SỞ GD – ĐT ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT PHAN CHU TRINH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V – NĂM 2013 Môn: Toán; Khối: A, A 1 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: 3 2 3 2y x x= − + − có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Giả sử đường thẳng ( ) : 1 2d y m x= + + cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt ( ) 1;2A − , ,B C . Gọi 1 k , 2 k lần lượt là hệ số góc của 2 tiếp tuyến với đồ thị (C) tại ,B C . Tìm m để 3 1 2 1728k k− = . Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2cos 1 sin 3cot 1 x x x + = − 2. Giải hệ phương trình: 2 3 3 2 4 12 6 3 9 4 9 27 27 y y x y xy y x x x  + − =   + + = + + +   (với ,x y R∈ ) Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 3 2 6 1 3sin 2 8sin dx I x x π π = + + ∫ Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi H là trung điểm của AB, trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại H ta lấy một điểm S sao cho tam giác SAB đều; M là trung điểm của SD. Tính thể tích khối tứ diện MACD và tính khoảng cách từ điểm B đến mp(MAC). Câu V: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,x y z thoả mãn 3 3 45xy yz zx+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 3 3 2 2 27 M x y z= + + . Câu VI: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 3 1 I ; 2 2   −  ÷   và ( ) J 1;2− là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 20. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật biết điểm A có hoành độ âm và có tung độ dương. Câu VII: (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 100x y z− + + + − = và mặt phẳng (P) : 2 2 9 0x y z− − + = . Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm trong mp(P) đi qua điểm A(0; 4; 1) đồng thời cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho MN 16 = . Câu VIII: (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn ( ) ( ) 4 2 3 4z z z− − = − . Tính ( ) 10 1A z= + Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………………… SBD:…………………… Sở GD – ĐT ĐăkLăk Trường THPT Phan Chu Trinh Năm học: 2012 - 2013 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V – KHỐI A, A 1 MÔN: TOÁN ; NĂM HỌC 2012 – 2013 (Đáp án – Thang điểm này gồm 4 trang)  Câu Đáp án Điểm Câu I: ( 2,0 điểm) 1. Khảo sát hàm số: 3 2 3 2y x x= − + − có đồ thị (C 3 ) i) Tập xác định: D = R. ii) Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: 2 ' 3 6y x x= − + ; ' 0y = ⇔ 0x = hoặc 2x = . • Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;0−∞ và ( ) 2;+∞ • Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 +) Cực trị: • Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y CT = −2 • Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ; y CĐ = 2 +) Giới hạn: lim x y →+∞ = −∞ ; lim x y →−∞ = +∞ +) Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y’ − 0 + 0 − y +∞ 2 −2 −∞ iii) Đồ thị: 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét pt: ( ) 3 2 3 2 1 2x x m x− + − = + + ⇔ ( ) ( ) 2 