ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM GIẢNG DẠY VÀ THỰC HÀNH CƠ BẢN −− BÀI GIẢNG PHẦN PHÉP TÍNH VI - TÍCH PHÂN LÝ THUYẾT CHUỖI Dùng cho sinh viên ngành: Nông - Lâm - Ngư - Y khoa Biên soạn: TS Trần Bá Tịnh TS Nguyễn Vũ Tiến Huế, 10 - 2006 Lời nói đầu Được phân công giảng dạy Ban giám đốc Trung tâm giáo dục thực hành bản, mơn Tốn – Tin thực biên soạn giảng mơn học Tốn cao cấp B1 B2 Bài giảng nhằm cung cấp kiến thức giải tích cổ điển cần cho ngành sinh học, nông lâm, thổ nhưỡng, khoa học môi trường, thủy sản… số ngành khoa học công nghệ khác Bài giảng biên soạn theo đề cương chi tiết chương trình GIÁO DỤC HỌC ĐẠI CƯƠNG Bộ Giáo Dục ban hành theo định số 3244/GD-ĐT ngày 12/09/1995 Bộ trưởng Bộ Giáo dục đào tạo Bài giảng tổ mơn Tốn – Tin biên soạn trước mắt phục vụ cho đối tượng là sinh viên trường nêu, theo chương trình dự án mức C Đại Học Huế Lần biên soạn theo yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong trao đổi, đóng góp ý kiến đồng nghiệp để hoàn thiện giảng theo định hướng giảng chung mơn học Tốn cao cấp B1 B2 Các tác giả MỤC LỤC Chương Hàm số giới hạn hàm số §1 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ §2 HÀM SỐ 11 §3 DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 22 §4 GIỚI HẠN HÀM SỐ 24 §5 SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 29 Chương 33 Đạo hàm vi phân 33 §1 ĐẠO HÀM 33 §2 VI PHÂN 41 Chương 43 Tích phân khơng xác định 43 §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 43 §2 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN 44 KHÔNG XÁC ĐỊNH 44 §3 CÁC CƠNG THỨC TRUY HỒI .47 §4 TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ 48 §5 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM VƠ TỈ DẠNG ĐƠN GIẢN 50 Chương 51 Tích phân xác định 51 §1 ĐỊNH NGHĨA 51 §2 MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 53 §3 ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH CỦA HÀM LIÊN TỤC 56 §4 SỰ PHÂN CHIA KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN .57 _CẬN LẤY TÍCH PHÂN 57 I Sự phân chia khoảng lấy tích phân 58 II Cận lấy tích phân 58 §5 HÀM SỐ GIỚI HẠN TRÊN_GIỚI HẠN DƯỚI CỦA 59 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 59 §6 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ NGUYÊN HÀM 59 §7 BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 61 I Đổi biến tích phân xác định 61 II Phương pháp tích phân phần 63 §8 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 63 I Tính diện tích miền phẳng 64 II Tính thể tích 64 III Tính độ dài cung 65 §9 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 66 I Tích phân suy rộng loại I (Khoảng lấy tích phân vơ hạn) 66 II Tích phân suy rộng loại II (hàm đạt giá trị vô cùng) 66 III Các định lý so sánh 67 Chương 68 Chuỗi số 68 §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT 68 ĐƠN GIẢN 68 §2 DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI DƯƠNG 70 §3 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI BẤT KÌ 73 I Sự hội tụ tuyệt đối 73 II Sự hội tụ chuỗi đan dấu Dấu hiệu Laibnit 74 §4 CHUỖI HÀM 74 I Định nghĩa 74 II Chuỗi lũy thừa 75 III Chuỗi Taylo ứng dụng 76 Chương Hàm số giới hạn hàm số §1 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ I Tập hợp - Các phép toán Tập hợp Tập hợp khái niệm toán học, khơng có định nghĩa chung Người ta thường mơ tả tập hợp Chẳng hạn, tập hợp học sinh lớp, tập hợp số tự nhiên, tập hợp số vô tỉ, số hữu tỉ, tập hợp điểm đoạn thẳng, tập hợp nghiệm phương trình … Người ta kí hiệu tập hợp chữ in hoa: A, B, C…., X,Y Phần tử tập hợp vật (hay đối tượng nghiên cứu) nằm tập hợp Kí hiệu phần tử chữ thường a, b, c,…, x, y Khi cho tập hợp A, phần tử a thuộc A viết a ∈ A ; phần tử b không thuộc A viết b ∉ A (hay b ∈ A) Thí dụ: 1- Cho tập X= {1,2,3,4} ∈ X ; ∉ X 2- Gọi X tập nghiệm phương trình x2 + 3x − = X:={x/ x2 + 3x − = 0} ∈ X ; ∉ X 3- Các tập hợp số thường gặp N:={0, 1, 2, 3,… } ; N*:={1, 2, 3, 4… }; Z; Q; R… 1.1 Cách mô tả tập hợp Muốn mô tả tập hợp ta phải làm đủ rỏ để biết phần tử có thuộc tập hợp ta hay khơng Thường có cách: 1- Liệt kê tất phần tử tập hợp vào dấu {} Thí dụ: A:= {x,y,z,t} Tập hợp có phần tử x, y, z, t Có nghĩa x ∈ A, y ∈ A, z ∈ A, t ∈ A Nhưng u ∉ A,v ∉ A Việc liệt kê triệt để không triệt để Nếu liệt kê không triệt để ta dùng dấu… 2- Nêu tính chất đặc trưng phần tử tạo thành tập hợp Thí dụ: K tập hợp số chẵn dương K:= {x/x ∈ N, x chia hết cho 2} Có nghĩa ∈ K ∉ K 1.2 Tập Cho hai tập A B, phần tử A phần tử B ta nói A tập B viết A ⊆ B; A B B có phần tử khơng phần tử A ta nói A tập thực B viết A ⊂ B Nếu A ⊂ B ta nói A bao hàm B ; B chứa A ; A phận B Thí dụ: cho A := {x / x2+3x-4 = 0} B := {-4,1,2,3} AB C := {-4,1} A ⊆ C 1.3 Tập Cho hai tập A B, ta nói tập A tập B viết A=B A ⊆ B B ⊆ A Thí dụ: cho A := {x/x2-5x+6=0} B:= {2,3} Thì A = B 1.4 Tập rỗng Theo quan niệm thơng thường tập hợp cần có phần tử có nghĩa Tuy nhiên tốn học để tiện cho việc lập luận người ta đưa thêm vào khái niệm tập rỗng viết φ Nó tập khơng có phần tử tập tập hợp A nào, φ ⊆ A Thí dụ: {x R / x2+x+1 = 0} = φ 1.5 Biểu diễn hình học- Biểu đồ Ven Để dễ hình dung số quan hệ tập hợp người ta dùng biễu diễn hình học gọi biểu đồ Ven Xem tập hợp tập điểm hình vòng phẳng Mỗi điểm vòng phần tử tập hợp (H.1) Khi quan hệ A B biểu diễn hình H.2 ∈ ⊂ Các phép toán tập hợp 2.1 Phép hợp Hợp hai tập hợp A B tập hợp C tạo phần tử thuộc A thuộc B Kí hiệu: C = A ∪ B = {x/ x A x B} Biễu diễn biểu đồ ven H.3 ∈ ∈ Mở rộng cho nhiều tập hợp A ν : A = A1 ν ν A2 ∪ ∪ … An ∪ ; ν =1 n 2.2 Phép giao Giao hai tập hợp A B tập hợp C tạo phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Kí hiệu: C = A ∩ B = {x/ x A x B} Giao A ∩ B biễu diễn sơ đồ ven H.4 ∈ ∈ Mở rộng chonhiều tập hợp A ν : Aν = A1 ∩ ν A2 ∩ … An ∩ ν =1 n ; Đặc biệt C = A ∩ B = φ ta nói A B rời 2.3 Tính chất Các tính chất sau phép toán tập hợp suy từ định nghĩa: A ∪ B=B ∪ A A B=B A A A= A A A= A (A B) C=A (B C) (A B) C=A (B C) A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) Các tính chất chứng minh định nghĩa Ta chứng minh tính chất x A B ⇒ x A x B ⇒ x B x A x B A A B B A x B A ⇒ x B x A ⇒ x A x B x A B B A A B Vậy A B = B A 2.4 Hiệu hai tập hợp Hiệu hai tập hợp A B tập hợp C tạo tất phần tử vừa thuộc A mà khơng thuộc B Kí hiệu: C = A\B := {x / x A,x ∉ B} Hiệu A\B biễu diễn sơ đồ ven H.5 ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ ∩ ∪ ∩ ∈ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∈ ∈ ∈ ⇒ ∈ ∪ ∈ ∈ ∪ ∈ ∪ ∈ ∪ ∪ ∈ ⇒ ∪ ⊆ ∪ ⇒ ∈ ⊆ ∈ ∪ ⇒ ∈ ∪ A Nếu B ⊂ A A\B = B Gọi phần bù B A (H.6) Kí hiệu: A\B = B = CAB 2.5 Tích Đề Cho hai tập hợp A B không rỗng , với a A b B ta lập cặp (a,b) gọi cặp xếp thứ tự với phần tử tập A trước phần tử tập B sau , tích Đề tập A tập B tập C Kí hiệu: C= A x B đọc “A tích Đềcác B” biễu diễn : C= A x B := {(a,b) \ a A,b B} Thí dụ: Cho A={a1,a2} B={b1,b2,b3} C=A x B = {(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3)} Mở rộng tích Đề cho n tập hợp A ν ,ν = n tập hợp có thứ tự (a1,a2,….,an) *trong aν Aν ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ Kí hiệu: A1 x A2 x… x An Nếu Aν = A với ∀ ν = n aν ∈    xA Aν AxAxAx  = An n II Ánh xạ Định nghĩa Ánh xạ từ tập E tới tập F quy luật f liên hệ E F cho với phần tử x tạo phần tử y F Kí hiệu: f: E → F hay E f → F Và gọi E tập nguồn, F tập đích ∈ E ∈ Phần tử y F tạo từ phần tử x E quy luật f gọi ảnh x x gọi tạo ảnh (hay nghịch ảnh) y Ta viết: y =f(x) f hay x → y=f(x) hay x  → y ∈ ∈ f(x) đọc “f x” hay “f x” Chú ý phần tử x E có ảnh y F y F có nhiều tạo ảnh khơng có tạo ảnh Tập tạo tạo ảnh tất phần tử x E gọi ảnh E qua F viết f(E) f(E):= {y / y=f(x), x E} Ta ln có: f(E) F Thí dụ: E tập sinh viên lớp học F tập tên gọi Khi xảy trường hợp: sinh viên có tên tên khác có số sinh viên tên có tên mà khơng có sinh viên đặt Đơn ánh Định nghĩa: Ánh xạ f: E F gọi đơn ánh với x1 ≠ x2 hai phần tử E f(x1) ≠ f(x2) (1-1) Và f(x1) = f(x2) ⇒ x1=x2 (1-1)’ Thí dụ: ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ⊂ → Ánh xạ f: R → R cho quy luật x3=y có nghiệm x= y đơn ánh Ánh xạ f: R → R+ cho quy luật x2=y có hai nghiệm khác Vậy ánh xạ khơng đơn ánh Tồn ánh Định nghĩa: Ánh xạ f: E → F toàn ánh f(E) = F ta gọi f ánh xạ từ E lên F Để kiểm tra f có phải tồn ánh khơng ta cần kiểm tra xem với y ∈ F có tồn nghịch ảnh hay khơng Thí dụ: f : R → R cho x3=y Ánh xạ toàn ánh f : R → R cho x2=y Ánh xạ khơng tồn ánh f : R → R+ cho x2=y Ánh xạ toàn ánh Song ánh Định nghĩa: Ánh xạ f: E → F gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh Thí dụ: f : R → R cho x3=y Ánh xạ song ánh f : R → R+ cho x2=y Ánh xạ không song ánh Ánh xạ ngược song ánh – Tương ứng 1-1 Xét tập E F f song ánh từ E lên F Vì f song ánh nên với phần tử y F tồn x E ứng với theo quy luật nên ánh xạ Định nghĩa: Song ánh f: E → F tạo ánh xạ từ F tới E Ánh xạ gọi ánh xạ ngược ánh xạ f kí hiệu là: f-1 ∈ ∈ f -1: F → E với đặc điểm là: f(x) = y f-1(y)=x (x E,y F) f-1(y)=x f(x)=y (y F,x E) Theo định nghĩa f-1 song ánh Thí dụ: Song ánh f: R → R xác định y = x3 R ∋ x f → y=x3 R ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ Có ánh xạ ngược f-1 : R → R xác định x= y f− R ∋ y   1→ x= y ∈ R Song ánh tạo môt tương ứng 1-1 R R Hợp (Tích ánh xạ) Cho tập hợp X,Y,Z hai ánh xạ f g f : X  → Y, g :Y  → Z x X; f(x) = y Y   y Y, g(y) = z Z Như với x X tạo z Z Theo định nghĩa quy luật ánh xạ Ta viết g[f(x)] = z X ∋ x  → z = g[f(x)] Z  Định nghĩa: Ánh xạ hợp (tích) hai ánh xạ f g từ tập X tới tập Z (qua trung gian Y) gọi hợp f g (hay tích f g) Kí hiệu: gof Thí dụ : gof : X  → Z  ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 64 I Tính diện tích miền phẳng Giả sử mặt phẳng Oxy ta cho đường cong y1 = f(x), y2 = g(x) Gọi D miền phẳng giới hạn đường cong y1 = f(x), y2 = g(x), x = a, x = b Ta xác định diện tích SD miền D dựa vào tích phân xác định Ta có: SD = S1 − S2 H.24 Trong S1 = diện tích hình thang cong giới hạn y1 = f(x), y = 0, x = a, x = b S2 = diện tích hình thang cong giới hạn y2 = g(x), y = 0, x = a, x = b b Tức SD = ∫ f ( x )dx − a b b a a ∫ g(x)dx = ∫ [ f (x) − g(x )]dx (4-38) Trong trường hợp tổng quát ta có: b SD = ∫ | f ( x ) − g ( x ) | dx (4-39) a Chú ý: Để tính diện tích miền phẳng giới hạn số hữu hạn đường cong ta cần qua biên Xác định giao điểm đường cong Xác định diện tích miền phẳng giới hạn đường cong Tính tích phân xác định theo miền phẳng Thí dụ: Tính diện tích miền phẳng giới hạn đường cong y = 2px x = 2py Hai đường cong cắt x=0, x=2p, y=0, y=2p Theo hình vẽ ta có: SD = ∫ 2p ( 2px − x2 )dx 2p x 2p 2p x − ) =4 p =( 6p H.25 II Tính thể tích 65 Xét vật thể V hệ Oxyz cho hình vẽ Ta xem thể tích V tổng trụ có đáy S ( xi ) chiều cao ∆ xi Như có dạng tổng tích phân Vậy cơng thức tính tổng thể tích là: V= ∫ b a S(x)dx (4-40) H.26 Trong trường hợp vật khối trịn xoay hình phẳng hình thang cong {y=f(x), x=a, x=b}cho mặt phẳng Oxy quay quanh trục Ox Khi S(x) hình trịn bán kính f(x) Vậy: V= ∫ b a S(x)dx = ∫ b a b π f (x)dx = π ∫ f (x)dx a (4-41) III Tính độ dài cung Giả sử mặt phẳng toạ độ Oxy ta xét đường cong s cho dạng tham số: x = ϕ (t)  (4−42)  y = ψ ( t ) với t ∈ [α, β] s(t) khơng tự cắt Để tính chiều dài s từ t0 = α đến t1 = β ta thực sau: H 27 Trên s(t) ta lấy điểm Mi(ti ) với I = 1, n Ta thiết lập dây cung M i + M i + lập tổng: n ∑ n+ M i M i + Ở đây: M i + M i + = (x i+ − x i ) + ( y i+ − y i ) xi + − xi = ϕ ' ( t i )( t i + − t i ) = ϕ ' ( t i )∆ t i Mặt khác yi + − yi = ψ ' ( t i )( t i + − t i ) = ψ ' ( t i )∆ t i n n ∑ Vậy n+ M i M i+ = ∑ n+ ϕ '2 ( t * ) + ψ '2 ( t * )∆ t i i i (4-43) (4-41) có dạng tổng tích phân Khi ∆ ti →0 ta nhận giới hạn chiều dài cung s(t) Tức là: s(t) β α β = ∫ ϕ '2 ( t ) + ψ '2 ( t )dt α Nhận xét: 1/ Trong trường hợp đường cong cho dạng x=x (4-44) 66 y = f(x) b s(x) = b a ∫ + f '2 ( x )dx (4-45) a 2/ Nếu đường cong s(t) cho phương trình tham số khơng gian: x = ϕ(t) y = ψ(t) z = χ(t) β b a s(t) = ∫ ϕ '2 ( t ) + ψ '2 ( t ) + χ '2 ( t )dt (4-46) α Thí dụ: Tổng độ dài cung Xycloit cho phương trình x = a(t-sint) y = acost , t ∈ [0, 2π] x ' ( t ) = a (1 − cos t ) có: y' ( t ) = − a sin t 2Π s= ∫ 2Π 2Π 2Π t t a (1 − cos t ) + a sin t dt = ∫ a (2 − cos t ) dt = a ∫ sin dt = -4a ∫ d cos 2 0 = -acos t 2Π = 8a §9 TÍCH PHÂN SUY RỘNG I Tích phân suy rộng loại I (Khoảng lấy tích phân vơ hạn) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) khả tích đoạn hữu hạn [a,b], b>a Nếu: b ∃ lim ∫ a f ( x)dx hữu hạn ta gọi giới hạn tích phân suy rộng loại n→ ∞ Không tồn tạo giới hạn ta nói tích phân cho phân kì Nhận xét: Định nghĩa mở rộng cho cận -∞ khoảng (-∞, +∞) +∞ b dx dx x b 1 + ]= Thí dụ 1: Tính ∫1 = blim ∫1 2 = lim − = lim [ − → +∞ b→ + ∞ b→ + ∞ (1 + x ) (1 + x ) 1+ x 1+ b 2 dx = lim x + a→ − ∞ Tích phân cho phân kì Thí dụ 2: Tính ∫ −∞ ∫ a dx = lim ln x + x + a→ − ∞ a = alim (ln − ln x + = -∞ → −∞ II Tích phân suy rộng loại II (hàm đạt giá trị vô cùng) 67 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) đạt giá trị vô số hữu hạn điểm ∈ [a, b] Ta phân xi lim [a, b] thành hữu hạn khoảng khoảng đó: x → x ∫ f ( x )dx tồn hữu i ξ hạn ta nói tổng giới hạn tích phân suy rộng loại hai hàm f(x) [a, b ] Nếu có giới hạn khơng tồn vơ tích phân f(x) phân kì ∫ (1 − x) Thí dụ: Tính dx Ta có: ∫  x dx dx = lim  ∫ + x→ (1 − x )  (1 − x ) dx  x lim |0 + xlim0 − x |x  = x → 1− → 1+ x)  1− x ∫ (1 − x   − 1− 1− = lim  = −2 x→ x − x − 1   III Các định lý so sánh Định lý 1: Cho f(x), g(x) khả tích đoạn [a, b] hữu hạn b lớn tùy ý 0≤f(x)≤ g(x) ∀x ≥ a +∞ Khi đó: ∫ g(x)dx +∞ hội tụ suy a +∞ ∫ a ∫ f (x )dx hội tụ a +∞ f ( x )dx phân kì ∫ g(x)dx phân kì a Định lý 12: Giả sử f(x), g(x) hai hàm khơng âm, khả tích đoạn [a, b] hữu hạn, b +∞ f (x) = k (0 < k < +∞) tích phân suy rộng ∫ f ( x )dx lớn tùy ý Khi tồn xlim → + ∞ g(x) a +∞ ∫ g(x )dx a tính chất hội tụ phân kì 68 Chương Chuỗi số §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN I Các khái niệm đơn giản Trước xét dãy số với tổng số hữu hạn số hạng Cho dãy {an}, số n ∑ Lập tổng n số hạng đầu An = i = Ta lập dãy {Ak}: A1, , Ak = a1 + a2 + + an ∞ Định nghĩa: Nếu dãy {An} có giới hạn A = viết: lim A n n→ ∞ ∞ ∑ an ta nói A tổng chuỗi số ∑ n= an A = a1 + + an + = Nếu A số hữu hạn chuỗi gọi hội tụ, chuỗi khơng hội tụ gọi phân kì An - gọi tổng riêng chuỗi số an - gọi số hạng tổng