Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - ðề 01: Bài 1: Giải hệ phương trình: 3 3 6 6 3 3 1 x x y y x y  − = −   + =   Giải: Hệ 3 3 2 2 6 6 6 6 3 3 0 ( )( 3) 0 1 1 x y x y x y x y xy x y x y   − − + = − + + − =   ⇔ ⇔   + = + =     2 2 6 6 6 3 2 1 1 x y x y xy x x y =  + + =   ⇔ ∨   = + =    6 6 6 6 2 2 6 6 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 x x x y x y xy y y   = = −    + =    ⇔ ∨ ∨    + + =     = = −     Xét hệ : 6 6 2 2 1 (1) 3 (2) x y x y xy  + =   + + =   Từ (1) suy ra: 6 6 1, 1 x y ≤ ≤ 2 2 2 2 1; 1 1 1 1 1 3 x y xy x y xy x y xy ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ + + ≤ + + ⇒ + + ≤ Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1; 1 1 1 1 x y xy x y x y = = ⇒ = ⇒ = = ∨ = = − Thay vào phương trình (1) thấy không thỏa mãn. ðáp số: Hệ ñã cho có 2 nghiệm là: 6 6 6 6 1 1 2 2 1 1 2 2 x x y y   = = −     ∨     = = −     Bài 2: Cho hệ phương trình: 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17 x xy y x xy y m  + + =   + + = +   (I) Tìm m ñể hệ có nghiệm. Giải: HƯỚNG DẪN GIẢI ð Ề KI Ể M TRA ð Ị NH K Ỳ S Ố 03 Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - • Cho 0 x = ta ñược: 2 2 11 3 17 y y m  =   = +   TH 1 : Nếu 17 11 16 3 m m + = ⇔ = thì (I) có ít nhất hai nghiệm là ( ) 0; 11 ± Vậy nhận m = 16 TH 2: Nếu 16 m ≠ thì (I) không có nghiệm (0; y). Ta tìm m sao cho (I) có nghiệm (x; y) với 0 x ≠ . Chia cả hai vế của các phương trình của (I) cho 2 x , ta ñược: 2 2 2 2 11 3 2 17 1 2 3 y y x x x y y m x x x      + + =            +      + + =           (II) ðặt y t x = , M = m +17 ≠ 33. Hệ (II) 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 3 ( 2 3) 11(3 2 1) 0 11 2 3 3 2 1 t t M t t t t x M t t t t x x   + + = + + − + + =    ⇔ ⇔   + + =   + + =    2 2 2 ( 33) (2 22) 3 11 0 11 2 3 M t M t M t t x  − + − + − =  ⇔  + + =   (*) (I) có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm: 2 2 2 2 2 ( 11) ( 33)(3 11) 0 22 121 3 11 99 363 0 2 88 242 0 44 121 0 22 11 3 22 11 3 22 11 3 17 22 11 3 5 11 3 5 11 3 M M M M M M M M M M M M M m m ⇔ − − − − ≥ ⇔ − + − + + − ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ≤ + ⇔ − ≤ + ≤ + ⇔ − ≤ ≤ + Kết hợp với 16 m ≠ ta ñược: { } 5 11 3;5 11 3 \ 16 m   ∈ − +   ðáp số: Tập các giá trị m cần tìm là: 5 11 3;5 11 3   − +   Bài 3: a) Chứng minh rằng với mọi [ ] 1;1 t ∈ − , ta có: 1 1 2 2 1 x x x + − = ⇔ = 2 2 1 1 1 1 2 t t t t + + − ≥ + − ≥ − b) Giải phương trình: 2 2 4 2 1 2 1 2 2( 1) (2 4 1) x x x x x x x + − + − − = − − + Giải: Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - a) ðpcm 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 t t t t t ⇔ + + − + − ≥ + − + − 2 0 t ⇔ ≥ − (hiển nhiên) ðpcm 