1 4 4 0x x x m+ − + + = ⇔ 1x = − hoặc 2 4 4 0x x m− + + = (*) Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác −1, tức là: ' 0 9m ∆ >   ≠ −  ⇔ 0 9 m m <   ≠ −  Khi đó đồ thị (C) cắt d tại 3 điểm ( ) 1;2A − ; ( ) 1 1 ;B x y ; ( ) 2 2 ;C x y (với 1 2 ,x x là 2 nghiệm của pt (*) và ( ) 1 1 1 2y m x= + + ; ( ) 2 2 1 2y m x= + + ) Theo định lý Viet: 1 2 4x x+ = ; 1 2 4x x m= + . Mặt khác: 2 '( ) 3 6f x x x= − + Hệ số góc tiếp tuyến tại B, C: 2 1 1 1 1 '( ) 3 6k f x x x= = − + ; 2 2 2 2 2 '( ) 3 6k f x x x= = − + Tính: 1 2 6k k m+ = ; 2 1 2 9 36k k m m= + Khi đó: 3 1 2 1728k k− = ⇔ ( ) ( ) 3 2 1 2 1728k k− = ⇔ ( ) ( ) 3 2 1 2 1 2 4 1728k k k k+ − = ⇔ ( ) 3 144 1728m− = ⇔ 1m = − (thoả điều kiện) 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 2 Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0;−2) Giao điểm của đồ thị với trục Ox: ( 1 3± ;0) ; (1;0) Ngoài ra đồ thị hàm số còn đi qua điểm (−1;2); (3;−2) x y Câu Đáp án Điểm Câu II: ( 2,0 điểm) Điều kiện : 1 cot 3 x k x π ≠    ≠   . Biến đổi pt về: 2 2 3cos sin cos sin 2x x x x− = − + ⇔ 2 2 1 9 sin sin cos 3cos 4 4 x x x x− + = − + ⇔ 2 2 1 3 sin cos 2 2 x x     − = −  ÷  ÷     ⇔ sin cos 1x x− = − hoặc sin cos 2x x+ = (vô nghiệm) ⇔ .x k π = 2 hoặc 3 . 2 x k π π = + 2 , k Z ∈ Đối chiếu với điều kiện ban đầu họ nghiệm .x k π = 2 (loại) Vậy phương trình có một họ nghiệm: 3 . 2 x k π π = + 2 , k Z∈ 0,25 0,25 0,25 0,25 Điều kiện: 0x ≥ . Biến đổi phương trình (2): ( ) ( ) 3 3 3 4 3 3 0y x y x x+ + − + + = ⇔ 3 3 4 0 3 3 y y x x     + − =  ÷  ÷ + +     ⇔ 3y x= + Thay 3y x= + vào pt (1) ta được: ( ) 4 3 3 12 6x x x+ + + − = ⇔ ( ) ( ) 2 2 3 1 3 2x x+ − = − ⇔ 3 1 3 2 3 1 2 3 x x x x  + − = −  + − = −   ⇔ 3 3 1 0 3 3 3 0 x x x x  + − + =  + + − =   Pt: 3 3 1 0x x+ − + = ⇔ 1x = ( 1 16 x = loại) Pt: 3 3 3 0x x+ + − = ⇔ ( ) 3 19 3 33 32 x = − ( ( ) 3 19 3 33 32 x = + loại) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) ;x y : ( ) ( ) ; 1;2x y = hoặc ( ) ( ) ( ) 3 3 ; 19 3 33 ; 19 3 33 3 32 32 x y   = − − +  ÷  ÷   0,25 0,25 0,25 0,25 Câu III: ( 1,0 điểm) Ta có : 3 2 6 1 3sin 2 8sin dx I x x π π = + + ∫ ( ) 3 2 6 1 cos 3sin dx x x π π = + ∫ ( ) 3 2 2 6 1 cos 1 3tan dx x x π π = + ∫ Đặt 1 3tant x = + ⇒ 2 3 cos dt dx x = ; 6 x π = thì 1 3t = + ; 3 x π = thì 1 3 3t = + , Vậy: 3 2 3 1 3 1 1 3 dt I t + + = ∫ ( ) ( ) 1 3 3 1 3 1 2 3 3 3 1 3 1 3 3 t + + = − = + + 0,25 0,25 0,5 Câu IV: ( 1,0 điểm) Trong tam giác SHD, kẻ MN // SH cắt DH tại N, suy ra: MN ⊥ (ACD) Tính 3 2 a SH = ; 1 3 2 4 a MN SH= = ; 2 1 DA.DC 2 2 ACD a S = = Thể tích khối tứ diện MACD: 3 D 1 3 . . 