quát n= 69 Nhận xét: + Sự hội tụ chuỗi qui tồn giới hạn dãy tổng riêng + Ngược lại tồn giới hạn dãy quy hội tụ chuỗi Cho dãy x1, , xn tồn giới hạn Lập chuỗi x1 + (x2 − x1) + + (xn − xn−1) + Ở tổng riêng số hạng dãy II Các tính chất đơn giản Áp dụng tiêu chuẩn cosi cho hội tụ dãy An ta suy Điều kiện hội tụ chuỗi số Điều kiện cần đủ để chuỗi số (A) hội tụ là: với số ε > tìm số tự nhiên N cho ∀ n > N ∀ số nguyên p ta có: | A n + p − A n |⇐ | a n + + + a n + p |< ε Đặc biệt p = ⇒ |an+1| < ε ⇒ Hệ Hệ quả: Điều kiện cần để chuỗi số (A) hội tụ là: (không điều kiện đủ) lim a n = n→ ∞ Số dư tính chất: ∞ ∑ a n+ k Gọi chuỗi: an+1 + an+2 + = (δ) nhận từ chuỗi (A) cách bỏ n số hạng đầu số dư (A) Các chuỗi (A) (δ) hội tụ phân kì Nếu chúng hội tụ tổng (δ) kí hiệu Rn: k= ∞ lim lim Rn = m → ∞ ∑ a n + k = m→ ∞ (A n + m − A n ) = A − An k= Ở A - Tổng chuỗi An - Tổng riêng n số hạng Khi đó: lim R n = lim (A − A n ) = n→ ∞ n→ ∞ Các phép tính chuỗi số hội tụ + Nếu (A) hội tụ chuỗi số ∞ ∑ n= c.a n = ca + ca + + ca n + (CA) hội tụ có tổng C.A + Nếu hai chuỗi số (A), (B) hội tụ A, B có tổng tương ứng chuỗi (A + B): ∞ ∑ n= (a n + b n ) = (a + b ) + (a + b ) + + (a n + b n ) + hội tụ có tổng A + B Ví dụ 1: Chuỗi số cấp số nhân a + aq + aq2 + + aqn + với q ≠ 70 Sn = a − aq n qn − = a⋅ 1− q q− * Khi |q| < lim S = n→ ∞ Sn = a 1− q − chuỗi hội tụ an = a.qn không tiến tới không − chuỗi phân kì ∞ 1 = 1+ + + + Ví dụ 2: (U) ∑ n n n= 1 un = → (n → ∞) n 1 + + > n = n → ∞ phân kì n → ∞ Nhưng An = + n n * Khi |q| ≥ §2 DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI DƯƠNG Định nghĩa: Ở ta xét chuỗi với số hạng không âm (an ≥ 0) Khi An dãy số đơn điệu tăng Chuỗi chuỗi dương I Điều kiện hội tụ Định lý: Điều kiện cần đủ để chuỗi dương (A) hội tụ dãy tổng riêng bị chặn An < L ∀n Nếu ngược lại dãy An → ∞ chuỗi phân kì Ví dụ: Xét hội tụ chuỗi điều hòa ∞ 1 ∑= n = + + + n + n 1 1 + + + > n = n n+ 2n − 2n Nếu xét tràn chuỗi ta gộp số hạng theo nhóm gồm 2k số hạng 1 1 1 1 + , + + + , + + , 15 ta có tổng nhóm > ⇒ dãy tổng riêng khơng bị chặn → chuỗi phân kì Ta có: II Các định lý so sánh Định lý 1: Cho hai chuỗi số dương (A), (B), kể từ số hạng (n > N) mà a n < bn thì: 71 + Từ (B) hội tụ suy (A) hội tụ + Từ (A) phân kì suy (B) phân kì Định lý 2: Cho hai chuỗi số dương (A), (B) a lim n = k (0 ≤ k ≤ ∞) thì: Nếu có giới hạn n → ∞ bn + Từ hội tụ (B) k < ∞ suy hội tụ (A) + Từ phân kì (B) k > suy (A) phân kì Định lý 3: Cho hai chuỗi dương (A), (B) Nếu kể từ số hạng (chẳng hạn n > N) a n+ b n+ < an bn + Từ (B) hội tụ suy (A) hội tụ + Từ (A) phân kì suy (B) phân kì Từ định lý ta suy rằng: để chứng minh hội tụ chuỗi số ta thường so sánh với chuỗi “mẫu” Chẳng hạn xét chuỗi Riman: ∞ 1 1 (S > 0) ∑= n s = + s + 3s + n + n ∞ phân kì n= n ∑ + Với S = Ta có chuỗi điều hịa + Với S < 1 > nên chuỗi phân kì ns n chuỗi hội