Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - I. Công thức tích phân từng phần Giả sử: ( ); ( ) u u x v v x = = có ñạo hàm liên tục trong miền D, khi ñó ta có: • ( ) ( ) d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu = + ⇔ = + ⇔ = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) b b a a b udv uv vdu udv uv vdu a ⇒ = − ⇒ = − ∫ ∫ ∫ ∫ Nhận dạng : Hàm số dưới dấu tích phân thường là dạng tích 2 loại hàm số khác nhau. Ý nghĩa: ðưa 1 tích phân phức tạp về tích phân ñơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 hàm số dưới dấu tích phân). Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du ñơn giản và dễ tính ñược v ñồng thời tích phân vdu ∫ ñơn giản hơn tích phân udv ∫ . II. Các dạng tích phân từng phần cơ bản và cách chọn u, dv. 1. Dạng 1: ( ) sin( ) sin( ) os( ) os( ) ( ) ax b ax b ax b ax b u P x ax b dx ax b dx c ax b dx c ax b dx P x dv e dx e dx m dx m dx + + + + =  +   +    +    + ⇒    =            ∫ (trong ñó P(x) là ña thức) 2. Dạng 2: ( ) arcsin( ) arcsin( ) ar os( ) ar os( ) arctan( ) ( ) arctan( ) ar cot( ) ar cot( ) ln( ) ln( ) log ( ) log ( ) m m dv P x dx ax b dx ax b dx cc ax b dx cc ax b dx ax b dx P x ax b dx ax b dx u ax b dx ax b dx ax b dx ax b dx ax b dx =  +   +    +    +   +   ⇒ +   + =    +    +  +   +    +     ∫ (trong ñó P(x) là ña thức) 3. Dạng 3: BÀI GIẢNG 09. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ( TÀI LIỆU BÀI GIẢNG) Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - ( ) sin(ln ) sin(ln ) os(ln ) os(ln ) arctan( ) arctan( ) ar cot( ) ar cot( ) ln( ) ln( ) log ( ) log ( ) k m m dv P x dx x dx x dx c x dx c x dx ax b dx x ax b dx ax b dx u ax b dx ax b dx ax b dx ax b dx ax b dx =            +   ⇒ +   + =    +    +  +   +     +    ∫ (trong ñó P(x) là ña thức) III. Các bài tập mẫu minh họa: 1. Dạng 1: { } ( ) sin( ); os( ); ; ax b ax b P x ax b c ax b e m dx + + + + ∫ • 3 1 cos A x xdx = ∫ Cách làm chậm: ðặt 3 2 3 cos sin u x du x dx dv xdx v x   = = ⇒   = =   . Khi ñó ta có: 3 2 1 sin 3 sin . A x x x xdx = − ∫ ðặt 2 2 sin cos du xdx u x v x dv xdx =  =  ⇒   = =   . Khi ñó ta có: 3 2 1 sin 3 cos 2 cos A x x x x x xdx   = − − +   ∫ . ðặt cos sin u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = =   ( ) 3 2 3 2 1 sin 3 cos 6 sin sin sin 3 cos 6( sin cos ) A x x x x x x xdx x x x x x x x C = + − − = + − + + ∫ Cách làm nhanh: Biến ñổi về dạng ( ) ( ) ( ) P x L x dx P x du = ∫ ∫ 3 3 3 3 3 2 1 cos (sin ) sin sin ( ) sin 3 sin A x xdx x d x x x xd x x x x xdx = = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 3 2 2 sin 3 (cos ) sin 3 cos cos ( ) x x x d x x x x x xd x   = + = + −   ∫ ∫ ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 sin 3 cos 6 cos sin 3 cos 6 (sin ) sin 3 cos 6 sin sin sin 3 cos 6( sin cos ) x x x x x xdx x x x x xd x x x x x x x xdx x x x x x x x C = + − = + − = + − − = + − + + ∫ ∫ ∫ • ( ) 3 5 1 3 5 1 3 5 1 5 1 3 2 1 1 ( ) 5 5 x x x x A x e dx x d e x e e d x − − − −   = = = −   ∫ ∫ ∫ 3 5 1 2 5 1 3 5 1 