3 24 MACD AC a V MN S= = (đvtt) Xét tam giác BCH vuông tại B nên: 2 2 2 2 2 2 5 4 4 a a CH CB BH a= + = + = 0,25 0,25 Trang 3 Câu Đáp án Điểm Tam giác SHC vuông tại H nên: 2 2 2 2 2 2 3 5 2 4 4 a a SC SH HC a= + = + = 2 2 2 2SD SC a= = Tam giác SCD có CM là trung tuyến nên: ( ) 2 2 2 2 1 1 2 4 CM CS CD SD= + − ( ) 2 2 2 2 1 1 2 .2 2 4 a a a a= + − = ⇒ CM a = Tam giác SAD có AM là trung tuyến nên: ( ) 2 2 2 2 1 1 2 4 AM AD AS SD= + − ( ) 2 2 2 2 1 1 .2 2 4 2 a a a a= + − = ⇒ 2 a AM = Tam giác MAC có 2 a AM = ; 2AC a= ; CM a = nên áp dụng định lý cosin tính được: 3 cos 4 A = ⇒ · 7 sin 4 MAC = ; · 2 1 7 . .sin 2 8 AMC a S AM AC MAC= = Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (MAC) là: ( ) ( ) 3 21 ,(MAC) D,(MAC) 7 MACD MAC V a d B d S = = = (đvcd) Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (MAC) bằng 21 7 a . 0,25 0,25 Câu V: ( 1,0 điểm) Ta có: 3 3 2 27 9x x x+ + ≥ và 3 3 2 27 9y y y+ + ≥ suy ra : ( ) 3 3 2 2 9 27 2 x y x y+ ≥ + − ⇔ ( ) ( ) 3 3 2 2 2 1 2 27 3 x y x y+ ≥ + − Do đó: ( ) 2 2 2 1 2 3 M x y z≥ + + − . Mặt khác: ( ) 2 2 1 2 9 9 x y xy+ ≥ ; 2 2 2 2 9 2 3 z x xz+ ≥ ; 2 2 2 2 9 2 3 z y yz+ ≥ Suy ra: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 3 10 3 9 x y z xy yz zx+ + ≥ + + = , từ đó ta được 8M ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 3x y= = và 2z = 0,5 0,25 0,25 Câu VI: ( 1,0 điểm) Ta có: 1 3 ; 2 2 IJ   =  ÷   uur . Đường thẳng AB đi qua J và nhận IJ uur làm véc tơ pháp tuyến có pt: 3 5 0x y+ − = ; 10 2 IJ = IJ là đường trung bình trong ∆ABD nên 2 10AD IJ= = Theo giả thiết: 20 ABCD S = ⇔ . 20AB AD = ⇔ 2 10AB = , suy ra: 10JA JB= = Toạ độ hai điểm ,A B là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 2 10 3 5 0 x y x y  + + − =   + − =   ⇔ 4 3 x y = −   =  hoặc 2 1 x y =   =  Do đó ( ) 4;3A − ; ( ) 2;1B ; tính được ( ) 1; 2C − và ( ) 5;0D − 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 4 Câu Đáp án Điểm Câu VII: (1,0 điểm) Tâm ( ) 3; 2;1I − , bán kính 10R = Gọi H là hình chiếu của tâm I lên mp(P), khi đó: ( ) 2 2 2 6 4 1 9 ;( ) 2 ( 2) ( 1) IH d I P + − + = = + − + − 6 10 R= < = Do đó (S) cắt (P) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính 2 2 8r R IH= − = Vì 16 2MN r = = nên đường thẳng (∆) đi qua điểm H. Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( ) 2; 2; 1n = − − r Phương trình đường thẳng IH: 3 2 2 2 1 x t y t z t = +   = − −   = −  , suy ra: ( ) 3 2 ; 2 2 ;1H t t t+ − − − Vì H ∈ (P) nên: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 1 9 0t t t+ − − − − − + = ⇔ 2t = − Với 2t = − , ta được ( ) 1;2;3H − ; tính ( ) 1;2; 2HA = − uuur Phương trình đường thẳng (∆): 4 2 1 2 x t y t z t =   = +   = −  0,25 0,25 0,25 0,25 Câu VIII: (1,0 điểm) Ta có: ( ) ( ) 4 2 3 4z z z− − = − ⇔ 2 2z 5 0z − + = ⇔ 1 2z i = − hoặc 1 2z i = + Với 1 2z i = − , ta có: ( ) 10 2 2A i= − ( ) 5 2 10 2 1 i   = −   15 2 .i= − Với 1 2z i = + , ta có: ( ) 10 2 2A i= + ( ) 5 2 10 2 1 i   = +   15 2 .i= 0,5 0,25 0,25 Trang 5 . GD – ĐT ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT PHAN CHU TRINH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V – NĂM 2013 Môn: Toán; Khối: A, A 1 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu. THPT Phan Chu Trinh Năm học: 2012 - 2013 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V – KHỐI A, A 1 MÔN: TOÁN ; NĂM HỌC 2012 – 2013 (Đáp án – Thang điểm này gồm 4 trang)