tụ (Chứng minh dấu hiệu tích phân) Rõ ràng + Với S > Ví dụ 1: Xét chuỗi: ∞ ∑ n (n + 1) n= 1 hội tụ lim Hay n → ∞ n : n (n + 1) n (n + 1) < n s > hội tụ (Định lý 1) = → hội tụ (Định lý 2) ∞ Ví dụ 2: p n = (ln n ) ∑ (p > 0) Với n lớn: (ln n)p < n → 1 > Phân kì p n (ln n ) III Các dấu hiệu hội tụ (Cosi − Dalămbe − Rap (Raab)) Sử dụng chuỗi mẫu (A): ∞ Chuỗi hội tụ ∑ q n = q + q + + q n + n= ∞ Chuỗi phân kì ∑ n= 1n = + + + + < q chuỗi phân kì C = chưa có kết luận Dấu hiệu Dalămbe a n+ Định lý: Gọi D n = an − Nếu với n lớn Dn ≤ q < chuỗi hội tụ − Nếu kể từ lúc Dn ≥ chuỗi phân kì Hệ quả: Giả sử có lim D n = D n→ ∞ Khi đó: − Nếu D < chuỗi hội tụ − Nếu D > chuỗi phân kì Khơng có kết luận C = Dấu hiệu Rap (So sánh với chuỗi Riman)  a n+   Định lý: Gọi R n = n  −  an    Khi đó: − Nếu với n đủ lớn Rn ≥ n > chuỗi số hội tụ − Nếu kể từ lúc Rn ≤ chuỗi phân kì Hệ quả: lim R n = R n→ ∞ − Nếu R > chuỗi hội tụ − Nếu R < chuỗi phân kì − Nếu R = chưa có kết luận Dấu hiệu tích phân 73 ∞ ∑ Cho chuỗi dương n= a n số hạng lập thành dãy giảm a1 ≥ an ≥ an ≥ ≥ an ≥ (>0) Xét hàm f(x) giảm [1, +∞) Có an = f(n) Tổng riêng •An = a1 + + an diện tích hình bậc thang ngoại tiếp hình thang cong lấp f(x) •An+1 − a1 = a2 + a3 + + an+1 diện tích hình bậc thang nội tiếp hình thang cong Nên: An ≥ n+ ∫ f (x )dx ≥ A n+ − a 1 ∞ ∑ Định lý: Cho chuỗi dương n= a n có số hạng giảm dần, f(x) hàm số liên tục giảm [1,+∞) f(n) = an Khi chuỗi (A) đồng thời hội tụ hay phân kì với tích phân suy rộng ∞ ∫ f (x)dx Nếu A − Tổng chuỗi I giá trị tích phân Ta có: I ≤ A ≤ I + a1 ∞ Trở lại xét: Chuỗi Riman ∑ s đồng hội tụ hay phân kì với n= n ∞ Trở lại: ∑ phân kì n = n ln n ∞ ∫ ∞ dx = ln(ln x ) | x ln x ∞ ds ∫x s phân kì §3 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI BẤT KÌ I Sự hội tụ tuyệt đối Đưa chuỗi ∞ ∑ n= | a n | = | a | + + | a n | + (|A|) Ta có: |An+p − An| = |an+1 + + an+p| ≤ |an+1| + + |an+p| Định lý: Nếu chuỗi (|A|) hội tụ → (A) hội tụ Điều ngược lại không hẳn Định nghĩa: Nếu chuỗi (|A|) hội tụ ta nói chuỗi (A) hội tụ tuyệt đối Trái lại có chuỗi (A) hội tụ (chuỗi (|A|) khơng hội tụ) ta nói chuỗi (A) bán hội tụ 74 II Sự hội tụ chuỗi đan dấu Dấu hiệu Laibnit Chuỗi đan dấu: Chuỗi Laibnit chuỗi có số hạng luân phiên đổi dấu, tức có dạng: ∞ ∑ n= (− 1) n − C n = C1 − C + C + (− 1) n − C n + Trong Cn > ∀n Định lý Laibnit: Nếu số hạng chuỗi (L) giảm giá trị tuyệt đối Tức Cn+1 < Cn lim C n = chuỗi hội tụ n→ ∞ ( − 1) n − 1 1 ∑= n = − + − + (− 1) n − n + hội tụ n ∞ Ví dụ: §4 CHUỖI HÀM I Định nghĩa ∞ * Xét chuỗi ∑ n= u n ( x ) = u ( x ) + u ( x ) + + u n ( x ) + (5-1) Trong số hạng un(x) hàm số xác định tập X Ta gọi chuỗi cho chuỗi hàm ∞ * Với x = xo chuỗi hàm (5-1) trở thành chuỗi số ∑ n= u n (x ) Nếu chuỗi số hội tụ xo gọi điểm hội tụ chuỗi hàm Nếu chuỗi số phân kì xo gọi điểm phân kì chuỗi hàm * Tập hợp tất điểm