1 2 2 2 2 1 2 1 1 (1 ) (1 ) t t t t ⇔ − ≥ − ⇒ − ≥ − (ñúng vì [ ] 2 0 1 1 1;1 t t≤ − ≤ ∀ ∈ − ) b) ðiều kiện ñể 2 2 x x − có nghĩa: 2 2 0 x x − ≥ Gọi x là một nghiệm của phương trình: 4 2 2 2 2( 1) (2 4 1) 1 2 1 2 x x x x x x x − − + = + − + − − Áp dụng kết quả câu trên, ta có: ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x + − + − − ≥ − − = − + 4 2 2 4 2 2 2( 1) (2 4 1) 2 2 2( 1) (2 4 2 1) 1 1 2 x x x x x x x x x x ⇒ − − + ≥ − + ⇒ − − + − ≥ + − + ðặt 2 ( 1) t x = − 2 3 2 2 2 2 2 (2 1) 1 4 2 1 0 ( 1)(4 2 1) 0 1 ( 1) 1 2 0 t t t t t t t t t t x x x ⇒ − ≥ + ⇔ − − − ≥ ⇔ − + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ Kết hợp với ñiều kiện 2 2 0 x x − ≥ ta ñược 2 2 0 0 2 x x x x − = ⇔ = ∨ = Thử lại thấy cả 2 giá trị ñó ñều là nghiệm của phương trình ñã cho. ðáp số: 0 2 x x = ∨ = Bài 4: Giải bất phương trình: 2 2 2 3 2 4 3 2 5 4 x x x x x x − + + − + ≥ − + (1) Giải: • ðiều kiện: 2 2 2 3 2 0 1 2 4 3 0 1 3 1 4 (*) 1 4 5 4 0 x x x x x x x x x x x x x x  − + ≥ ≤ ∨ ≥    − + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥     ≤ ∨ ≥ − + ≥   Vậy (1) tương ñương với: 1 4 ( 1)( 2) ( 1)( 3) 2 ( 1)( 4) x x x x x x x x ≤ ∨ ≥    − − + − − ≥ − −   1 ( 1)( 2) ( 1)( 3) 2 ( 1)( 4) 1 4 ( 1)( 2) ( 1)( 3) 2 ( 1)( 4) x x x x x x x x x x x x x x x  <     − − + − − ≥ − −     ⇔ =   ≥     − − + − − ≥ − −     Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - 1 (1 ). (2 ) (1 ) 3 2 (1 ). 4 1 4 ( 1). 2 ( 1). 3 2 ( 1). 4 x x x x x x x x x x x x x x x  <     − − + − − ≥ − −     ⇔ =   ≥     − − + − − ≥ − −     1 (2) (2 ) 3 2 4 1 4 (3) 2 3 2 4 x x x x x x x x x  <     − + − ≥ −     ⇔ =   ≥     − + − ≥ −     • Khi 1 x < 2 2 (2) 2 3 2 (2 )(3 ) 4(4 ) 5 2 2 6 5 16 4 2 6 5 2 11 x x x x x x x x x x x x ⇔ − + − + − − ≥ − ⇔ − + − + ≥ − ⇔ − + ≥ − + (Khi x < 1 ta có 11 -2x > 0) 2 2 2 2 4( 5 6) (11 2 ) 4 20 24 4 44 121 24 97 x x x x x x x x ⇔ − + ≥ − ⇔ − + ≥ − + ⇔ ≥ 97 24 x⇔ ≥ không tỏa mãn x < 1. • Khi 4 x ≥ 2 2 (3) 2 3 2 ( 2)( 3) 4( 4) 2 5 6 2 16 5 2 5 6 2 11 x x x x x x x x x x x ⇔ − + − + − − ≥ − ⇔ − + ≥ − + ⇔ − + ≥ − 2 2 2 2 11 0 2 11 0 5 6 0 4( 5 6) (2 11) x x x x x x x − ≤ − >   ⇔ ∨   − + ≥ − + ≥ −   2 2 11 11 2 2 2 3 4 20 24 4 44 121 x x x x x x x x   > ≤   ⇔ ∨     ≤ ∨ ≥ − + ≥ − +   11 11 2 3 97 2 24 x x x  >   ⇔ ≤ ≤ ∨   ≥   11 11 3 3 2 2 x x x ⇒ ≤ ≤ ∨ > ⇔ ≥ Kết hợp với 4 x ≥ ta ñược: 3 4 4 x x x ≥  ⇔ ≥  ≥  • ðáp số : 1 4 x x = ∨ ≥ Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Bài 5: Giải hệ: 1 1 2 2 1 1 2 2 y x x y  + − =     + − =   Giải: • ðiều kiện: 1 , 2 x y ≥ . Từ hệ suy ra: 1 1 1 1 2 2 (1) y x x y + − = + − • Nếu x > y thì 1 1 x y < và 1 1 x y < suy ra VT(1) < VP(1). • Nếu x < y tương tự cũng không thỏa mãn. • Nếu x = y . Thế vào một phương trình của hệ ñược: 1 1 2 2 1 x x x + − = ⇔ = Hệ có nghiệm: (x; y) = (1; 1). Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - ðề 02: Bài 1: Tính tích phân: a) 1 2 0 sin 16 9cos x x I dx x π = + ∫ Giải: ðặt: x t dx dt π = − ⇒ = − ðổi cận: 0 0 x t x t π π = → =   = → =  0 1 2 2 0 ( )sin ( ) ( ) 16 9cos 16 9cos t t dt t dt I t t π π π π − − − ⇒ = = + + ∫ ∫ 1 2 2 2 0 0 0 sin sin sin 16 9cos 16 9cos 16 9cos tdt t t xdx dt I t t x π π π π π = − = − + + + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 2 2 0 0 sin sin 2 16 9cos 2 16 9cos 2 xdx xdx I I I J x x π π π π π ⇒ = ⇒ = ⇒ = + + ∫ ∫ Tính 2 0 sin 16 9cos xdx J x π = + ∫ ðặt cos sin x u xdx du = ⇒ = − ðổi cận: 0 1 1 x u x u π = → =   = → = −  1 1 2 2 1 1 2 1 1 4 4 arctan 1 16 9 9 27 3 4 3 du du u J u u − − −   ⇒ = = =   − +     +     ∫ ∫ 1 8 4 arctan 27 3 4 4 arctan 2 27 3 I J π π = ⇒ = = b) 4 2 0 sin 4 sin 2 2(1 sin cos ) x dx I x x x π π   −     = + + + ∫ Giải: ðổi biến: sin cos (cos sin ) 2 sin 4 x x t dt x x dx x dx π   + = ⇒ = − = − −     2 2 1 sin 2 sin 2 1 x t x t + = ⇒ = − ðổi cận: 0 1 2 4 x t x t π = → =    = → =   Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - Vậy 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2(1 ) ( 1) 2 2 dt dt I t t t   = − = −   − + + +   ∫ ∫ 2 1 2 . 2 1 1 2 1 1 4 3 2 . 2 2 4 2 1 t = + −   = − =   +   Bài 2: Tính tích phân sau: a) 2 2 0 sin x J e xdx π = ∫ Giải: Xét tích phân: 2 2 0 cos x I e xdx π = ∫ Ta có: ( ) 2 2 2 0 2 0 1 1 2 1 0 2 2 cos 2 x x x I J e dx e I J e xdx π π π π  + = = = −     − =   ∫ ∫ Tính 2 0 cos 2 x A e xdx π = ∫ ðặt 2 2 2 1 cos 2 sin 2 2 x x du e dx u e dv xdx v xdx  =  =  ⇒   = =    Suy ra: 2 2 2 0 0 \ 1 sin 2 sin 2 0 sin 2 (1) 0 2 x x x A e x e xdx e xdx B π π π   = − = − = −   ∫ ∫ Tính: ∫ = π 0 2 2sin xdxeB x ðặt: 2 2 2 1 sin 2 cos 2 2 x x du e dx u e dv xdx v x  =  =  ⇒   = = −    Suy ra 2 2 2 0 0 1 sin 2 cos 2 cos 2 0 2 x x x B e xdx e x e xdx π π π   = = − +   ∫ ∫ ( ) 2 1 1 (2) 2 e A π = − + Từ (1) và (2) ta có: ( ) 2 1 1 2 A e A π = − − − ( ) 2 1 1 4 A e π ⇔ = − Suy ra: ( ) 2 1 1 4 I J e π − = − Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 - Vậy cuối cùng ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 4 1 4 I J e J e I J e π π π  + = −   ⇒ = −   − = −   Vậy ( ) 2 1 1 8 J e π = − b) 1 2 0 . 4 x x I x e dx x   = −   −   ∫ Giải: 1 1 2 1 2 2 0 0 . 4 x xdx I x e dx I I x = − = + − ∫ ∫ Tính: 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 0 1 1 1 . . 