2 5 1 1 1 3 3 ( ) 5 5 5 x x x x x e x e dx x e x d e − − − −     = − = −       ∫ ∫ 3 5 1 2 5 1 5 1 2 3 5 1 2 5 1 5 1 1 3 1 3 6 ( ) 5 25 5 25 25 x x x x x x x e x e e d x x e x e xe dx − − − − − −   = − − = − +   ∫ ∫ 3 5 1 2 5 1 5 1 3 5 1 2 5 1 5 1 5 1 1 3 6 1 3 6 ( ) 5 25 125 5 25 125 x x x x x x x x e x e xd e x e x e xe e dx − − − − − − −   = − + = − + −   ∫ ∫ 3 5 1 2 5 1 5 1 5 1 1 3 6 6 5 25 125 625 x x x x x e x e xe e C − − − − = − + − + Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần. • 2 4 3 0 sin . A x xdx π = ∫ ðặt 2 2 t x t x dx tdt = ⇒ = ⇒ = Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - ðổi cận: 2 0 0 4 2 x t x t π π = → =    = → =   2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 0 0 0 0 2 sin 2 (cos ) 2 cos 2 cos ( ) 6 cos 2 0 A t tdt t d t t t td t t tdt π π π π π = = − = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 6 (sin ) 6 sin 6 sin ( ) 12 sin 12 (cos ) 2 2 2 0 t d t t t td t t tdt td t π π π π π π π = = − = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 0 3 3 3 12 cos 12 cos 12sin 12 2 2 2 2 2 0 0 t t tdt t π π π π π π = + − = − = − ∫ • 36 6 6 2 3 3 4 0 0 0 1 cos 1 sin os ( os ) os 6 3 3 3 0 x x A x xc xdx xd c x c xdx π π π π = = − = − + ∫ ∫ ∫ 36 2 0 3 1 3 1 sin 11 3 (1 sin ) (sin ) sin 6 48 3 48 3 3 72 48 0 x x d x x π π π π π π   = − + − = − + − = −     ∫ • 1 2 5 2 0 ( 2) x x e dx A x = + ∫ . ðặt 2 2 ( 2) 1 ( 2) 2 x x u x e du x x e dx dx dv v x x  =  = +   ⇒   = = −   + +   1 1 1 2 5 0 0 0 1 0 1 ( ) 0 2 3 3 1 1 1 0 0 3 3 3 x x x x x x x x e e e A xe dx xe dx xd e x e e e xe e dx e e = − + = − + = − + + = − + − = − + − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Dạng 2: { } ( ) arcsin ;arccos ;arctan ;ar cot ;ln ;log m P x u u u u u u u ax b dx = + ∫ • 2 2 2 3 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ln ln ( ) (ln ) (ln ) 1 3 3 e e e e B x xdx xd x x x x d x   = = = −     ∫ ∫ ∫ 3 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 ln 2 ln ln ( ) 3 3 3 e e e dx e x x e x xdx e xd x x       = − = − = −             ∫ ∫ ∫ 3 3 3 3 3 3 3 2 3 1 1 2 2 2 2 5 2 ( ln ) (ln ) 1 1 3 9 3 9 9 9 27 27 e e e e e e e e x x x d x e x dx x   − = − − = − + = + =     ∫ ∫ 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ln ln ( ) ln ln 2 1 2 1 2 1 1 0 x x x x B x dx d x x x d x x x x   + + + +           = = = −           − − − −             ∫ ∫ ∫ Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - 1 2 2 0 1 1 ln3 3 5 ln3 1 2ln 8 1 8 2 6 dx x   = − − = + −   +   ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 3 0 0 1 ln 1 ln 1 ln 1 0 B x x dx x x x xd x x     = + + = + + − + +         ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 ln 1 2 1 ln 1 2 1 1 1 x dx xdx x x x x x   = + − + = + −   + + + +   ∫ ∫ ( ) ln 1 2 2 1 = + + − ( ) ( ) 2 1 1 2 2 4 2 0 0 ln 1 ln 1 1 1 x x x B dx x x d x x + + = = + + + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 1 0 1 1 ln 1 1 ln 1 0 2 ln 1 2 2 ln 1 2 1 x x x x d x x dx = + + + − + + + = + − = + − ∫ ∫ ( ) 2 1 5 2 0 ln 1 1 x x x B x x + + = + + ∫ . ðặt ( ) ( ) 2 2 2 ln 1 1 1 u x x xdx dv x x x dx x x  = + +    = = + −   + +  2 2 2 1 1 1 1 x dx dx x du x x x   +   +   ⇒ = = + + + ( ) 3 1 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 3 v x d x x dx x x   = + + − = + −     ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 3 3 2 3 2 2 3 2 2 5 2 0 1 1 1 1 ln 1 1 0 3 3 1 dx B x x x x x x x       = + − + + − + −       +       ∫ =… = ( ) (2 2 1)ln 1 2 2 2 3 12 9 π − + − − + ( ) ( ) 1 1 2 2 2 6 0 0 1 ln 1 ln 1 ( ) 2 B x x x dx x x d x = + + = + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 1 1 2 2 2 2 2 0 0 ln 1 1 1 ln 1 0 2 2 1 1 1 1 ln 1 2 1 ln 1 2 2 2 2 2 1 1 1 x x x x d x x x dx x dx x x x x x   + +     = − + +             = + − + = + −   + + + +   ∫ ∫ ∫ Xét 1 2 2 0 1 x dx I x = + ∫ . ðặt tan x t = Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - ( ) 2 ln 1 2 2 I⇒ = − + ( ) ( ) 6 1 1 2 ln 1 2 ln 1 2 2 2 4 B I⇒ = + − = − + + 0 0 0 2 2 2 7 8 8 8 0 1 1 1 ln 1 ln 1 ( ) ln 1 (ln 1 ) 8 2 2 2 B x x xd x x x x d x − − − = − = − = − − − − ∫ ∫ ∫ 0 0 2 2 8 8 1 1 1 32ln3 . . 32ln3 2 4 1 2 1 1 dx x dx x x x x − − − = − − = − + − − − ∫ ∫ =…… 63 6 ln3 2 = − 0 8 3 ln 1 (1 ) 1 x B x x − − = − − ∫ . ðặt 2 1 1 2 t x t x tdt dx = − ⇒ = − ⇒ = − 1 2 2 8 3 2 2 1 1 2 1 ln 1 ( 2 ) 2 ln 2 ln 2 2 2ln (ln ) 2 2 ln 2 1 ln 2 1 1 t dt B tdt t td t t t t d t t t t   ⇒ = − = = −     − − = − = − − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 3 2 9 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 1 ln ( 1) 1 1 ln ( 1) 2 ( 1) 2 1 x xdx xd x B xd x x x + −   = = =   + + +   ∫ ∫ ∫ 3 3 2 2 2 1 1 3 2 1 3 ln 1 ln ln3 1 1 ln 1 2( 1) 2 1 20 2 1 ln3 1 1 9ln 3 2 20 2 1 20 x d x xd x x x x dx x x − − −   = + = +   + + −   −   = + − = −   +   ∫ ∫ ∫ 3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi. • ( ) 2 3 3 3 1 1 1 1 sin(ln ) sin(ln ) sin(ln ) sin(ln ) 3 3 3 C x x dx x dx x x x d x = = = − ∫ ∫ ∫ 3 3 3 2 1 1 1 1 sin(ln ) os(ln ) sin(ln ) os(ln ) 3 3 3 3 dx x x x c x x x x c x dx x = − = − ∫ ∫ ( ) 3 3 3 3 1 1 1 1 1 sin(ln ) os(ln ) ( ) sin(ln ) os(ln ) os(ln ) 3 9 3 9 9 x x c x d x x x c x x d c x = − = − + ∫ ∫ 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 sin(ln ) os(ln ) sin(ln ) sin(ln ) os(ln ) 3 9 9 3 9 9 x x x c x x x dx x x x c x C = − − = − − ∫ 3 3 3 3 1 1 10 1 1 1 sin(ln ) os(ln ) 3 sin(ln ) os(ln ) 9 3 9 10 C x x x c x C x x x c x C   ⇒ = − ⇒ = − +   • 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 sin (1 os2 ) os2 0 2 4 2 4 2 x x x x x e e C e xdx e c x dx e c xdx J π π π π − = = − = − = − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 os2 (sin 2 ) sin 2 sin 2 ( ) 0 2 2 2 x x x x J e c xdx e d x e x xd e π π π π = = = − ∫ ∫ ∫ Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 sin 2 ( os2 ) os2 os2 ( ) 0 2 2 2 x x x x e xdx e d c x e c x c xd e π π π π = − = = − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 os2 2 2 2 2 4 x e e e e e c xdx J J J π π π π π − − − − = − = − ⇒ = ⇒ = ∫ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 2 4 8 8 e e e e C J π π π π − − − − ⇒ = − = − = • ( ) ( ) 3 1 1 1 os(ln ) cos(ln ) os(ln ) 1 sin(ln ) 1 e e e e C c x dx x x xd c x e x dx π π π π π = = − = − + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 1 sin(ln ) 1 sin(ln ) sin(ln ) 1 e e e e x dx e x x x dx π π π π π = − + + = − + + − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 os(ln ) 1 2 1 2 e e e c x dx e C C e C π π π π π + = − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = − ∫ • [ ] 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 os (ln ) 1 os(2ln ) os(2ln ) 2 2 2 2 2 1 e e e e e C c x dx c x dx x c x dx I π π π π π − = = + = − = − ∫ ∫ ∫ Xét ( ) 1 1 1 2sin(2ln ) os(2ln ) cos(2ln ) os(2ln 1 1 e e e e x I c x dx x x xd c x e x dx x π π π π π = = − = − + ∫ ∫ ∫ 1 1 2cos(2ln ) 1 2 1 4 os(2ln ) 1 4 e e x dx e x e c x dx e I x π π π π π = − − = − − = − − ∫ ∫ ( ) 1 1 2cos(2ln ) 1 6 1 2 1 4 os(2ln ) 1 1 5 5 e e x dx e e x e c x dx e e x π π π π π π π − = − − = − − = − + = − ∫ ∫ 4 1 1 6 5 1 1 1 ( 1) 5 5 5 x x x e e I e I C e I e e π π π − − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − + = − + = − • 5 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin ( ) 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x x x x C e dx d e e e d x x x x + + + +   = = = −   + + + +   ∫ ∫ ∫ 2 2 1 sin 1 cos sin 1 sin sin 1 cos (1 cos ) 1 cos 1 cos (1 cos ) x x x x x x x x x e dx e xdx e e dx e x x x x x + + + + = − = − − + + + + + ∫ ∫ ∫ 2 1 sin sin (1); ; 1 cos 1 cos (1 cos ) x x x x e dx e xdx e I J I J x x x + = − − = = + + + ∫ ∫ Xét 2 sin (1 cos ) x e xdx J x = + ∫ . ðặt 2 sin 1 (1 cos ) 1 cos x x u e du e dx xdx dv v x x  =  =   ⇒   = =   + +   (2) 1 cos 1 cos 1 cos x x x e e dx e J I x x x ⇒ = − = − + + + ∫ . Thay (2) vào (1) ta có: 5 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x e x e C e I I C e C x x x x   + + ⇒ = − − − + = − +   + + + +   Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - • 2 6 0 0 0 0 sin 1 1 1 (1 cos 2 ) cos 2 2 2 2 x x x x x C dx e x dx e dx e xdx e π π π π − − − = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 1 1 1 1 cos 2 cos 2 0 2 2 2 2 2 2 x x x e e e e xdx e xdx J π π π π π − − − − − − − − = − = − = − ∫ ∫ ( ) 0 0 0 1 sin 2 1 cos 2 (sin 2 ) sin 2 0 2 2 2 x x x x e x J e xdx e d x xd e π π π π − − − − = = = − ∫ ∫ ∫ ( ) 0 0 0 1 1 cos2 1 sin 2 (cos2 ) cos2 0 2 4 4 4 x x x x e x e xdx e d x xd e π π π π − − − − − = = = − + ∫ ∫ ∫ 0 1 1 1 1 5 1 1 cos2 4 4 4 4 4 4 5 x e e e e e xdx J J J π π π π π − − − − − − − − − = − = − ⇒ = ⇒ = ∫ ( ) 6 1 1 1 1 2 1 2 2 2 10 5 e e e C J e π π π π − − − − − − − ⇒ = − = − = − • 2 2 7 0 ( 0) a C a x dx a = − > ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 7 0 0 arcsin 0 2 a a a a a a x dx dx C x a x xd a x a a x dx a x a x a x a a a x dx C a π = − − − = = − − − − = − − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 7 7 2 2 4 a a C C π π ⇒ = ⇒ = • 2 2 8 0 ( 0) a C a x dx a = + > ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 8 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 0 2 a a a a a x C x a x xd a x a dx a x dx a a x dx a a x = + − + = − + = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 0 2 2 2 8 8 2 ln 2 ln 1 2 0 2 ln 1 2 2 2 ln 1 2 2 a a a a x a x a x dx a a C C a a C a = + + + − + = + + − + + ⇒ = + + ⇒ = ∫ • 2 2 2 9 0 ( 0) a C x a x dx a = + > ∫ ðặt: ( ) 1 2 2 2 2 2 1 3 du dx u x v a x dv x a x dx =  =    ⇒   = + = +     Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 - ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 9 0 2 2 4 2 2 2 2 2 4 8 9 0 0 1 0 3 3 2 2 1 2 2 1 3 3 3 3 3 3 a a a a x C a x a x dx a a a a x dx x a x dx a C C ⇒ = + − + = − + − + = − − ∫ ∫ ∫ ( ) 9 3 2 ln 1 2 8 C − + ⇒ = • 2 2 2 10 0 ( 0) a C x a x dx a = − > ∫ ðặt: ( ) 3 2 2 2 2 2 1 3 du dx u x v a x dv x a x dx =  =    ⇒   = − − = −     ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 0 0 0 2 4 7 10 10 1 1 0 3 3 3 1 3 3 8 a a a a x C a x a x dx a a x dx x a x dx a a C C C π   − = − + − = − + −     = + ⇒ = ∫ ∫ ∫ • ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 2 2 2 a a a a a C x a dx x x a xd x a a = − = − − − ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 a a a a a a x dx a x dx a a x a dx x a x a − − = − − − − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 2 3 2 ln 2 2 3 2 3 2 ln 1 2 a a a a a x x a x a dx a a a C = − − + − − − + = − − − + ∫ ( ) 2 11 2 3 2 3 2 ln 2 1 2 a C   + ⇒ = − −   +   • ( ) 2 2 2 12 3 4 4 4 1 cot 1 2 cot cot sin sin sin sin 4 dx x C d x xd x x x x π π π π π π π π   = = − = − +     ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 4 4 cos 1 1 2 cot 2 1 sin sin sin x x dx dx x x x π π π π   = − − = − − −     ∫ ∫ 2 2 2 12 3 2 4 4 4 sin 2 2 sin sin 1 cos dx dx xdx C x x x π π π π π π = − + − = − + − − ∫ ∫ ∫ ( ) 12 2 ln 1 2 2 C − + + ⇒ = Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 9 - 4. Dạng 4: Các bài toán tổng hợp ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 3 3 5 3 3 1 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 1 1 1 . 1 1 x x x x x x x D dx dx dx dx x x x x xdx x x x dx x I J x + + + = = = + + + + + = + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ - Xét: 3 2 2 0 . 1 I x x x dx = + ∫ . ðặt: ( ) 2 3 2 2 2 2 1 1 1 3 du xdx u x v x dv x x dx =   =   ⇒   = + = +     ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 13 1 1 8 1 1 3 3 3 0 I x x x x dx x d x = + − + = − + + ∫ ∫ ( ) 5 2 2 2 58 3 8 1 15 15 0 x= − + = - Xét: 3 2 2 0 1 xdx J x x = + ∫ . ðặt: 2 2 2 2 1 1 u x du xdx xdx dv v x x  = =    ⇒   = = +    +  ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 4 3 1 2 1 6 1 1 6 1 3 3 0 J x x x x dx x d x x = + − + = − + + = − + = ∫ ∫ 1 58 4 26 15 3 5 D I J⇒ = + = + = • ( ) 3 2 2 2 3 3 3 2 4 3 3 3 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 d x x x D dx x d x x x x + + +   = = − + = − +     ∫ ∫ ∫ ( ) 3 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 8 2 3 8 