratski Tính tích phân mặt loại ị sauầ 1) lập phýõng -1 ≤ xờ yờ z ≤ ữ 2) 4, ≤ z ≤ x2 + y2 S : phía ngồi mặt biên hình S : Phía ngồi mặt biên 3) góc ỗờ phía ngồiề : x2 + y2 ≤ S : phần mặt cầu tâm ẫờ bán kính ịờ 94 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 4) S - biên miền 2 nằm góc ỗ giới hạn x +y = , z = , phía ngồiề 5) S : biên :1≤ ≤ ịờ phía 6) S : biên :1≤ S : biên :1≤ ≤ ởờ phía ngồi 7) n v ≤ ởờ phía ngồi 8) , phía ngồiờ tính cơng thức Gauss-Ostrogratski cách tính trực tiếpề h c2 o ih u V 95 Sýu tầm by hoangly85 ... ðýờng kính mặt  Si ), tổng tích phân Sn tiến tới ữ giá trị hữu hạn không phụ thuộc cách chia mặt S cách lấy ðiểm ∞i giới hạn ðó gọi tích phân mặt loại ữ ậcịn gọi tích phân mặt theo diện tích hàm... tích phân mặt loại ị hàm ỳờẵờỞ mặt ðịnh hýớng Sề Tích phân ðýợc ký hiệu ầ Cách tính tích phân mặt loại 2: ð tích phân kép ýa Giả sử cần tính tích phân (1) Trong ðó S mặt cong có phýõng trình zụzậxờyấ... VII LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI HAI: ÐỊNH LÝ STOKES Công thức Ứreen cho ta mối liên hệ tích phân kép tích phân ðýờng loại hai ðýờng biên miền lấy tích phân? ?? ũơng thức Stokes