hội tụ chuỗi hàm gọi tập hội tụ * Tổng chuỗi hàm số hàm số xác định tập hội tụ Ví dụ 1: Cho chuỗi hàm + x + x2 + + xn + Chuỗi hội tụ với |x| < Tập hội tụ (−1, 1) u − un 1− xn = lim = lim = n→ ∞ − x − x n→ ∞ − x 1− x ∞ sin nx Ví dụ 2: Xét chuỗi hàm ∑ 2 n= n + x Tổng S(x) = Do |sin nx| < ⇒ | sin nx | < n2 + x2 n2 ∞ Do ∀x ∈ R hội tụ ⇒ chuỗi cho hội tụ tuyệt đối n= n ∑ * Chuỗi hàm số hội tụ 75 ∞ Giả sử chuỗi hàm số ∑ n= u n ( x ) hội tụ tập X có tổng hàm S(x) Gọi Sn(x) tổng lim riêng thứ n chuỗi hàm cho n → ∞ S n ( x ) = S( x ) Tức với ∀ε > 0, ∃N = N(ε,x) cho ∀n > N ta có |Sn(x) −S(x)| < ε Trường hợp N = N(ε) khơng phụ thuộc x ∈ X ta nói chuỗi hàm số hội tụ tập X đến S(x) Viết lại ∀ε > 0, ∃N = N(ε) Sao cho ∀n > N |Sn(x) − S(x)| < ε ∀x ∈ X * Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Cosi) ∞ Chuỗi hàm số ∑ n= ta có: |Sp(x) − Sq(x)| < ε u n ( x ) hội tụ tập X ∀ε > ∃N cho ∀p>q>N ∀x ∈ X II Chuỗi lũy thừa * Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng ∞ ∑ n= a n x n = a + a x + a x + + a n x n + (5−2) Khi khảo sát chuỗi hàm số điều xác định tập hội tụ ∞ * Định lý ABen: Nếu chuỗi lũy thừa ∑ n= a n x n hội tụ x = xo ≠ hội tụ tuyệt đối ∀x với |x| < |xo| ∞ ∑ Hệ quả: Nếu chuỗi lũy thừa n= ∞ ∑ * Bán kính hội tụ: Rõ ràng n= a n x n phân kì x = x1 phân kì ∀x: |x| > |x1| a x n hội tụ x = Từ định lý ABen suy ∃R (0≤ R ρ an + x n + an x n >ρ⋅ >1 ρ nên theo dấu hiệu Dalanbe chuổi Khi ρ=∞ hiển nhiên R=0 ρ=0, lim n→ ∞ an + an =0 nên chuỗi hội tụ với ∀ x tức R=+∞ Bán kính hội tụ chuỗi ρ Ta có lim n an = ρ , sử dụng tiêu chuẩn hội tụ Cosi ta hoàn toàn chứng minh n→ ∞ ρ bán kính hội tụ chuỗi ∞ Thí dụ 1: Chuỗi ∑ n= Ta có ∈R xn n! an+ 1 = → n → ∞, nên bán kính hội tụ R=+∞, tức chuỗi hội tụ với ∀ x an n+ ∞ Thí dụ 2: Chuỗi ∑ nn xn n= Ta có n an = n n n = n → ∞, nên R=0, tức chuỗi hội tụ điểm x=0 III Chuỗi Taylo ứng dụng Xét hàm số f(x) có bán kính hội tụ R Hàm f(x) gọi khai triển thành chuỗi luỹ thừa ∞ khoảng (-R, R) có chuỗi luỹ thừa ∑ n= an x n cho f(x)= ∞ ∑ n= an x n với ∀ x ∈ (-R, R) * Định lý: Nếu f(x) khai triển thành chuỗi luỹ thừa khoảng (-R, R) f(x) có đạo hàm cấp (-R, R) f ( K ) (0) = K ! a K với K ∈ N Vì chuỗi luỹ thừa đa thức bậc n, nên có đạo hàm cấp n+1 Nên định lý hiển nhiên * Với hàm f(x) có đạo hàm cấp khoảng (-R, R), ta có chuỗi hàm: ∞ f ( n ) (0) n x gọi khai triển Taylo hàm lân cận điểm S(x) = ∑ n! n= Nếu xét lân cận điểm a ∈ (-R, R) ta có khai triển Taylo hàm f(x) là: 77 ∞ S(x) = ∑ k= f ( n ) (a) ( x − a) n n! S(x) gọi chuỗi Taylo lân cận điểm a ∈ (-R, R) Nhận xét: f(0)=S(0) S(x) không hội tụ điểm x#0 S(x) # f(x) lân cận điểm x=0 + ϕ ( x) Thí dụ: Xét hàm f(x)= 1− x  − x12  Trong đó: ϕ (x) =  e 0  x ≠ x = o Ta có: ϕ ( K ) (0) = với K ∈ N      1− x  K = K! nên f ( K ) (0) = K !+ = K ! K+ (1 − x ) Khai triển Taylo: ∞ f ( n ) (0) n ∞ n x = ∑ x = S(x)= ∑ ; x