0 2 2 x x x x I x e xde x e e dx   = = = −   ∫ ∫ ∫ 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 0 2 2 2 4 2 4 2 4 4 x x x e e e e e e dx de e e + = − = − = − = − − = ∫ ∫ . Tính: 1 1 2 2 2 2 0 0 1 4 4 3 2 0 4 xdx I d x x x = − = − = − = − − ∫ ∫ Vậy: 2 2 1 2 1 7 3 2 3 4 4 e e I I I + − = + = + − = + . Bài 3: Tính các tích phân sau: a) 2 0 sin 2 3 4sin cos2 xdx I x x π = + − ∫ Giải: Ta có: sin2 x = 2sin x cos x 3 + 4sin x - cos2 x =3 + 4sin x -1 + 2sin 2 x = 2sin 2 x + 4sin x + 2 Vậy 2 2 2 2 0 0 2sin cos sin cos 2sin 4sin 2 sin 2sin 1 x xdx x xdx I x x x x π π = = + + + + ∫ ∫ ðặt: sin cos x t dt xdx = ⇒ = ðổi cận: 0 0 1 2 x t x t π = → =    = → =   Vậy 1 1 1 2 2 0 0 0 ( 1) 1 ( 1) tdt dt dt I t t t = = − + + + ∫ ∫ ∫ Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 9 - = 1 1 1 1 ln 1 ln 2 0 0 1 2 t t + + = − + b) 46 0 tan cos 2 xdx I x π = ∫ Giải: Áp dụng công thức: 2 2 1 tan cos2 1 tan x x x − = + 4 26 2 0 tan (1 tan ) 1 tan x x I dx x π + = − ∫ ðặt: 2 2 tan (1 tan ) cos dx t x dt x dx x = ⇒ = = + ðổi cận: 0 0 1 6 3 x t x t π = → =    = → =   Suy ra: 1 1 1 3 3 3 4 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 t dt I t dt t dt t t t t       = = − + + = − + + −       − − − +       ∫ ∫ ∫ \ ( ) 3 1 1 1 10 3 1 ln ln 2 3 3 3 2 1 27 2 0 t t t t   − = − + + = − + +   +   Bài 4: Tính tích phân sau: 14 3 3 13 2 3 0 ( 1)( 1) dx I x x − = − + ∫ Giải: ðặt: ( ) 3 2 3 2 3 3 1 1 6 1 1 1 x t t dt t x dx x t t + + = ⇒ = ⇒ = − − − − ðổi cận: 0 1 14 3 3 3 13 3 x t x t = → = −    − = → =   Xét: 3 3 2 3 3 3 2 2 3 3 6 1 3 1 2 ( 1) . 2 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 t dx x dx t t dt dt t x x t t t t x x t + + − = = − = − = − − + − − + + − + − Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - ( ) 2 2 1 2 1 1 3 2 1 1 2( 1) t t t t t t + = − − − + + + + Vậy 3 3 3 3 3 3 2 2 0 0 0 1 (2 1) 3 1 2 1 1 2 1 dt t dt dt I t t t t + = − − − + + + + ∫ ∫ ∫ = 2 3 3 1 3 ln 1 ln 1 3 3 2 2 0 0 t t t J + − + + − Tính 3 3 2 0 1 dt J t t = + + ∫ Xét: 2 2 2 2 1 1 3 1 3 1 2. 2 4 4 2 2 t t t t t     + + = + + + = + +           ðặt: 2 2 1 3 3 3 tan (1 tan ) 2 2 2cos 2 t u dt du u du u + = ⇒ = = + ðổi cận: 0 6 3 4 3 3 arctan 3 6 3 t u t u π  = → =    +  = → =   2 2 3 1 (tan 1) 4 t t u + + = + 4 3 3 arctan 6 3 2 2 6 4 3 3 arctan 6 3 6 3 1 (1 tan ). 3 2 (tan 1) 4 4 3 3 arctan 2 3 2 3 2 3 4 3 3 6 3 arctan 3 3 3 6 6 3 6 J u du u J du u π π π π + + ⇒ = + + +   + = = = −       ∫ ∫ Thay vào ta ñược: I = 2 3 3 1 3 ln 1 ln 1 3 3 2 2 0 0 t t t J + − + + − I = 3 1 1 3 4 3 3 ln ln 3 arctan 3 2 3 6 6 3 π   + + − − −       . Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn . DẪN GIẢI ð Ề KI Ể M TRA ð Ị NH K Ỳ S Ố 03 Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi. Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 03 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - ðề