PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Thông tin tài liệu

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011) Gi tng: www.Mathvn.com Bm sn. 16.03.2011 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 2 PHNG PHÁP TÍCH PHÂN TNG PHN I. Công thc tích phân tng phn: Cho hai hàm s ( ), ( ) u x v x liên tc và có đo hàm trên đon [a; b]. Ta có     ' ' ' ' ' ' uv u v uv uv dx u vdx uv dx        ( ) b b b a a a d uv vdu udv d uv vdu udv          b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu           . Ta có công thc:   1 b b b a a a udv uv vdu    Công thc (1) còn đc vit di dng:     ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b b b b a a a a f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx          II. Phng pháp gii toán: Bài toán: S dng CT.TPTP xác đnh: I =  b a dxxf .)( Phng pháp chung: Cách 1: Bc 1: Bin đi TP v dng: I =  b a dxxf .)( =  b a dxxfxf .)().( 21 Bc 2: t:          v du dxxfdv xfu )( )( 2 1 (Chn 0 C  ) Bc 3: Khi đó: I =    b a b a b a vduuvudv . (công thc (1)) Chú ý: Vic đt ( ), ( ) u f x dv g x dx   (hoc ngc li) sao cho d tìm nguyên hàm ( ) v x và vi phân ' ( ) du u x dx  không quá phc tp. Hn na, tích phân b a vdu  phi đn gin hn tích phân b a udv  Cách 2: Phân tích ' 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x f x dx f x f x dx    và s dng trc tip công thc (2) - Nhn dng:  s dng tích phân tng phn thì du hiu thng gp đó chính là tích ca hai loi hàm s khác nhau (đôi khi là tích ca cùng mt loi hàm) -Ý ngha: Phng pháp TPTP nhm đa tích phân phc tp v tích phân đn gin hoc đ kh bt hàm s di du tích phân (cui cùng ch còn li 1 loi hàm s di du tích phân) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 3 Chú ý: - ôi khi tính TPTP mà cha có mt dng c th ta phi dùng các công thc đi s, lng giác hoc kt hp vi phng pháp bin đi s thì mi xut hin các dng c th Ví d 1: (HDB – A 2003) Tính tích phân sau 4 0 1 cos 2 x I dx x     Gii: Nhn xét: Tích phân này nu đ nguyên mà tính TPTP thì… không ra đâu nhng nu ta s dng công thc nhân đôi 2 2 1 cos2 1 2cos 1 2cos x x x      thì ly nguyên hàm ca đc ngay Ta đc 4 2 0 1 2 cos x I dx x    t 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Khi đó 4 0 1 1 1 1 tan tan ln cos ln 2 4 4 2 2 8 2 8 4 0 0 I x x xdx x             Chú ý: - Ta có th s dng công thc (2) nh sau 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 (tan ) tan tan ln cos ln 2 4 4 2 2 2 4 8 4 2cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x x                         - ng quên 1 2 trc du tích phân nhé Ví d 2: (HDB – D 2003) Tính tích phân sau 2 1 3 0 x I x e dx   Gii: Ta có 2 2 1 1 3 2 0 0 x x I x e dx x e xdx     t 2 2 2 dt t x dt xdx xdx      i cn 0 0 1 1 x t x t            Khi đó 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 t t t t e I te dt te e dt e         (s dng công thc 2) Chú ý: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 4 - D nhiên ta không cn bin đi s mà làm trc tip. Ta có   2 2 1 1 3 2 2 0 0 1 2 x x I x e dx x e d x     . n đây ta có th s dng công thc (1) hoc công thc (2) tuy là ngn hn nhng đ phc tp cao hn nên tôi không đa ra, bn đc t tìm hiu nhé Ví d 3: (HTCKT – 1998) Tính tích phân sau   4 2 0 2cos 1 I x x dx     Gii: Nhn xét: Nu đ nguyên nh th mà tính thì qu tht nan gii. S dng công thc h bc     4 4 4 2 0 0 0 2cos 1 2 1 cos 2 1 cos 2 I x x dx x dx x xdx                t sin 2 cos 2 2 du dx u x x dv xdx v              Khi đó 4 0 sin 2 1 cos2 1 2 . sin 2 4 4 2 2 8 4 8 4 8 0 0 x x I x xdx                - ôi khi tính TPTP ta phi tính đn 2 hay 3 ln TPTP Ví d: (H – D 2007) Tính tích phân sau 4 3 2 1 5 1 ln 32 e e I x xdx     Gii: t 2 4 3 2ln ln 4 dx du x u x x x dv x v                  Khi đó 4 4 2 3 1 1 1 1 ln . ln . 1 4 2 4 2 e e x e I x x x dx I      Tính 3 1 1 ln . e I x x dx   t 3 4 ln 4 dx du u x x dv x x v                Khi đó 4 4 4 3 4 1 1 1 1 3 1 ln . 1 1 4 4 4 16 16 e e e x e e I x x dx x        Vy 4 4 4 4 1 1 1 3 1 5 1 . 4 2 4 2 16 32 e e e e I I        www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 5 - ôi khi tính TPTP ta còn gp trng hp lp li tích phân ban đu (tích phân luân hi) hoc gp mt tích phân mà làm trit tiêu mt tích phân Ví d 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: 2 1 ln e x I dx x   Gii: t 2 ln 2ln ln dx u x du x x dx dv v x x                Khi đó 2 2 1 ln ln .ln 2 1 2 1 e e x I x x dx I x      n đây ta coi nh mt phng trình bc nht theo I ta đc 1 3 I  Chú ý: - ng nhiên ta có th làm bng phng pháp bin đi s t ln dx t x dt x    . i cn 1 1 0 x e t x t            Khi đó 1 3 2 0 1 1 0 3 3 t I t dt     Hoc: a vào vi phân nh sau   2 3 2 1 1 ln ln 1 ln ln 1 3 3 e e e x x I dx xd x x       -  tránh tích TPTP 2 ln ta có th bin đi s trc bng cách đt ln t t e x t x e dt dx          sau đó mi TPTP Ví d 2: Tính tích phân sau 4 2 0 (sin cos 1) (1 cos ) x e x x I dx x       Gii: 4 4 4 1 2 2 2 0 0 0 (sin cos 1) sin 1 cos (1 cos ) (1 cos ) x x x e x x e e x I dx dx dx I I x x x                 Tính 4 2 2 0 sin (1 cos ) x e x I dx x     t   2 sin 1 1 cos 1 cos x x u e du e dx x dv dx v x x                  Khi đó 4 4 2 1 0 1 4 1 cos 1 cos 2 2 0 1 2 x x e e e I dx I x x             www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 6 Vy 4 2 1 2 2 1 2 e I I      Chú ý: Nu nh ta tính đng thi 1 2 và I I thì cng ra nhng va mt công mà li dài nên ta chn tính 1 I hoc 2 I đ làm trit tiêu đi 2 I hoc 1 I …Tùy vào tng bài đ ta chn (kinh nghim thôi) - Thông thng ta s dng CT (1) vì nó d nhìn hn là CT (2) MT S DNG C TH Dng 1: Tính tích phân     n I P x Q x dx     vi   n P x là mt đa thc bc n và   2 2 1 1 ; ;sin ;cos ; , cos sin x x x x x Q e x x a  t     n P x Q x dx u dv       (Nu   n P x có bc n thì ta phi tính tích phân tng phn n ln (mi ln   n P x s gim 1 bc)) c bit: - Khi     ln ;ln ;log ;ln n m x x x f x Q x      t     n Q x P x dx u dv       (nu   ln n Q x x  ta phi tính n ln tích phân) - Khi           sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log a a x xQ x x x  t     n Q x P x dx u dv       (thng thì ngi ta chn     1; k n P x Q x x   cho đn gin) Chú ý: Trong dng này chúng ta s gp tích phân luân hi (Sau khi tính tích phân ln th hai s tr v tích phân ban đu) Loi 1: Khi   2 2 1 1 ; cos sin Q x x x  Bài tp gii mu: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 7 Bài 1: Tính