6 1 1 d x x dx x x x x + = − + = − + + + ∫ ∫ 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 1 1 3 8 6 ( 1) 3 8 3 1 d u du u u u = − + = − + − − ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ln ln 2ln 1 2 3 8 3 1 3 8 3 2 3 u u −   = − + = − + + +   +   • 2 2 2 2 sin 3 2 sin 3 0 0 1 sin cos 2cos (2sin cos ) 4 x x D e x xdx x x x e dx π π = = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sin sin sin 0 0 1 1 1 1 cos2 1 cos 2 (1 cos 2 ) 2 4 4 4 0 x x x x d e x e e d x π π π = + = + − + ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 sin sin sin 0 0 1 1 1 1 1 1 sin 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x x x e e xdx d e e π π π = − + = − + = − + = − ∫ ∫ Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - 2 2 4 3 3 2 2 3 3 cos ln(1 cos ) ln(1 cos ) (sin ) 3 sin 2 sin ln(1 cos ) sin (ln(1 cos )) ln 2 sin 2 1 cos 3 D x x dx x d x xdx x x d x x x π π π π π π π π π π = − = − = − − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 3 3 3 1 cos 3 3 2 ln 2 ln 2 (1 cos ) ln 2 ( sin ) 2 1 cos 2 2 3 3 3 ln 2 1 2 6 2 x dx x dx x x x π π π π π π π − = − = − + = − + − = − − + ∫ ∫ • 3 3 3 5 4 4 4 3 sin ln(tan ) ln(tan ) (cos ) cos ln(tan ) cos (ln(t an )) 4 D x x dx x d x x x xd x π π π π π π π π = = − = − + ∫ ∫ ∫ 3 3 3 2 2 4 4 4 1 cos 1 1 sin ln3 ln3 ln 3 4 cos tan 4 sin 4 sin xdx dx xdx x x x x π π π π π π = − + = − + = − + ∫ ∫ ∫ ( ) 3 2 4 1 (cos ) 1 1 1 cos 3 3 ln3 ln3 ln ln 1 2 ln 3 4 1 cos 4 2 1 cos 4 4 d x x x x π π π π + = − − = − − = + − − − ∫ • ( ) 4 4 4 4 4 6 2 0 0 0 0 0 1 cos sin sin tan 1 cos 1 cos 1 cos 2 2cos 2 d x x x xdx xdx x D dx xd x x x x π π π π π + +   = = + = − +   + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 0 4 ln 1 cos tan tan ln tan 2ln cos 4 4 2 2 4 8 2 2 2 0 0 x x x x x dx π π π π π   = − + + − = + +   +   ∫ ( ) 2 1 4 π = − . • 2 2 2 4 4 4 7 0 0 0 sin 2 cos (sin ) 2 sin cos cos (sin ) 2 sin cos (sin ) ( sin ) D x x dx x x x dx x x d x π π π = = = ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 1 1 1 4 2 0 0 0 1 0 1 1 2 cos 1 cos 2 1 2cos cos 2 2 2 1 (2 4cos 2 cos 4 ) 4 t tdt t t dt t t t dt t t t dt = = + = + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ = Tích phân từng phần = 1 1 1 1 31 sin 2 cos 2 sin 4 cos 4 2 4 16 16 64 + + + + [...]...Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương π Chuyên ñ 04 - Tích phân và π ng d ng π 4 tan x sin x 2 − cos 2 x 1 + sin 2 xdx = ∫ 2 − cos 2 xdx = − ∫ d (cos x) cos x cos 2 x cos 2 x 0 0 0 4 4 • D8 = ∫ 1 2 2 − u2 du = u2 =−∫ 1 1 2 = 3 −1− ∫ 1 ∫ 1 2 − u2... cos x  cos x x sin x + cos x x sin x + cos x  cos x  0 0 0 3 π π 3 4π 1 −4π 3 3 −π  cos x + x sin x  =− +∫ + tan x 3 =   dx = 2 cos x 3 + π 3 0 x sin x + cos x  3+π 3 3+π 3  0 Giáo viên : Tr n Phương Ngu n Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 11 - . =    +    +  +   +    +     ∫ (trong ñó P(x) là ña thức) 3. Dạng 3: BÀI GIẢNG 09. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ( TÀI LIỆU BÀI GIẢNG) Khóa học LTðH