tích phân sau 3 2 4 sin xdx I x     Gii: t 2 cot sin u x du dx dx v x dv x               Áp dng công thc tính tích phân tng phn   3 3 2 4 4 9 4 3 1 1 3 3 3 cot cot . ln sin ln 3 36 2 2 sin 3 4 4 xdx I x x xdx x x                       Hoc: S dng trc tip công thc (2)   3 3 2 4 4 cot sin xdx I xd x x          Bài 2: Tính tích phân sau 3 2 0 cos x I dx x    Gii: t 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Áp dng công thc tính tích phân tng phn:   3 3 34 2 0 0 0 0 cos 3 sin 3 tan tan 3 3 cos 3 cos cos 0 3 3 ln cos ln 2 3 3 3 0 d x x x I dx x x xdx dx x x x x                         Hoc: S dng trc tip công thc (2)   3 3 2 0 0 tan cos x I dx xd x x       Bài tp t gii có hng dn: Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau 1 2 0 sin cos x x I dx x    www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 8 HD: t   2 sin 1 cos 1 tan cos u x x du x dx dv dx v x x                  Hoc - Tách thành tng hai tích phân 1 2 3 3 3 2 2 2 0 0 0 sin sin cos cos cos I I x x xdx x I dx dx x x x             Tính 1 I bng TPTP và tính 2 I bng đi bin s - S dng trc tip công thc (2) ta có     1 1 2 0 0 sin sin tan cos x x I dx x x d x x       Bài 2: (HDB – A 2003) Tính tích phân sau: 4 0 1 ln 2 1 cos2 8 4 x I dx x        HD: S dng công thc nhân đôi 2 2 1 cos2 1 2cos 1 2cos x x x      Khi đó 4 2 0 1 2 cos x I dx x    . t 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Hoc: S dng trc tip công thc (2) Ta có 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 (tan ) tan tan ) ln ln 2 4 4 2 2 2 4 8 4 2cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x                         Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau:   1 2 0 tan tan1 ln cos1 0,5 I x xdx     HD: Phân tích 1 1 2 0 0 cos x I dx xdx x     t 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Chú ý: Công thc 2 2 1 tan 1 cos x x   Bài 4: Tính tích phân sau: 2 0 1 sin 2 xdx I x     HD: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 9 Bin đi 2 1 sin 2 1 cos 2 2cos 2 4 x x x                     ri mi TPTP Loi 2: Khi   sin ;cos Q x x x  Chú ý: i vi dng này ta có th s dng phng pháp h s bt đnh Nu bc ca   P x bng hoc ln hn 3 ta nên gii theo phng pháp sau: Bc 1: Ta có ( )cos ( )sin ( )cos I p x xdx A x x B x x C        , (1) (A(x) và B(x) cùng bc vi   P x ) Bc 2: Ly đo hàm hai v ca (1) :     ( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos p x x A x B x A x B x       S dng phng pháp h s bt đnh tìm đc A(x) và B(x) Bc 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) ri kt lun. (Có th áp dng cách này cho các dng cos ax e bxdx  ; sin ax e bxdx  ) Bài tp gii mu: Bài 1: Tính tích phân sau 1 2 2 0 sin . I x x dx    Gii:   1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos2 1 1 sin . cos 2 2 2 2 x I x xdx x dx x dx x x dx             S dng công thc (2) ta đc 2 1 1 3 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 (sin2 ) sin2 2 in2 . 6 4 6 4 x x d x x x xs x dx              2 1 1 2 2 2 3 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cos2 ) cos2 cos2 sin(2 ) 0 6 6 6 6 4 4 4 8 4 xd x x x xdx x                             Bài 2: (HDB – 2006) Tính tích phân sau 2 0 ( 1)sin 2 I x xdx     Gii: t 1 1 sin 2 cos2 2 du dx u x dv xdx v x                Khi đó 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 cos 2 cos 2 sin 2 1 2 2 4 2 2 4 4 x I x xdx x                       Hoc: S dng trc tip công thc (2) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com D: 01694 013 498 10     2 2 0 0 1 ( 1)sin 2 1 cos 2 2 I x xdx x d x          Bài 3: Tính tích phân sau 2 4 0 cos I xdx    Gii: t 2 2 t x x t dx tdt      i cn 2 0 0, 4 2 x t x t         S dng công thc (2) Khi đó   2 2 2 0 0 0 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 0 I t tdt td t t t xdx               Vy 2 I    . Bài 4: Tính nguyên hàm 3 2 ( 2 3)sin I x x x xdx      Gii: 3 2 3 2 3 2 ( 2 3)sin (a )cos (a' ' ' ')sin I x x x xdx x bx cx d x x b x c x d x C               (1) Ly đo hàm hai v ca (1): 3 2 3 2 3 2 ( 2 3)sin [ ' (3 ') (2 ') ']cos [ (3 ' ) (2 ' ) ' ]si n (2) x x x x a x a b x b c x c d x ax a b x b c x c d x                  ng nht đng thc trên ta đc h : ' 0 3 ' 0 2 ' 0 ' 0 a a b b c c d               và ' 1 3 ' 1 2 ' 2 ' 3 a a b b c c d                   Gii h trên tìm đc : 1; 1; 4; 1; ' 0; ' 3; ' 2; ' 4 a b c d a b c d            Vy 3 2 2 ( 4 1)cos (3 2 4)sin I x x x x x x x C          . Hoc: t   2 3 2 3 2 2 2 3 sin cos du x x dx u x x x dv xdx v x                    Hoc: S dng trc tip công thc (2)   3 2 3 2 ( 2 3)sin ( 2 3) cos I x x x xdx x x x d x            Bài tp t gii có hng dn: Bài 2: (HM C – 1998) Tính nguyên hàm sau: 3 sin 2 cos 6 sin 12 cos 12sin I x xdx x x x x x x x C         www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... x tan x 4 Bài 5: Tính tích phân sau: I tan xdx ln cos x dx sin 2 x 6 HD: u ln cos x dv dx sin x 2 x du v sin x dx cos x cot x 2 Bài 6: Tính tích phân sau: I tan xdx cos x ln sin x sin 2 x dx 1 2 ln 2 6 HD: Bi t sin x 3 Bài 7: Tính tích phân sau: I ln tan x 2 cos x dx 3 ln 3 2 3 1 4 HD: Bi D t 5: Tích phân là tích c Tính tích phân I Lo u àm gi P ' x dx du Q x Q ' x dx Tính tích phân I (tham kh P x Q... www.MATHVN.com dx x x 4 Bài 2: Tính tích phân sau: I 1 ln 2 4 cos 2 x.ln(cos x)dx 0 8 1 4 HD: u ln cos x dv cos 2 x sin x dx cos x sin 2 x 2 u v ex a x Q x dx v ln x Tính tích phân I D 1 1 ; 2 ;sin x;cos x 2 cos x sin x Q x ex ax u ln x dv Q x dx Chú ý: - Trong d ày chúng ta s TPTP thì l òng” trong tích phân thì ào thì l ài toán tích phân mà ta ph Bài t e x sin xdx Bài 1: Tính tích phân sau I 0 Gi ex u dv du... 3 xdx – B 1998) Tính tích phân sau: I Bài 1: 0 3 2e 13 HD: u du sin 3x e 2 x dx dv v 3cos 3 xdx e2 x 2 2 1 2e 2 5 e x cos 2 xdx – 1996) Tính tích phân sau: I Bài 2: 0 HD: H 3 ành t 3 4 – 1997) Tính tích phân sau: I Bài 3: 4 e4 25 3x e sin 4 xdx 0 2 2 e x sin 3xdx I – 1999) Tính tích phân sau: I Bài 4: 0 I 1 10 1 3 ;J e 1 1 10 e 0 e 2x 0 HD: H e x cos 3 xdx 3 1 Bài 5: Tính tích phân sau I 1 sin 2 x.dx... Tính tích phân sau: I 0 HD: u dv du x x 2 e dx v dx 2e x 2 2 Bài 5: 0 www.MATHVN.com 2 esin x sin x.cos3 xdx – 1999) Tính tích phân sau: I 1 e 1 2 16 Giáo viên: Nguy D HD: 2 Phân tích I e ành Long sin 2 x www.MATHVN.com 2 2 esin x sin x cos x 1 sin 2 x dx 3 sin x.cos xdx 0 0 dt 2 sin 2 x t Email: Loinguyen1310@gmail.com sin x cos xdx 3 Bài 6: Tính tích phân sau: I x3 e x2 1 x2 1 0 dx HD: 3 Phân tích. .. tích phân sau: I ln 2 x dx x 1 1 3 HD: ln 2 x dx dv x Chú ý: u 2 ln x du dx x ln x v t h tích TPTP 2 l ln x et et dt x dx 2 – D 2008) Tính tích phân sau: I Bài 2: ln x 3 1 x HD: u ln x dx dv x3 I dx x 1 2x2 du v 1 ln x 2x2 2 2 1 1 1 dx 2 x3 3 2 ln 2 16 3 ln x 2 – D 2004) Tính tích phân sau: I Bài 3: x dx 3ln 3 2 2 HD: u ln x 2 dv dx x 2x 1 dx x2 x du v x Chú ý: N ln x 2 Bài 4: – B 2005) Tính tích phân. .. Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com t 2 ln x dx 2 1 x – 1998) Tính tích phân sau: I Bài 15: ln x et x t e dx dx 10 ln 2 3 1 6 1 l ln 2 2 HD: u ln x dx dv x2 2 – 2006) Tính tích phân sau: I Bài 16: x 2 ln x dx 1 5 4 ln 4 HD: u ln x x 2 dv 1 x 2 ln 1 – D 1997) Tính tích phân sau: I Bài 17: 0 1 dx x 3ln 3 HD: u 1 x ln 1 dv x 2 dx 10 x lg 2 xdx – 2001) Tính tích phân sau: I Bài 18: 1 50 50 ln10 99 4 ln 2 10 HD: TPTP... 2 e dx 0 ln 2 x.e x dx Bài 13: Tính tích phân sau J 0 Gi u x dv e x dx J x.e du dx v e x ln 2 x ln 2 e x dx 0 x.e x e 1 ln 2 2 ln 2 x 0 0 Bài t p t 3 2 e3 x sin 5 xdx Bài 1: Tính tích phân sau: I 0 3.e 2 5 34 HD: u dv du sin 5 x e3 x dx 5cos 5 xdx e3 x 3 – 1999) Tính tích phân sau: I v Bài 2: 2x2 x 1 ex 2x2 3x 4 e x C HD: u dv 2 x2 x 1 x e dx 1 2 – 1998) Tính tích phân sau: I Bài 3: 2x 1 x e dx 0 5e... e 9 x 2 ln xdx – 2005) Tính tích phân sau: I Bài 5: 1 u dv Email: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com 1 9 ln x x 2 dx 1 x ln x 2 Bài 6: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau: I x 1 dx 0 3 ln 3 4 3 12 HD: u dv ln x 2 2x 1 dx x x 1 du x 1 x 2 dx 2 x2 2 v e – 1997) Tính tích phân sau: I Bài 7: 1 e ln x x 1 dx 2 0 HD: u ln x du dx dv x 1 2 v dx x 1 x 1 e 2 – 1997) Tính tích phân sau: I Bài 8: 1 ln x dx... toán s 2 – 2000) Tính tích phân sau: I Bài 9: 1 ln 1 x x 2 dx 3 ln 3 3ln 2 2 HD: u dv ln 1 x dx x2 du v dx x 1 1 x www.MATHVN.com 23 Giáo viên: Nguy D ành Long www.MATHVN.com 3 x ln x 2 Bài 10: Tính tích phân sau: I 5 dx 0 Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 14 ln14 5 ln 5 9 2 HD: u ln x 2 dv xdx t Ho 5 x2 5 sau e x3 1 ln x dx x Bài 11: Tính tích phân sau: I 1 2e 3 9 11 18 HD: x3 1 Phân tích x x u 1 x 2 dv... Tính I1 b I2 ên hàm và tích I 2 b du u 2x 1 dv cos 2 xdx 2dx v sin 2 x 2 2 x 2 1 sin xdx - 1997) Tính tích phân sau I Bài 10: 0 HD: u dv S Ho x2 1 sin xdx 2 du v 2 x 2 1 sin xdx I 2 xdx cos x 0 x 2 1 d cos x 0 2 x sin 2 x cos xdx Bài 11: (TN – 2004) Tính tích phân sau I 0 2 2 3 HD: u x sin 2 x dv cos xdx Chú ý: - Tách thành t - Có th du v 1 sin 2 x dx sin xdx ì Bài 12: Tính các tích phân sau www.MATHVN.com . Bm sn. 16.03.2011 www. MATHVN. com www. MATHVN. com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail .com D: 01694 013 498 2 PHNG. loi hàm s di du tích phân) www. MATHVN. com www. MATHVN. com Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail .com D: 01694 013 498 3 Chú

Ngày đăng: 22/02/2014, 21:49

Xem thêm: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN, PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan